专题1 二次根式的概念（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）-2024-2025学年八年级下学期数学人教版八年级下册期末复习登顶手册：三维突破指南

八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题1 二次根式的概念 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 理解二次根式的概念可以从以下几个方面把握： (1)二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”的根指数是2，一般把根指数2省略，写作“”。不要误把“”的根指数当成0. (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子，但必须注意是为二次根式的前提条件。例如，，，而，都不是二次根式. (3)在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了这一隐含条件. (4)形如的式子也是二次根式，与是相乘的关系，要注意当是分数时，不能写成带分数的形式，例如可写成，但不可以写成。 例1．（22-23八年级·上海·假期作业）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 【变式1-1】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 知 识知 点知 2.二次根式的性质 1　 的性质 符号语言 文字语言 一个非负数的算术平方根是非负数 应用与拓展 （1） 二次根式的非负性应用较多，如，则，，即；又如有意义，则,解得 （2） 具有非负性的式子： ①，②，③ 若，则，，，即若干个非负数的和等于0，则这几个非负数都为0 注意 的最小值为0 例2.（22-23八年级上·全国·单元测试）x为何值时，下列各式有意义？ (1) (2) (3) (4) 【变式2-1】．（24-25八年级下·天津·期中）代数式 有意义时，应满足的条件为 （     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23七年级下·云南昭通·期中）当为任意实数时，下列各式中无意义的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（22-23九年级下·广东广州·阶段练习）代数式有意义时，应满足的条件为 ． 2　 的性质 符号语言 文字语言 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 应用与拓展 (1) 正用公式：， (2) 逆用公式：若，则；例如， 注意 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如 ③的性质 符号语言 文字语言 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 应用与拓展 (1)正用公式：； (2)逆用公式： 注意 化简形如的式子时，先转化为的形式，再根据的符号去绝对值符号 ④与的区别与联系 区别 表示的意义不同 表示非负数的算术平方根的 表示实数的平方的算术平方根 a的取值 范围不同 为任意实数 被开方数不同 被开方数是 被开方数是 运算顺序不同 先开平方后平方 先平方后开平方 运算不同 联系 (1) 含有两种相同的运算，都要进行平方与开平方； (2) 结果都是非负数； (3) 当时， 例3.（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式3-1】（24-25八年级上·河南开封·期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 知 识知 点知 3.代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，如5,，，，等 （1） 单独一个数或字母也是代数式. （2） 代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）. （3） 将两个代数式用关系符号(“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫做关系式.方程和不等式都是关系式. 例5．（23-24八年级·全国·课后作业）列代数式： (1)把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为________； (2)若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为________； (3)如图所示是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是________（用含n的代数式表示）．    【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个等腰三角形的周长为20，底边长为x，腰长为y． (1)用含有x的代数式表示y； (2)求x的取值范围． 第2部分 题型透视镜 题型一 根据二次根式有意义的条件求取值范围 【例1】（2023八年级下·浙江·专题练习）x取何值时，下列各式在实数范围内有意义． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】（2025·四川绵阳·二模）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 题型二 根据二次根式的性质化简 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）若整数m满足条件，且，则m的值是 ． 【变式2-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）把根号外的因式移入根号内，其结果是（    ） A． B． C． D． 题型三 利用二次根式值得非负性求值 【例3】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）若，则的立方根是 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）若，则 ． 题型四 利用二次根式被开方数的非负性求值 【例4】（24-25九年级下·山西吕梁·阶段练习）已知a，b都是实数，，则ab的值为 ． 【变式4-1】（22-23八年级下·山东东营·阶段练习）已知，求代数式的值． 【变式4-2】（19-20八年级上·山东菏泽·期中）若a、b为实数，且b=+4，则a+b的值为 ． 题型五 根据二次根式的值是整数，求整数字母的值 【例5】（21-22八年级下·云南昭通·阶段练习）若是整数，则正整数n的最小值是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】（21-22八年级下·辽宁鞍山·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（    ） A．1 B．2 C．3 D．12 【变式5-2】（23-24七年级下·福建南平·期中）已知是正整数，则实数n的最小值是 ． 题型六 分类讨论思想在二次根式中的应用 【例6】（23-24八年级下·河南信阳·期中）化简结果为2x﹣3，则x的取值范围是（　　） A．x≤1 B．x≥2 C．x≥1 D．x≥0 【变式6-1】（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 题型七 二次根式与三角形的综合应用 【例7】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23八年级·上海·假期作业）设分别是三角形三边的长，化简：． 题型八 实数范围内分解因式 【例8】（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列分解因式： （1）；（2）． 解：（1）； （2）． 试用上述方法分解下列因式：①；②；③． 题型九 利用数轴对二次根式化简 【例9】（24-25八年级下·广东珠海·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．0 【变式9-1】（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，那么代数式的化简结果是 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·重庆璧山·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西百色·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）计算的值为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22八年级下·河北廊坊·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D．b 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）把根号外的因式移到根号内的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 10．（24-25九年级上·四川内江·期中）如果代数式有意义，则x的取值范围是 ． 11．（23-24八年级上·山东青岛·课后作业）用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是 12．（22-23九年级上·河南洛阳·期中）当时，化简： ． 三、解答题 13．（21-22八年级·全国·假期作业）当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知实数m，n满足，求的立方根． 15．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）观察下列各式：①，②；③，… (1)请观察规律，并写出第④个等式：______； (2)请用含的式子写出你猜想的规律：______； (3)请证明（2）中的结论． 提高训练场 一、单选题 1．（2023·云南曲靖·一模）使代数式有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2023八年级下·全国·专题练习）若，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江金华·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（    ）． A． B． C． D． 6．（21-22七年级下·广西柳州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）若，，则的值是（        ） A． B．－2 C．±2 D． 8．（22-23八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 10．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ． 11．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，则 ． 三、解答题 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）写出使下列各等式成立的未知数的取值范围： (1)； (2)； (3)． 13．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，，，求的值． 14．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题1 二次根式的概念 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 理解二次根式的概念可以从以下几个方面把握： (1)二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”的根指数是2，一般把根指数2省略，写作“”。不要误把“”的根指数当成0. (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子，但必须注意是为二次根式的前提条件。例如，，，而，都不是二次根式. (3)在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了这一隐含条件. (4)形如的式子也是二次根式，与是相乘的关系，要注意当是分数时，不能写成带分数的形式，例如可写成，但不可以写成。 例1．（22-23八年级·上海·假期作业）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 【答案】、、、、（）是二次根式，、、、不是二次根式． 【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定. 【详解】解：根据二次根式的概念，可知、、、、（）是二次根式，其中、的根指数分别为3、4，不是二次根式；、是分式，不是二次根式． 【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开方数为非负数. 【变式1-1】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答． 【详解】解：A．是二次根式，故符合题意；     B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；     C．，当时，不是二次根式，故不符合题意；     D．不是二次根式，故不符合题意； 故选A． 【变式1-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式；     C．当即时，不是二次根式；     D．∵，∴，∴是二次根式． 故选D． 知 识知 点知 2.二次根式的性质 1　 的性质 符号语言 文字语言 一个非负数的算术平方根是非负数 应用与拓展 （1） 二次根式的非负性应用较多，如，则，，即；又如有意义，则,解得 （2） 具有非负性的式子： ①，②，③ 若，则，，，即若干个非负数的和等于0，则这几个非负数都为0 注意 的最小值为0 例2.（22-23八年级上·全国·单元测试）x为何值时，下列各式有意义？ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) x≥0；(2) x≤0；(3) x为任意实数；(4) x≥1. 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列式求解． 【详解】解：(1)2x≥0，解得x≥0, (2)－x≥0，解得x≤0, (3)x2≥0，解得x为任意实数, (4)x－1≥0，解得x≥1. 【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 【变式2-1】．（24-25八年级下·天津·期中）代数式 有意义时，应满足的条件为 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可．熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故选：C． 【变式2-2】（22-23七年级下·云南昭通·期中）当为任意实数时，下列各式中无意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析平方根被开方数是否为非负数，根据平方根被开方数为非负数的才有意义即可解答． 【详解】A，，有意义，故不合题意； B，，无意义，故符合题意； C，，有意义，故不合题意； D，对于三次根式，当为任意实数时都有意义，故不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了使二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数，三次根式被开方数为任意实数这一知识点． 【变式2-3】（22-23九年级下·广东广州·阶段练习）代数式有意义时，应满足的条件为 ． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键． 2　 的性质 符号语言 文字语言 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 应用与拓展 (1) 正用公式：， (2) 逆用公式：若，则；例如， 注意 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如 ③的性质 符号语言 文字语言 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 应用与拓展 (1)正用公式：； (2)逆用公式： 注意 化简形如的式子时，先转化为的形式，再根据的符号去绝对值符号 ④与的区别与联系 区别 表示的意义不同 表示非负数的算术平方根的 表示实数的平方的算术平方根 a的取值 范围不同 为任意实数 被开方数不同 被开方数是 被开方数是 运算顺序不同 先开平方后平方 先平方后开平方 运算不同 联系 (1) 含有两种相同的运算，都要进行平方与开平方； (2) 结果都是非负数； (3) 当时， 例3.（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)25 【分析】本题考查二次根式的性质，求一个数的平方个和立方根，熟练掌握知识点，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据算术平方根的定义，计算即可； （3）根据立方根的定义，计算即可； （4）根据算术平方根的定义，进行计算即可； （5）根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2） （3） （4） （5） 【变式3-1】（24-25八年级上·河南开封·期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质逐项判断即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式3-2】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的减法，平方根的定义，根据平方根的定义化简判断A，B，C，根据二次根式的减法进行计算判断D选项 【详解】解：A.，故A错误； B.，故B错误； C.，故C错误； D.，故D正确； 故选：D． 例4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 知 识知 点知 3.代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，如5,，，，等 （1） 单独一个数或字母也是代数式. （2） 代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）. （3） 将两个代数式用关系符号(“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫做关系式.方程和不等式都是关系式. 例5．（23-24八年级·全国·课后作业）列代数式： (1)把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为________； (2)若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为________； (3)如图所示是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是________（用含n的代数式表示）．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查列代数式： （1）用学生分得的书除以5即可得到学生书． （2）根据题意可得出两个圆的半径，再由周长可得出两圆周长之和． （3）第一个图案有阴影小三角形2个．第二图案有阴影小三角形个．第三个图案有阴影小三角形个，那么第n个就有阴影小三角形个，据此解答即可． 【详解】（1）解：学生一共分得本书，所以学生人数为． 故答案为：； （2）解：因为圆A的半径为r，所以圆B的半径为，所以这两个圆的周长之和为． 故答案为：； （3）解：第1个图案中阴影小三角形的个数为2； 第2个图案中阴影小三角形的个数为； 第3个图案中阴影小三角形的个数为； 第4个图案中阴影小三角形的个数为；…； 第n个图案中阴影小三角形的个数为． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个等腰三角形的周长为20，底边长为x，腰长为y． (1)用含有x的代数式表示y； (2)求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式表达式，等腰三角形的定义，三边关系，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等腰三角形的定义，得腰长为，即可作答． （2）先理解两边之和大于第三边，得，得，再结合为底边长，即可作答． 【详解】（1）解：∵等腰三角形的周长为20，底边长为． ∴腰长为， 即 （2）解：根据两边之和大于第三边，得， 即， 则， ∴， ∵为底边长， 即， ∴． 第2部分 题型透视镜 题型一 根据二次根式有意义的条件求取值范围 【例1】（2023八年级下·浙江·专题练习）x取何值时，下列各式在实数范围内有意义． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)取任意实数 (3)且 (4) (5)取任意实数 【分析】（1）利用二次根式的定义即可得到关于的不等式解不等式即可； （2）利用二次根式的定义即可得到关于的不等式解不等式即可； （3）利用二次根式的定义及分式的定义即可得到关于的不等式解不等式即可； （4）利用二次根式的定义及分式的定义即可得到关于的不等式解不等式即可； （5）利用二次根式的定义即可得到关于的不等式解不等式即可． 【详解】（1）解：∵要使有意义，则必须有：， 解得：， ∴当时，有意义； （2）解：要使有意义，则必须有：， ∵恒大于零， ∴取任意实数， ∴取任意实数，有意义； （3）解：∵要使有意义，则有：且， 解得：且， ∴当且时，有意义； （4）解：∵要使有意义，则有：且， 解得：， ∴当时，有意义； （5）解：要使有意义，则有：， ∵恒大于零， ∴取全体实数， ∴取任意实数，有意义． 【点睛】本题考查了二次根式的定义及分式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键． 【变式1-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】该题考查了二次根式和分式有意义的条件． （1）根据二次根式和分式有意义解答即可； （2）根据二次根式有意义解答即可； （3）根据二次根式有意义解答即可； 【详解】（1）解：根据题意可得且，即且． （2）解：根据题意可得，解得：． （3）解：根据题意可得，解得：． 【变式1-2】（2025·四川绵阳·二模）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查代数式有意义的条件．根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数，大于等于0，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且． 故选：D． 题型二 根据二次根式的性质化简 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简，化简绝对值，掌握是解题的关键． 根据二次根式的性质去化简，再根据绝对值的性质得到不等式，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）若整数m满足条件，且，则m的值是 ． 【答案】或0或1 【分析】本题考查了二次根式的性质、求不等式的解集，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质得出，再结合得出，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 又， ， 是整数， 的值是或0或1． 故答案为：或0或1． 【变式2-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）把根号外的因式移入根号内，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可． 【详解】解：根据根式的性质可得可得， 因此 故选：B． 题型三 利用二次根式值得非负性求值 【例3】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式化简；由非负数的性质可求得a与b的值，再代入二次根式中化简即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）若，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】根据平方、二次根式的非负性可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴， ∴的立方根是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到，是解题的关键． 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）若，则 ． 【答案】1 【分析】根据非负数之和为零，确定的值，再将代入代数式求解即可 【详解】， 【点睛】本题考查了非负数之和为零，代数式求值，有理数的乘方运算，二次根式和绝对值的非负性，理解二次根式和绝对值的非负性是解题的关键． 题型四 利用二次根式被开方数的非负性求值 【例4】（24-25九年级下·山西吕梁·阶段练习）已知a，b都是实数，，则ab的值为 ． 【答案】-1 【分析】先根据二次根式的定义求解a，从而确定出b，代入求解即可． 【详解】根据二次根式的定义：，解得：， ∴， 代入原式得：， ∴， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查二次根式的定义，理解被开方数为非负数是解题关键． 【变式4-1】（22-23八年级下·山东东营·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义可得和，可得出从而求出，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， ， ， 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义和性质是解此题的关键． 【变式4-2】（19-20八年级上·山东菏泽·期中）若a、b为实数，且b=+4，则a+b的值为 ． 【答案】3 【分析】根据二次根式的性质解出a值，然后代入b的代数式，求出b，即可得出答案 【详解】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：a2−1≥0且1−a2≥0， 解得a2＝1，即a＝±1， 又0做除数无意义，所以a-1≠0， 故a＝-1， 将a值代入b的代数式得b＝4， ∴a＋b＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的意义和性质．求出a，b的值是解题关键． 题型五 根据二次根式的值是整数，求整数字母的值 【例5】（21-22八年级下·云南昭通·阶段练习）若是整数，则正整数n的最小值是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，若是整数，则一定是一个完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵，是整数， ∴正整数n的最小值是5， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 【变式5-1】（21-22八年级下·辽宁鞍山·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（    ） A．1 B．2 C．3 D．12 【答案】C 【分析】先把化简成，再根据是整数分析最小正整数n的值即可． 【详解】解：∵=且是整式， ∴3n是完全平方数， ∴正整数n的最小值是3 故选C 【点睛】此题主要考查二次根式的定义和化简，熟练掌握二次根式的定义和化简方法是解题的关键． 【变式5-2】（23-24七年级下·福建南平·期中）已知是正整数，则实数n的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行分析求值． 【详解】解：∵是正整数，且最小的正整数是1， ∴当，此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的定义和二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的基本知识是解题的关键． 题型六 分类讨论思想在二次根式中的应用 【例6】（23-24八年级下·河南信阳·期中）化简结果为2x﹣3，则x的取值范围是（　　） A．x≤1 B．x≥2 C．x≥1 D．x≥0 【答案】B 【分析】根据化简结果为2x-3得到，，根据二次根式的性质列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴x﹣1≥0，x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 【变式6-1】（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，以及分类讨论的思想，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质，结合的范围，进行化简即可； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）， 当时，上式； 当时，上式， ∵， ∴，不符合题意； 当时，上式，不符合题意； ∴a的取值范围是； （3） 当时，，解得：； 当时，， 当时，，解得：； 综上：或． 题型七 二次根式与三角形的综合应用 【例7】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由完全平方公式因式分解，再由二次根式性质化简得到，结合绝对值非负性及非负数和为零的条件求解即可得到，从而由三角形三边关系即可得到答案． 【详解】解：， ，则， ， 要使，则， 解得， 由三角形的三边关系可知， 是这个三角形的最长边， ，即这个三角形的最长边的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识，熟记三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识是解决问题的关键． 【变式7-1】（22-23八年级·上海·假期作业）设分别是三角形三边的长，化简：． 【答案】 【分析】本题可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行化简二次根式即可得解． 【详解】解：∵分别是三角形三边的长， ∴，，， ∴原式 ． 【点睛】此题考查二次根式的化简，三角形三边关系，解题关键在于掌握运算法则. 题型八 实数范围内分解因式 【例8】（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列分解因式： （1）；（2）． 解：（1）； （2）． 试用上述方法分解下列因式：①；②；③． 【答案】①；②；③ 【分析】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． ①将原式变形为，然后利用平方差公式分解即可； ②先提取公因式3，再将原式变形为，然后利用平方差公式分解即可； ③先分解为，然后变形为，再利用平方差公式二次分解即可； 【详解】解：①； ②； ③． 题型九 利用数轴对二次根式化简 【例9】（24-25八年级下·广东珠海·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，，， ∴ ， 故选：B． 【变式9-1】（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，那么代数式的化简结果是 ． 【答案】 【分析】先判断，后化简计算即可． 本题考查了数轴上字母表示数，绝对值的化简，整式的加减，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴ ， ． 【变式9-2】（24-25八年级下·重庆璧山·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的意义等知识，根据实数、在数轴上的位置确定，，的符号，再根据绝对值，二次根式的性质和化简方法进行计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ， 故答案为：． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西百色·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、1不是二次根式，故本选项不符合题意； B、不是二次根式，故本选项不符合题意； C、不是二次根式，故本选项不符合题意； D、是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D. 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 3．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、相反数的定义、立方根、绝对值等知识点，掌握相关化简方法是解题的关键． 先将各数化简，再根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴与3互为相反数，符合题意； B、∵， ∴与不互为相反数，不符合题意； C、由与互为倒数，不互为相反数，不符合题意； D、∵， ∴与不互为相反数，不符合题意． 故选：A． 4．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】此题主要考查了利用二次根式的性质化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 5．（21-22八年级下·河北廊坊·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答． 【详解】解：由题意可得： 2n-5=5-2n=0， ∴m=0+0+2=2， ∴n-m= 故选A． 【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．　 6．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D．b 【答案】A 【分析】先根据题意得到，然后化简绝对值和二次根式即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，二次根式的化简，正确得到是解题的关键． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和绝对值的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出的范围，把原式化简，计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， 故选：C． 8．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）把根号外的因式移到根号内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内． 【详解】解：由二次根式的意义可知， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算，从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．注意根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内． 二、填空题 9．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·四川内江·期中）如果代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 11．（23-24八年级上·山东青岛·课后作业）用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可知要说明“”是错误的，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴要说明“”是错误的，则， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（22-23九年级上·河南洛阳·期中）当时，化简： ． 【答案】1 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，熟记：是解题的关键． 三、解答题 13．（21-22八年级·全国·假期作业）当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 【答案】(1)； (2)3； (3)2； 【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可； （2）把x的值代入，计算求值即可； （3）把x的值代入，计算求值即可． 【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得： ＝； （2）解：把x＝2，代入二次根式得： ＝＝＝3； （3）解：把x＝﹣，代入二次根式得： ＝＝2； 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知实数m，n满足，求的立方根． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出n的值，进而求出m的值，再求出的值，即可求出对应的立方根． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵125的立方根是5， ∴的立方根是5． 15．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）观察下列各式：①，②；③，… (1)请观察规律，并写出第④个等式：______； (2)请用含的式子写出你猜想的规律：______； (3)请证明（2）中的结论． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查二次根式有关的规律题，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键． （1）观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案． （2）观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子． （3）将化成，再进行完全平方公式因式分解，并开方即可． 【详解】（1）解：根据规律，第④个等式为：． （2）解：根据规律，第的式子为：． （3）证明：∵， ∴． 提高训练场 一、单选题 1．（2023·云南曲靖·一模）使代数式有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得且， 则选项D满足题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组． 2．（2023八年级下·全国·专题练习）若，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用二次根式性质可判断，由此即可求出的范围． 【详解】解：， 可得， 解得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握是解本题的关键． 3．（23-24八年级下·浙江金华·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数在数轴上的位置，得到，判断，再由二次根式性质化简，去绝对值后，运用整式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：由实数在数轴上的位置，如图所示： ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式化简，涉及利用数轴判断代数式符号、二次根式性质化简、去绝对值及整式加减运算等知识，根据实数在数轴上的位置判断代数式符号去绝对值是解决问题的关键． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义，分别判断各式即可． 【详解】解：①符合二次根式的定义，故正确； ②无意义，故错误； ③中的，符合二次根式的定义，故正确； ④中的，符合二次根式的定义，故正确； ⑤是开3次方，故错误； ⑥中的，符合二次根式的定义，故正确． 正确的有①③④⑥，共4个． 故选：B． 5．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由题意可得： ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 6．（21-22七年级下·广西柳州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，求出、的值是正确解答的关键． 7．（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）若，，则的值是（        ） A． B．－2 C．±2 D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的变形公式，即可算出的值，根据来判断与的大小，即可算出答案． 【详解】解：∵ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 故选：A． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的变形式以及二次根式的化简运算，解题的关键是熟悉完全平方公式与二次根式的化简时注意正负值． 8．（22-23八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式； B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式； C、，含有三次根号，不是二次根式； D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式． 【点睛】本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键． 二、填空题 9．（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 10．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 11．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，同底数幂的乘法，积的乘方等知识，先利用二次根式有意义的条件，分式有意义的条件求出x的值，从而得出y的值，代入中，利用同底数幂的乘法公式，积的乘方公式求解即可． 【详解】解：依题意得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）写出使下列各等式成立的未知数的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知是解题的关键． （1）根据即可得到答案； （2）根据即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解；∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，，，求的值． 【答案】-3或7或-15或-5 【分析】本题考查了二次根式的性质、平方根、立方根、求代数式的值，先由二次根式的性质、平方根、立方根得出或，，或，再分四种情况，分别代入计算即可得出答案． 【详解】解：，，， ∴或，，或． ∴分以下4种情况讨论： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上，的值为或7或或． 14．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． 学科网（北京）股份有限公司 $$