专题04 平行四边形的性质与判定（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末好题汇编（山东专用）

专题04 平行四边形的性质与判定 题型概览 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02利用平行四边形的性质证明 题型03判断能否构成平行四边形 题型04添一个条件成为平行四边形 题型05证明四边形是平行四边形 题型06利用平行四边形的性质无刻度作图 题型07平行四边形的折叠问题 题型08利用平行四边形的性质与判断综合 ( 题型01 )利用平行四边形的性质求解 1．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图,在平行四边形中，，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，点在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，是所在平面内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的长为 ． 5．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点分别在和上，且，则四边形的面积是多少 ． 6．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，中，AE平分，，则等于 ． 7．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）在中，是边上的高，，，且，则的面积为 8．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，的平分线交于点E，若，， (1)求的度数． (2)求的长度． ( 题型0 2 )利用平行四边形的性质证明 9．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 10．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点E、F，求证：． 11．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交于点E、F．求证：． 12．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在平行四边形中，、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为E、F．求证：． 13．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，且，，． (1)求证：； (2)点、点分别是和的一点，连接经过点，求证：． 14．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）已知，在中，，，为垂足． (1)求证； (2)若，，求的度数． ( 题型0 3 )判断能否构成平行四边形 15．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 16．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 17．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 18．（2023-24八年级下·山东威海·期末）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 19．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 20．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， ( 题型0 4 )添一个条件成为平行四边形 21．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 22．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 23．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 24．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件 使四边形是平行四边形． 25．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）在四边形中，，要使四边形是平行四边形，你可以添加的一个条件是 ． ( 题型0 5 )证明四边形是平行四边形 26．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 27．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，已知是平行四边形的一条对角线，于M，于N，求证：四边形是平行四边形． 28．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，；求证：四边形是平行四边形． 29．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 30．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在四边形中，连接，过点B，D分别作的垂线，垂足分别为E，F，且，．求证：四边形为平行四边形． 31．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 32．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． ( 题型0 6 )利用平行四边形的性质无刻度作图 33．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以、为顶点画一个面积为4的平行四边形； (2)在图②中以、为顶点画一个面积为6的平行四边形； (3)在图③中以、为顶点画一个面积为10的平行四边形．（正方形除外） 34．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）尺规作图问题： 如图，在中，P是对角线上一点，连结，请按要求完成下列问题： (1)用无刻度直尺和圆规在边上作点Q，连接，使得．（保留作图痕迹，不必写做法） (2)依据你的作图，请说明成立的理由．（要求写出推理过程） 35．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形． (1)在图1中，以格点为顶点画一个三边长分别为4、、的三角形； (2)在图2中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为2，一个角是． 36．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个，的三个顶点均与小正方形的顶点重合． (1)在图中画线段．使且（点D与小正方形的顶点重合）； (2)连接．请直接写出四边形的周长． ( 题型0 7 )平行四边形的折叠问题 37．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在任意中，折叠三角形，使得点与点A重合，为折痕，连接，下列说法错误的是（    ） A．线段一定垂直平分线段 B．线段可能是的中位线 C．线段一定是的中线 D．线段一定不是的角平分线 38．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 39．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ． 40．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，已知，，，，点D为的中点，点E为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，当时， ． 41．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． (1)求证：； (2)若，为的中点，求的度数． 42．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接． (1)证明四边形是平行四边形； (2)若平分，求的度数． ( 题型0 8 )利用平行四边形的性质与判断综合 43．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上． (1)若，，求的长______． (2)点为的中点，连接，交于点，求证： 44．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，连接对角线，点和点是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求四边形的周长． 45．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形， (2)若，，，求四边形的面积． 46．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，连结对角线，点E和点F是外两点，且在直线上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 47．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)直接写出与的数量关系． (3)若，，，求的长． 48．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在四边形中，，且，点分别从点同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动．当点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)几秒后四边形是平行四边形？ (2)几秒后四边形是平行四边形？ 49．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)比较与的大小．并说明理由． 一、单选题 1．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，平分交于点，则的长是（ ）   A．1 B．2 C．2.5 D．3 3．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，连接，已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图所示，校园内有一块等边三角形的空地，已知M，N分别是边的中点，量得米，若想把四边形用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是（   ） A．12米 B．16米 C．20米 D．24米 5．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为32，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 6．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，是的中位线，点F为的中点，连接并延长交于点G，若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．96 二、填空题 7．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，，，，则的面积为 ． 8．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，D、E分别为上一点，，，与交于点P，则 度． 9．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，点O是的对角线的交点，，的平分线交于点E，与交于点F，，连接．下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有 ． 10．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于、两点；分别以点、为圆心，大于的一半为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，，，则平行四边形的周长为 ． 11．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为 ． 三、解答题 12．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图是某高速公路服务区大货车倾斜式停车位的示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．判断四边形的形状，并求这个停车位的面积． 13．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，且，则的长为 ． 14．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，是的中点，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 15．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，且，求两点之间的距离． 16．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，，，，M是上的一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止．设运动时间为，则： (1)_______，__________．（用含t的代数式表示） (2)是否存在时间t，使得以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 17．（2023-24八年级下·山东济南·期末）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行四边形的性质与判定 题型概览 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02利用平行四边形的性质证明 题型03判断能否构成平行四边形 题型04添一个条件成为平行四边形 题型05证明四边形是平行四边形 题型06利用平行四边形的性质无刻度作图 题型07平行四边形的折叠问题 题型08利用平行四边形的性质与判断综合 ( 题型01 )利用平行四边形的性质求解 1．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：平分交边于点E， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图,在平行四边形中，，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，， 即， ∴， ∴， 故选：． 3．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，点在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，是所在平面内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的长为 ． 【答案】4或 【详解】①如图，若为边，是对角线， 四边形是平行四边形，且，， ， ②若，为边， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ③若，为边， 是平行四边形， ， 故答案为：4或 5．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点分别在和上，且，则四边形的面积是多少 ． 【答案】 【详解】如图，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 与平行，， ， 在与中， ， ≌， 四边形的面积等于面积的一半， ， 作于， ∵为等边三角形， ， 边上的高， 四边形的面积为． 故答案为：． 6．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，中，AE平分，，则等于 ． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 又平分， ， ， 故答案为：． 7．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）在中，是边上的高，，，且，则的面积为 【答案】36或60 【详解】①当E在线段上时，如图1， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴的面积=； ②当点E在的延长线上时，如图2， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴的面积=； 综上所述：的面积为36或60． 故答案为36或60． 8．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，的平分线交于点E，若，， (1)求的度数． (2)求的长度． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， ，， ，， 又∵， ， 平分， ， ． （2）解：由（1）可得， ∴， 又∵在中，， ∴． ( 题型0 2 )利用平行四边形的性质证明 9．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ，， ∴， ∵E ， F 分别为 ，的中点， ∴ ， 为 和 对应边上的中线． ∴． 10．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点E、F，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形，点O是对角线的交点， ∴， ∴， ∵在和中 ∴． 12．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在平行四边形中，、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，且，，． (1)求证：； (2)点、点分别是和的一点，连接经过点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，， ，． ， ，即， 为直角三角形，， ． （2）证明：∵在平行四边形中，对角线与相交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质是解本题的关键. 14．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）已知，在中，，，为垂足． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ． ( 题型0 3 )判断能否构成平行四边形 15．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①一组对边平行，另一组对边不平行，不是平行四边形； ②一组对边平行，另一组对边相等，不能判断其一定是平行四边形； ③一组对边平行且相等，能判断其一定是平行四边形； 根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的只有③， 故选：A． 16．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 17．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，将等腰三角形纸片沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成平行四边形的个数是 ． 【答案】3个 【详解】解：有三种拼法，如图1、2、3， 故答案为：3个． 18．（2023-24八年级下·山东威海·期末）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据，，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 19．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形（如等腰梯形），故选项D符合题意； 故选：D． 20．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形不一定是平行四边形，故该选项符合题意； 故选：D． ( 题型0 4 )添一个条件成为平行四边形 21．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A． ，能使四边形成为平行四边形，故A选项正确，符合题意； B．，不能使四边形成为平行四边形，故B选项错误，不符合题意； C．，，不能使四边形成为平行四边形，故C选项错误，不符合题意； D．，，不能使四边形成为平行四边形，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 22．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； B、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； C、因为，，所以四边形为平行四边形，符合题意； D、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 23．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知添加的条件为， 故选：C． 24．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件 使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加，可以使四边形是平行四边形，理由如下： 连接，与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 25．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）在四边形中，，要使四边形是平行四边形，你可以添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． ( 题型0 5 )证明四边形是平行四边形 26．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 27．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，已知是平行四边形的一条对角线，于M，于N，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：连接交于O． ∵于M，于N， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ，， ∴． ∴． ∴， ∴， 即． ∴四边形是平行四边形． 28．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，；求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：点，，，在同一条直线上，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 即， ， 又， 四边形是平行四边形． 29．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：连接，与交于点O， 四边形为平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 30．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在四边形中，连接，过点B，D分别作的垂线，垂足分别为E，F，且，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：由题意可知，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 31．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：分别是边和上的中线， ∴点，分别是边，的中点， ∵点，分别是线段，的中点． 是的中位线，是的中位线， ∴，且，，且， ∴，且， 四边形是平行四边形， 32．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， （2）证明：由（1）得， ，， ∴ 即 ， 四边形是平行四边形． ( 题型0 6 )利用平行四边形的性质无刻度作图 33．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以、为顶点画一个面积为4的平行四边形； (2)在图②中以、为顶点画一个面积为6的平行四边形； (3)在图③中以、为顶点画一个面积为10的平行四边形．（正方形除外） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图：即为所求（答案不唯一）； （3）解：如图：即为所求． 34．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）尺规作图问题： 如图，在中，P是对角线上一点，连结，请按要求完成下列问题： (1)用无刻度直尺和圆规在边上作点Q，连接，使得．（保留作图痕迹，不必写做法） (2)依据你的作图，请说明成立的理由．（要求写出推理过程） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图：点Q即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形． (1)在图1中，以格点为顶点画一个三边长分别为4、、的三角形； (2)在图2中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为2，一个角是． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【详解】（1）解：下图所示三角形即为所求： 理由如下： 由，， 那么是直角边分别为1和2的斜边，是直角边分别为3和2的斜边， 先利用网格画出直角三角形，其中，，那么，接着由点往下移动三格，得到点，连接，此时，那么，，满足题意； （2）解： 下图所示平行四边形即为所求： 理由如下： 根据网格的特点画出直角边为2的，其中，那么，然后根据网格的特点分别画出、的平行线和，即可满足题意． 36．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个，的三个顶点均与小正方形的顶点重合． (1)在图中画线段．使且（点D与小正方形的顶点重合）； (2)连接．请直接写出四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：连接， 由（1）知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为． ( 题型0 7 )平行四边形的折叠问题 37．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在任意中，折叠三角形，使得点与点A重合，为折痕，连接，下列说法错误的是（    ） A．线段一定垂直平分线段 B．线段可能是的中位线 C．线段一定是的中线 D．线段一定不是的角平分线 【答案】D 【详解】解：A、由折叠的性质得：，，所以一定垂直平分线段，正确，故此选项不符合题意； B、由折叠的性质得：，若，则是的中位线，所以线段可能是的中位线，正确，故此选项不符合题意； C、由折叠的性质得：，所以线段一定是的中线，正确，故此选项不符合题意； D、当时，由折叠的性质得：，根据等腰三角形“三线合一”性质可得线段是三角形的角平分线．所以线段一定不是的角平分线，说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，线段垂直平分线，三角形中位线，三角形中线，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 38．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 39．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠至处，，， ∴为等边三角形， ∴ 又∵四边形为平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点E为的中点， ∴折叠重合部分的面积为：， 故答案为： 40．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，已知，，，，点D为的中点，点E为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，当时， ． 【答案】5 【详解】解：根据画图如下： 沿折叠得到， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，，，， ， 点D为的中点， ， 故答案为：． 41．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． (1)求证：； (2)若，为的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中 ， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵是沿折叠得到， ∴， ∴； 42．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接． (1)证明四边形是平行四边形； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ( 题型0 8 )利用平行四边形的性质与判断综合 43．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上． (1)若，，求的长______． (2)点为的中点，连接，交于点，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图所示，取的中点T，连接，连接 ，， ，， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 44．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，连接对角线，点和点是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：点E和点F是直线上的两点且， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形周长为：． 45．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形， (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形的对角线与相交于点O， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴四边形的面积 46．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，连结对角线，点E和点F是外两点，且在直线上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：点和点是直线上的两点且， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：设点到的距离为， ，，， ， ， ， ， ， ． 47．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)直接写出与的数量关系． (3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形， ∴； （3）解：由（1）得是的中位线， ∴，， ， 点是的中点， ， ∵，， ， 在中，根据勾股定理，， ， 由（1）得四边形为平行四边形， ． 48．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在四边形中，，且，点分别从点同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动．当点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)几秒后四边形是平行四边形？ (2)几秒后四边形是平行四边形？ 【答案】(1)秒 (2)秒 【详解】（1）解：设运动了秒． 根据题意有，，，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：． 秒时四边形是平行四边形． （2）解：， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 秒时，四边形是平行四边形． 49．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)比较与的大小．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：连接 ∵都是等边三角形， ． ． ∴ ． ∵， ． 是等边三角形． ． 四边形是平行四边形． （2）作于． ∴， 在Rt中，， 四边形是平行四边形 ， 又， 又是等边三角形，各边上的高相等都是 ． ． 【点睛】此题考查了等边三角形性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形是关键． 一、单选题 1．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，， 四边形，四边形为平行四边形， ， ， ，， ，， ， 故选：B． 2．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，平分交于点，则的长是（ ）   A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 3．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，连接，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图所示，校园内有一块等边三角形的空地，已知M，N分别是边的中点，量得米，若想把四边形用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是（   ） A．12米 B．16米 C．20米 D．24米 【答案】C 【详解】解：∵M，N分别是边的中点，米， ∴是的中位线， ∴米， ∵是等边三角形， ∴米， ∴米， ∴篱笆的长（米）． 故选：C． 5．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为32，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】解：∵的周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即点O是的中点， ∵点是的中点． ∴，， ∴的周长， 故选：C． 6．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，是的中位线，点F为的中点，连接并延长交于点G，若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．96 【答案】C 【详解】解：如图，取的中点M，连接，，， ∵D是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点M是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴，， 过点作，如图： ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 8．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，D、E分别为上一点，，，与交于点P，则 度． 【答案】135 【详解】解：如图，过点B作，且，连接，， 则， ∵， ∴，． ∴， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵，，， ∴． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：135． 9．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，点O是的对角线的交点，，的平分线交于点E，与交于点F，，连接．下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有 ． 【答案】①②④ 【详解】解：在中， ∵，，平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， 故平分，故②正确； 依据中，， 即可得到，故③错误； ∵是中点，为中点， ∴是的中位线， ∴，， 在中，， ∴， ∴，故④正确； 综上，①②④正确． 故答案为：①②④． 10．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于、两点；分别以点、为圆心，大于的一半为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，，，则平行四边形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得：平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 平行四边形的周长为， 故答案为：． 11．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为 ． 【答案】/17.5 【详解】解：设点A、点B到线段的距离分别为和， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∴，则， 那么，， 设，，则，， ∵， ∴， 则 ， 故答案为：． 三、解答题 12．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图是某高速公路服务区大货车倾斜式停车位的示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．判断四边形的形状，并求这个停车位的面积． 【答案】四边形是平行四边形，这个停车位的面积是 【详解】解∶，， 四边形是平行四边形， 过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， ，， ， ， 在中，根据勾股定理， ， ， 答：四边形是平行四边形，这个停车位的面积是． 13．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，且，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ． （2）解：∵， ∴， ∵平行四边形， ， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， ∴． 14．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，是的中点，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：， ， 在中，， ，， 设，则， ， 解得．即， 是的中点，， ， 四边形为平行四边形， ， 在中， 由勾股定理得． ． 15．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，且，求两点之间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，两点之间的距离为． 16．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，，，，M是上的一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止．设运动时间为，则： (1)_______，__________．（用含t的代数式表示） (2)是否存在时间t，使得以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；或 (2)当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 【详解】（1）解：由题意得，， 当F在M的右侧时，， 当F在M的左侧时，， 故答案为：；或； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， 解得； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上，当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 17．（2023-24八年级下·山东济南·期末）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴，． ∴是的中位线，平分． ∴，． ∴． ∵平分，，， ∴，． 在中，． ∴． 在中，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$