专题03 勾股定理模型（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末好题汇编（山东专用）
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内容正文：
专题03 勾股定理模型
题型概览
题型01折叠模型
题型02赵爽弦图模型
题型03风吹树折模型
题型04筷子模型
题型05最短路径模型
题型06垂美四边形模型
题型07选址距离相等模型
(
题型01
)折叠模型
1．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在中，，，
．
由折叠的性质得，
．
故选：B
2．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：三角形纸片中，，，，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
3．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，点为边上一点，且，点在边上（与不重合），将沿着折叠，使得点的对应点落在边上，则线段的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
，
由翻折的性质可得，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：D．
4．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【详解】解：作于点，交的延长线于点，则，
沿折叠，点落在的直角顶点处，且，，
，，，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：C．
5．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ．
【答案】
【详解】解：四边形是矩形，
，，
是由折叠得到，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
即的长为，
．
故答案为：．
6．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，已知，D为上一点，沿将折叠，C点刚好落在边上的点E处，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：，
，
由折叠得到，
，，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
，
故答案为：．
7．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上．
(1)求的长；
(2)求的周长．
【答案】(1)4
(2)
【详解】（1）解：在中，，，，
，
由折叠得：
，
的长为4；
（2）由翻折得，
，
在中，，
设，则，
，
解得，
，
在中，，
的周长．
8．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）已知，如图折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，如，．求的长．
【答案】
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，，，
∴，
由折叠得：，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
(
题型0
2
)赵爽弦图模型
9．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（ ）
A．4.5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，
∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，，
∴得出，，，
，故，
，
所以，即正方形的面积为．
故选：B
10．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解；由题意得，直角三角形较短的直角边的长度为，
∴，
故答案为：．
11．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）第届国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：由题意可得，，
解得，
∵大正方形的面积是，
∴，
∴
，
∴的值是（负值舍去），
故答案为：．
12．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则的值为 ．
【答案】1
【详解】解：由题意得：，，，，，
∴，
∴的面积为，
的面积为，
∵与的面积相等，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
13．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图是我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，每个直角三角形的短直角边长为，较长直角边为，斜边为．
(1)请你用这个图形验证一下勾股定理；
(2)如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：∵小正方形的边长为，大正方形边长为c，
∴大正方形的面积，
∴；
（2）解：∵大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，
，
，
∴．
(
题型0
3
)风吹树折模型
14．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在一次强台风中，一棵大树在离地面3米处折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树折断前的高度为（ ）
A．8米 B．6米 C．5米 D．3米
【答案】A
【详解】解：由题意可得：米，米，，
由勾股定理可得：米，
∴这棵大树在折断前的高度为米，
故选：A．
15．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，由于台风的影响，一棵高度是的树折断，树顶落在离树干底部处，则这棵树的折断处距地面的高度是 ．
【答案】6
【详解】解：设这棵树的折断处距离地面的高度为，这棵树的折断处距树顶的高度是，
由勾股定理得，
解得，
∴这棵树的折断处距地面的高度是，
故答案为：6．
16．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，一棵高为9的大树被折断后，大树顶端恰好落在离底端3处，则折断处离地面的高度是 ．
【答案】4
【详解】解：设折断处离地面的高度是，
则，
∴，
答：折断处离地面的高度是 ．
故答案为：4
17．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺）
【答案】8
【详解】解：∵一根竹子原来高尺，设折断处离地面的高度为x尺，
∴竹梢到折断处的长度为尺，
依题意得：，
解得：，
∴折断处离地面8尺．
故答案为：8．
18．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺）
【答案】竹子折断处离地面有4.2尺．
【详解】解：设竹子折断处离地面有尺，
由题意得：，，，，
∴，
则：，
解得：．
答：竹子折断处离地面有4.2尺．
(
题型0
4
)筷子模型
19．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大．
当铅笔如图放置时最小．
在中，，
，
．
的取值范围：．
故选：B．
20．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”如图，平静的水面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置，则水的深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意，荷花的高，且水平距离为，
由勾股定理，，
，
．
故选：C．
21．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，当勺子的底端在点时，勺子在水杯内的长度最长，连接，
在中，，
，
，
，
勺子漏出杯子的部分至少为，
故选：A．
22．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（ ）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）
A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13
【答案】D
【详解】解：设尺，则：尺，
由题意，得：尺，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，
即水深为12尺，芦苇长13尺；
故选D．
23．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求．
【答案】
【详解】解：如图，在中，，
根据勾股定理得
．
(
题型0
5
)最短路径模型
24．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，根据题意可知最短距离为，，，
根据勾股定理得：，
蚂蚁爬行的最短距离为，
故选：C．
25．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）一束光线从点发出，经过轴上的点C反射后到达轴上点，则光线从A点到B点经过的路线长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．
【答案】C
【详解】解：如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于点，
作，交轴于点，
则关于轴的对称点坐标是，，，
由光线反射的性质可得：，
，
点三点在同一直线上，
，
，
故光线从点到点所经过的路程．
故选：C
26．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
【答案】A
【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米，
米，（米），
（米），
故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米），
故选：A．
27．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线最短需 ．
【答案】5
【详解】解：如图所示，
∵从点A开始经过4个侧面缠绕1圈到达点B，
∴展开后，，
由勾股定理得：AB＝．
故答案为5．
28．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，半径为1，高为3的圆柱体，一只甲壳虫从点到点，则甲壳虫的最短路程为 ．
【答案】
【详解】解：这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面周长、宽等于圆柱的高3，
如图，由题意得：，，，
则甲壳虫的最短路程为，
故答案为：．
(
题型0
6
)垂美四边形模型
29．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（ ）
A．64 B．32 C．16 D．以上都不对
【答案】B
【详解】解： ∵，
∴四边形的面积；
设，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
当时，四边形的面积最大：32，
∴四边形的最大面积是：32；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数和几何的综合应用．根据题意，正确的列出二次函数的解析式，是解题的关键．
30．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ．
【答案】625
【详解】解：由题意得：，
由勾股定理得，
故答案为：625．
31．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，已知四边形的对角线、互相垂直于点，，，，那么 ．
【答案】/
【详解】解：如下图，过点作于，
∵，，
∴，
∴在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
又∵，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积等知识，熟练运用勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
32．（2023-24八年级下·山东德州·期末）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．
(1)若，，，则 ；
(2)若，，则 ；
(3)若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
【答案】(1)
(2)7
(3)
【详解】（1）解：，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
，
，，，，，
，，
．
故答案为：．
（3）解：由（2）得：，
．
故答案为：．
(
题型0
7
)选址距离相等模型
33．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（ ）
A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米
【答案】B
【详解】解：设，则，
，，，两村到候车点的距离相等，
，
，
，
解得：，
则候车点应距点．
故选：B．
34．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器．
【答案】8
【详解】解：过点作于点N，根据题意，得，
又，
故，
设，
∴，
∴，
∴，
故，
故答案为：8．
35．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．
(1)（______）千米；
(2)煤栈应建在距点多少千米处？
【答案】(1)
(2)千米处
【详解】（1）解：如图，连接，则，
∵，，
∴，
∵千米，
∴千米，
∵，
∴，
解得，
∴千米，
故答案为：；
（2）解：由（）得，千米，
∴煤栈应建在距点千米处．
36．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米?
【答案】312.5米
【详解】解：根据题意得：，，
在直角三角形中，
米，米，
（米），
设米，则米，
在中，，
即，
解得：，
答：该超市C与车站D的距离是312.5米．
37．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？
【答案】站应建在离站处．
【详解】解：，两村到站的距离相等．
，
于，于，
，
，，
，
设，则，
，，
，
解得：，
．
答：站应建在离站处．
38．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，请画出E点位置（要求尺规作图，保留作图痕迹）并求出E站应建在离A站多少千米处？
【答案】作图见解析，站应建在离站处
【详解】解：如图，点E即为所求：
由题意得，使得C，D两村到E站的距离相等，则直线l是的垂直平分线，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则．
∵，
∴，
解得：，
∴．
答：站应建在离点处．
1．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【详解】解：根据题意得：，且，
，
∴，
∴，
故选：A．
2．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，D是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点C落在上的点F处，
∴，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故选：A．
3．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，将长方体侧面展开得，
蚂蚁的爬行的最短路径为的长，
（），
，
蚂蚁的爬行的最短路径为，
故选：C．
4．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，一棵树被雷电击中在C点处折断倒下，点C到树根A的距离3米，树尖B离树根A的水平距离是米，则树原来高度 米．
【答案】9
【详解】解：如图，
是直角三角形，，，
（米），
（米），
故答案为：9．
5．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】25
【详解】解：展开前面和右面，如图：
；
展开左面和上面，如图：
；
展开上面和前面，如图：
；
∵，
∴，
∴需要爬行的最短距离是25，
故答案为：25．
6．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则
【答案】34
【详解】解：四边形为“垂美”四边形，
，
，
在中，，
在中，，
，
在中，，
在中，，
，
故答案为：34．
7．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度．
【答案】芦苇的长度为13尺
【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：，
芦苇的长度（尺），
答：芦苇的长度为13尺．
8．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图所示，铁路上有A，B两点（看作直线上两点）相距，C，D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A，B，，，现在要在铁路旁修建一个检修点E，使得C，D两村到检修点E的距离相等（点A，B，C，D，E在同一平面）．
(1)请用尺规作图，在图中作出检修点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求检修点E应建在距A点多少千米处？
【答案】(1)见解析
(2)16千米
【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，
则点即为所求．
（2）解：连接，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∵两村到检修点的距离相等，
，
解得：．
，
答：检修点应建在距点16千米处．
9．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，
(1)求的长；
(2)求点B到斜边的距离；
【答案】(1)；
(2)点B到斜边的距离为．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：点B到斜边的距离为，
∵，
∴，
答：点B到斜边的距离为．
10．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，公路上A、B两站相距25km，在公路附近有C、D两所学校，于点A，于点B．已知，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？
【答案】
【详解】解：∵使得两村到站的距离相等，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
答：站应建在离站处．
11．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
(1)求公路的长度；
(2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用．
【答案】(1)千米
(2)600万元
【详解】（1）解：∵，千米，千米，
∴千米，
∵千米，
∴千米；
（2）解：∵，
∴，
∴千米
∴修建公路的费用为（万元）．
12．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”
(1)如图1，已知四边形是垂美四边形．若，探究a，b，c，d的数量关系．
(2)如图2，在长方形中，，P是边上一点，且，求的长
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵四边形是“垂美四边形”，
∴，
∴
由勾股定理得，，
∴，即；
（2）解：如图，连接，
设，则，
∵，
∴四边形是“垂美四边形”，
∴
∵四边形是长方形，
∴
∴，
解得：(负值舍去)，
∴．
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专题03 勾股定理模型
题型概览
题型01折叠模型
题型02赵爽弦图模型
题型03风吹树折模型
题型04筷子模型
题型05最短路径模型
题型06垂美四边形模型
题型07选址距离相等模型
(
题型01
)折叠模型
1．（2023-24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点，则长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，点为边上一点，且，点在边上（与不重合），将沿着折叠，使得点的对应点落在边上，则线段的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
5．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ．
6．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，已知，D为上一点，沿将折叠，C点刚好落在边上的点E处，则的长为 ．
7．（2023-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上．
(1)求的长；
(2)求的周长．
8．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）已知，如图折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，如，．求的长．
(
题型0
2
)赵爽弦图模型
9．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（ ）
A．4.5 B．6 C．8 D．9
10．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为 ．
11．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）第届国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，则的值是 ．
12．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则的值为 ．
13．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图是我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，每个直角三角形的短直角边长为，较长直角边为，斜边为．
(1)请你用这个图形验证一下勾股定理；
(2)如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值．
(
题型0
3
)风吹树折模型
14．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在一次强台风中，一棵大树在离地面3米处折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树折断前的高度为（ ）
A．8米 B．6米 C．5米 D．3米
15．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，由于台风的影响，一棵高度是的树折断，树顶落在离树干底部处，则这棵树的折断处距地面的高度是 ．
16．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，一棵高为9的大树被折断后，大树顶端恰好落在离底端3处，则折断处离地面的高度是 ．
17．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺）
18．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺）
(
题型0
4
)筷子模型
19．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”如图，平静的水面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置，则水的深度为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（ ）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）
A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13
23．（2023-24八年级下·山东滨州·期末）如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求．
(
题型0
5
)最短路径模型
24．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A． B． C． D．
25．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）一束光线从点发出，经过轴上的点C反射后到达轴上点，则光线从A点到B点经过的路线长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．
26．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
27．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线最短需 ．
28．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）如图，半径为1，高为3的圆柱体，一只甲壳虫从点到点，则甲壳虫的最短路程为 ．
(
题型0
6
)垂美四边形模型
29．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（ ）
A．64 B．32 C．16 D．以上都不对
30．（2023-24八年级下·山东临沂·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ．
31．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，已知四边形的对角线、互相垂直于点，，，，那么 ．
32．（2023-24八年级下·山东德州·期末）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．
(1)若，，，则 ；
(2)若，，则 ；
(3)若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
(
题型0
7
)选址距离相等模型
33．（2023-24八年级下·山东济宁·期末）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（ ）
A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米
34．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器．
35．（2023-24八年级下·山东日照·期末）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．
(1)（______）千米；
(2)煤栈应建在距点多少千米处？
36．（2023-24八年级下·山东烟台·期末）如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米?
37．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？
38．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，请画出E点位置（要求尺规作图，保留作图痕迹）并求出E站应建在离A站多少千米处？
1．（2023-24八年级下·山东潍坊·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2023-24八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，一棵树被雷电击中在C点处折断倒下，点C到树根A的距离3米，树尖B离树根A的水平距离是米，则树原来高度 米．
5．（2023-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ．
6．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则
7．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度．
8．（2023-24八年级下·山东泰安·期末）如图所示，铁路上有A，B两点（看作直线上两点）相距，C，D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A，B，，，现在要在铁路旁修建一个检修点E，使得C，D两村到检修点E的距离相等（点A，B，C，D，E在同一平面）．
(1)请用尺规作图，在图中作出检修点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求检修点E应建在距A点多少千米处？
9．（2023-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，
(1)求的长；
(2)求点B到斜边的距离；
10．（2023-24八年级下·山东淄博·期末）如图，公路上A、B两站相距25km，在公路附近有C、D两所学校，于点A，于点B．已知，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？
11．（2023-24八年级下·山东菏泽·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
(1)求公路的长度；
(2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用．
12．（2023-24八年级下·山东聊城·期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”
(1)如图1，已知四边形是垂美四边形．若，探究a，b，c，d的数量关系．
(2)如图2，在长方形中，，P是边上一点，且，求的长
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