专题3 勾股定理（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）-2024-2025学年八年级下学期数学人教版八年级下册期末复习登顶手册：三维突破指南

八年级下册期末登顶手册：专题三维突破指南 专题3 勾股定理 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为斜边长为那么.该命题与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理. (1) 勾股定理的使用前提是直角三角形； (2) 已知直角三角形的任意两边长，求第三边的长，此时要弄清哪条边是斜边，哪两条边是直角边，不能确定时，要分类讨论; (3) 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系. 勾股定理只适用于直角三角形，锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明确是在直角三角形中 【例1】（23-24八年级下·云南红河·期末）已知直角三角形的两条边长分别为2和5，则第三边边长为 ． 【变式1-1】（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段练习）已知一个直角三角形的两条边长分别为 和1，则第三边长为（    ） A． B．2 C．或2 D．或4 【变式1-2】（21-22八年级上·江苏南京·期中）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若BC＝9，AB＝15，则AC＝ ． 【例2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）下列各图是以直角三角形三边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数字及字母表示该正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为7和22，则c的面积为 ． 【变式2-2】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 知 识知 点知 2.勾股定理的证明 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法.我国汉代数学家赵爽根据弦图利用面积法对勾股定理进行了证明，这种方法是我国古代数学家常用的“出人相补法”.在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理. 方法 图形 证明 赵爽弦图 因为大正方形的边长为,所以大正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形+4个三角形的面积。所以，即 加菲尔德总统拼图 因为梯形的面积为，面积也可以表示为3个三角形的面积之和。所以，即 毕达哥拉斯拼图 因为大正方形的边长为,所以大正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形+4个三角形的面积。所以，即 总结 以上证法都是通过拼摆图形，运用图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明勾股定理，在解答时应抓住同一个图形面积之间的关系，注意图形变换和数形结合思想的运用。 【例3】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】（23-24八年级下·河北邢台·期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【变式3-2】（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 知 识知 点知 3.勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算题和证明题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意构造直角三角形，作高是常用的构造直角三角形的方法.其主要应用如下： (1)已知直角三角形的任意两边长求第三边长; (2)已知直角三角形的任意一边长及另两边的关系，求另外两边的长； (3)证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题; (4)构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题. 【例4】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙和（即）．一架梯子在走廊上斜靠在左墙时，梯子底端B到左墙的距离，顶端A到地面的距离．（图中所有点均在同一平面内） (1)求梯子的长； (2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙上时，若梯子顶端C距离地面的距离，求该教学楼走廊的宽度的长． 【变式4-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为（即），接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为（即）． (1)请你帮助聪聪判断的形状，并说明理由； (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【变式4-2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 知 识知 点知 4.利用勾股定理作长度为（n是大于1的整数）的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，若要在数轴上直接标岀无理数对应的点则较难.由此.我们可借助勾股定理作直角边长为1的等腰直角三角形，它的斜边长等于。作直角边长分别为的直角三角形，它的斜边长为……类似地，可以作出长（n大于1的整数）的线段 【例5】（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，根据尺规作图痕迹，点在数轴上表示的数是（    ） A． B． C． D．5 【变式5-2】（13-14九年级·浙江温州·周测）如图，长方形中，，，边在数轴上，表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为 ． 第2部分 题型透视镜 题型一 利用勾股定理求线段的长 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，求． 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，是高，若，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，若，． (1)求的长； (2)过点D作，垂足为E，求的长． 【变式1-3】（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，为上一点，连接．    (1)求的长度． (2)若，则的长度是多少？（） 【变式1-4】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图．一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽为，当电脑张角为时，顶部边缘处离桌面的距离为，调整电脑的张角，当张角为（点与点为笔记本顶部边缘同一点）时，顶部边缘处到桌面的距离为，则处与处之间的距离长为 ． 题型二 利用勾股定理求面积 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式2-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，，，．在的上方分别以、、为直径作三个半圆，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【变式2-2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在Rt中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为，．已知，且，则的值为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，． (1)求的面积； (2)求的长． 题型三 利用勾股定理解决生活中的实际问题 【例3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【变式3-1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子以上．如图是某款自带勺子的杯子的简化图，杯身是一个圆柱形杯子的内径是，杯子内侧高度为，则勺子的长度至少为（    ）厘米． A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【变式3-3】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 题型四 利用勾股定理解决折叠问题 【例4】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【变式4-3】（20-21八年级下·北京东城·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 【变式4-4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ． 【变式4-5】（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则 ． 【变式4-6】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为 ． 【变式4-7】（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 题型五 勾股定理的综合问题 【例5】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，，若点在边上移动，则的最小值是 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，等腰三角形的底边为，腰为，一动点Q（与点A，C不重合）在底边上从点C以的速度向点A移动．当动点Q运动了 s时，是直角三角形． 【变式5-3】（2013·江苏盐城·一模）在中，，，若点在边上移动，则的最小值是 ． 【变式5-4】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【变式5-5】（24-25八年级上·山东烟台·期末）长方形中，点E在边上从点D沿的方向移动，若将长方形沿着折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为，连接，若为直角三角形，，，求的长． 题型六 勾股定理应用中的分类讨论 【例6】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，，，点M是射线上一个动点，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C． D．或 【变式6-1】（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 【变式6-2】（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 【变式6-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）在中，，，在射线上一动点D，从点B出发，以1厘米/秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t的值为 秒． 【变式6-4】（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，在中，，，，点和点分别是边上的两动点，点从点开始沿方向运动，速度为每秒，到达点后停止；点从点开始沿的方向运动，速度为每秒，到达点后停止，它们同时出发，设运动时间为秒． (1)当秒时，求的面积； (2)当为何值时，点恰好在边的垂直平分线上； (3)当点在边上运动时，直接写出为等腰三角形时的值． 题型七 勾股定理在立体图形中的应用 【例7】（24-25八年级上·陕西西安·期末）小迅家有一个长，宽，高的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点处出发，想吃到鱼缸顶部处的馒头屑，它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【变式7-2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 【变式7-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为、、，在中点M处有一滴蜜糖，有一只小虫沿盒子表面（每个面均可爬）从G点爬到M点去吃，则最短路线长为 ． 【变式7-4】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 题型八 勾股定理在航海中的应用 【例8】（24-25九年级上·广西玉林·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里 【变式8-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知在灯塔O的北偏东方向9海里处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向海里处有一轮船B，则A，B两船的距离是 海里． 【变式8-2】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【变式8-3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处． (1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号） (2)如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港B处． 题型九 勾股定理与台风问题 【例9】（24-25八年级上·陕西西安·期末）庆庆家附近有一条东西走向的公路，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离为，与这辆宣传车的起始位置B的距离为，且，过点C作于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为的圆形区域内会听到宣传车的声音． (1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； (2)若这辆宣传车的行驶速度为，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 【变式9-1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【变式9-2】（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）如图第4号台风“黑格比”的中心于2022年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（）方向以的速度向D移动在距离B地的正北方有一A地，已知A地到的距离，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？ 题型一十 勾股定理与将军饮马问题 【例10】（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸的距离的长分别为和，且C，D点的距离为，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为 ． 【变式10-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【变式10-2】（21-22八年级下·河南许昌·期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东梅州·期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，分别以边、、向外作正方形，图形中数字或字母表示该正方形的面积，则字母S所代表的正方形的面积是（   ） A．18 B．39 C．194 D．144 3．（2021·陕西西安·一模）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，将连接任意两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能为（    ） A． B． C． D．5 4．（23-24八年级上·福建宁德·阶段练习）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，是的平分线，于E，若，则的周长等于(   ) A． B． C． D． 6．（21-22八年级上·江苏苏州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 7．（21-22八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系内，点到原点的距离是（    ） A．2 B．3 C． D．2或3 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为 ． 10．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米，那么梯子的底部向外滑出 米（其中梯子从位置滑到位置） 11．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为丈（丈尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是尺，根据题意，可列方程为 ． 12．（17-18八年级下·全国·课后作业）已知直角三角形的周长是，斜边长为2，则它的面积为 . 三、解答题 13．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，求斜边上的高的长． 14．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1cm．请在网格内绘制一个三角形 ，三边长分别为cm，cm，cm，并求此三角形的面积. 15．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，求BC的长． 提高训练场 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，D是上一动点，则的长度不可能为（　　） A．5 B．12 C．13 D．15 2．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图摆放的三个正方形，S表示面积，则S＝（    ）    A．10 B．500 C．300 D．30 3．（21-22八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，是直角三角形，点C表示﹣2，且AC=3AB=3，若以点C为圆心，以CB为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河南洛阳·阶段练习）小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ） A．16m B．20m C．24m D．28m 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·河北·期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（  ） A． B． C． D． 8．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（     ） A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2 二、填空题 9．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）在中，已知，，，所对的边分别为a，b，c．若，，则的面积为 ． 10．（11-12八年级上·辽宁大连·单元测试）如图在等腰中，，，平分交于，于，若，则的周长等于 ． 11．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，现以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点，则线段的长为 ． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是 ． 三、解答题 13．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）（1）在网格中画，使、、三边的长分别为、、 （2）判断三角形的形状:    (直接填结论)． （3）求的面积． 14．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，，求CD、BD的长． 15．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，有两条公路相交成角，沿公路方向离O点处有一所学校A，当重型卡车P沿道路方向行驶时，在以P为圆心，以内（包括）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路方向行驶的速度为，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． (1)求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． (2)求卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：专题三维突破指南 专题3 勾股定理 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为斜边长为那么.该命题与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理. (1) 勾股定理的使用前提是直角三角形； (2) 已知直角三角形的任意两边长，求第三边的长，此时要弄清哪条边是斜边，哪两条边是直角边，不能确定时，要分类讨论; (3) 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系. 勾股定理只适用于直角三角形，锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明确是在直角三角形中 【例1】（23-24八年级下·云南红河·期末）已知直角三角形的两条边长分别为2和5，则第三边边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况，①当5为斜边，②5不是斜边时，分别根据勾股定理求出第三边边长即可． 【详解】解：分两种情况： ①当5为斜边时，第三边边长为； ②当5不是斜边时，第三边边长为； 综上所述，第三边边长是或， 故答案为：或． 【变式1-1】（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段练习）已知一个直角三角形的两条边长分别为 和1，则第三边长为（    ） A． B．2 C．或2 D．或4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，分两种情况：边长为和1的两条边都是直角边，边长的边为斜边，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当边长为和1的两条边都是直角边时， 第三边长为：； 当边长的边为斜边时， 第三边长为：， 故第三边长为或2， 故选C． 【变式1-2】（21-22八年级上·江苏南京·期中）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若BC＝9，AB＝15，则AC＝ ． 【答案】12 【分析】根据题意可得：为直角三角形的斜边，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵∠C＝90°， ∴为直角三角形的斜边， ∵BC＝9，AB＝15， 则由勾股定理得： ． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）下列各图是以直角三角形三边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数字及字母表示该正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据勾股定理可知以直角三角形的三边为边长分别作三个正方形，两个正方形的面积和等于最大正方形的面积，逐个判断答案即可． 【详解】解：因为，所以A不符合题意； 因为，所以B不符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D符合题意． 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为7和22，则c的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可得c的面积b的面积a的面积即可得到答案． 【详解】解：如图， 三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，即， 根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积． 故答案为：． 【变式2-2】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，图中，…分别表示对应正方形的面积，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，利用直角三角形的边长与正方形的面积的关系，结合勾股定理计算判断即可． 【详解】如图，设面积分别，…的正方形的边长分别为， 则， 根据题意，得， ∴， 故A正确； 同理可证，，， ∴，， 故B，D正确； 无法证明， 故不一定成立，符合题意， 故选C． 知 识知 点知 2.勾股定理的证明 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法.我国汉代数学家赵爽根据弦图利用面积法对勾股定理进行了证明，这种方法是我国古代数学家常用的“出人相补法”.在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理. 方法 图形 证明 赵爽弦图 因为大正方形的边长为,所以大正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形+4个三角形的面积。所以，即 加菲尔德总统拼图 因为梯形的面积为，面积也可以表示为3个三角形的面积之和。所以，即 毕达哥拉斯拼图 因为大正方形的边长为,所以大正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形+4个三角形的面积。所以，即 总结 以上证法都是通过拼摆图形，运用图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明勾股定理，在解答时应抓住同一个图形面积之间的关系，注意图形变换和数形结合思想的运用。 【例3】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案． 【详解】∵， ∴. 所以图1，3符合题意； ∵图形的面积表示为：，， ∴， 所以图2符合题意． 图4不能验证勾股定理． 所以符合题意的有3个． 故选：C． 【变式3-1】（23-24八年级下·河北邢台·期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的S相等，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，延长交于G， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ， 根据面积相等可以得到，即，故C选项错误，符合题意． 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， (3)9 【分析】（1）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示； （2）由5个小正方形组成的十字形纸板得，拼成的大正方形边长应为，由此可得出要沿宽为1，长为2的长方形对角线剪开，才能形成边长为，然后沿垂直于该对角线的一端点再剪一刀，形成虚线部分的三块，分别将这三块放在实线部分，这样就形成了四个边长为，且有一个角的四边形即符合题意要求的正方形； （3）依据题意，过B作交的延长线于点，先证明，从而，再由是的中点，可得，故，又，可得，取的中点为，的中点为，连，构造中位线，证出，，进而可证出得到，最后结合，求出后即可判断得解． 【详解】（1）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则 ， 又， ， ． （2）由题意，把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，可拼成一个大正方形． ， （3）由题意，过B作交的延长线于点G，取的中点为，的中点为，连， ， ， ， ． ． 又，， ． ． 又是的中点， ． ． ， ， 的中点为，的中点为， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方式、 全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题时要熟练掌握并能读懂题意，找出关键图形是关键． 知 识知 点知 3.勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算题和证明题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意构造直角三角形，作高是常用的构造直角三角形的方法.其主要应用如下： (1)已知直角三角形的任意两边长求第三边长; (2)已知直角三角形的任意一边长及另两边的关系，求另外两边的长； (3)证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题; (4)构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题. 【例4】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙和（即）．一架梯子在走廊上斜靠在左墙时，梯子底端B到左墙的距离，顶端A到地面的距离．（图中所有点均在同一平面内） (1)求梯子的长； (2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙上时，若梯子顶端C距离地面的距离，求该教学楼走廊的宽度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键； （1）在中，由勾股定理计算出即可； （2）在中，由勾股定理计算出，即可求出结论． 【详解】（1）解：， ， 在中，，， ； （2）解：在中，，， ， ． 【变式4-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为（即），接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为（即）． (1)请你帮助聪聪判断的形状，并说明理由； (2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【答案】(1)等腰三角形；理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理. （1）由题意可得，因此，根据等角对等边即可得出答案； （2）根据含角的直角三角形的性质，可得， 在中，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）由（1）可知， ∴， ∴， 在中，米． 【变式4-2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 知 识知 点知 4.利用勾股定理作长度为（n是大于1的整数）的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，若要在数轴上直接标岀无理数对应的点则较难.由此.我们可借助勾股定理作直角边长为1的等腰直角三角形，它的斜边长等于。作直角边长分别为的直角三角形，它的斜边长为……类似地，可以作出长（n大于1的整数）的线段 【例5】（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，根据尺规作图痕迹，点在数轴上表示的数是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图、数轴上两点之间的距离、勾股定理、数轴与实数等知识，理解并掌握勾股定理的应用是解题关键．根据题意，可知，，，，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 根据题意，可知，，， ∴， ∴，即点在数轴上表示的数是． 故选：B． 【变式5-2】（13-14九年级·浙江温州·周测）如图，长方形中，，，边在数轴上，表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，表示的数为， ∴，， ∴， ∴点表示点数为． 故答案为：． 第2部分 题型透视镜 题型一 利用勾股定理求线段的长 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识及计算方法是关键． 如图所示，过点作于点，在中由含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的计算得到，在中可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，是高，若，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查含30度的直角三角形，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，若，． (1)求的长； (2)过点D作，垂足为E，求的长． 【答案】(1)8 (2)3 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质： （1）勾股定理进行求解即可； （2）根据角平分线的性质结合等积法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）∵的平分线交于点D，，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 【变式1-3】（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，为上一点，连接．    (1)求的长度． (2)若，则的长度是多少？（） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记这些性质是解题的关键． （1）利用直角三角形中30度角所对边的长是斜边的一半即可求解； （2）先利用勾股定理求出，再根据，得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：∵在中，，， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式1-4】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图．一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽为，当电脑张角为时，顶部边缘处离桌面的距离为，调整电脑的张角，当张角为（点与点为笔记本顶部边缘同一点）时，顶部边缘处到桌面的距离为，则处与处之间的距离长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理分别求出、的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意得：，，，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 题型二 利用勾股定理求面积 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，，，．在的上方分别以、、为直径作三个半圆，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算、圆面积的计算，解题关键是找出各个图形之间的关系，求出．先由勾股定理得，再由直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积，即可得出． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在Rt中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为，．已知，且，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查正方形的面积以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出的长，再由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故答案为：25． 【变式2-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）过点作的垂线交的延长线于点，则．易得，利用三角形的面积公式即可得解； （2）在中，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）过点作的垂线交的延长线于点，则， ， ． ． ， 根据勾股定理得： ． ． （2）在中，， ，，， ． 题型三 利用勾股定理解决生活中的实际问题 【例3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 【变式3-1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子以上．如图是某款自带勺子的杯子的简化图，杯身是一个圆柱形杯子的内径是，杯子内侧高度为，则勺子的长度至少为（    ）厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．当勺子的底端在点时，勺子的长度最长．然后根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，当勺子的底端在点时，勺子的长度最长， 在中，，， ∴， 所以勺子的长度至少为． 故选：D． 【变式3-2】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米 (2)小华先到达C地 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过D作于E；分别在，中利用勾股定理求出，即可求得结果； （2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得，即可求得；比较即可谁先到达C地． 【详解】（1）解：如图，连接，过D作于E； 由题意得：； 在中，则， ， 由勾股定理得：， 米； 则米； 在中，， 则米，由勾股定理得：米， (米)； （2）解：由（1）的计算知，米， 米； 由题意得分别在东南方向、西南方向，则， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地． 【变式3-3】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长是解题关键． 求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】解：在中，； 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 题型四 利用勾股定理解决折叠问题 【例4】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案． 【详解】解：∵在，，，， ∴， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：A 【变式4-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是翻折的性质和勾股定理的应用．设，则，由翻折的性质可知，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由翻折的性质可知：， ∵点D是的中点， ∴． 在中，由勾股定理可知：， 即， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 设， ∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为， ∴， ∵， 在中，，即 解得： 即线段的长为 故选：B． 【变式4-3】（20-21八年级下·北京东城·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断；设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 是由折叠得到， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即的长为， ． 故答案为：． 【变式4-4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ． 【答案】6或2 【分析】分两种情况讨论，一是，则，求得，得到；二是，则，所以，由折叠得，则，所以，根据勾股定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴； 如图2，，设垂足为点H，则， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为6或2， 故答案为：6或2． 【点睛】此题重点考查勾股定理、平行线的判定与性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正解地进行分类讨论是解题的关键． 【变式4-5】（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则 ． 【答案】 【分析】在中，根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，利用邻补角互补可得，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理可得： ， 由折叠的性质可得：，，， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解一元一次方程，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握勾股定理与折叠问题是解题的关键． 【变式4-6】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，根据性质得出相应量的值是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在中， ∵将长方形纸片沿折叠， ∴，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【变式4-7】（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 题型五 勾股定理的综合问题 【例5】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作，交于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 则． 根据勾股定理，得． 在中，． 故选：A． 【变式5-1】（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，，若点在边上移动，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、勾股定理以及垂线段的性质，利用等面积法求得的长是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，首先由等腰三角形三线合一可知，在中，由勾股定理可求得，然后利用等面积法即可求得的长，根据垂直线段最短，可得当时，的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ∵，， ， 在中，， 由三角形的面积公式可知：，即：， ． 根据垂直线段最短，可得当时，的值最小，所以的最小值是． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，等腰三角形的底边为，腰为，一动点Q（与点A，C不重合）在底边上从点C以的速度向点A移动．当动点Q运动了 s时，是直角三角形． 【答案】2或 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作， ， ，， 当点运动到与点重合时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为（秒）； 当时，设， ， 又， ， ， ， 所以运动时间为（秒）； 综上可得：当运动2秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：2或． 【变式5-3】（2013·江苏盐城·一模）在中，，，若点在边上移动，则的最小值是 ． 【答案】4.8 【分析】本题考查了等腰三角形、勾股定理及三角形的面积的知识，特别是利用面积相等的方法求一边上的高的方法一定要掌握．作边上的高，利用等腰三角形的三线合一的性质求，利用勾股定理求得的长，利用面积相等即可求得边上的高的长． 【详解】解：如图，作于点，作于点， 根据题意得此时的值最小； ，， ， 由勾股定理得：， 得： 故答案为4.8． 【变式5-4】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【变式5-5】（24-25八年级上·山东烟台·期末）长方形中，点E在边上从点D沿的方向移动，若将长方形沿着折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为，连接，若为直角三角形，，，求的长． 【答案】的长为或． 【分析】如图，当在上，时，证明三点共线，， 求解，可得，当在上时，，延长交于点，同理可得：，，，设，则，利用勾股定理建立方程，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，当在上，时， ∵长方形，结合对折； ∴，，，，， ∴三点共线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在上时，，延长交于点， 同理可得：，，， 设，则， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程，清晰的分类讨论是解本题的关键． 题型六 勾股定理应用中的分类讨论 【例6】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，，，点M是射线上一个动点，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定和性质以及勾股定理，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 根据题意，分情况讨论或分别为直角时，的长即可求解； 【详解】解：分两种情况： 当时，如图： ， ， ； 当时，如图： ， ， 在中，由勾股定理得， 即 ， ， ； 综上所述，的长为 或； 故选：D 【变式6-1】（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据折叠的性质，分类讨论：如图所示，时，是直角三角形，可得是等边三角形；如图所示，，是直角三角形，，；由等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在，，，，， ∴，， ∴， 如图所示，时，是直角三角形， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图所示，，是直角三角形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或 ． 【变式6-2】（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当时，由三线合一可得，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当时，作于点，利用邻补角互补可得，由轴对称的性质可得，利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据即可求出的长；综上，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时， 如图， ， ，， ， ， ， 由轴对称的性质可得：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当时， 如图，作于点， ， ， ， 由轴对称的性质可得： ， ， ， ， ， ； 综上，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，轴对称的性质，线段的和与差，解一元一次方程，垂线的性质，利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式6-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）在中，，，在射线上一动点D，从点B出发，以1厘米/秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t的值为 秒． 【答案】，或 【分析】求出当是等腰三角形时的长，用其除以点D运动的速度即可，注意分情况讨论．此题考查勾股定理，等腰三角形的定义和性质，分情况讨论和用勾股定理列方程是关键． 【详解】解：分三种情况： 如下图1所示，当时． ∵， ∴， 又， 在中，由勾股定理得 ， 解得； 除以点D运动的速度得所用时间t为秒； 如下图2所示，当时． ∴， 除以点D运动的速度得t为秒； 如下图3所示，当时． ∵， ∴， ∴， 除以点D运动的速度得t为秒． 综上所述，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，D所用时间t为秒、秒或秒． 故答案为：，或． 【变式6-4】（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，在中，，，，点和点分别是边上的两动点，点从点开始沿方向运动，速度为每秒，到达点后停止；点从点开始沿的方向运动，速度为每秒，到达点后停止，它们同时出发，设运动时间为秒． (1)当秒时，求的面积； (2)当为何值时，点恰好在边的垂直平分线上； (3)当点在边上运动时，直接写出为等腰三角形时的值． 【答案】(1) (2)当时，点P恰好在边的垂直平分线上； (3)t的值是11或12或． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，方程思想及分类讨论思想等知识． （1）由三角形的面积公式即可解答； （2）可得，，在中，得到，可求出； （3）用t表示出，利用等腰三角形的性质可分，和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）解：当时，，， ∵， ∴， ∵， ∴的面积； （2）解：如图1，连接， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， 即当时，点P恰好在边的垂直平分线上； （3）解：∵，，， ∴， ①当时，如图2， ∴； ②时，如图3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图4，过点C作于D，则， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当点Q在边上运动时，为等腰三角形时t的值是11或12或． 题型七 勾股定理在立体图形中的应用 【例7】（24-25八年级上·陕西西安·期末）小迅家有一个长，宽，高的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点处出发，想吃到鱼缸顶部处的馒头屑，它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度． 由于鱼缸是无盖的长方体，因此画出展开图，由勾股定理得． 【详解】解：因为是鱼缸是无盖的长方体， 所以由题意得，画出展开图： ∴由勾股定理得：， 故选：A． 【变式7-1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 【变式7-2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，最短路径问题，勾股定理，先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可． 【详解】、 解：圆柱的展开图如图： 根据题意，，，， ∴， 即蚂蚁需要爬行的最短路程是， 故答案为：15． 【变式7-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为、、，在中点M处有一滴蜜糖，有一只小虫沿盒子表面（每个面均可爬）从G点爬到M点去吃，则最短路线长为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：①如图1，连接， 在中，，， 由勾股定理得：， 此时； ②如图2，连接， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴； 如图3， 在中，，， 由勾股定理得：； ， 从处爬到处的最短路程是， 故答案为：． 【变式7-4】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1)A (2)20 (3) (4)10 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍； （4）如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为； （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为． 题型八 勾股定理在航海中的应用 【例8】（24-25九年级上·广西玉林·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里 【答案】D 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据方位角可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 故选：D ． 【变式8-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知在灯塔O的北偏东方向9海里处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向海里处有一轮船B，则A，B两船的距离是 海里． 【答案】 【分析】本题主要考查的是方向角问题及勾股定理，根据方向角得到直角，结合勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，，，， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则（小时），即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 【变式8-3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处． (1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号） (2)如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港B处． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】此题主要考查了30度直角三角形的性质，勾股定理的应用． （1）作，先根据30度直角三角形求出，根据等腰直角三角形的性质求出； （2）求出海里，再根据路程速度时间与7比较即可得到结论． 【详解】（1）解：过点P作于C， 在中，， ∴（海里）， 在中，， ∴（海里）， ∴（海里）， 答：B处距离灯塔P有海里； （2）解：∵海里，，（海里）， ∴（海里）， ∴海里， ∵轮船的航速是每小时20海里， ∴， ∴轮船能在台风到来前赶到避风港B处． 题型九 勾股定理与台风问题 【例9】（24-25八年级上·陕西西安·期末）庆庆家附近有一条东西走向的公路，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离为，与这辆宣传车的起始位置B的距离为，且，过点C作于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为的圆形区域内会听到宣传车的声音． (1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； (2)若这辆宣传车的行驶速度为，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 【答案】(1)监测点与宣传车的起始位置之间的距离为500 (2)庆庆家能听到8min的宣传车声音 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据的面积求得，以为圆心，长为半径画弧，交于点，，则当时，正好能听到宣传车的声音．根据勾股定理求得的长，进而得到的长，即可求出听到宣传车声音的时间． 【详解】（1）解：，，， ． 答：监测点与宣传车的起始位置之间的距离为． （2）解：，， ， ， ． 如图，以为圆心，长为半径画弧，交于点，， 则当时，正好能听到宣传车的声音． 在中， ， ． 宣传车的行驶速度为， ． 答：庆庆家能听到的宣传车声音． 【变式9-1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 【变式9-2】（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）如图第4号台风“黑格比”的中心于2022年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（）方向以的速度向D移动在距离B地的正北方有一A地，已知A地到的距离，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？ 【答案】小时 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理， （） 则台风中心经过小时从B点移到D点 题型一十 勾股定理与将军饮马问题 【例10】（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸的距离的长分别为和，且C，D点的距离为，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为 ． 【答案】3.4 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作A点关于河岸的对称点，过作交延长线于，设饮水点为P，连接，则当三点共线时，最小，即最小，最小值为，由平行线间间距相等可得，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：作A点关于河岸的对称点，过作交延长线于，设饮水点为P，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为， 由平行线间间距相等可得， ∴， ∴， ∴牧童最少要走的距离为 故答案为：． 【变式10-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，构造直角三角形，、利用勾股定理求出结果． 【详解】解：如下图所示，将圆柱的侧面展开， 则有，，， 作点关于的对称点，作交的延长线于点， 则，， ， 故答案为： ． 【变式10-2】（21-22八年级下·河南许昌·期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算． 【答案】画图见详解，牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km． 【分析】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD．根据题意可知：牧童的行走路线为AF+BF，根据A点关于河岸l的对称点为D，可得AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，根据题意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD． 【详解】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD，如图： ∵牧童先由A点去河边，再从河边直接返回家中， ∴牧童的行走路线为AF+BF， ∵A点关于河岸l的对称点为D， ∴AF=DF， ∴AF+BF=DF+BF， 即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD， ∵A点距离河岸l为4km， ∴AD=4×2=8（km）， ∵AC=7km， ∴DC=AD+AC=8+7=15（km）， 根据题意可知∠C=90°，BC=8km， ∴△BCD是直角三角形， ∴， 答：牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出图形，找到最短回家路线是解答本题的关键． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东梅州·期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，分别以边、、向外作正方形，图形中数字或字母表示该正方形的面积，则字母S所代表的正方形的面积是（   ） A．18 B．39 C．194 D．144 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 直接利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，, ∴ ∴S所代表的正方形的面积是144， 故选：D． 3．（2021·陕西西安·一模）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，将连接任意两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据“格点线”的含义，利用勾股定理判断每个选项是否等于两个数是整数的平方和的平方根即可． 【详解】A．不能写成两个数是整数的平方和的平方根，所以不可能是“格点线”的长度，故该选项符合题意． B．，所以可以是“格点线”的长度，故该选项不符合题意． C．，所以可以是“格点线”的长度，故该选项不符合题意． D．，所以5可以是“格点线”的长度，故该选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是理解“格点线”的含义． 4．（23-24八年级上·福建宁德·阶段练习）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧， ∴． 故选：B． 5．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，是的平分线，于E，若，则的周长等于(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质定理、勾股定理，证明是解题的关键． 由角平分线的性质得到，再证明，即可得到的周长． 【详解】∵平分， ∴， 由勾股定理得： ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是. 故选A 6．（21-22八年级上·江苏苏州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据小正方形的面积为5可得（a-b）2= a2-2ab+b2=5，再根据（a+b）2＝21可得a2+2ab+b2=21，从而可得大正方形的面积为a2+b2=13． 【详解】解：如图所示： ∵（a+b）2=21， ∴a2+2ab+b2=21①， ∵小正方形的面积为5， ∴（a-b）2= a2-2ab+b2=5②， ①+②得：2a2+2b2=26， ∴大正方形的面积为a2+b2=13， 故选：A． 【点睛】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，勾股定理．能正确表示大正方形和小正方形的面积是解题关键． 7．（21-22八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系内，点到原点的距离是（    ） A．2 B．3 C． D．2或3 【答案】C 【分析】利用勾股定理计算判断． 【详解】∵点， ∴点到原点的距离是=， 故选C． 【点睛】本题考查了点到原点的距离，熟练运用勾股定理是解题的关键． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 二、填空题 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为 ． 【答案】2 【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，    所以BC即为河水深度，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：BC=2（m）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 10．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米，那么梯子的底部向外滑出 米（其中梯子从位置滑到位置） 【答案】0.8 【分析】本题考查的了勾股定理的实际应用，找出题目中隐含的直角三角形是解题的关键．先求梯子原先顶部的高度，然后求出梯子下滑后顶部的高度，最后利用勾股定理求出下滑后梯子底部到建筑物的距离即可解答本题． 【详解】解：在中， 根据勾股定理，可求得： ， 现在梯子的顶部滑下0.4米，即（米）， 在中，（米）， （米）， 梯子的底部向外滑出的距离为（米）， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为丈（丈尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是尺，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】设这个水池的深度是尺，则这根芦苇的长度是，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：设这个水池的深度是尺，则这根芦苇的长度是，根据题意得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 12．（17-18八年级下·全国·课后作业）已知直角三角形的周长是，斜边长为2，则它的面积为 . 【答案】 【详解】试题解析：设两直角边分别为a、b，斜边为c， ∵直角三角形的周长是2+，斜边长2， ∴a+b+c=2+，a+b=， 又∵c2=a2+b2=4， ∴ab=1， ∴S=ab=． 故答案为． 三、解答题 13．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，求斜边上的高的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理直接计算即可求得，再根据等积法计算即可求得，熟练掌握勾股定理及三角形的面积公式是解决本题的关键． 【详解】解：在中， 因为，，， 所以， 所以． 因为为边上的高， 所以， 所以． 14．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1cm．请在网格内绘制一个三角形 ，三边长分别为cm，cm，cm，并求此三角形的面积. 【答案】3.5（cm） 【分析】根据勾股定理画出图形即可，用割补法求出△DEF的面积即可． 【详解】如图所示． 如图△DEF为所求. S△DEF==3.5（cm）． 【点睛】本题考查的是勾股定理以及三角形的面积．熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 15．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，求BC的长． 【答案】10cm 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式求出AB，根据勾股定理求出BC． 【详解】解：∵DE是BC边上的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∵△ABD的周长为14， ∴AB+AD+BD＝14， ∴AB+AD+DC＝AB+AC＝14， ∴AB＝14﹣8＝6， 由勾股定理得，BC10（cm）． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 提高训练场 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，D是上一动点，则的长度不可能为（　　） A．5 B．12 C．13 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，勾股定理，根据勾股定理求出，结合垂线段最短可得，进而可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵D是上一动点， ∴， ∴的长度不可能为15． 故选：D． 2．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图摆放的三个正方形，S表示面积，则S＝（    ）    A．10 B．500 C．300 D．30 【答案】D 【详解】如图，由题意可知，BD=BE，∠DAB=∠ABE=∠BCE=90°， ∴∠ADB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°， ∴∠ADB=∠CBE， ∴△ABD≌△CEB， ∴AB=CE， ∵在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2， ∴BD2=AD2+CE2， ∵S=BD2，S1=CE2，S2=AD2， ∴S=S1+S2=10+20=30. 故选D.    3．（21-22八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，是直角三角形，点C表示﹣2，且AC=3AB=3，若以点C为圆心，以CB为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点M表示的数为m，先根据AC、AB的长求出BC的长，即为圆的半径为，再列式即可求出m的值． 的值． 【详解】解：设点M表示的数为m， ∵AC =3AB=3， ∴AB =1，AC =3， 而△ABC是直角三角形，由勾股定理得 ， 当以点C为圆心，CB为半径画弧时， ， ∴， ∴， 由图可知A点表示的数为1， 故A，M两点间的距离为：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是用勾股定理与无理数，数轴上两点间的距离，理清题意，正确表达两点间的距离是解题的关键． 4．（23-24八年级下·河南洛阳·阶段练习）小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（    ） A．16m B．20m C．24m D．28m 【答案】C 【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【详解】解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米， 在Rt△ABC中，BC=10米， 由勾股定理得：AB2+BC2=AC2， ∴x2+102=（x+2）2， 解得：x=24， ∴AB=24． ∴旗杆的高24米， 故选：C． 【点睛】本题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理列出方程． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再由得出，则，，设，则，再利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵长方形中，，， ∴， ∵将沿折叠，点B落在处，与交于E， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 6．（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 7．（23-24八年级下·河北·期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半， 作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF=A'B=20cm， 延长BG，过A'作A'D⊥BG于D， ∵AE=A'E=DG=4cm， ∴BD=16cm， Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D= ∴则该圆柱底面周长为24cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 8．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（     ） A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2 【答案】A 【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系． 【解答】解：设EF＝x，DF＝y， ∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线， ∴点F为△ABC的重心，AE＝AC＝b，BD＝a， ∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x， ∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°， 在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，① 在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，② 在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③ ②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④ ①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理． 二、填空题 9．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）在中，已知，，，所对的边分别为a，b，c．若，，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理的应用，先得到，结合，可得，求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为： 10．（11-12八年级上·辽宁大连·单元测试）如图在等腰中，，，平分交于，于，若，则的周长等于 ． 【答案】10 【分析】先由勾股定理求出AC=BC=，再证DE=BE,然后证△ACD≌△AED（AAS），得AE=AC=，CD=DE，所以CD=DE =BE=AB-AE=10-5，即可由△BDE的周长=DE+BE+BD求解． 【详解】解：，，AB=10， ∴AC=BC=，∠B=45°, ∵ ∴∠AED=90°， ∴∠BED=∠B=45°, ∴DE=BE, ∵平分交于， ∴∠CAD=∠DAE， ∵ ∴∠C=∠AED=90°， ∵AD=AD， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AE=AC=，CD=DE， ∴CD=DE =BE=AB-AE=10-5， ∴BD=BC-CD=-（10-5）=10-10， ∴△BDE的周长=DE+BE+BD=10-5+10-5+10-10=10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，现以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练应用勾股定理是解题的关键． 由题意可知，在中根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵以的长为半径画弧，交线段于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】设，由题意得， ，，， ∴四边形是长方形， ∴，即， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：26． 三、解答题 13．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）（1）在网格中画，使、、三边的长分别为、、 （2）判断三角形的形状:    (直接填结论)． （3）求的面积． 【答案】（1），（2）锐角三角形，（3）3.5. 【分析】利用勾股定理，构造三角形无理数的边长，在网格图中用割补法求面积. 【详解】解：（1） （2）锐角三角形， （3） 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理、勾股定理逆定理等知识，正确求出三角形面积是解题关键． 14．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，，求CD、BD的长． 【答案】CD的长为，BD的长为 【分析】在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求出CD，在Rt△BCD中，利用勾股定理列式计算即可求出BD． 【详解】解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ADC和△BDC是直角三角形， 在Rt△ACD中，， ∴， 在Rt△BCD中，， ∴， 答：CD的长为，BD的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键． 15．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，有两条公路相交成角，沿公路方向离O点处有一所学校A，当重型卡车P沿道路方向行驶时，在以P为圆心，以内（包括）会受到卡车噪声的影响，若已知卡车P沿道路方向行驶的速度为，且卡车与学校A的距离越近，噪声影响越大． (1)求对学校A的噪声影响最大时卡车与学校的距离． (2)求卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 【答案】(1) (2)24秒 【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质： （1）作于D，求出的长，即可解决问题． （2）如图以A为圆心为半径画圆，交于B、C两点，求出的长，利用时间、路程、速度的关系计算即可． 【详解】（1）解：作于D， ∵， ∴， 即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离． （2）解：如图，以A为圆心为半径画圆，交于B、C两点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵卡车P沿道路方向行驶的速度为， ∴卡车经过的时间秒， 答：卡车P沿道路方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为24秒． 学科网（北京）股份有限公司 $$