专题18 一次函数的实际应用问题四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题18 一次函数的实际应用问题四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 1 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 6 类型三、一次函数的应用之行程问题 10 类型四、一次函数的应用之几何问题 17 压轴能力测评（15题） 24 解题知识必备 1. 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 压轴题型讲练 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 例题：（24-25八年级下·吉林长春·期中）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． (1)①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； (2)现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)①，② (2)当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组，求得，然后表示出总费用，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ； ②当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ； 故答案为：①，②． （2）解：购进种图书本，则购进种图书本， 根据题意得，， 解得， 购进两种图书的总费用， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江西吉安·期中）2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． (1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ (2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元 (2)《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，费用为1095元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，根据《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，由题列出一元一次不等式组，解出未知数范围，设所需费用为W元，则，根据一次函数性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元， 根据题意，得： 解得， 答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元． （2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套， 根据题意得， 解得． 设所需费用为W元，则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最小值为（元） 此时，（套）． 答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元 (2)当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键． （1）设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，根据题意列出不等式，解出的范围，再根据题意列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． （2）解：设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得：， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少． 3．（2025·河南洛阳·一模）绿动未来--树木固碳护家园 [素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． 求与的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克； (2)；购买33棵杨树、棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质确定购买方案． 设每棵成年的阔叶树种和每棵成年的针叶树种每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克，列二元一次方程组求解即可； 购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可； 根据一次函数的性质可知随的增大而增大，根据规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，可知杨树最多采购棵，从而确定采购方案． 【详解】（1）解：设每棵成年的阔叶树种和每棵成年的针叶树种每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克， 根据题意得：， 解得， 答：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收二氧化碳分别为千克和千克； （2）解:购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意得：， 与的函数关系式为； 杨树的棵数不超过冷杉的一半， ， ， ， 随的增大而增大， 当整数时，的值最大， 此时（棵）， 答：购买棵杨树、棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 例题：（2025·河南驻马店·二模）某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． (1)求每台型和型商品的销售利润； (2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)型利润80元/台，型利润160元/台 (2)型4台，型6台，总利润最大 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出一次函数解析式． （1）设型利润元/台，型利润元/台，由“销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元”建立方程组求解； （2）设型台，则型台，由总利润等于两种型号打印机利润之和列出利润W关于m的函数解析式，根据函数的增减性确定利润的最大值即可． 【详解】（1）解：设型利润元/台，型利润元/台 ， 答：型利润80元/台，型利润160元/台； （2）解：设型台，则型台， 型数量不少于型数量的一半， ， ， ， 随增大而减小 当时，， 答：型4台，型6台，总利润最大． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）“传承红色基因，赓续红色血脉”，某中学九年级357名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金1000元，型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级371人，租用5辆型客车和3辆型客车恰好坐满．” 小国：“八年级364人，租用4辆型客车和4辆型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆型客车和型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排8辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？ 【答案】(1)每辆型客车载客人数为49人，每辆型客车坐满后的载客人数为42人 (2)租A种客车3辆，B种客车5辆，租金最低，最低租金为7000元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是： （1）设每辆型客车载客人数为x人，每辆型客车坐满后的载客人数为y人，根据小强和小国的对话信息列方程组求解即可； （2）设租A种客车m辆，根据九年级每位师生都有座位列出不等式，求出m的取值范围，设租金为w元，可求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每辆型客车载客人数为x人，每辆型客车坐满后的载客人数为y人， 根据题意，得， 解得， 答：每辆型客车载客人数为49人，每辆型客车坐满后的载客人数为42人； （2）解：设租A种客车m辆，则组B种客车辆， 根据题意，得， 解得， 设租金为w元， 则， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w有最小值为， 此时， 即租A种客车3辆，B种客车5辆，租金最低，最低租金为7000元． 2．（24-25八年级下·四川资阳·期中）某销售商准备采购一批丝绸，经调查，用元采购型丝绸的件数与用元采购型丝绸的件数相等，一件型丝绸进价比一件型丝绸进价多元． (1)求一件 型，型丝绸的进价分别为多少元? (2)若销售商购进型，型丝绸共件，其中型的件数不大于型的件数，且不少于件，设购进型丝绸件． ①求的取值范围； ②已知型的售价是元/件，型的售价为元/件．则该商家应如何安排进货，才能使销售总利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)一件型丝绸的进价为元，一件型丝绸的进价为元 (2)①；②购进型丝绸件，型丝绸件时，销售总利润最大，最大利润为元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （）设一件型丝绸的进价为元，则一件型丝绸的进价为元，根据题意列出方程即可求解； （）①根据题意列出不等式组解答即可求解；②设销售这批丝绸的利润为元，根据题意求出与之间的一次函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：设一件型丝绸的进价为元，则一件型丝绸的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，为原方程的解， ∴ ， 答：一件型丝绸的进价为元，一件型丝绸的进价为元； （2）解：①由题意得，， 解得， ∴的取值范围为； ②设销售这批丝绸的利润为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当，即购进型丝绸件，型丝绸件时，销售总利润最大， 此时最大利润元． 3．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． (2)超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的其它实际问题 【分析】（1）设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意列出分式方程后求解即可，注意检验； （2）由题意得，解出的取值范围，再由题意得出关于的关系式，分析该式，结合的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元， 据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． （2）解：据题意得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 又，为整数，且两种手办都有， 时，（元）， 此时， 超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 类型三、一次函数的应用之行程问题 例题：（2025·浙江绍兴·一模）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速． 某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程（千米）与甲车在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)求的值； (2)求的值； (3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速． 【答案】(1)42 (2)100 (3)乙车在该区间测速路段超速了 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由题意可得：甲车的平均速度为105千米/小时,行驶的时间为小时,据此可求出行驶的路程m； （2）先利用待定系数法可求得直线的解析式为，进而可求得C点的坐标为，由（1）得，由此可得直线经过，再利用待定系数法求得直线的解析式为，由此可得； （3）由可得时，，进而可得乙车在该路段上的总用时间，再求出乙车的平均速度，然后与120作比较即可得解． 【详解】（1）解：（1）由题意可得，当时，． （2）解：设直线的解析式为：， 由题意可得，它经过点，代入可得， ∴所以直线的解析式为：， ∴点横坐标， 当时，， ∴点的坐标为． 由（1）可得，， ∴直线经过点． 设直线的解析式为：， 则解得， ∴， ∴． （3）解：当时，， 解得， ∴乙车在该路段上的总用时为（小时）， 乙车的平均速度为：， ∴乙车在该区间测速路段超速了． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在OC上．请根据图象回答下列问题． (1)当乙出发后几小时甲追上了乙? (2)设甲、乙两人相距的路程为， ①如图2，补全其图象； ②当时，求对应t的值． 【答案】(1)1.8小时 (2)①见解析；② 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、画一次函数图象、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，画一次函数的图象，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，分别求出关于时间的函数解析式，令，可求解； （2）①当时，；当时，，据此求出对应的函数解析式，即可补全图象；②根据①中求出的函数解析式解答即可． 【详解】（1）解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为， 设， 代入得： 解得：， ∴， 设，代入得， 解得：， ∴ 当时，， 解得， ∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙； （2）①当时，； 当时，； 补全图象如图， ②解：当时，； 解得，， 当时，； 解得 ∴对应t的值为． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明和小亮喜欢骑自行车，某个周末，两人相约从绿博园北门出发前往开封金明广场．小明骑车的速度较快，如果两人同时出发，小明肯定先到达．现在小明先让小亮骑若干千米，小明在上午出发．图中，分别表示两人行驶的路程与小明行驶时间的关系． (1)小亮先骑了 ， 先到达目的地， （填“”或“”）表示小明行驶的路程与行驶时间之间的关系； (2)请分别求出小明和小亮在这段时间内，与之间的函数表达式； (3)若图中，交点坐标为，的实际意义是什么？ (4)请直接写出小明和小亮在什么时间两人相距？ 【答案】(1)，小明，； (2)，； (3)见解析； (4)在时或时，小明和小亮相距． 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，用待定系数法求解函数表达式，一次函数的实际应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象即可求解； （）利用待定系数法分别求出解析式即可； （）图中，交点坐标为，即小明和小亮相遇，从而可判断的实际意义； （）分当小明与小亮相遇前和当小明与小亮相遇后进行分析即可． 【详解】（1）解：根据图象可知，表示小亮行驶的路程与小明行驶时间的关系，表示小明行驶的路程与行驶时间的关系， ∴小亮先骑了，小明先到达目的地， 故答案为：，小明，； （2）解：设直线函数表达式是，根据图象可知，直线过点， ，解得：， ∴直线函数表达式是， 设直线函数表达式是，把和代入， 得， 解得：， ∴直线函数表达式是； （3）解：∵图中，交点坐标为， ∴的实际意义小明出发后小时追上小亮（或小明在追上小亮或小明小亮两个人在相遇）； （4）解：当小明与小亮相遇前， ∴， 解得：， ∴时小明和小亮相距； 当小明与小亮相遇后， ∴， 解得：， ∴， ∴时小明和小亮相距； 综上可知：在时或时，小明和小亮相距． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期中）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)分别求出、与的函数关系式； (2)对比图1，图2可知：__________，__________，__________； (3)甲、乙相遇前，乙出发多少小时，甲、乙两人相距？（直接写出的值） 【答案】(1)； (2)12；；24 (3)或 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用，能够从函数中读取信息是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出当时，和，然后作差即可求出a；根据题意得到时，，即此时甲乙两人相遇，然后联立表达式求解即可；求出当时，和，然后作差即可求出c； （3）根据题意分2种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设 将，代入得， 解得 ∴； 设 将代入得， 解得 ∴； （2）解：当时，， ∴； 根据图2可得，时，，即此时甲乙两人相遇 ∴联立得， 解得 ∴； 当时，， ∴； （3）解：根据题意得， 当甲还没出发时，， 解得：； 当甲出发后，追上乙前，， 解得， 综上所述，甲、乙相遇前，乙出发或小时，甲、乙两人相距． 类型四、一次函数的应用之几何问题 例题：（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，y随x的增大而减小； (3)或 【分析】本题考查一次函数的几何应用，作函数图象，根据函数图象求自变量的取值范围等． （1）运动路程为，结合图形即可求解； （2）先作出函数图象，根据图象即可解答； （3）先求出时x的值，结合图象即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得：当时，， 当时，， ∴； （2）如图所示， 当时，y随x的增大而减小； （3）解，令，则或， ∴当时，自变量的取值范围为：或． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息、画函数图象，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，点在上，由题意得，，，再由三角形面积公式即可得解；当时，点在上，则，再由三角形面积公式即可得解； （2）当时，点在上，此时，再根据函数解析式画出函数图象即可； （3）由函数图象即可得出答案； （4）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点在上， ， 由题意得：，，， ∴； 当时，点在上， ， 则， ∴； （2）解：当时，点在上， ， 此时， ∴， 画出函数图象如图所示： ； （3）解：由图象可得：当时，随的增大而增大； （4）解：由图象可得：当时的取值范围为：． 2.（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查函数解析式的求法，勾股定理，函数图象的作法及运用； （1）分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式直接作图，根据图象可写出一条性质； （3）根据函数图象可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 如图1，当点，分别在，上运动时，运动后，，．    当时，点恰好运动到点处，点恰好运动到点处． ，由勾股定理可得， 当时，关于的函数解析式为． 当，两点都在上运动时，， 令，解得， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为． （2）由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 当时，． 如图2，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一）． （3）当时，分别代入函数，中， 得或， 解得或． 3.（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【答案】(1)增大；不变；减小； (2)； (3)； (4)当点出发5秒或14.5秒时，的面积是长方形面积的． 【分析】此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． （1）根据函数图象及动点运动即可得出结果； （2）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值； （3）确定y与x的等量关系后列出关系式即可； （4）结合题意，分四种情况确定相应的函数解析式，然后计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是． 【详解】（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小； 故答案为：增大；不变；减小； （2）∵长方形中，，， ∴， 当点P在上时， 得： ， ∴， ， ； （3）∵， ∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：； （4）①当时 ， ； ②当时 ， ； ③当x运动到C点时 解得： 即：时 ； ④当时 ， ； 综上： ； ∵， ①时，，符合题意； ②时，，不符合题意，舍去； ③时，，不符合题意，舍去； ④，，符合题意； 所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲、乙两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．有下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲车；④当甲、乙两车相距时，或或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象可得， A，B两城相距，故①正确，符合题意； 乙车比甲车晚出发，却早到，故②正确，符合题意； 甲车的速度为：，乙车的速度为， 乙车出发后行驶的路程为：，此时甲车行驶的路程为：，故③错误，不符合题意； 当甲、乙两车相距时，设甲车行驶的时间为t小时， 乙车没有出发，则，得； 乙车出发后，两车相遇之前：，得； 两车相遇之后，乙车未到达B城：，得； 乙车到达B城后：，得； 由上可得，当甲、乙两车相距时，或或或，故④错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）某通讯公司就宽带上网推出三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示．小明根据图象得出如下四个结论：①每月上网不足25小时，选择A方式最省钱；②每月上网费用为60元时，B方式上网的时间比A方式多；③每月上网时间为时，选择B方式最省钱；④每月上网时间超过时，选择C方式最省钱．以上四个结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③ 【答案】A 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 观察函数图象，可得出：每月上网时间不足时，选择A方式最省钱，结论①正确；当每月上网费用元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论②正确；利用待定系数法求出：当时，与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时的值，将其与50比较后即可得出结论③正确；当时，与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时x的值，将其与比较，即可得出结论④错误． 【详解】解：观察函数图象，可知：每月上网时间不足时，选择A方式最省钱，结论①正确； 当每月上网费用元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论②正确； 设当时，， 将代入得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴每月上网时间为时，选择B方式最省钱，结论③正确； 设当时，， 将代入得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴当时，选择B方式比C方式最省钱，结论④错误． 综上所述，以上四个结论中正确的是①②③． 故选：A． 二、填空题 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，购买一种苹果所付款金额（元）与购买量（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，若一次购买5千克这种苹果所付金额为（元），购买五次1千克所付金额为（元），则 ． 【答案】6 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图象中的数据，可以分别计算出和，然后作差即可． 【详解】解：由图象可得， 2千克以内，每千克苹果的单价为：（ 元）， 当时，设y与x的函数关系式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， ， ， ∴， 故答案为：6． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，过点P作轴于A，设直线与x轴交于B，由题意可得，据此求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求解，求出点B的坐标是解题的关键． 【详解】如图，过点P作轴于A，设直线与x轴交于B 由题意可得，， ， ， ， ， 设直线解析式为：过点得 解得： 故直线解析式为： 故答案为： 三、解答题 5．（2025·陕西咸阳·一模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对，两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量()与，植物的生长高度()，()的关系如图所示． (1)请分别求植物、植物生长高度与药物施用量的函数关系式； (2)请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量()为多少？ 【答案】(1)；； (2)两种植物生长高度相同时，药物的施用量为； 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用待定系数法求出，关于x的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出两直线的交点横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 把代入中得：， ∴， ∴； 把代入中得：， ∴， ∴； （2）解：联立， 解得， ∴两种植物生长高度相同时，药物的施用量为； 6．（24-25八年级下·全国·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米2.5元收费． (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？ (2)写出每户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (3)自来水公司到琪琪家收水费，爸爸、妈妈不在家，琪琪自己手里有30元的零花钱，他最多能交多少立方米的水费？（水量x为整数） 【答案】(1)17.6元；32元 (2) (3)最多能交13立方米 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了有理数的混合运算、一次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）根据题意，分两种情况：当时，，当时，，分别求解即可； （3）令，求解即可． 【详解】（1）解：∵某户某月用水8立方米，小于立方米， ∴用水8立方米，应交水费（元）； ∵用水14立方米，大于立方米， ∴用水14立方米，应交水费（元）； （2）解：由题意可得：当时，， 当时，， 故； （3）解：∵， ∴令， 解得：， ∵水量x为整数， ∴最多能交13立方米． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)的值为 (2)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可； （2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； （2）设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， 为正整数， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 8．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）镇北台位于榆林市境内，有“万里长城第一台”的称号，为古长城沿线现存最大的边防要塞之一．周末，小宇一家开车从家出发，前往120千米远的镇北台进行参观，当他们行驶1小时时，汽车突然发生故障、停车检修后又继续向前行驶，他们离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（图中段）与之间的函数关系式； (2)当的值为2时，求小宇一家离镇北台的距离． 【答案】(1)； (2)千米． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．正确理解题意是解题的关键． （1）设汽车修好后y与x之间的函数关系式为，将，代入，计算求解，然后作答即可； （2）将代入得，，进而即可求解． 【详解】（1）解：设汽车修好后y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴函数关系式为； （2）解： 将代入得，， （千米） ∴当的值为2时，小宇一家离镇北台的距离为千米． 9．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）气温可用摄氏温度和华氏温度表示．下表是小华查阅资料得到的部分对应数据： 0 10 20 30 a 32 50 68 b (1)小华发现，y是x的一次函数关系，请根据表中数据求出y与x的函数表达式； (2)求出a，b的值； (3)某天贵阳的最高气温是，海南的最高气温是，这一天海南的最高气温比贵阳的最高气温高多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)， (3)这一天海南的最高气温比贵阳的最高气温高摄氏度 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）知y与x的函数表达式，将代入计算即可求解出a，b的值； （3）将代入一次函数，求出，再与比较作差即可， 【详解】（1）解：设y与x的一次函数关系为， 由表可得：， 解得：， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：将代入一次函数，则， 将代入一次函数，则； （3）解：将代入一次函数，则， ∵，且 ∴这一天海南的最高气温比贵阳的最高气温高摄氏度． 10．（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回地，巡逻车、货车离地的距离与货车出发之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间距离是_____________ ，_____________； (2)结合图象，求线段所在直线的解析式？ (3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 【答案】(1)60，1 (2) (3)或或 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了，即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可． 本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，， ∴A，B两地之间的距离是， ∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 故答案为：60，1 （2）解：∵一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，后，一辆货车从地出发， ∴ ∵A，B两地之间的距离是， ∴ 则设线段所在直线的解析式为 将=代入，得 ， 解得． ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）解：设货车出发x小时两车相距， 由题意得，巡逻车的速度为 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距， 则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距， 则， 解得； ∵， ∴货车装货过程中两车不可能相距， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距， 则， 解得； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距，则， 解得； 综上所述，当货车出发或或时，两车相距． 11．（2025·陕西西安·二模）观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，老师有15人．（师生均按原价购票） 西安到汉中的高铁票价格如下表 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 西安 汉中 155元/张 97元/张 由于某种原因，二等座高铁票单程只能买张（），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下． (1)请你写出购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式； (2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量． 【答案】(1) (2)55张 【知识点】求一次函数自变量或函数值、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）二等座高铁票单程只能买张，则购买一等座高铁票张．根据单价、数量、总价之间的关系列式即可； （2）令，求出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：所有参与人员总共有（人）， 二等座高铁票单程只能买张，则购买一等座高铁票张． 由题可得：． 购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式是； （2）解：令，即， 解得， 购买二等座高铁票的数量是55张． 12．（24-25八年级上·山东青岛·期末）学校准备组织学生、老师到潍坊进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需13950元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需7316元： 青岛北到潍坊北的火车票价格如下表： 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 青岛北 潍坊北 93 59    (1)参加社会实践的学生、老师各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座火车票单程最多只能买张（参加社会实践的学生人数参加社会实践的总人数），其余人需要买一等座火车票，在保证师生都有座位并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式． 【答案】(1)130，20 (2) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别设参加社会实践的学生和老师的人数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）若要总费用最低，必须让尽量多的学生购买二等座，因此分别有 130 个学生和个老师购买二等座，有个老师购买一等座，从而写出总费用与之间的函数关系式即可． 【详解】（1）解：设参加社会实践的学生人，老师人． 根据题意，得， 解得． 答：参加社会实践的学生 130 人，老师 20 人． （2）解：（人）， 根据题意，分别有 130 个学生和个老师购买二等座，有个老师购买一等座． 则． 答：总费用（单程）与之间的函数关系式为． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图①，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬行，最后回到出发点．蚂蚁离出发点的距离s（单位：m）与时间t（单位：）之间的图象如图②所示．回答下列问题（π的值取3）： (1)花坛的半径是_______m，_______； (2)当时，求s与t之间的关系式； (3)若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了，且蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变．请求出蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离． 【答案】(1)4，8 (2) (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、圆的定义、待定系数法求正比例函数解析式、行程问题等知识点，读懂题目信息、理解蚂蚁的爬行轨迹是解题的关键． （1）根据圆上的点到圆心的距离等于半径可知S开始不变时的值即为花坛的半径，然后求出蚂蚁的速度，再根据时间、路程、速度计算即可求出a即可； （2）设，然后利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （3）根据蚂蚁吃食时离出发点的距离不变判断出蚂蚁在段，再求出蚂蚁从B爬到吃食时的时间，然后列式计算即可解答． 【详解】（1）解：由图可知，花坛的半径是4米， 蚂蚁的速度为米/分，． 故答案为：4，8． （2）解：设， ∵函数图象经过点， ∴，解得：， ∴． （3）解：∵沿途只有一处食物， ∴蚂蚁只能在段吃食物，， ∴蚂蚁从B爬1分钟找到食物，， ∴蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离是． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义； (2)求，关于x的函数表达式； (3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 【答案】(1)当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费一样，都是8元 (2)， (3)①A；②或时，两种品牌共享电动车收费相差4元 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式及图象及应用，理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）由图象可得当骑行时间为时，两种品牌的收费一样． （2）利用待定系数法确定；即可． （3）①由骑行时间，结合图形判断品牌更省钱；②根据题意，当时，构建方程，当时，构建方程，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费一样，都是8元． （2）设，经过， ， 得， ． 当时，； 当时， 设，函数经过，， 则 解得 ， ∴； （3）解：①∵骑行时间， ∴当骑行时间小于，A品牌更省钱． ②当时，， 得． 当时，， 变形得， 解得（舍去）或， 或时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 15．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，到点后以每秒1个单位的速度沿方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出面积大于6时，的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见详解，该函数的一条性质为：当时，y随x的增大而增大 (3) 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了动点问题，一次函数的图象与性质，正确理解动点问题是解题的关键． （1）当E在，F在上运动时，，则，利用即可求解，当E、F在上运动时，，则，，因此，利用即可求解； （2）结合（1）中求解的函数解析式即可画出其图象，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 当E在，F在上运动时，， 则， ， 当E、F在上运动时，， 则，， ， ， 综上所述：； （2）由（1）可得： 该函数的一条性质为：当时，y随x的增大而增大； （3）若面积大于6，则 当 时，， 解得， 当时， ， 解得， 综上所述：的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 一次函数的实际应用问题四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 1 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 6 类型三、一次函数的应用之行程问题 10 类型四、一次函数的应用之几何问题 17 压轴能力测评（15题） 24 解题知识必备 1. 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 压轴题型讲练 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 例题：（24-25八年级下·吉林长春·期中）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． (1)①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； (2)现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江西吉安·期中）2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． (1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ (2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 3．（2025·河南洛阳·一模）绿动未来--树木固碳护家园 [素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． 求与的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 例题：（2025·河南驻马店·二模）某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． (1)求每台型和型商品的销售利润； (2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）“传承红色基因，赓续红色血脉”，某中学九年级357名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金1000元，型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级371人，租用5辆型客车和3辆型客车恰好坐满．” 小国：“八年级364人，租用4辆型客车和4辆型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆型客车和型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排8辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？ 2．（24-25八年级下·四川资阳·期中）某销售商准备采购一批丝绸，经调查，用元采购型丝绸的件数与用元采购型丝绸的件数相等，一件型丝绸进价比一件型丝绸进价多元． (1)求一件 型，型丝绸的进价分别为多少元? (2)若销售商购进型，型丝绸共件，其中型的件数不大于型的件数，且不少于件，设购进型丝绸件． ①求的取值范围； ②已知型的售价是元/件，型的售价为元/件．则该商家应如何安排进货，才能使销售总利润最大，最大利润为多少？ 3．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 类型三、一次函数的应用之行程问题 例题：（2025·浙江绍兴·一模）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速． 某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程（千米）与甲车在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)求的值； (2)求的值； (3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在OC上．请根据图象回答下列问题． (1)当乙出发后几小时甲追上了乙? (2)设甲、乙两人相距的路程为， ①如图2，补全其图象； ②当时，求对应t的值． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明和小亮喜欢骑自行车，某个周末，两人相约从绿博园北门出发前往开封金明广场．小明骑车的速度较快，如果两人同时出发，小明肯定先到达．现在小明先让小亮骑若干千米，小明在上午出发．图中，分别表示两人行驶的路程与小明行驶时间的关系． (1)小亮先骑了 ， 先到达目的地， （填“”或“”）表示小明行驶的路程与行驶时间之间的关系； (2)请分别求出小明和小亮在这段时间内，与之间的函数表达式； (3)若图中，交点坐标为，的实际意义是什么？ (4)请直接写出小明和小亮在什么时间两人相距？ 3．（24-25八年级下·河北张家口·期中）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)分别求出、与的函数关系式； (2)对比图1，图2可知：__________，__________，__________； (3)甲、乙相遇前，乙出发多少小时，甲、乙两人相距？（直接写出的值） 类型四、一次函数的应用之几何问题 例题：（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 2.（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 3.（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲、乙两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．有下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲车；④当甲、乙两车相距时，或或．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025八年级下·全国·专题练习）某通讯公司就宽带上网推出三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示．小明根据图象得出如下四个结论：①每月上网不足25小时，选择A方式最省钱；②每月上网费用为60元时，B方式上网的时间比A方式多；③每月上网时间为时，选择B方式最省钱；④每月上网时间超过时，选择C方式最省钱．以上四个结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③ 二、填空题 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，购买一种苹果所付款金额（元）与购买量（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，若一次购买5千克这种苹果所付金额为（元），购买五次1千克所付金额为（元），则 ． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ． 三、解答题 5．（2025·陕西咸阳·一模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对，两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量()与，植物的生长高度()，()的关系如图所示． (1)请分别求植物、植物生长高度与药物施用量的函数关系式； (2)请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量()为多少？ 6．（24-25八年级下·全国·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米2.5元收费． (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？ (2)写出每户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (3)自来水公司到琪琪家收水费，爸爸、妈妈不在家，琪琪自己手里有30元的零花钱，他最多能交多少立方米的水费？（水量x为整数） 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价) 种类 种配件 种配件 进价(元/件) 售价(元/件) (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 8．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）镇北台位于榆林市境内，有“万里长城第一台”的称号，为古长城沿线现存最大的边防要塞之一．周末，小宇一家开车从家出发，前往120千米远的镇北台进行参观，当他们行驶1小时时，汽车突然发生故障、停车检修后又继续向前行驶，他们离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（图中段）与之间的函数关系式； (2)当的值为2时，求小宇一家离镇北台的距离． 9．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）气温可用摄氏温度和华氏温度表示．下表是小华查阅资料得到的部分对应数据： 0 10 20 30 a 32 50 68 b (1)小华发现，y是x的一次函数关系，请根据表中数据求出y与x的函数表达式； (2)求出a，b的值； (3)某天贵阳的最高气温是，海南的最高气温是，这一天海南的最高气温比贵阳的最高气温高多少摄氏度？ 10．（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回地，巡逻车、货车离地的距离与货车出发之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间距离是_____________ ，_____________； (2)结合图象，求线段所在直线的解析式？ (3)货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 11．（2025·陕西西安·二模）观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，老师有15人．（师生均按原价购票） 西安到汉中的高铁票价格如下表 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 西安 汉中 155元/张 97元/张 由于某种原因，二等座高铁票单程只能买张（），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下． (1)请你写出购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式； (2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量． 12．（24-25八年级上·山东青岛·期末）学校准备组织学生、老师到潍坊进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需13950元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需7316元： 青岛北到潍坊北的火车票价格如下表： 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 青岛北 潍坊北 93 59    (1)参加社会实践的学生、老师各有多少人？ (2)由于各种原因，二等座火车票单程最多只能买张（参加社会实践的学生人数参加社会实践的总人数），其余人需要买一等座火车票，在保证师生都有座位并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图①，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬行，最后回到出发点．蚂蚁离出发点的距离s（单位：m）与时间t（单位：）之间的图象如图②所示．回答下列问题（π的值取3）： (1)花坛的半径是_______m，_______； (2)当时，求s与t之间的关系式； (3)若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了，且蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变．请求出蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义； (2)求，关于x的函数表达式； (3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 15．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，到点后以每秒1个单位的速度沿方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出面积大于6时，的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$