精品解析：天津市部分区2024-2025学年高一下学期期中练习数学试卷

天津市部分区2024～2025学年度第二学期期中练习 高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共36分） 参考公式： ·圆柱的体积公式，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. ·球的表面积公式，其中R表示球的半径. 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等即可求解. 【详解】由，化简得 所以. 故选：C 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. 7 C. 19 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理列方程求解即可． 【详解】由余弦定理得，，解得， 故选：B． 3. 已知，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先计算的坐标，再利用向量平行的坐标运算即可. 【详解】由题意可得，， 因，则，得. 故选：A 4. 已知是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系的有关知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，若，则m，n可能平行或异面，所以A错误； 对于B选项，若，则m垂直于内的任意直线，，所以B正确； 对于C选项，若，则m，n可能平行或相交或异面，所以C错误； 对于D选项，若，则或，所以D错误. 故选：B 5. 已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，根据共线得到方程，求出答案. 【详解】， ， 因为A，B，C三点共线，所以，即， 因为不共线，故， 解得. 故选：A 6. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 故选：D． 7. i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法法则得到，根据复数类型得到方程，求出，故，，得到对应的点的坐标，求出所在象限. 【详解】， 复数为纯虚数，则，解得，故， 故复数， 故复数在复平面上对应的点坐标为，位于第四象限. 故选：D 8. 在正方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱为2，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式进行求解 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 9. 在中，，，.若，（），且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得到为直角三角形，由题设线性关系得，应用向量数量积的运算律及已知求得且与反向共线，即可得. 【详解】由，，，则， 所以，即为直角三角形， ，，可得，则，如下图， ， 所以， 则，可得，则且与反向共线， 所以. 故选：B 第Ⅱ卷（共84分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分. 10. 已知，，则与的夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角余弦公式直接求解即可. 【详解】设与的夹角的大小为， 故. 故答案为： 11. i是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算计算即可． 【详解】， 故答案为：． 12. 已知，向量在向量上的投影向量为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式得到方程，求出. 【详解】在上的投影向量为，故， 故，所以. 故答案为： 13. 已知一个圆柱的底面半径为3，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆柱的体积公式，结合圆柱的外接球球心在圆柱的中心，即可得到外接球半径，从而可求外接球的表面积. 【详解】 如图为圆柱上下底面圆圆心，已知圆柱的底面半径，由其体积为， 可得， 该圆柱的外接球记为球，则为的中点， 根据勾股定理有：，即外接球的半径为， 所以该外接球的表面积为， 故答案为：. 14. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，且在点C测得塔顶A的仰角为，则______m． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形内角和及正弦定理得出，在中由即可求解. 【详解】因为，，所以， 在中，由正弦定理得，，解得， 在中，， 故答案为：. 15. 在矩形ABCD中，，，，.若，其中λ，μ为实数，则______；若G为线段AF上的动点，则的最小值为______. 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】根据向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得，令，，由题设知，应用数量积的运算律化简求最小值即可. 【详解】由， 又，所以； 令，，又， 所以 ， 当时，的最小值为. 故答案为：；. 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求的值； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到； （2）由余弦定理得到方程，求出，由三角形面积公式求出答案. 【小问1详解】 在中，因为， 所以； ，，由正弦定理得， 故； 【小问2详解】 ，，， 由余弦定理得，即， 解得或（舍）， 故 17. 已知与的夹角为，且，. （1）求； （2）求； （3）若（），求t的值. 【答案】（1）3 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式进行计算； （2）利用和向量数量积运算法则计算出答案； （3）根据垂直关系得到数量积为0，从而得到方程，求出t的值. 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且，， 则； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为，所以， 即， 所以，解得 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求C的大小； （2）设，，且，判断的形状． 【答案】（1） （2）等腰三角形 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合已知即可求解； （2）由平面向量数量积的运算及正弦定理得出，再由三角形内角和即可求解． 【小问1详解】 由余弦定理：， 又C为三角形内角，所以． 【小问2详解】 由知， 由正弦定理，得， 又，从而， 因为，所以， ，则， 所以为等腰三角形． 19. 如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点. （1）求证：平面； （2）求点B到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接HE，先证四边形为平行四边形得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）应用等体积法有，利用棱锥的体积公式列方程求点面距离. 【小问1详解】 连接HE，因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点 所以且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由题设， 在中，，， 得， ， ， 设点B到平面的距离为h，又， 所以，则，从而. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为Q，连接，先证出四边形是平行四边形，进而得出，再由线面垂直的性质及判定即可证明； （2）过点A作于H，得出为直线与平面所成角，求得，再得出或其补角为直线与直线所成角，连接，由余弦定理即可求解． 【小问1详解】 如图： 取中点为Q，连接， 因为，，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为， 所以三点共圆，且圆心为， 所以，即， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面． 【小问2详解】 如图： 过点A作于H， 由（Ⅰ）知平面，又平面， 所以，又， ，平面， 所以平面， 所以为在平面内的射影，为直线与平面所成角， 设， 在直角三角形中，， 解得， 由（Ⅰ）知四边形是平行四边形，所以， 所以或其补角为直线与直线所成角， 连接，， 在中，，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2024～2025学年度第二学期期中练习 高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共36分） 参考公式： ·圆柱的体积公式，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. ·球的表面积公式，其中R表示球的半径. 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. 7 C. 19 D. 49 3. 已知，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为 7. i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在正方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，.若，（），且，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共84分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分. 10. 已知，，则与的夹角的余弦值为______. 11. i是虚数单位，复数______． 12. 已知，向量在向量上的投影向量为，则______. 13. 已知一个圆柱的底面半径为3，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为______. 14. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，且在点C测得塔顶A的仰角为，则______m． 15. 在矩形ABCD中，，，，.若，其中λ，μ为实数，则______；若G为线段AF上的动点，则的最小值为______. 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求的值； （2）求的面积. 17. 已知与的夹角为，且，. （1）求； （2）求； （3）若（），求t的值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求C的大小； （2）设，，且，判断的形状． 19. 如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点. （1）求证：平面； （2）求点B到平面的距离. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $