专题2 二次根式的运算（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）-2024-2025学年八年级下学期数学人教版八年级下册期末复习登顶手册：三维突破指南

八年级下册期末登顶手册：专题三维突破指南 专题2 二次根式的运算 第一部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.二次根式的乘法法则 一般地，二次根式的乘法法则是 (1) 此法则可推广到多个二次根式相乘的情况： (2) 当二次根式的系数不为1时，可类比单向式与单项式相乘的法则，如 (3) 运用法则进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略被开方数制均为非负数. (4) 当与可以化简时，一般先化简再相乘，但对相乘后乘积为完全平方数的情况可以先相乘再化简. 二次根式相乘，被开方数中有开得尽方的因数或因式时一定要开方. 【例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）给出下列4个算式：（1）；（2）；（3）；（4）；其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘除法．根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，然后选择正确选项． 【详解】解：（1），原计算错误； （2），原计算错误； （3），原计算正确； （4），原计算错误． 正确的只有（3）． 故选：C． 【变式1-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故原式计算错误，不符合题意； B、，故原式计算错误，不符合题意； C、，故原式计算错误，不符合题意； D、，故原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）利用二次根式乘法计算即可； （2）把根号外的系数相乘，被开方数相乘，再化为最简二次根式即可； （3）利用二次根式乘法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式乘法运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘法法则进行计算． （2）依据二次根式乘法法则，先计算系数的乘积，再计算根式的乘积． （3）按照从左到右的顺序，连续运用二次根式乘法法则进行运算． （4）先将带分数化为假分数，再根据二次根式乘法法则计算． （5）先计算系数的乘积，再计算根式的乘积，最后化简． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 知 识知 点知 2.二次根式乘法法则的逆用 即积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积.利用它可以进行二次根式的化简. (1)公式中的a，b;既可以是数，也可以是代数式，但必须都是非负的. (2)在进行二次根式的化简时，将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外. (3)此公式可以推广到含有多个非负因式(或因数）的形式，即. 在逆用二次根式的乘法法则进行化简时，一要注意公式中的限制条件；二要注意被开方数一定是乘积的形式，不要出现这样的错误；三要注意被开方数中有两个负因数相乘时，要先去掉负号，再进行化简. 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)20 (2)9 (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的运算，正确运用二次根式乘法法则是解题关键． （1）先将积的二次根式转化为二次根式的积，再进行化简即可； （1）先将积的二次根式转化为二次根式的积，再进行化简即可； （3）先将积的二次根式转化为二次根式的积，再进行化简即可； （4）先将积的二次根式转化为二次根式的积，再进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 （4）解：原式 ． 【变式2-1】（2025八年级下·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)36 (2) (3)12 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和二次根式的性质化简． （1）根据二次根式的乘法的性质计算可求解； （2）将50化为，再开方可求解； （3）将被开方数利用平方差公式化简为，再开方计算可求解； （4）根据二次根式的性质化简可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 知 识知 点知 3.二次根式的除法法则 一般地，二次根式的除法法则是 (1)应特别注意a，b的符号，，不要误以为 (2)当二次根式前面的系数不为1时，可类比单项式除以单项式的运算法则进行计算，即系数的商作为商的系数，被开方数的商作为商的被开方数. (3)在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，若为分数或分式，则分母不含二次根式. 【例3】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算中，错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法法则依次计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式3-2】（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式； （2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知 识知 点知 4.二次根式除法法则的逆用 式的除法法则 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.利 用这一性质，可以进行二次根式的化简. (1) 公式中的a,b可以是数，也可以是代数式，但a,b必须同时满足 (2) 在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为的形式，再利用分式的基本性质，将分子和分母同乘一个适当的因数(或因式），化去分母中的根号即可. 【例4】（23-24八年级下·广西河池·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法．根据二次根式的性质和二次根式的除法法则，即可得到答案． 【详解】解：； 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，商的算术平方根； （1）根据进行计算即可； （2）根据进行计算即可； （3）根据进行计算即可； （4）根据进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； 【变式4-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）根据计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 知 识知 点知 5.最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 分母有理化：二次根式的除法运算可以用化去分母中的根号的方法来进行 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 化简二次根式的一般方法： 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数. 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式，再进行开方运算 被开方数是多项式的要先进行因式分解 分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式），化去分母中的根号.分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为原则. 【例5】（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判定即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； （a为正整数）是最简二次根式； 故选C． 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，被开方数中不含有分母；属于基础题型，熟知最简二次根式的定义是正确判断的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故该选项错误； B． ，不是最简二次根式，故该选项错误； C． 是最简二次根式，符合题意； D． ，不是最简二次根式，故该选项错误． 故选：C． 【变式5-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中，最简二次根式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式为最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：，，，，故①，②，⑤，⑦都不是最简二次根式，③，④，⑥，都是最简二次根式，共3个； 故选B． 知 识知 点知 6.可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，那么这样的二次根式可以合并. 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式）相加，根指数和被开方数不变，合并的是依据是分配律 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时对比应用. 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查同类二次根式的识别，几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． （2）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． （3）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与是同类二次根式； （2）解：∵， ∴与是同类二次根式； （3）解：∵， ∴与不是同类二次根式． 【变式6-1】（24-25八年级下·云南大理·期中）若与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a的值为（    ） A．3 B．5 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题主要考查了同类二次根式，首先化简，再根据同类二次根式定义可得，再解即可． 【详解】解：， 由题意得：， 解得：， 故选：B． 【变式6-2】（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）请你写出一个二次根式，使它与可以合并： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式的定义．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．据此即可作答． 【详解】解：与可以合并的可以是，即； 故答案为：（答案不唯一） 【变式6-3】（23-24八年级上·江苏南通·期中）二次根式与最简二次根式可以合并，则 【答案】 【分析】本题主要考查同类二次根式、最简二次根式，先把化简成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得出，即可得答案．熟练掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解决本题的关键． 【详解】∵二次根式与最简二次根式可以合并，， ∴， 解得：． 故答案为： 知 识知 点知 7.二次根式的加减 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下: (1)将各个二次根式化成最简二次根式; (2)找出化简后被开方数相同的二次根式； (3)合并被开方数相同的二次根式：将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变. 可简记为“化简 判断 合并”或“一化二看三合并”. （1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丟弃，它们也是结果的一部分. （2)整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用. （3)根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式. （4)二次根式的加减运算可类比合并同类项进行，合并的依据是分配律，系数进行加减法运算要加括号，“类”与“类”之间用加号连接. 【例7】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加减乘除运算等知识，先由二次根式性质化简，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案．熟记二次根式性质及二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 【变式7-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质与加减运算法则是解题的关键； （1）直接合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （3）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （4）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （5）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （6）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 知 识知 点知 8.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，都是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括里面的. (1) 整式运算的运算律及多项式的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用. (2) 运算结果可能是二次根式，也可能是有理式.如果最终结果为二次根式，必须要化为最简二次根式. 【例8】（24-25八年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 首先计算二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简，然后合并即可． 【详解】 ． 【变式8-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合与运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】（24-25八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)5 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【例9】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）“分母有理化”是常用的一种化简方法，如：．根据这种方法，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则是关键． 分子、分母同时乘以，结合二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A ． 【变式9-1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式分母有理数，分子分母同时乘以有理化因子，即可求解；掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列各式； 第一式；由，得．类似可得第二式；，第三式；． (1)照此排列方式，请写出第n式； (2)的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分母有理化及二次根式的加减运算，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据题意得出第个式子即可； （2）根据（1）中的规律计算出式子的结果即可． 【详解】（1）解：第1式， 第2式， 第3式， 第4式． 第个式子为； （2） ， 第二部分 题型透视镜 题型一 二次根式的乘除混合运算 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘除运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的乘除运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1-1】（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 【变式1-2】（24-25八年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算． （1）根据二次根式乘除运算法则计算即可； （2）根据二次根式乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算．掌握相应的运算法则、运算顺序及性质是解题的关键． 【详解】解： ． 题型二 二次根式乘除法则成立的条件 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，解一元一次不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故选：C． 【变式2-1】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式有意义的条件和分母不为求解即可，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得： ，， 解得：， 故选：C． 【变式2-2】（2025八年级下·全国·专题练习）若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）已知等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简是解题的关键． 由题意知，，，计算求解即可． 【详解】解：∵等式成立， ∴，， 解得，， 故答案为：． 题型三 利用二次根式的性质把根号外的因式移到根号内 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）请观察式子：，，仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是___________． 【答案】(1)①，②，③． (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简． （1）根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内再化简即可． （2）根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内再化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③． （2）， 故答案为： 【变式3-1】（2023八年级上·全国·专题练习）把根号外的因式移到根号内结果为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出． 【变式3-2】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）把中根号外的移入根号内得 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出a的取值范围，根据， 然后根据二次根式的乘法公式将移入根号化简即可． 【详解】根据二次根式有意义的条件可得：且 解得： 则， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的变形，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和二次根式的乘法公式是解决此题的关键． 【变式3-3】（23-24八年级下·全国·课后作业）把根号外的因式移到根号内： (1) (2) 【答案】（1） ；（2） 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】(1)原式 (2)原式 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式化简的方法是解题关键． 题型四 二次根式化简 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查的是化为最简二次根式； （1）根据进行化简即可； （2）根据进行化简即可； （3）根据进行化简即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 【变式4-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式4-2】（21-22八年级下·河北石家庄·阶段练习）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案． （2）根据二次根式的性质即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （4）根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则以及性质． 【变式4-3】（21-22八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将变形为，然后得出，求出结果即可； （2）将变形为，然后得出，求出结果即可； （3）将变形为，然后得出，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意． 题型五 二次根式大小比较 【例5】（24-25八年级下·全国·单元测试）比较大小： （填“>”“<”或“=”号）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出和的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）比较大小： ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到答案；求出，，再由即可得到答案． 【详解】解：； ∵，，且， ∴， 故答案为：；． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）一般地，当、时，如果，那么．例如：，等．试用这个结论比较下列两数的大小： (1)与： (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，二次根式的乘法运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先把化成，再比较出和的大小，即可得出答案； （2）先把化成，化成，再比较和的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 即； （2）解：，， ， ， 即， ． 题型六 二次根式乘除在实际问题中的应用 【例6】（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）某零件上有一个长方形孔，其面积为，长为，则这个孔的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的除法法则是解决本题的关键． 利用“长方形的面积长方形的长=长方形的宽”计算即可． 【详解】解： 故选：A 【变式6-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 【答案】乙的宽为 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积计算公式求出甲的面积，即可得到乙的面积，再用乙的面积除以乙的长即可求出乙的宽． 【详解】解： ， ∴乙的宽为． 【变式6-2】（18-19八年级下·全国·单元测试）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高． 【答案】 【分析】首先利用矩形的面积计算方法求得三角形的面积，根据三角形的面积公式：列式计算即可求解． 【详解】． 答：这条边上的高为． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握矩形和三角形的面积计算方法是解决问题的关键． 题型七 二次根式于乘法公式的综合运用 【例7】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【分析】利用平方差公式、完全平方公式及二次根式的性质计算即可；此题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是首先化最简二次根式，同时也注意利用公式简化计算． 【详解】解：原式 ． 【变式7-1】（22-23八年级下·辽宁大连·期中）计算：． 【答案】 【分析】利用平方差公式、完全平方公式、分母有理化计算后，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式、分母有理化是解题的关键． 【变式7-2】（22-23八年级下·青海果洛·期末）计算：． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的加减运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 【变式7-3】（21-22八年级下·广东广州·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式去括号后合并同类项． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查整式混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 题型八 二次根式的化简求值 【例8】（22-23八年级下·广西南宁·期中）先化简，再求值：． 【答案】； 【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：原式         当时，原式 ， ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力． 【变式8-1】（2023·四川成都·三模）先化简，再求值：（1﹣），x＝． 【答案】， 【分析】根据运算顺序，将括号内的代数式通分，再根据因式分解的方法计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝， 当x＝时，原式＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握通分的方法及平方差公式． 【变式8-2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】1－a；． 【分析】先将分式化简，再把的值代入求解即可 【详解】解： ＝1－a 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简，实数的运算，利用因式分解化简是解题的关键． 【变式8-3】（2023·湖北黄冈·一模）先化简，后求值：，其中． 【答案】，． 【分析】据分式的运算法则即可化简，再代入a即可求解. 【详解】解：原式． 当时，原式． 【点睛】此题主要考查分式的运算，二次根式的化简，解题的关键是熟知分式运算法则. 题型九 利用二次根式加减运算解决有关三角形问题 【例9】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知满足． (1)求的值； (2)以为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、非负数的性质． （1）根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性列出方程，解方程求出x、y、z； （2）根据三角形的三边关系判断，再根据周长公式计算即可． 【详解】（1）解：解：∵， ∴，，， 解得：，，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴以为边能构成三角形， 三角形的周长为：． 【变式9-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知满足． (1)求 的值； (2)试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)能构成三角形，周长为 【分析】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根），熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出的值； （2）根据，，，可得，即可根据三角形三边关系，得出以为边长能构成三角形，再把三角形三边相加即可求得周长． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 解得：，，． （2）解：∵，，． ∴， ∵，， ∴， ∴以为边长能构成三角形， ∴此时三角形的周长为． 【变式9-2】（22-23八年级下·河北张家口·期中）已知、、满足 (1)求、、的值． (2)以、、为三边能否构成三角形？若能，求出它的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)以、、为三边能构成三角形，周长为 【分析】（1）利用完全平方式，二次根式以及绝对值的非负性进行判断即可； （2）利用三角形三边关系判断并计算周长即可． 【详解】（1）解： 且三者相加得0 （2）∵ ∴以、、为三边能构成三角形，周长为 【点睛】本题主要考查完全平方式，二次根式以及绝对值的非负性以及三角形三边关系，熟练运用几个非负数的和为零，那么这几个数必定为零的结论以及两边之和大于第三边是解决本题的关键． 【变式9-3】（21-22八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，满足 (1)求，，的值． (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，周长是 【分析】（1）根据绝对值以及算术平方根，完全平方式的非负性求得的值； （2）根据三角形三边关系进行判断，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，． （2）∵，，， ∴， 所以能够成三角形，三角形的周长为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质和运算，构成三角形的条件，无理数的估算，掌握绝对值以及算术平方根，完全平方式的非负性是解题的关键． 题型一十 用整体带入法求代数式的值 【例10】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加减法，按照计算法则、运用平方差公式和完全平方公式是解决本题的关键． 因为，，所以，， （1），代入数据计算即可． （2），代入数据计算即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， ， ， ； （2）解： ． 【变式10-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则及平方差公式．先根据、的值计算出、的值，再代入原式计算可得． 【详解】∵，， ∴, , ∴． 【变式10-2】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算法则和平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式得，再把a、b值代入，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）先根据完全平方公式得，再把a、b值代入，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式10-3】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，，求的值． 【答案】12 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再把所求式子通分变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 题型一十一 二次根式的规律探究题 【例11】（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及其验证过程： ，验证； ，验证． (1)按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且）表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键． （1）利用已知，观察，，可得的表达式； （2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律，再证明即可； 【详解】（1）解：， 验证：； （2）解：归纳可得：， 证明：； 【变式11-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题： ①；②；③；… (1)根据上述规律，写出第5个等式：________． (2)请写出第个（为正整数）等式：________，并证明你的结论． (3)运用上述结论，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律、二次根式性质和运算法则，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式求解即可； （2）分析所给的等式的形式，总结出规律即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得第5个等式为： ； 故答案为：； （2）解：第1个等式：；， 第2个等式：；， 第3个等式：；， 由以上等式可以猜想第n个等式是： ； 证明：； 故答案为：； （3）解： ＝ ＝ ＝． 【变式11-2】（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【答案】（1） （2） （3）44 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式即可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：第5个等式： （2）由（1）归纳可得：； （3） ． 【变式11-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律，二次根式的性质，解题的关键在于能够根据题意找到规律． （1）根据题意写出第五个式子即可； （2）根据式子间的规律可以发现第n个式子为． 【详解】（1）解：由题意得，第五个式子为． （2）解：第n个式子为，理由如下： ， ∴． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则即可判断． 【详解】解：A. ，计算错误，故不符合题意； B. ，计算错误，故不符合题意； C. ，计算错误，故不符合题意； D. ，计算正确，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同类二次根式，先将各个选项中的二次根式进行化简，化简的结果中被开方数为3的式子才能与合并，然后再进行判断即可． 【详解】解：， ∴四个式子中，只有D选项中的式子能与合并， 故选；D． 3．（21-22八年级下·陕西安康·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义即可判断． 【详解】解：A、，是最简二次根式，故符合题意； B、，故不是最简二次根式，不符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握判断最简二次根式的依据是解本题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 4．（22-23九年级上·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，解题的关键在于求出无理数的范围．再计算出二次根式混合运算的结果，再估算出的取值范围即可． 【详解】解： ∵ ∴， ∴， 故选：C 6．（21-22八年级下·广东汕头·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倒数的定义，以及分母有理化，解答即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：A． 【点睛】本题考查的是分母有理化，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 7．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）从“＋，-，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（    ） A．÷ B．＋ C．× D．- 【答案】B 【分析】根据二次根式混合运算的运算顺序和计算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 8．（2024·河北沧州·一模）若 ，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平方公式及化简求值是解题的关键．根据完全平方公式将变形为，再代入，的值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ， 故选：D． 二、填空题 9．（2024九年级下·山东·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，二次根式的混合运算； 逆用积的乘方变形，结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 10．（22-23九年级上·四川乐山·期末）比较下列两个数的大小： ．（用“>”或“<”号填空） 【答案】 【分析】根据二次根式比较大小的方法求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比较二次根式的大小，正确化简两个二次根式是解题的关键． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了因式分解的应用，二次根式的化简运算，解题的关键是正确将因式分解． 根据长方形的面积和周长得出，，再利用因式分解将原式化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为，面积为， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，得到，则，由此求出，据此即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴是负数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值，掌握二次根式有意义的条件、得出是解题的关键． 三、解答题 13．（22-23八年级上·广东深圳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）直接使用运算性质计算，化简结果即可； （2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解：原式= = （2）解：原式 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键要掌握运算性质，灵活运用运算公式可简化运算． 14．（23-24八年级下·广东深圳·期末） 先化简， 再求值： ， 其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式除法运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 将 代入得： 原式 ． 100．（21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知矩形的长为a，宽为b且，． (1)求矩形的周长； (2)当时，求正方形的边长m的值．（注：S表示面积） 【答案】(1) (2)6 【分析】(1)直接利用矩形周长求法，结合二次根式的加减运算法则，计算得出答案； (2)直接利用正方形的性质化简，得出边长，求出答案． 【详解】（1） ∴长方形的周长是： （2）设正方形的边长为x，则有， ∴ ， ∴正方形的边长是：m=． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 提高训练场 一、单选题 1．（23-24九年级下·重庆巴南·阶段练习）估算的值在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据二次根式的乘法运算法则进行计算，然后利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ ∴的值在2到3之间， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘法除法及求算术平方根，根据二次根式乘除法运算法则及算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A成立，符合题意； B、，故B不成立，不符合题意； C、，故C不成立，不符合题意； D、，故D不成立，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长， 小正方形的边长， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 4．（20-21八年级下·山东威海·期中）计算正确的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的乘法，平方差公式，逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】∵ = = =， ∴选D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式，逆用积的乘方法则，熟练掌握法则是解题的关键． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）化简的结果是（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的计算，掌握其计算法则是关键． 根据二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：A ． 6．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，分式分母同乘以即可化简，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 7．（22-23八年级下·重庆江津·期中）对于任意非负数、，若定义新运算：在，在下列说法中：①；②；③；④若，则的取值范围为，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用新运算的定义对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①， ， ①的说法正确； ②等式的左边 ． 等式的右边． 等式成立， ②的说法正确； ③当时， 左边 右边， 当时， 左边 右边， 综上，③的说法正确； ④ ， 由题意可知：， ， ④的说法不正确． 综上，说法正确的有①②③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，分母有理化，本题是新定义型，理解新定义的规定，并熟练应用是解题的关键． 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 二、填空题 9．（18-19八年级下·山东临沂·期末）已知：，，则 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，计算出及，再把原式因式分解，代入及即可求解．解题的关键是熟知因式分解的应用． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 10．（2023·四川成都·二模）若是的小数部分，则 ． 【答案】/ 【分析】先估算无理数的大小，得出，然后将值代入，结合二次根式的性质和平方差公式进行化简即可得出答案．． 【详解】， ， 的整数部分是2，小数部分是， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数估算大小，二次根式的性质，平方差公式，熟练掌握相关运算法则和性质是解题关键． 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 【答案】或 【分析】本题主要考查分母有理化与实数有关的新定义问题，需要注意分类讨论思想的运用．先根据分母有理化法则进行化简，再根据定义即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 12．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料： 小华在学习分式运算时，发现：，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律、发现： ；； ；…… 如果的小数部分为，那么整数部分为 ． 【答案】19 【分析】本题考查二次根式的混合运算．由二次根式的运算规律，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：∵； ； ； ……， ∴， ∴ ， ∵结果的小数部分，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为19． 故答案为：19． 三、解答题 13．（23-24八年级下·云南红河·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，负整数指数幂，二次根据式的乘法，并运用完全平方公式计算，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 14．（24-25八年级上·全国·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，二次根式性质，整式的加减，根据数轴上的位置，可得，，由此得出，然后再化简绝对值进行计算即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴ ． 15．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为3，小数部分是． 故答案为：3，； （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：专题三维突破指南 专题2 二次根式的运算 第一部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.二次根式的乘法法则 一般地，二次根式的乘法法则是 (1) 此法则可推广到多个二次根式相乘的情况： (2) 当二次根式的系数不为1时，可类比单向式与单项式相乘的法则，如 (3) 运用法则进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略被开方数制均为非负数. (4) 当与可以化简时，一般先化简再相乘，但对相乘后乘积为完全平方数的情况可以先相乘再化简. 二次根式相乘，被开方数中有开得尽方的因数或因式时一定要开方. 【例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）给出下列4个算式：（1）；（2）；（3）；（4）；其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式1-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 知 识知 点知 2.二次根式乘法法则的逆用 即积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积.利用它可以进行二次根式的化简. (1)公式中的a，b;既可以是数，也可以是代数式，但必须都是非负的. (2)在进行二次根式的化简时，将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外. (3)此公式可以推广到含有多个非负因式(或因数）的形式，即. 在逆用二次根式的乘法法则进行化简时，一要注意公式中的限制条件；二要注意被开方数一定是乘积的形式，不要出现这样的错误；三要注意被开方数中有两个负因数相乘时，要先去掉负号，再进行化简. 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式2-1】（2025八年级下·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 知 识知 点知 3.二次根式的除法法则 一般地，二次根式的除法法则是 (1)应特别注意a，b的符号，，不要误以为 (2)当二次根式前面的系数不为1时，可类比单项式除以单项式的运算法则进行计算，即系数的商作为商的系数，被开方数的商作为商的被开方数. (3)在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，若为分数或分式，则分母不含二次根式. 【例3】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算中，错误的是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式3-2】（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 知 识知 点知 4.二次根式除法法则的逆用 式的除法法则 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.利 用这一性质，可以进行二次根式的化简. (1) 公式中的a,b可以是数，也可以是代数式，但a,b必须同时满足 (2) 在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为的形式，再利用分式的基本性质，将分子和分母同乘一个适当的因数(或因式），化去分母中的根号即可. 【例4】（23-24八年级下·广西河池·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． （4） 知 识知 点知 5.最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 分母有理化：二次根式的除法运算可以用化去分母中的根号的方法来进行 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 化简二次根式的一般方法： 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数. 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式，再进行开方运算 被开方数是多项式的要先进行因式分解 分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式），化去分母中的根号.分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为原则. 【例5】（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中，最简二次根式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知 识知 点知 6.可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，那么这样的二次根式可以合并. 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式）相加，根指数和被开方数不变，合并的是依据是分配律 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时对比应用. 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 【变式6-1】（24-25八年级下·云南大理·期中）若与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a的值为（    ） A．3 B．5 C．12 D．14 【变式6-2】（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）请你写出一个二次根式，使它与可以合并： ． 【变式6-3】（23-24八年级上·江苏南通·期中）二次根式与最简二次根式可以合并，则 知 识知 点知 7.二次根式的加减 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下: (1)将各个二次根式化成最简二次根式; (2)找出化简后被开方数相同的二次根式； (3)合并被开方数相同的二次根式：将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变. 可简记为“化简 判断 合并”或“一化二看三合并”. （1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丟弃，它们也是结果的一部分. （2)整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用. （3)根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式. （4)二次根式的加减运算可类比合并同类项进行，合并的依据是分配律，系数进行加减法运算要加括号，“类”与“类”之间用加号连接. 【例7】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：． 【变式7-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 知 识知 点知 8.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，都是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括里面的. (1) 整式运算的运算律及多项式的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用. (2) 运算结果可能是二次根式，也可能是有理式.如果最终结果为二次根式，必须要化为最简二次根式. 【例8】（24-25八年级下·北京·期中）计算： 【变式8-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）计算： (1) (2) 【变式8-2】（24-25八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例9】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）“分母有理化”是常用的一种化简方法，如：．根据这种方法，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）计算的结果是 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列各式； 第一式；由，得．类似可得第二式；，第三式；． (1)照此排列方式，请写出第n式； (2)的值是多少？ 第二部分 题型透视镜 题型一 二次根式的乘除混合运算 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：． 【变式1-1】（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【变式1-2】（24-25八年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 题型二 二次根式乘除法则成立的条件 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025八年级下·全国·专题练习）若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）已知等式成立，则的取值范围是 ． 题型三 利用二次根式的性质把根号外的因式移到根号内 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）请观察式子：，，仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是___________． 【变式3-1】（2023八年级上·全国·专题练习）把根号外的因式移到根号内结果为 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）把中根号外的移入根号内得 ． 【变式3-3】（23-24八年级下·全国·课后作业）把根号外的因式移到根号内： (1) (2) 题型四 二次根式化简 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【变式4-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【变式4-2】（21-22八年级下·河北石家庄·阶段练习）化简： (1) (2) (3) (4) 【变式4-3】（21-22八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 题型五 二次根式大小比较 【例5】（24-25八年级下·全国·单元测试）比较大小： （填“>”“<”或“=”号）． 【变式5-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）比较大小： ， ． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： （填“”、“”或“”） 【变式5-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）一般地，当、时，如果，那么．例如：，等．试用这个结论比较下列两数的大小： (1)与： (2)与． 题型六 二次根式乘除在实际问题中的应用 【例6】（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）某零件上有一个长方形孔，其面积为，长为，则这个孔的宽为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 【变式6-2】（18-19八年级下·全国·单元测试）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高． 题型七 二次根式于乘法公式的综合运用 【例7】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 【变式7-1】（22-23八年级下·辽宁大连·期中）计算：． 【变式7-2】（22-23八年级下·青海果洛·期末）计算：． 【变式7-3】（21-22八年级下·广东广州·期末）计算：． 题型八 二次根式的化简求值 【例8】（22-23八年级下·广西南宁·期中）先化简，再求值：． 【变式8-1】（2023·四川成都·三模）先化简，再求值：（1﹣），x＝． 【变式8-2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式8-3】（2023·湖北黄冈·一模）先化简，后求值：，其中． 题型九 利用二次根式加减运算解决有关三角形问题 【例9】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知满足． (1)求的值； (2)以为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【变式9-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知满足． (1)求 的值； (2)试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【变式9-2】（22-23八年级下·河北张家口·期中）已知、、满足 (1)求、、的值． (2)以、、为三边能否构成三角形？若能，求出它的周长；若不能，请说明理由． 【变式9-3】（21-22八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，满足 (1)求，，的值． (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 题型一十 用整体带入法求代数式的值 【例10】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式10-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，，求的值． 【变式10-2】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式10-3】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，，求的值． 题型一十一 二次根式的规律探究题 【例11】（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及其验证过程： ，验证； ，验证． (1)按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且）表示的等式，并给出证明． 【变式11-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题： ①；②；③；… (1)根据上述规律，写出第5个等式：________． (2)请写出第个（为正整数）等式：________，并证明你的结论． (3)运用上述结论，计算：． 【变式11-2】（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【变式11-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：    (1)猜想的变形结果． (2)针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C．3 D． 3．（21-22八年级下·陕西安康·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 6．（21-22八年级下·广东汕头·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）从“＋，-，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（    ） A．÷ B．＋ C．× D．- 8．（2024·河北沧州·一模）若 ，则（   ） A．2 B． C． D．3 二、填空题 9．（2024九年级下·山东·专题练习）计算： ． 10．（22-23九年级上·四川乐山·期末）比较下列两个数的大小： ．（用“>”或“<”号填空） 11．（2024八年级下·全国·专题练习）边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 ． 12．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，那么 ． 三、解答题 13．（22-23八年级上·广东深圳·期中）计算： (1) (2) 14．（23-24八年级下·广东深圳·期末） 先化简， 再求值： ， 其中． 100．（21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知矩形的长为a，宽为b且，． (1)求矩形的周长； (2)当时，求正方形的边长m的值．（注：S表示面积） 提高训练场 一、单选题 1．（23-24九年级下·重庆巴南·阶段练习）估算的值在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 4．（20-21八年级下·山东威海·期中）计算正确的结果是（    ） A． B． C．1 D． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）化简的结果是（   ）． A．2 B． C． D． 6．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·重庆江津·期中）对于任意非负数、，若定义新运算：在，在下列说法中：①；②；③；④若，则的取值范围为，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 二、填空题 9．（18-19八年级下·山东临沂·期末）已知：，，则 ． 10．（2023·四川成都·二模）若是的小数部分，则 ． 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 12．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料： 小华在学习分式运算时，发现：，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律、发现： ；； ；…… 如果的小数部分为，那么整数部分为 ． 三、解答题 13．（23-24八年级下·云南红河·期末）计算：． 14．（24-25八年级上·全国·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 15．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$