专题05 矩形、菱形、正方形的性质与判定（十大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末好题汇编（山东专用）

专题05 矩形、菱形、正方形的性质与判定 题型概览 题型01矩形的性质 题型02矩形的判定 题型03矩形的性质与判定的综合 题型04直角三角形斜边上的中线性质 题型05菱形的性质 题型06菱形的判定 题型07菱形的性质与判定的综合 题型08正方形的性质 题型09正方形的判定 题型10正方形的性质与判定的综合 ( 题型01 )矩形的性质 1．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D．4 2．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，矩形的对角线与交于点O，，垂足为E，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在矩形中，点为边上一个动点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 5．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）矩形的对角线交于点O，，，点F在上，连接， ，则 ． 6．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，点E、F在上，． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 7．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长 ( 题型0 2 )矩形的判定 8．（2023-24八年级下·山东济南·期末）中，再添加一个条件 ，就可判定四边形为矩形． 9．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 10．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，为外角的平分线，为底边上一点，连接，过点作交于点，连接，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：_____，使得四边形为矩形． 11．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，是的中位线，是的中线．连接，．判断四边形形状，并说明理由． 12．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，M、N分别为和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，那么四边形是矩形吗？证明你的结论． 13．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，延长到点，使得，连接、、，交于点，已知．求证：四边形是矩形． ( 题型0 3 )矩形的性质与判定的综合 14．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为 ． 15．（2023-24八年级下·山东东营·期末）已知：如图，四边形ADCB中，，，，则B，D两点之间的距离为 ． 16．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 17．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 18．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 19．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积； (3)若，，连接，求线段的长． 20．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，利用上述结论求的面积． ( 题型0 4 )直角三角形斜边上的中线性质 21．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（   ） A． B． C．5 D．10 22．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D在的延长线上，，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 23．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知中，，平分，点为的中点，连接，若，，则的面积为 ． 24．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，则的长为 ． 25．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图所示，为的中位线，点F在上，，若，，则的长为 ． ( 题型0 5 )菱形的性质 26．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在菱形中 对角线与相交于点O，点E是的中点，过点E作交于点F，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （   ） A．6 B．5 C．4 D．3 29．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，是菱形的对角线，，则的度数是 ． 30．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点F，点E为垂足，连接，则 ． 31．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）已知菱形的周长为，，求菱形两条对角线的长以及它的面积． 32．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在菱形中，点F在的延长线上，连接，且，分别延长到点G，H，使，连接．求证：； ( 题型0 6 )菱形的判定 33．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）在平行四边形中，为对角线，下列条件中，不能推出平分的是（    ） A． B． C． D． 34．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，是对角线，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当平分时，四边形是矩形 35．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 36．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，F在上，并且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？请回答并证明你的结论． 37．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，，，对角线、相交于点O，平分．求证：四边形是菱形． 38．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E、F． (1)证明：； (2)连接，证明：四边形是菱形． 39．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图所示，三边的长分别为，，，是的中线，过点作且，连接．求证：四边形是菱形． ( 题型0 7 )菱形的性质与判定的综合 40．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 41．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图所示，剪两张对边平行的纸条，并且纸条宽度相同，将它们随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，连接．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 42．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 43．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 44．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 45．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 46．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，矩形的对角线相交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)求证：； (3)若，则菱形的面积为_________． ( 题型0 8 )正方形的性质 47．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，线段向上平移后，的对应点分别为，若四边形是正方形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 48．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，四个全等的直角三角形围成了正方形和正方形，连接，分别交，于点P，Q．已知，正方形的面积为30，则图中阴影部分面积和为（    ） A．6 B．12 C． D． 49．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）正方形和正方形如图摆放，边长分别为．若两个正方形的面积和为65，，则图中阴影部分面积和为（    ） A．15.5 B．16.6 C．31 D．33 50．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，是正方形的一条对角线，是上一点，是延长线上一点，连接，，．若，，则 ． 51．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形外侧，以为边作等边，连接，相交于点，则的度数是 ．    52．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形的边长为4，点E，F 分别在边，上，将、分别沿、折叠，使B，D恰好都落在M处，已知，则的长为 ． 53．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形是一块正方形场地，小华和小芳在边上取了一点E，测量知，，，求这块四边形场地的周长． ( 题型0 9 )正方形的判定 54．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，四边形的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 55．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在平行四边形中，，、分别是和的中点． (1)判定四边形的形状并证明； (2)给补充一个条件，使得四边形是正方形，并证明． 56．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为、． (1)__________； (2)求证：四边形是正方形． 57．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作． (1)观察与猜想：是 （填“矩形”、“菱形”或“正方形”）； (2)请验证你的猜想． 58．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，中，延长至点，使，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 59．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规找到边的中点，连接并延长，在延长线上截取，使，连接和（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是正方形． ( 题型 10 )正方形的性质与判定的综合 60．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（    ） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 61．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ． 62．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线．已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，则∠BCD的度数 ． 63．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）四边形为正方形，点为对角线上一点，连接.过点作，交边于点． (1)求证； (2)以，为邻边作矩形，连接.若，，求的长度． 64．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”、分别是的中点． ①若线段的长度为，求的长； ②若线段的长度为，请直接写出的最小值． 65．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 66．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，点P是上的一点，作点A关于直线的对称点E，连接，延长交的延长线于点F，连接． (1)①如图1，依题意补全图形； ②若，则__________；（用含的式子表示） (2)如图2，若点P是的中点， ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 一、单选题 1．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，矩形的边在数轴上，若点与数轴上表示数的点重合，，，以点为圆心，对角线长为半径作弧交数轴的负半轴于一点，则该点表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，，点E、F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上的点处，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴的夹角为，且，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图所示，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，于点，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 6．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，已知长方形中，，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 8．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在矩形中，点在上，，，将沿直线翻折至的位置，使得点在边上，作于点，为的中点，连接．则 ． 9．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）数学活动中，小伟同学利用一张正方形纸片作如下操作：①如图，先对折正方形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕和线段，．若线段，则线段 10．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在矩形中，点在线段上，将沿翻折至，连接，若，，，则 ． 11．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在矩形中，点E是边的中点，于点F．若，则的长为 ． 12．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，矩形的面积为1．顺次连接各边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是 ． 13．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的点处．折痕为，点、分别在、上，若，则折痕的长为 ． 三、解答题 14．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）正方形中，点M是边上任意一点，于点E，于点F，若，，求的长． 15．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 16．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，，． (1)连接，求证：四边形是矩形； (2)若，，则______，______． 17．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，动点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C匀速运动，同时动点F从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点D匀速运动，当点F到达终点D时，点E也随之停止运动，以、为邻边构造平行四边形与矩形重叠部分的面积为S，点F的运动时间为t(秒） (1)当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ，当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ； (2)当点G与点D重合时，求t的值； (3)当以D、G、E、C为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出t的值． 18．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 求作：菱形（点E在上，点F在上）． 作法：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ②以B为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． 根据小明的做法完成下面的证明； 证明：，，______＝______． 在中，，即， 四边形为______（____________）（填推理的依据）， ，四边形为______（____________）（填推理的依据）． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 矩形、菱形、正方形的性质与判定 题型概览 题型01矩形的性质 题型02矩形的判定 题型03矩形的性质与判定的综合 题型04直角三角形斜边上的中线性质 题型05菱形的性质 题型06菱形的判定 题型07菱形的性质与判定的综合 题型08正方形的性质 题型09正方形的判定 题型10正方形的性质与判定的综合 ( 题型01 )矩形的性质 1．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，灵活运用矩形的性质是本题的关键． 2．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，矩形的对角线与交于点O，，垂足为E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵矩形的对角线与交于点O， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：D 4．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在矩形中，点为边上一个动点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）矩形的对角线交于点O，，，点F在上，连接， ，则 ． 【答案】5或 【详解】解：作于点， ∵矩形的对角线交于点O， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 当点在点的右边时，， ∴； 当点在点的左边时， ， ∴； 综上，或5， 故答案为：5或． 6．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，点E、F在上，． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵四边形是矩形 ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴． 7．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：过点A作，垂足为， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵ 即  ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． ( 题型0 2 )矩形的判定 8．（2023-24八年级下·山东济南·期末）中，再添加一个条件 ，就可判定四边形为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：中，再添加，就可判定四边形为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 10．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，为外角的平分线，为底边上一点，连接，过点作交于点，连接，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：_____，使得四边形为矩形． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：平行四边形，理由如下： ， ， 为外角的平分线， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：在不增加辅助线和字母的前提下，令， 则四边形是矩形． 故答案为：． 11．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，是的中位线，是的中线．连接，．判断四边形形状，并说明理由． 【答案】四边形为矩形，理由见详解 【详解】解：四边形为矩形，理由是： ∵是的中位线，是的中线， ∴点分别是边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又 ∵， ∴平行四边形为矩形． 12．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，M、N分别为和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，那么四边形是矩形吗？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为和的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）四边形是矩形， 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为和的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形 13．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，延长到点，使得，连接、、，交于点，已知．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴，点为线段的中点， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． ( 题型0 3 )矩形的性质与判定的综合 14．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为 ． 【答案】 【详解】解： ， ， ， 即 ， 则四边形ABCD为矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 15．（2023-24八年级下·山东东营·期末）已知：如图，四边形ADCB中，，，，则B，D两点之间的距离为 ． 【答案】 【详解】解：过A作延长线于F，过B作延长线于E，于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴、是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解答的关键． 16．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 17．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 18．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积； (3)若，，连接，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形． ． 在中， ， ∴． （3）解：作的延长线于点H． ，， ∴四边形是平行四边形． ， ， ，， ∴，， ∴， ∴． ． 20．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，利用上述结论求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)44 【详解】（1）证明：点D，E分别是的中点， ． ， ， ． 同理可得：，， ， 四边形为矩形． （2）解：点D，E分别是的中点， 是的中位线， ， 由（1）可知，， ， ． ( 题型0 4 )直角三角形斜边上的中线性质 21．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【详解】解：∵斜边长为 ∴直角三角形斜边上的中线长为． 故选A． 22．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D在的延长线上，，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点A作于点H， ∵在中，，，， ∴，是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 23．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知中，，平分，点为的中点，连接，若，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 24．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：∵D是的中点，F是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，D是斜边的中点， 则， 故答案为：4． 25．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图所示，为的中位线，点F在上，，若，，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵为的中位线，， ∴，点是的中点， ， ∴， ， 故答案为：2． ( 题型0 5 )菱形的性质 26．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴． 故选：B． 27．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在菱形中 对角线与相交于点O，点E是的中点，过点E作交于点F，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：连接， ∵菱形，， ∴，， ∵点E是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 28．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵在菱形中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 29．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，是菱形的对角线，，则的度数是 ． 【答案】/度 【详解】解：∵四边形是菱形，是菱形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∵， 故答案为：． 30．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点F，点E为垂足，连接，则 ． 【答案】/120度 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 31．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）已知菱形的周长为，，求菱形两条对角线的长以及它的面积． 【答案】，，面积为 【详解】解：如图，设与交于点， 菱形， ，，，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 综上所述，，，菱形面积为． 32．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在菱形中，点F在的延长线上，连接，且，分别延长到点G，H，使，连接．求证：； 【答案】见解析 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴．     ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ( 题型0 6 )菱形的判定 33．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）在平行四边形中，为对角线，下列条件中，不能推出平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.，根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出平分，不符合题意； B.，根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出平分，不符合题意； C.，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定平行四边形是菱形，能推出平分，不符合题意； D.，平行四边形的对角线相等，无法判断平行四边形是菱形，故无法推出平分，符合题意． 故选D． 34．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，是对角线，下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当平分时，四边形是矩形 【答案】A 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵E，F分别为边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，不能得到，故不能判定四边形是菱形，即A选项符合题意， 当时， ∴， ∴四边形是菱形，即B选项不符合题意， 当时，， ∴， ∴四边形是矩形，即C选项不符合题意， 当平分时，如图，延长，交于点， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，即D选项不符合题意， 故选：A 35．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有 或 或 或 ，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 36．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，F在上，并且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？请回答并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形为菱形 【详解】（1）证明：∵为的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴ ，            ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形为菱形， 理由： ∵在中，， ∴， 由（1）知， ∴，即是斜边上的中线， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了垂直平分线性质，平行线性质和判定，等腰三角形性质，平行四边形判定定理，直角三角形性质，菱形的判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 37．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，，，对角线、相交于点O，平分．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 38．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E、F． (1)证明：； (2)连接，证明：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ． ∵点O是的中点， ． 又 ； （2）由（1）已证， ， ∵四边形是矩形， ，即， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 39．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图所示，三边的长分别为，，，是的中线，过点作且，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵，，， ∴，． ∴． ∴． ∵在中，是中线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ( 题型0 7 )菱形的性质与判定的综合 40．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中，，， 是菱形， ， 是等边三角形， ． 故选：D． 41．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图所示，剪两张对边平行的纸条，并且纸条宽度相同，将它们随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，连接．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：， ∴四边形是平行四边形， 设纸条宽度为h， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 故选：C 42．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【详解】（1）∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所在直线对称 ∴； ∵， ∴ ∴，是等边三角形 ∴ ∵， ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 43．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形， ， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 44．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 是边上的中线， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 求的面积为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形三线合一，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 45．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 46．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，矩形的对角线相交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)求证：； (3)若，则菱形的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线相交于点O， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：由（1）知四边形是菱形； ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：连接交于点F， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形； ∴垂直平分，即点F是的中点， ∵四边形是矩形， ∴，即点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形中位线，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定方法是解题关键． ( 题型0 8 )正方形的性质 47．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，，线段向上平移后，的对应点分别为，若四边形是正方形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∵线段向上平移后，的对应点分别为， ∴， ∴ 故选：B． 48．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，四个全等的直角三角形围成了正方形和正方形，连接，分别交，于点P，Q．已知，正方形的面积为30，则图中阴影部分面积和为（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵四个全等的直角三角形围成了正方形和正方形， ∴， ∴，， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴图中阴影部分面积和为 ， 又∵，，， ∴， ∵正方形的面积为30， ∴，即， ∴图中阴影部分面积和为， 故选：A． 49．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）正方形和正方形如图摆放，边长分别为．若两个正方形的面积和为65，，则图中阴影部分面积和为（    ） A．15.5 B．16.6 C．31 D．33 【答案】B 【详解】∵四边形，为正方形，且边长分别为． ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴， ∵，， ∴． 故选：B 50．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，是正方形的一条对角线，是上一点，是延长线上一点，连接，，．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明为直角三角形． 51．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形外侧，以为边作等边，连接，相交于点，则的度数是 ．    【答案】/度 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 52．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形的边长为4，点E，F 分别在边，上，将、分别沿、折叠，使B，D恰好都落在M处，已知，则的长为 ． 【答案】3.4 【详解】解：由图形折叠可得，， ∵正方形的边长为4， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3.4． 53．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形是一块正方形场地，小华和小芳在边上取了一点E，测量知，，，求这块四边形场地的周长． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ，， ， ， 答：这块四边形场地的周长为． ( 题型0 9 )正方形的判定 54．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，四边形的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵四边形的两条对角线且互相平分． ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是矩形， A．若 ，即矩形的对角线互相垂直．根据正方形的判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形，所以该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； B．若 ，即矩形的邻边相等．根据正方形的判定定理：邻边相等的矩形是正方形，所以该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； C．因为四边形是矩形，所以，又，所以是矩形本身就具有的性质，仅这一条件不能判定该矩形是正方形，符合题意； D．因为四边形是矩形，所以，则 ，若 ，那么 ，所以 ，即矩形邻边相等，根据邻边相等的矩形是正方形，该选项能判定四边形是正方形，不符合题意； 故选：C． 55．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在平行四边形中，，、分别是和的中点． (1)判定四边形的形状并证明； (2)给补充一个条件，使得四边形是正方形，并证明． 【答案】(1)菱形，证明见解析 (2)当时四边形是正方形，证明见解析 【详解】（1）解：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别是和的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：当时四边形是正方形． 证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判断，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． 56．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为、． (1)__________； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：的两条外角平分线、交于第一象限的点， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：45； （2）证明：作于点，如图所示： 的两条外角平分线、交于第一象限的点， ，， ， ，， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角，正方形的判定，矩形的判定，角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点数形结合是解题的关键． 57．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作． (1)观察与猜想：是 （填“矩形”、“菱形”或“正方形”）； (2)请验证你的猜想． 【答案】(1)正方形 (2)见解析 【详解】（1）解：观察与猜想：是正方形． 故答案为：正方形； （2）证明：过点P作于点K，于点H，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，难点是正确地添加辅助线，构造正方形和全等三角形． 58．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，中，延长至点，使，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵， ∴， ∴菱形是正方形． 59．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规找到边的中点，连接并延长，在延长线上截取，使，连接和（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解：如图所示（答案不唯一，合理即可）． （或或或） （2）解：由作图可知， ， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是正方形． ( 题型 10 )正方形的性质与判定的综合 60．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（    ） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【详解】解：连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ，， ∴， 连接， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， 延长，过点作交的延长线于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点， 则四边形和四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， 即，故①正确； 连接， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线，故②正确； 故选：A． 【点睛】该题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 61．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积 ． 【答案】6 【详解】如图，过D作,交于M，，交延长线于N， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 62．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线．已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，则∠BCD的度数 ． 【答案】135°或90°或45° 【详解】解：∵AC是四边形ABCD的和谐线， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB＝AD＝BC， 如图1，当AD＝AC时， ∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC， ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝60°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠CAD＝30°， ∴∠ACD＝∠ADC＝75°， ∴∠BCD＝60°＋75°＝135°； 如图2，当AD＝CD时， ∴AB＝AD＝BC＝CD， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°； 如图3，当AC＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F， ∵AC＝CD，CE⊥AD， ∴AE＝AD，∠ACE＝∠DCE， ∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴BF＝AE， ∵AB＝AD＝BC， ∴BF＝BC， ∴∠BCF＝30°， ∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC， ∵ABCE， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°， ∴∠BCD＝15°×3＝45°， 综上，∠BCD的度数是：135°或90°或45°， 故答案为：135°或90°或45°． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题综合性较强，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 63．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）四边形为正方形，点为对角线上一点，连接.过点作，交边于点． (1)求证； (2)以，为邻边作矩形，连接.若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，如图， 是正方形对角线， ，    ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形为矩形，， 四边形为正方形， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 64．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”、分别是的中点． ①若线段的长度为，求的长； ②若线段的长度为，请直接写出的最小值． 【答案】(1)D (2)①；②的最小值是 【详解】（1）解：如图所示，四边形是平行四边形，且，点是边的中点，连接， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理，， ∵，则， ∴， ∴平行四边形不是“中方四边形”，故A选项不符合题意； 如图所示，四边形是矩形，且，点是边的中点，连接，则，交于点，则， 同理，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴矩形不是“中方四边形”，故B选项不符合题意； 如图所示，四边形是菱形，且，点是边的中点，连接， 同理，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴菱形不是“中方四边形”，故C选项不符合题意； 如图所示，四边形是正方形，且，点是边的中点，连接，交于点，则， 同理，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴菱形是正方形， ∴正方形是“中方四边形”，故D选项符合题意； 故选：D； （2）解：①如图所示，记的中点为，连接， ∵四边形是“中方四边形”，分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，设交于点，连接， ∵四边形是中方四边形， ∴， ∵， ∴，垂足为点， ∴是直角三角形， ∵分别是的中点， ∴，则， 同理，，， ∴， ∴当取得最小值时，有最小， ∵， ∴当点共线时，取得最小值，最小值为的值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查“中方四边形”的定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，中位线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，最短路径的计算方法，掌握以上知识的综合，数形结合分析是关键． 65．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 【答案】(1)见解析 (2)度数为的度数2倍的角有：,，， 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴度数为的度数2倍的角有：,，，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由得出． 66．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，点P是上的一点，作点A关于直线的对称点E，连接，延长交的延长线于点F，连接． (1)①如图1，依题意补全图形； ②若，则__________；（用含的式子表示） (2)如图2，若点P是的中点， ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①图见解析② (2)①见解析②，证明见解析 【详解】（1）解：①由题意，补全图形如图： ②连接， ∵对称， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； （2）①连接，则：， ∴， 设， ∵正方形，点为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： 连接，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，对称性等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助项构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 一、单选题 1．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，矩形的边在数轴上，若点与数轴上表示数的点重合，，，以点为圆心，对角线长为半径作弧交数轴的负半轴于一点，则该点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵在矩形中，， ，； 则； ∵点表示的数为， ∴该点表示的数为：； 故选：C 2．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在正方形中，，点E、F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上的点处，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， 根据折叠的性质可得，，， ， ， 在中，设，则， ， ， ， ． 故选：D． 3．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴的夹角为，且，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点B作轴，如图所示： ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵与x轴的夹角为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图所示，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示：连接，    ∵在菱形中，， ，，， ， ，， ∴四边形是矩形， ， 的最小值，即最小值， ∴当时，最小， ， ， ， 最小为， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解此题的关键． 5．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，于点，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：D． 6．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平分， ， ， ， ， ，①结论正确； 在中，，， ， ，②结论正确；如图， 如图，连接，令与的交点为， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，③结论正确； 在和中， ， ， ， ， ，即，④结论正确； 故选：D． 二、填空题 7．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，已知长方形中，，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：长方形中，，， ，， 设，则， 由折叠得，， 在中，， ， 在中，， ， 解得， 即的长为， 故答案为：． 8．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在矩形中，点在上，，，将沿直线翻折至的位置，使得点在边上，作于点，为的中点，连接．则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∵将沿直线翻折至的位置，使得点在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，所在直线重合，即、、三点共线， ∵平分，为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 9．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）数学活动中，小伟同学利用一张正方形纸片作如下操作：①如图，先对折正方形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕和线段，．若线段，则线段 【答案】 【详解】解：连接， 由第一次折叠得，，， 由再一次折叠得， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在矩形中，点在线段上，将沿翻折至，连接，若，，，则 ． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质可知：， ∵，且， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 11．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在矩形中，点E是边的中点，于点F．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点E是边的中点， ∴. 在中，， ∵， ∴. 故答案为． 12．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，矩形的面积为1．顺次连接各边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是各边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴， 同理， ……， 由此发现， ， ∴， 故答案为：． 13．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的点处．折痕为，点、分别在、上，若，则折痕的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点于点，过点作的延长线于点， 四边形是菱形， ， ， ， ，， 由折叠的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和等知识，正确作辅助线构造直角三角形是解题关键． 三、解答题 14．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）正方形中，点M是边上任意一点，于点E，于点F，若，，求的长． 【答案】3 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 15．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 16．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，，． (1)连接，求证：四边形是矩形； (2)若，，则______，______． 【答案】(1)见解析 (2)4，5 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，， 由（1）得：四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 17．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，动点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C匀速运动，同时动点F从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点D匀速运动，当点F到达终点D时，点E也随之停止运动，以、为邻边构造平行四边形与矩形重叠部分的面积为S，点F的运动时间为t(秒） (1)当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ，当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ； (2)当点G与点D重合时，求t的值； (3)当以D、G、E、C为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】(1)2，12 (2) (3)2或 【详解】（1）解：当时，，， 在矩形中，，， ， 平行四边形与矩形重叠部分的面积 平行四边形的面积 ； 当时，，， 如图： 在矩形中，，， 平行四边形与矩形重叠部分的面积 平行四边形的面积 ； （2）解：当点与点重合时，， ， 由题意有：， 即：， 解得； （3）解：如图， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， ∵， 平行四边形是矩形， 点与点重合， ， ； 另一种情形： 如图，当与相交时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 即， 当以、、、为顶点的四边形恰好是平行四边形时， 或． 18．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 求作：菱形（点E在上，点F在上）． 作法：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ②以B为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． 根据小明的做法完成下面的证明； 证明：，，______＝______． 在中，，即， 四边形为______（____________）（填推理的依据）， ，四边形为______（____________）（填推理的依据）． 【答案】；；平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形 【详解】证明：，， ， 在中，． 即． 四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）． ， 四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：；；平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$