数学（江苏无锡专用）-2025年中考终极押题猜想

2025年中考数学终极押题猜想（江苏无锡专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 圆锥的有关计算 1 押题猜想二 解直角三角形 2 押题猜想三 函数的新定义问题 4 押题猜想四 旋转最值问题 6 押题猜想五 相似的判定与性质、函数表达式综合 8 押题猜想六 一次函数、二次函数实际应用题 10 押题猜想七 圆综合题 13 押题猜想八 尺规作图 15 押题猜想九 二次函数综合题 18 押题猜想十 四边形综合题 21 押题猜想一 圆锥的有关计算 限时：1.5min （原创）已知一个圆锥的高为cm，底面半径为1cm，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为　　°． 押题解读 本考点作为高频考查内容，在中考试题中多以选择题、填空题为主要考查形式，整体难度适中．2024年无锡中考数学试题及2025年多份无锡中考数学一模、二模试卷中均对该考点进行了考查．值得注意的是，此考点属于与高中数学知识形成螺旋上升体系的重要内容，在高中阶段会进一步深入学习． 在解题过程中，关键在于准确绘制圆锥及其侧面展开图，并熟练运用扇形的弧长和面积公式．通过这一知识板块的考查，重点检验学生的几何直观素养与运算求解能力，需要同学们在理解基本原理的基础上强化图文转化能力与公式应用的熟练度． 【选择题】1．一个圆锥的母线为4cm，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的侧面积为（　　） A．4πcm2 B．6πcm2 C．8πcm2 D．12πcm2 【选择题】2．小红用彩色纸制作了一个圆锥型的生日帽，其底面半径为9cm，母线长为20cm，不考虑接缝，这个生日帽的侧面积为（　　） A．180πcm2 B．180cm2 C．360πcm2 D．360cm2 【填空题】3．已知圆锥的高为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为　　． 【填空题】4．一个圆锥的侧面积是6π，其侧面展开图是半圆，则这个圆锥底面圆的半径是　　． 【填空题】5．若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为　　cm． 押题猜想二 解直角三角形 限时：3.5min （原创）1．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，△ABC的三个顶点都在格点处，则sin2∠ABC的值等于　　． 押题解读 作为中考必考内容，本考点在选择题、填空题及解答题中均有考查，既可能独立命题，也常与三角形、四边形、圆及相似等知识综合考查边角相关问题． 备考时需强化常规解三角形方法的训练，例如通过添加辅助线构建勾股关系等基本策略，同时建议掌握常用的二级结论（如“12345模型”“345角的拆分与组合”等），以提升解题速度．特别提醒：此类结论仅适用于选择题和填空题的快速推理，不可直接用于解答题的规范推导过程，需注意不同题型的答题规范差异． （一）12345模型： 1.若α的对：邻：斜＝1：2：，β的对：邻：斜＝1：3：，则α+β＝45°； 2.若α的对：邻：斜＝2：1：，β的对：邻：斜＝1：3：，则α-β＝45°； 3.若α的对：邻：斜＝1：2：，β的对：邻：斜＝3：1：，则β-α＝45°． （二）345角的拆与合： 1.若2α的对：邻：斜＝3：4：5，α的对：邻：斜＝1：3：； 2.若2α的对：邻：斜＝4：3：5，α的对：邻：斜＝1：2：； 3.若α的对：邻：斜＝3：4：5，2α的对：邻：斜＝24：7：25； 4.若α的对：邻：斜＝4：3：5，2α的对：邻：斜＝180°﹣24：7：25． 【填空题】1．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，△ABC的三个顶点都在格点处，则sin∠ABC的值等于　　． 【填空题】2．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是　　． 【填空题】3．如图，在4×3的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点E，则sin∠BED的值是　　． 【选择题】4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF，则BC的长为（　　） A．6 B． C． D．10 【填空题】5．如图，已知正方形ABCD，点E是AB的中点，连接DE．EF⊥DE交BC于点K，且EF＝DE，连接DF交BC于点H．FG⊥AB交AB的延长线于点G．求CH：HK：BK的值是　　． 押题猜想三 函数的新定义问题 限时：7.5min （改编）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”．下列说法正确的是　　． ①在y＝﹣2x+1，，y＝x2+x+1这三个函数中，图象上只有一个“纵三倍点”的函数有2个； ②若抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，则抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8； ③若抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，则只且只有一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t． 押题解读 作为新课标理念下的新兴考查内容，本考点目前多以选择题末位题形式呈现．命题特点在于通过将新增函数与一次函数、二次函数或反比例函数进行联立，对函数图象上的特定点赋予新定义，巧妙实现“一题多考”的综合考查目标．从命题趋势分析，该类问题后续可能升级为新定义函数类解答题，需重点关注函数联立的逻辑推导与新定义概念的深度理解． 【选择题】1．定义在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足nx﹣y＝n，n为正整数，则称点P为该函数的“n倍值点”． ①点（3，4）是一次函数y＝x+1的“2倍值点”； ②若二次函数y＝x2+bx+2存在唯一的“2倍值点”，则b＝﹣2； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“n倍值点”； ④若函数y＝﹣x+2n+3的“n倍点”在以点（﹣2，﹣3）为圆心，2n为半径的圆内部，则n为不小于3的所有整数． 上述说法正确的有（　　） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【选择题】2．定义：若x，y满足（m为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．下列说法正确的是（　　） ①P（2，2）是“和谐点”； ②直线y＝﹣2x+5上有且只有一个“和谐点”； ③当k＞2时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”； ④若二次函数y＝x2+x+a的图象上有3个“和谐点”，则a＝﹣2或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【选择题】3．在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），若满足x1+x2＝y1+y2，我们称点P和点Q互为等和点．下列结论： ①若点P坐标为（1，3），则点P的等和点Q在直线y＝x﹣2上； ②若点P坐标为（﹣3，2），则无论a取何值，直线y＝ax﹣3a+1上有且只有一个点是点P的等和点； ③若点P、Q分别在函数、y＝x﹣2的图象上，点P和Q互为等和点，则点P的坐标为（2，4）； ④若点P坐标为（n，0），则二次函数y＝﹣x2﹣nx+1图象上总存在点P的等和点． 其中正确的为（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【选择题】4．定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a（a≥0），到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a方内点”． 对于下列四个结论： ①点（1，2）是一次函数y＝2x图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则﹣2＜k＜0； ④当函数的“a方内点”恰有3个时，符合条件的a的值也有3个．其中正确的序号为（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 押题猜想四 旋转最值问题 限时：5.5min （原创）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝4，将它绕着边AC的中点O旋转一周，得到△A’B’C’，连接CA’、CB’，则△CA’B’面积的最大值为　　． 押题解读 本考点作为高频考查内容，在试卷中多以选择题或填空题末位题形式呈现，亦可能作为压轴解答题中的子问题出现．试题常以三角形、四边形为几何背景展开，综合考查垂线段最短、三点共线最值问题，以及全等、相似等核心知识点． 备考过程中，熟悉并掌握瓜豆原理、隐圆模型等典型几何模型，可有效提升解题效率．特别提示：在分析动态几何问题时，建议通过研究临界状态（如极端位置、特殊图形）寻找解题突破口，将抽象问题转化为直观的几何关系进行推理． 【选择题】1．（瓜豆原理）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【选择题】2．（瓜豆原理）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为（　　） A． B． C． D． 【填空题】3．（隐圆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则∠COD的度数是　　，△AOC面积的最大值为　　． 【解答题】4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′． （1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长； （2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长； （3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由． 押题猜想五 相似的判定与性质、函数表达式综合 限时：5.5min （改编）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝3ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝2y时，CD＝　　；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为　　． 押题解读 作为新课标背景下的新兴考查内容，本考点多以填空题末位题或解答题形式呈现．命题常以动态几何中的动点问题为载体，题干通常设定两条动线段的长度分别作为自变量与因变量，要求通过相似三角形的判定与性质逐层推导边与边的数量关系，最终建立变量间的函数关系式．此类问题着重考查几何直观能力与逻辑推导能力，需在动态情境中精准把握相似关系的转化逻辑． 【填空题】1．已知菱形ABCD和菱形AECF，B、E、F、D在同一直线上，且∠EAF＝∠ABC，设，则y关于x的函数表达式为　　． 【填空题】2．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设y，则y关于x的函数表达式是　　． 【填空题】3．如图，正△ABC边长为1，D为AC上一动点（D不与A、C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，M为线段AB上一点，且BM＝AD，过M作MN∥DE交BD于N．设BE＝x，MN＝y．当AM＝BE时，x＝　　；在点D运动的过程中，y关于x的函数表达式为　　． 【填空题】4．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E是对角线BD上一点（不与B、D重合），连接AE，过点E作AE的垂线，交BC边于点F，则　　；若DE＝x，△BEF的面积为y，则y与x的函数关系式为　　． 【解答题】5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E为边BC上一定点，且BE＝2，点F、P分别是AD、AB边上的一点，且PE⊥EF，将△EFP沿直线FP翻折得到△E′FP，点E的对应点为E′，线段E′F与AB相交于点Q，设BP＝x，AQ＝y． （1）当点E′与点A重合时，求BP的长； （2）求tan∠EFP的值； （3）求y与x的函数关系式． 押题猜想六 一次函数、二次函数实际应用题 限时：10min 1．高架的某入口车道设置为“两左三直一右”，早高峰期间，直行排队上高架的车辆非常多，但是两个左转车道车流量较少；晚高峰期间，左转车流量较大．交通部门对该路口的第2和第5车道的车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如表所示，并发现两条车道的车流量和时间的变化规律都符合一次函数的特征，其中y2＝﹣x+40． 时间x 7时 10时 13时 16时 19时 第2车道车流量y1（辆/分钟） 18 24 30 36 42 第5车道车流量y2（辆/分钟） 33 30 27 24 21 （1）y1与x的函数表达式为　　； （2）在12时，通过计算判断y1与y2的大小关系； （3）如图，为了改善路口各时段的通行需求，将此路口的第二和第五车道均设置成可变车道，车道属性会根据早晚高峰等不同时段车流通行需求进行灵活切换．假设单位时间内第2和第5车道的车流总量为m＝y1+y2，这两车道中较大的车流量为n，经查阅资料得：当时，交通为严重拥堵，此时可将可变车道行车方向变为车流量较大的方向，以改善交通情况．该路段从7时至19时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 2．某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表： 售价x（元/件） 40 45 月销售量y（件） 300 250 月销售利润w（元） 3000 3750 注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价） （1）求y关于x的函数表达式； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围． 押题解读 二次函数与一次函数的实际应用考点是中考的核心必考内容，历年来均以解答题的形式呈现，整体难度定位在中等水平．从无锡近三年的中考命题趋势来看，2022年和2023年连续两年聚焦二次函数的实际应用考查，而2024年则转向一次函数的实际应用． 解答这类题目时，务必遵循规范的解题步骤：首先要逐字逐句研读题干，精准提炼出题目中的关键信息和等量关系；接着，依据具体情境准确建立函数模型；最后，结合一次函数的增减性或二次函数的图象特征，求解函数的最值及其他相关问题．此类题型着重考查同学们对函数知识的综合运用能力与严谨的运算素养，需要大家加强针对性训练，提升解题的熟练度和准确率． 【解答题】1．一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的BC长为x米，矩形面积为y平方米． （1）求y关于x的函数表达式； （2）考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当x取何值时，所围矩形土地的面积最大． 【解答题】2．某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，35≤x≤55，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价． 【解答题】3．某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【解答题】4．某文创店经销两种春节纪念品，两次购进纪念品的情况如表所示： A种纪念品（件） B种纪念品（件） 合计金额（元） 第一次 50 30 1200 第二次 30 40 1160 （备注：A，B两种纪念品的进价保持不变） （1）求A、B两种纪念品的进价； （2）销售完前两次购进的纪念品后，该店第三次购进A、B两种纪念品共200件，且进货资金不超过3360元，将其中的2a件A种纪念品和3a件B种纪念品按进价销售，剩余的A种纪念品按17元/件，B种纪念品按30元/件销售．若第三次购进的200件纪念品全部售出后，获得的最大利润为800元，求a的值． 【解答题】5．某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张．学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元． （1）求a的值； （2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？ 押题猜想七 圆综合题 限时：10min 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，交BA的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AF＝2，tan∠F，求⊙O的半径． 2．如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，分别与AC、BC相交于点D、E，连接AE、BD交于点F，且DE平分∠BDC． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝6，BE＝8，当DE＝EF时，求的值． 押题解读 作为中考必考内容，本考点通常以中等难度的解答题形式出现．其中，第1小问侧重逻辑证明，常涉及切线判定、线段数量与位置关系探究、相似三角形判定等核心内容；第2小问则聚焦计算求解，需综合运用勾股定理、相似性质及锐角三角函数等知识，解决角度计算、线段长度及比例关系等问题． 特别提示：证明切线时，必须同时满足“直线过圆上某点”且“该点与圆心的连线与直线垂直”（即“过切点”且“夹角为90°”），两个条件缺一不可，需在答题中完整呈现推理依据。本考点为必考考点，以解答题的形式呈现，难度中等． 【解答题】1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D． （1）求证：∠D＝∠EBC； （2）若CD＝2BC，AE＝6，求AB． 【解答题】2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝12，BC＝5，求CD的长． 【解答题】3．如图，△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，DF是⊙O的切线交AC于点F． （1）试判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若AC与⊙O相切于点M，⊙O的半径为3，，求AB的长． 【解答题】4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE＝DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若OB＝2，OC＝1，tanA，求AE的长． 押题猜想八 尺规作图 限时：12min 1．如图，已知△ABC． （1）在图1中用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D使得∠ADC＝2∠ABC，再作出△ABD的内切圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）条件下，若AB＝16，，则⊙O的半径为　　． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到AB、BC两边的距离相等，设直线l与AC边交于点D，在BC上找一点E，使∠BDE＝45°；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若CE＝1，BE＝5，则CD的长为　　． 押题解读 作为中考必考内容，本考点常以解答题倒数第3题的形式考查，整体难度中等偏上．尺规作图题作为实践操作类核心题型，高度契合新课标倡导的“做中学”理念，注重考查几何原理与动手操作的结合． 备考过程中，需系统梳理尺规作图的基本方法与操作步骤，提炼典型几何构造的逻辑依据（如垂直平分线、角平分线的尺规作法原理），形成清晰的解题流程框架，以应对命题形式日趋灵活的新挑战． 【解答题】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AB上找一点P，以点P为圆心作一个圆，使⊙P与AC、BC都相切；（不写作法，保留作图痕迹，作图痕迹描粗加黑） （2）已知Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求⊙P的半径．（如需画辅助线，请使用图2） 【解答题】2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：请在图1的△ABC内作一点P，使点P在以BC为直径的圆上，且点P到AB、BC的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，AB＝4，则直径BC、弦BP、围成的封闭图形的面积为　　．（如需画草图，请使用备用图） 【解答题】3．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①在AC上求作点O，使以O为圆心的圆经过A，C两点； ②若⊙O交BC于D，求作点E，使E为劣弧CD的中点．（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） （2）在（1）的条件下，连接AE交BC于点F，若AB＝6，CF＝3，则cosB＝　　． （如需画草图，请使用图2） 【解答题】4．在矩形ABCD中，AD＞AB． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD上确定点E，使 BE＝BC．再在CD上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C． （2）在（1）的条件下，若AB＝3，且 ，则BC的长为　　． 【解答题】5．如图，在△ABC中，AB＞AC． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB＝DC；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值） 押题猜想九 二次函数综合题 限时：15-20min 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴直线x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； （3）以点B为圆心，画半径为2的圆，P为⊙B上一个动点，请求出PCPA的最小值． 2．如图，抛物线yx2+bx与x轴交于点A（5，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点B（1，m）是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPA＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 3．已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴分别交于点A和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当∠PCA＝∠ACD时，求点P的坐标； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 押题解读 作为中考数学的必考内容，本考点常以解答题压轴题（倒数第1题或第2题）形式呈现，综合难度较高．二次函数综合题主要聚焦三类核心问题： 其一，面积最值问题．需先将几何图形中的相关线段长度用含自变量的代数式表示，进而转化为二次函数面积表达式，再借助函数图象与性质求解最值． 其二，线段或周长最值问题．命题常与垂线段最短、三点共线最值、胡不归模型等经典几何最值模型相结合，需通过几何转化或代数运算建立函数关系推导极值． 其三，存在性问题．具体包括特殊角度（或角度数量关系）、特殊三角形（如等腰/直角三角形）、特殊四边形（如平行四边形/矩形/菱形）的存在性探究，需通过分类讨论思想，结合几何性质构建方程或函数关系式进行验证． 【解答题】1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴分别相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点C，∠CBA＝45°． （1）请求出a的值； （2）已知点D是函数图象上一动点（不与A、B重合），过点D的直线l平行于y轴，与△ABD的外接圆交于另一点E，连接AE，CE．请问是否存在点D，使得AE+CE最小？若存在，请求出点D坐标并求出AE+CE的最小值；若不存在，请说明理由． 【解答题】2．如图，二次函数y＝ax2﹣6ax+c（a＜0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线BQ交y轴于点E，且5EQ＝3BQ． （1）请直接写出A，B两点的坐标：A　　，B　　； （2）当顶点P与点Q关于x轴对称时，S△QCE． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使∠BEF＝2∠OBE，请直接写出点F的坐标． 【解答题】3．已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接AC，BC，若点P为直线BC下方的函数图象上一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交BC于点E． ①点F为线段DE上一动点，FG⊥y轴，垂足为点G，点H为线段AC上一动点，连接CP，BF，GH．当△BCP的面积最大时，求BF+FG+GH的最小值； ②在y轴上是否存在点T，使以P、E、C、T为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答题】4．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线x＝2，且经过点A（4，3），该抛物线与x轴的负半轴交于点B． （1）此抛物线对应的函数表达式； （2）点P是抛物线上的一点，当△PAB的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； （3）点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若△AMN是以AM为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 押题猜想十 四边形综合题 限时：15-20min 在▱ABCD中，，E是边BC上一点，将△ABE沿着AE翻折到△AFE， （1）如图1，若E、F、D三点共线， ①求证：AD＝DE； ②若BC＝2，∠AFE＝∠CFE，求BE的长． （2）如图2，若，点E是BC中点，CF＝1，求▱ABCD的面积． 押题解读 根据历年无锡中考数学的命题趋势以及对四边形知识板块的考查重点分析，2025年无锡中考很有可能考查四边形的综合题．这类题目往往会将平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的性质与判定进行融合，同时可能结合三角形全等、相似、勾股定理等知识，对同学们的综合运用能力要求较高． 比如，可能会给出一个四边形，通过添加一些条件，如边长关系、角度关系、对角线关系等，要求同学们判断该四边形的形状，或者证明其具有某些特殊性质；又或者已知一个特殊四边形，在图形中进行一些线段的添加、动点的设置，进而求解线段长度、图形面积、角度大小等问题． 【解答题】1．已知，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B的对应点B′落在边CD的中点上，A′B′交AD于点G，连接BB'． （1）如图，若AB＝4，AD＝6时，求EF的长； （2）若G为AD的三等分点，求的值． 【解答题】2．【观察发现】 如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝6，点E为AD边上的一个动点．连接EO并延长交BC于点F，将四边形ABCD沿着直线EF折叠，点A的对称点是点A′，点B的对称点是点B′．点E从点A出发，沿着AD运动，当点B′与点D重合时，运动停止． 【解决问题】 （1）判断△EFG的形状； （2）设AE＝x，DG＝y，求出y与x之间的函数表达式（无需写出x的取值范围）； （3）如图2，连接OD交B′F于点H．当x＝1时，求的值． 【解答题】3．综合与探究 （1）【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，求证：CE＝DF”．请完成解答过程： 证明：设CE与DF交于点P ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝　　， ∴∠BCE+∠DCE＝90°， ∵CE⊥DF， ∴∠CPD＝　　°， ∴∠CDF+∠DCE＝90°， ∴∠CDF＝∠BCE， ∴△CBE≌△DCF（　　填判定依据，用字母表示）， ∴CE＝DF． （2）【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，F分别在边AB，BC上，且CE⊥DF，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点E为AB的三等分点，过点B作BD⊥CE交AC于D，请直接写出BD的长． 【解答题】4．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD． （1）求证：； （2）在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势； （3）已知AB，设CP＝x，S△PBD＝S，试求S关于x的函数表达式． 【解答题】5．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是AB边上的一个动点，连接DE，过点E作DE的垂线交BC于点F，以EF为斜边作等腰直角三角形EFG（点G在EF上方）． （1）若AE＝2，求GE的长； （2）当点E从点A运动到点B的过程中，求△EFB的外接圆的圆心到AB边距离的最大值； （3）当点E从点A运动到点B时，则点G经过的路径长为　　． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学终极押题猜想（江苏无锡专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 圆锥的有关计算 1 押题猜想二 解直角三角形 3 押题猜想三 函数的新定义问题 11 押题猜想四 旋转最值问题 18 押题猜想五 相似的判定与性质、函数表达式综合 26 押题猜想六 一次函数、二次函数实际应用题 34 押题猜想七 圆综合题 40 押题猜想八 尺规作图 48 押题猜想九 二次函数综合题 57 押题猜想十 四边形综合题 77 押题猜想一 圆锥的有关计算 限时：1.5min （原创）已知一个圆锥的高为cm，底面半径为1cm，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为　　°． 【答案】120 【解析】解：这个圆锥的母线长3（cm）， 这个圆锥的底面周长，即侧面展开图的弧长＝2π·1＝2π（cm）， ∴＝2π，解得：n＝120． 故本题答案为：120． 押题解读 本考点作为高频考查内容，在中考试题中多以选择题、填空题为主要考查形式，整体难度适中．2024年无锡中考数学试题及2025年多份无锡中考数学一模、二模试卷中均对该考点进行了考查．值得注意的是，此考点属于与高中数学知识形成螺旋上升体系的重要内容，在高中阶段会进一步深入学习． 在解题过程中，关键在于准确绘制圆锥及其侧面展开图，并熟练运用扇形的弧长和面积公式．通过这一知识板块的考查，重点检验学生的几何直观素养与运算求解能力，需要同学们在理解基本原理的基础上强化图文转化能力与公式应用的熟练度． 【选择题】1．一个圆锥的母线为4cm，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的侧面积为（　　） A．4πcm2 B．6πcm2 C．8πcm2 D．12πcm2 【答案】C 【解析】解：圆锥的侧面积为：2π×2×4＝8π（cm2）． 故本题选：C． 【选择题】2．小红用彩色纸制作了一个圆锥型的生日帽，其底面半径为9cm，母线长为20cm，不考虑接缝，这个生日帽的侧面积为（　　） A．180πcm2 B．180cm2 C．360πcm2 D．360cm2 【答案】A 【解析】解：×2π×9×20＝180π（cm2）， ∴这个生日帽的侧面积为180πcm2． 故本题选：A． 【填空题】3．已知圆锥的高为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为　　． 【答案】36πcm2 【解析】解：∵圆锥的高为3cm，母线长为5cm， ∴圆锥的底面半径为：4（cm）， ∴圆锥的表面积为：π×422π×4×5＝36π（cm2）． 故本题答案为：36πcm2． 【填空题】4．一个圆锥的侧面积是6π，其侧面展开图是半圆，则这个圆锥底面圆的半径是　　． 【答案】 【解析】解：设圆锥的底面半径是r，母线长为l， 由题意可得：πrl＝6π，整理得：rl＝6， ∵πl＝2πr， ∴l＝2r， ∴2r2＝6，解得：． 故本题答案为：． 【填空题】5．若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为　　cm． 【答案】3 【解析】解：半圆形弧长为：l6π（cm）， 设圆锥底面半径为r cm，则2πr＝6π， ∴r＝3， 设圆锥高为hcm，则h2+r2＝62， ∴h2＝36﹣9＝27，解得：h＝3， ∴这个圆锥的高为3cm． 故本题答案为：3． 押题猜想二 解直角三角形 限时：3.5min （原创）1．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，△ABC的三个顶点都在格点处，则sin2∠ABC的值等于　　． 【答案】 【解析】解：法一：过点C作CD⊥AB于点D， 由勾股定理可知：AB，BC，AC， 设BD＝x，则AD＝2x， ∴由勾股定理可知：10﹣x2＝18﹣（x）2，解得：x， ∴由勾股定理可知：CD， ∴sin∠ABC； 如图，在网格纸中构造△EFC，过点E作EM⊥FG于点M， 由勾股定理可知：EF＝EG＝5，FG＝6， ∴FM＝GM＝3， ∴sin∠EFM＝sin∠EGM， ∴sin2∠ABC＝sin∠FEG， 过点F作FN⊥EG于点N， 设EN＝t，则GN＝5﹣t， ∴由勾股定理可知：25﹣t2＝36﹣（5﹣t）2，解得：t， ∴由勾股定理可知：FN， ∴sin2∠ABC＝sin∠FEN． 法二：可自行尝试用二级结论． 故本题答案为：． 押题解读 作为中考必考内容，本考点在选择题、填空题及解答题中均有考查，既可能独立命题，也常与三角形、四边形、圆及相似等知识综合考查边角相关问题． 备考时需强化常规解三角形方法的训练，例如通过添加辅助线构建勾股关系等基本策略，同时建议掌握常用的二级结论（如“12345模型”“345角的拆分与组合”等），以提升解题速度．特别提醒：此类结论仅适用于选择题和填空题的快速推理，不可直接用于解答题的规范推导过程，需注意不同题型的答题规范差异． （一）12345模型： 1.若α的对：邻：斜＝1：2：，β的对：邻：斜＝1：3：，则α+β＝45°； 2.若α的对：邻：斜＝2：1：，β的对：邻：斜＝1：3：，则α-β＝45°； 3.若α的对：邻：斜＝1：2：，β的对：邻：斜＝3：1：，则β-α＝45°． （二）345角的拆与合： 1.若2α的对：邻：斜＝3：4：5，α的对：邻：斜＝1：3：； 2.若2α的对：邻：斜＝4：3：5，α的对：邻：斜＝1：2：； 3.若α的对：邻：斜＝3：4：5，2α的对：邻：斜＝24：7：25； 4.若α的对：邻：斜＝4：3：5，2α的对：邻：斜＝180°﹣24：7：25． 【填空题】1．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，△ABC的三个顶点都在格点处，则sin∠ABC的值等于　　． 【答案】 【解析】解：法一：过点A作AD⊥BC于点D， 由勾股定理可知：AB，AC，BC， 设BD＝x，则CD＝2x， ∴由勾股定理可知：5﹣x2＝13﹣（2x）2，解得：x， ∴由勾股定理可知：AD， ∴sin∠ABC． 法二：可自行尝试用二级结论． 故本题答案为：． 【填空题】2．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是　　． 【答案】 【解析】解：如图， 由题意得：AC2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝32+42＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴AC，AB＝5， ∵BE＝EF，DE∥AF， ∴BD＝AD， ∴CD＝BDAB， ∴∠CBD＝∠BCD， ∵∠CDA＝∠BCD+∠CBD， ∴∠CDA＝2∠CBD， ∴sin∠CBD， 故本题答案为：． 【填空题】3．如图，在4×3的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点E，则sin∠BED的值是　　． 【答案】 【解析】解：如图，连接DF，CF，过点F作FG⊥CD，垂足为G， 由题意可得：CD， DF， △DCF的面积＝3×33×22×13××1 ＝9﹣3﹣1 ， ∴CD•FG， FG＝7， FG， 在Rt△DFG中，sin∠FDG， 由题意可得：AB∥FD， ∴∠BED＝∠FDG， ∴sin∠BED＝sin∠FDG． 故本题答案为：． 【选择题】4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF，则BC的长为（　　） A．6 B． C． D．10 【答案】B 【解析】解：如图，连接BF， ∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴S△AFE＝S△BFE＝25，∠FBA＝∠A， ∴S△AFB＝50AF•BC， ∵CE＝AE＝BEAB， ∴∠A＝∠FBA＝∠ACE， 又∵∠BCA＝90°＝∠BEF， ∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A， ∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A， ∴∠CEF＝∠FBC， ∴sin∠CEF＝sin∠FBC， 设BF＝AF＝x， ∴CFx， 又∵BC•AF＝50， ∴BC， 又∵BC2+CF2＝BF2， ∴（）2+（x）2＝x2， ∴x＝5， ∴BC4． 故本题选：B． 【填空题】5．如图，已知正方形ABCD，点E是AB的中点，连接DE．EF⊥DE交BC于点K，且EF＝DE，连接DF交BC于点H．FG⊥AB交AB的延长线于点G．求CH：HK：BK的值是　　． 【答案】4：5：3 【解析】解：由题意可得：∠ADE+∠AED＝90°， ∵EF⊥DE， ∴∠GEF+∠AED＝90°， ∴∠ADE＝∠GEF， ∵FG⊥AB， ∴∠A＝∠G＝90°， ∵EF＝DE， ∴△ADE≌△GEF（AAS）， ∴AE＝FG， ∴设AE＝BE＝a，则AD＝AB＝2a， ∵△ADE≌△GEF， ∴EG＝AD＝2a，FG＝AE＝a， ∴BG＝EG﹣BE＝a， 如图，过点F作FM⊥BC， ∵CB⊥AG，FG⊥AB，BG＝FG＝a， ∴四边形MBGF是正方形， ∴MF＝MB＝BG＝FG＝a， ∴MF＝EB， ∵∠FMK＝∠EBK，∠MKF＝∠BKE， ∴△FMK≌△EBK（AAS）， ∴， ∵∠C＝∠FMH， ∴DC∥MF， ∴△DCH∽△FMH， ∴， ∴CH＝2MH， ∵CH+MH＝CM＝BC﹣BM＝a， ∴，， ∴， ∴． 故本题答案为：4：5：3． 押题猜想三 函数的新定义问题 限时：7.5min （改编）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”．下列说法正确的是　　． ①在y＝﹣2x+1，，y＝x2+x+1这三个函数中，图象上只有一个“纵三倍点”的函数有2个； ②若抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，则抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8； ③若抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，则只且只有一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t． 【答案】①② 【解析】解：（1）由得， ∴在直线y＝﹣2x+1上只有一个“纵三倍点”：（，）， 由得：，， ∴反比例函数y的图象上有两个“纵三倍点”：（，﹣3），（，3）， 由得：， ∴二次函数y＝x2+x+1的图象上只有一个“纵三倍点”：（1，3）， 故①正确； ∵抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点， ∴方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0， ∴（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0， ∴nm2m， ∵抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”， ∴x＝2，y＝6， ∴n＝﹣2m+2， 联立可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8， 故②正确； ∵抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”， ∴方程3x＝ax2+bx有且只有一个实数根， ∴Δ＝（b﹣3）2﹣4a＝0， ∴a（b﹣3）2， ∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1， 由题意，当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t， 当t+1≤2，即t≤1时，当b＝t+1时，w有最小值， ∴t＝2（t+1﹣2）2+1，即2t2﹣5t+3＝0，解得：t1＝1，t2（舍去）， ∴此时不存在常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t； 当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，w的最小值为1，即t≤b≤t+1时，w的最小值为1，不合题意； 当t＞2时，t＝2（t﹣2）2+1，即2t2﹣9t+9＝0，解得：t1（舍去），t2＝3， ∴存在常数t＝3，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t； 综上，t的值为1或3，故③错误． 故本题答案为：①②． 押题解读 作为新课标理念下的新兴考查内容，本考点目前多以选择题末位题形式呈现．命题特点在于通过将新增函数与一次函数、二次函数或反比例函数进行联立，对函数图象上的特定点赋予新定义，巧妙实现“一题多考”的综合考查目标．从命题趋势分析，该类问题后续可能升级为新定义函数类解答题，需重点关注函数联立的逻辑推导与新定义概念的深度理解． 【选择题】1．定义在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足nx﹣y＝n，n为正整数，则称点P为该函数的“n倍值点”． ①点（3，4）是一次函数y＝x+1的“2倍值点”； ②若二次函数y＝x2+bx+2存在唯一的“2倍值点”，则b＝﹣2； ③反比例函数，总存在二个关于原点对称的“n倍值点”； ④若函数y＝﹣x+2n+3的“n倍点”在以点（﹣2，﹣3）为圆心，2n为半径的圆内部，则n为不小于3的所有整数． 上述说法正确的有（　　） A．① B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【解析】解：对于①，由题意可知：∵nx﹣y＝n，n为正整数，点P为该函数的“n倍值点”， ∴y＝n（x﹣1）， 又∵2×（3﹣1）＝4， ∴点（3，4）是一次函数y＝x+1的“2倍值点”，故①正确； 对于②，由题意可知：∵“2倍值点”的n＝2， ∴y＝2（x﹣1）， 联立方程组， ∴x2+（b﹣2）x+4＝0， ∵二次函数y＝x2+bx+2存在唯一的“2倍值点”， ∴Δ＝（b﹣2）2﹣16＝0， ∴b＝6或﹣2，②错误； 对于③，联立方程组， ∴n（x﹣1）， ∴nx2﹣nx﹣4＝0， ∵n为正整数， ∴Δ＝n2+16n＞0， ∴反比例函数总存在二个的“n倍值点”． 设其中一点为（x1，），另一个点为（x2，）， ∴x1+x2＝1≠0． ∴这两个“n倍值点”不关于原点对称，故③错误； 对于④，联立方程组， ∴． ∴函数y＝﹣x+2n+3的“n倍点”为（3，2n）． ∴点（3，2n）与点（﹣2，﹣3）的距离为， 又∵当（3+2）2+（2n+3）2≤（2n）2时， ∴12n+34≤0， 又∵n为正整数， ∴不合题意，故④错误． 故本题选：A． 【选择题】2．定义：若x，y满足（m为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．下列说法正确的是（　　） ①P（2，2）是“和谐点”； ②直线y＝﹣2x+5上有且只有一个“和谐点”； ③当k＞2时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”； ④若二次函数y＝x2+x+a的图象上有3个“和谐点”，则a＝﹣2或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】解：∵x，y满足（m为常数）， ∴y﹣x， ∴3（y﹣x）＝（x+y）（x﹣y）， 当x﹣y＝0时，y＝x， 当x﹣y≠0时，﹣3＝x+y，即y＝﹣x﹣3， ①把P（2，2）代入y＝x成立，故①正确； ②y＝﹣2x+5与直线y＝x和y＝﹣x﹣3分别有一个交点，故错误； ③由，k＞2可知：有两个交点， 由得：x2﹣3x+k＝0， Δ＝9﹣4k， 当k＞2时，Δ＜1， ∴0＜Δ＜1，有两点交点，Δ＝0，有一个交点，当Δ＜0，无交点， 综上，最多有4个和谐点，故错误； ④联立方程组和， i）后面方程组有1个解时，a＝﹣2，此时前面方程组有两个解时，成立， ii）前面方程组有1个解时，a＝0，此时后面方程组无解，不成立； iii）前后方程组各有2个解，但前后的解中有一组重合， 联立方程组，即（，），此时a＝；故正确； 故本题选：B． 【选择题】3．在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），若满足x1+x2＝y1+y2，我们称点P和点Q互为等和点．下列结论： ①若点P坐标为（1，3），则点P的等和点Q在直线y＝x﹣2上； ②若点P坐标为（﹣3，2），则无论a取何值，直线y＝ax﹣3a+1上有且只有一个点是点P的等和点； ③若点P、Q分别在函数、y＝x﹣2的图象上，点P和Q互为等和点，则点P的坐标为（2，4）； ④若点P坐标为（n，0），则二次函数y＝﹣x2﹣nx+1图象上总存在点P的等和点． 其中正确的为（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】A 【解析】解：∵点P坐标为（1，3），且点Q和点P互为等和点， ∴xQ+1＝yQ+3，即yQ＝xQ﹣2， ∴点Q在直线y＝x﹣2上，故①正确； 令点P的等和点坐标为（m1，n1），则m1﹣3＝n1+2， ∴n1＝m1﹣5，即点P的等和点在直线y＝x﹣5上， 当a＝1时，直线的解析式为y＝x﹣2， 显然直线y＝x﹣2与直线y＝x﹣5平行， ∴点P的等和点此时一定不在直线y＝ax﹣3a+1上，故②错误； 令点P坐标为（），点Q坐标为（xQ，xQ﹣2）， ∵点P与点Q互为等和点， ∴，解得：xP＝2或﹣4， ∴点P坐标为（2，4）或（﹣4，﹣2），故③错误； 令点P的等和点坐标为（m2，n2）， ∴m2+n＝n2，即点P的等和点在直线y＝x+n上． 由﹣x2﹣nx+1＝x+n得：x2+（n+1）x+n﹣1＝0， ∴Δ＝（n+1）2﹣4（n﹣1）＝n2+2n+1﹣4n+4＝（n﹣1）2+4＞0， ∴此方程一定有两个不相等的实数根， ∴二次函数y＝﹣x2﹣nx+1图象上总存在点P的等和点，故④正确． 故本题选：A． 【选择题】4．定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a（a≥0），到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a方内点”． 对于下列四个结论： ①点（1，2）是一次函数y＝2x图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则﹣2＜k＜0； ④当函数的“a方内点”恰有3个时，符合条件的a的值也有3个．其中正确的序号为（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解析】解：①点（1，2）到x轴距离为2，到轴的距离等于1，不大于2， 故（1，2）是一次函数y＝2x图象的“2方内点”，故①正确； ②当x＝﹣2时，y，则点（﹣2，）到轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数y图象上的“2方内点”，故②错误； ③如图1，若直线y＝kx+k的“方内点”有两个， 由题意可知：函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上， 当x＝﹣1时，y，即直线过定点； 当k＝0时，直线y＝kx+k与AD有无数个“方内点”， 对于直线PB，把点代入y＝kx+k中，，解得：k＝﹣2， 当﹣2＜k＜0时，直线与正方形ABCD的边有两个交点，表明有两个“方内点”， 故③正确； ④如图2，抛物线y2a﹣1的“a方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为2a且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点， 当抛物线顶点在直线y＝﹣a上时，抛物线恰有三个“a方内点”， 此时：2a﹣1＝﹣a，解得：a＝1，a＝1（舍去）； 当抛物线经过点B（﹣a，﹣a） 时，抛物线恰有三个“a方内点”， 此时a， 整理得：11a2+2a﹣3＝0，解得：a1，a2（舍去）； 当抛物线经过点C（a，﹣a）时，抛物线恰有三个“a方内点”， 此时2a﹣1＝﹣a， 整理得：a2﹣2a﹣1＝0，解得：a1＝1，a2＝1（舍去）； 综上，a的值恰有三个，分别为1，1，，故④正确； 故正确的有①③④． 故本题选：C． 押题猜想四 旋转最值问题 限时：5.5min （原创）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝4，将它绕着边AC的中点O旋转一周，得到△A’B’C’，连接CA’、CB’，则△CA’B’面积的最大值为　　． 【答案】 【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝4， ∴， ∵△ABC绕着边AC的中点O旋转一周，得到△A’B’C’， ∴， ∴A’在以O为圆心，为半径的圆上运动， 由题意可知：△CA’B’的面积为边上的高， 要求△CA’B’的面积的最大值，即求A’B’边上的高的最大值， 如图，当A’B’⊥AC时，A’B’上的高最大，记垂直于为M，则A’B’上的高为BM， ∵∠A’＝∠A＝30°， ∴， ∴， ∴△CA’B’面积的最大值为． 故本题答案为：． 押题解读 本考点作为高频考查内容，在试卷中多以选择题或填空题末位题形式呈现，亦可能作为压轴解答题中的子问题出现．试题常以三角形、四边形为几何背景展开，综合考查垂线段最短、三点共线最值问题，以及全等、相似等核心知识点． 备考过程中，熟悉并掌握瓜豆原理、隐圆模型等典型几何模型，可有效提升解题效率．特别提示：在分析动态几何问题时，建议通过研究临界状态（如极端位置、特殊图形）寻找解题突破口，将抽象问题转化为直观的几何关系进行推理． 【选择题】1．（瓜豆原理）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABP＝∠BAD＝90°， ∵△ABF，△APQ都是等边三角形， ∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA， ∴∠BAP＝∠FAQ， 在△BAP和△FAQ中， ， ∴△BAP≌△FAQ（SAS）， ∴∠ABP＝∠AFQ＝90°， ∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°， ∴点Q在射线FE上运动， ∵AD＝BC＝5， ∴DE＝AD﹣AE， ∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°， ∴DH＝DE•sin60°， 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为， 故本题选：A． 【选择题】2．（瓜豆原理）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：过点D作DH⊥AC于点H，连接HG并延长交CD于点E，过点H作HF⊥CD于点F，如图， ， ∵DG⊥PG，DH⊥AC， ∴∠DGP＝∠DHA＝90°， ∵∠DPG＝∠DAC， ∴△DGP∽△DAH， ∴，∠PDG＝∠ADH， ∴∠ADP＝∠HDG， ∴△ADP∽△HDG， ∴∠DAP＝∠DHG＝定值， ∴点G在HE上运动，当CG⊥HE时，CG取得最小值， ∵∠ADC＝90°，DH⊥AC， ∴△ADH∽△CDH， ∴∠DAH＝∠CDH， ∴∠DHG＝∠CDH， ∴HE＝DE， ∵∠DHG+∠EHC＝90°，∠HCD+∠CDH＝90°， ∴∠EHC＝∠HCD， ∴HE＝CE， ∴HE＝DE＝CECD＝3， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8， ∴AC10， ∵， ∴DH． ∴AH， ∴CH＝AC﹣AH， ∵HF⊥CD，AD⊥CD， ∴HF∥AD， ∴△CHF∽△CAD， ∴， ∴， ∴HF． ∵CG⊥HE，HF⊥CE， ∴， ∴CG． 故本题选：C． 【填空题】3．（隐圆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则∠COD的度数是　　，△AOC面积的最大值为　　． 【答案】135°，44 【解析】解：由旋转性质可知：AC＝BC＝AE＝DE＝4，AB＝AD＝4， ∴， ∵∠DAE＝∠CAB＝45°， ∴∠DAE+∠EAB＝∠CAB+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC． ∴△ABD∽△ACE， ∴∠DBA＝∠ECA， 如图，设AB、CE交于点G， ∵∠EGB＝∠CGA， ∴∠BOC＝∠BAC＝45°， ∴∠COD＝135°； ∵∠BOC＝∠BAC＝45°， ∴A、C、B、O四点共圆， 由圆内接四边形性质可知：∠BOA+∠BCA＝180°， ∴∠BOA＝90°，即AO⊥BD， 以AC作△AOC底边，则O到AC距离为高，设高为h， 当h最大时，△AOC面积才最大， ∵A、C、B、O四点共圆，且∠BCA＝90°， ∴AB为此圆直径，当h垂直AC通过圆心的时候，h最大， 此时h＝22， ∴△AOC的面积最大值为4×（22）＝44， 故本题答案为：135°，44． 【解答题】4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′． （1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长； （2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长； （3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8；（2）；（3）1 【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC4， ∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上， ∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5， Rt△A'BC中，A'C4， ∴AA'＝AC+A'C＝8； （2）如图，过C作CE∥A'B交AB于E，过C作CD⊥AB于D， ∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′， ∴∠A'BC'＝∠ABC，BC'＝BC＝3， ∵CE∥A'B， ∴∠A'BC'＝∠CEB， ∴∠CEB＝∠ABC， ∴CE＝BC＝3， 在Rt△ABC中，S△ABCAC•BCAB•CD，AC＝4，BC＝3，AB＝5， ∴CD， 在Rt△CED中，DE， 同理可得：BD， ∴BE＝DE+BD，C'E＝BC'+BE＝3， ∵CE∥A'B， ∴， ∴， ∴BM； （3）DE存在最小值1，理由如下： 如图，过A作AP∥A'C'交C'D延长线于P，连接A'C， ∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′， ∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'， ∴∠BCC'＝∠BC'C， 而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC'， ∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C， ∴∠ACP＝∠A'C'D， ∵AP∥A'C'， ∴∠P＝∠A'C'D， ∴∠P＝∠ACP， ∴AP＝AC， ∴AP＝A'C'， 在△APD和△A'C'D中， ， ∴△APD≌△A'C'D（AAS）， ∴AD＝A'D，即D是AA'中点， ∵点E为AC的中点， ∴DE是△AA'C的中位线， ∴DEA'C， 要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2， ∴DE最小为A'C＝1． 押题猜想五 相似的判定与性质、函数表达式综合 限时：5.5min （改编）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝3ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝2y时，CD＝　　；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为　　． 【答案】1； 【解析】解：∵CM∥AB，PQ∥AB， ∴CD∥PQ， ∴△APQ∽△ADC， ∴，即， 整理得：； ∵△APQ∽△ADC， ∴，即， 整理得：， 设DE＝t， ∵AP＝3ED， ∴AP＝3t， ∵CM∥AB， ∴△CDE∽△BAE， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵△APQ∽△ADC， ∴，即， 整理得：， 故本题答案为：1，． 押题解读 作为新课标背景下的新兴考查内容，本考点多以填空题末位题或解答题形式呈现．命题常以动态几何中的动点问题为载体，题干通常设定两条动线段的长度分别作为自变量与因变量，要求通过相似三角形的判定与性质逐层推导边与边的数量关系，最终建立变量间的函数关系式．此类问题着重考查几何直观能力与逻辑推导能力，需在动态情境中精准把握相似关系的转化逻辑． 【填空题】1．已知菱形ABCD和菱形AECF，B、E、F、D在同一直线上，且∠EAF＝∠ABC，设，则y关于x的函数表达式为　　． 【答案】y＝x2 【解析】解：如图，连接AC，交EF于点N， ∵四边形ABCD和四边形AECF是菱形， ∴∠ABD∠ABC，∠EAC∠EAF，AC⊥BD，ENEF，BNBD， ∵∠EAF＝∠ABC， ∴∠ABD＝∠EAC， 又∵∠ANE＝∠ANB＝90°， ∴△AEN∽△BAN， ∴， ∴AN2＝EN•BN， ∴， ∵设， ∴y＝x2． 故本题答案为：y＝x2． 【填空题】2．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设y，则y关于x的函数表达式是　　． 【答案】y＝1 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴∠FEC+∠EFC＝90°， 由折叠可得：BE＝EF，AB＝AF＝DC＝DF+CF，∠B＝∠AFE＝90°， ∵∠EFC+∠AFD＝90°， ∴∠AFD＝∠FEC， ∴△AFD∽△FEC， ∴， ∴， 而y， ∴y， ∴y＝1， ∴y＝1． 故本题答案为：y＝1． 【填空题】3．如图，正△ABC边长为1，D为AC上一动点（D不与A、C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，M为线段AB上一点，且BM＝AD，过M作MN∥DE交BD于N．设BE＝x，MN＝y．当AM＝BE时，x＝　　；在点D运动的过程中，y关于x的函数表达式为　　． 【答案】；y 【解析】解：∵△ABC是正三角形， ∴AB＝AC＝BC＝1，∠C＝60°， ∵BE＝x， ∴CE＝1﹣x， ∴CD＝2CE＝2﹣2x，DE， ∴AD＝BM＝AC﹣CD＝1﹣（2﹣2x）＝2x﹣1， ∴AM＝AB﹣BM＝1﹣（2x﹣1）＝2﹣2x， ∵AM＝BE， ∴2﹣2x＝x， ∴x； 如图，延长MN交BC于点F， ∴MF，BF， ∵△BNF∽△BDE， ∴， ∴， ∴NF， ∴y＝MF﹣NF， 故本题答案为：；y． 【填空题】4．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E是对角线BD上一点（不与B、D重合），连接AE，过点E作AE的垂线，交BC边于点F，则　　；若DE＝x，△BEF的面积为y，则y与x的函数关系式为　　． 【答案】 【解析】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，延长GE交BC于H， ∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC， ∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝3，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴AG＝BH，BG＝AB＝4，∠GHB＝90°，GH∥AB， ∴△DEG∽△DBA， ∴， ∴， 设DG＝3a，GE＝4a，则EH＝GH﹣GE＝4﹣4a，BH＝AG＝3﹣3a， ∴， ∴， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝∠EHF＝∠AGE＝90°， ∴∠GAE+∠GEA＝∠GAE+∠HEF＝90°， ∴∠GAE＝∠HEF， ∴△AGE∽△EHF， ∴， ∴， ∴BF＝BH﹣HF＝3﹣3aa＝3a， ∴， ∵， ∴， ∴． 故本题答案为：． 【解答题】5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E为边BC上一定点，且BE＝2，点F、P分别是AD、AB边上的一点，且PE⊥EF，将△EFP沿直线FP翻折得到△E′FP，点E的对应点为E′，线段E′F与AB相交于点Q，设BP＝x，AQ＝y． （1）当点E′与点A重合时，求BP的长； （2）求tan∠EFP的值； （3）求y与x的函数关系式． 【解析】解：（1）如图， ∵E′与A重合， ∴AP＝EP， ∵BP＝x，AB＝4， ∴AP＝EP＝4﹣x， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°， ∴22+x2＝（4﹣x）2， ∴x＝1.5，即BP＝1.5； （2）如图，过点F作FH⊥BC于点H， ∵∠B＝∠FHE＝∠PEF＝90°， ∴∠PEB+∠FEH＝∠EFH+∠FEH＝90°， ∴∠PEB＝∠EFH， ∴△PBE∽△EHF， ∴， ∵BE＝2，FH＝4， ∴， ∵PE⊥EF， ∴∠PEF＝90°， ∴tan∠EFP； （3）如图，过点E'作MN∥AB，与直线AD交于点M，过点P作PN⊥MN于点N， 同（2）可证：△FME'∽△E'NP， ∴， 由翻折可得：∠EFP＝∠E'FP， ∵， ∴，， ∴NP，ME'， ∵△FAQ∽△FME′， ∴， ∴， ∴． 押题猜想六 一次函数、二次函数实际应用题 限时：10min 1．高架的某入口车道设置为“两左三直一右”，早高峰期间，直行排队上高架的车辆非常多，但是两个左转车道车流量较少；晚高峰期间，左转车流量较大．交通部门对该路口的第2和第5车道的车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如表所示，并发现两条车道的车流量和时间的变化规律都符合一次函数的特征，其中y2＝﹣x+40． 时间x 7时 10时 13时 16时 19时 第2车道车流量y1（辆/分钟） 18 24 30 36 42 第5车道车流量y2（辆/分钟） 33 30 27 24 21 （1）y1与x的函数表达式为　　； （2）在12时，通过计算判断y1与y2的大小关系； （3）如图，为了改善路口各时段的通行需求，将此路口的第二和第五车道均设置成可变车道，车道属性会根据早晚高峰等不同时段车流通行需求进行灵活切换．假设单位时间内第2和第5车道的车流总量为m＝y1+y2，这两车道中较大的车流量为n，经查阅资料得：当时，交通为严重拥堵，此时可将可变车道行车方向变为车流量较大的方向，以改善交通情况．该路段从7时至19时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 【答案】（1）y1＝2x+4；（2）y1＝y2； （3）7时到8：30时，第2车道的方向设置为直行；16时到19时，第5车道的方向设置为左转 【解析】解：（1）设y与x的函数解析式为y1＝kx+b， 由题意可得：，解得：， ∴y1与x的函数解析式为y1＝2x+4， 故本题答案为：y1＝2x+4； （2）当x＝12时， y1＝2×12+4＝28，y2＝﹣12+40＝28， ∴y1与y2的大小关系为y1＝y2； （3）当2x+4＞﹣x+40时，x＞12， ∴当7≤x＜12时，n＝﹣x+40，m＝y1+y2＝x+44， ，x≤8.5，∴7≤x≤8.5； 当12＜x≤19时，n＝2x+4，m＝y1+y2＝x+44， 2x+4（x+44），x≥16，16≤x≤19； ∴7时到8：30时，第2车道的方向设置为直行； 16时到19时，第5车道的方向设置为左转． 2．某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表： 售价x（元/件） 40 45 月销售量y（件） 300 250 月销售利润w（元） 3000 3750 注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价） （1）求y关于x的函数表达式； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣10x+700；（2）当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元；（3）3＜m≤6 【解析】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b， 由题意可得：，解得：， ∴y与x的函数表达式为y＝﹣10x+700； （2）由表中数据可知：每件商品进价为30（元）， 设该商品的月销售利润为w元， 则w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000， ∵﹣10＜0， ∴当x＝50时，w最大，最大值为4000， ∴当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元； （3）由题意可得：w＝（x﹣30﹣m）（﹣10x+700）＝﹣10x2+（1000+10m）x﹣21000﹣700m， 对称轴为直线x50， ∵﹣10＜0， ∴当x≤50时，w随x的增大而增大， ∵x≤52时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大， ∴5051.5，解得：m＞3， ∵3＜m≤6， ∴m的取值范围为3＜m≤6． 押题解读 二次函数与一次函数的实际应用考点是中考的核心必考内容，历年来均以解答题的形式呈现，整体难度定位在中等水平．从无锡近三年的中考命题趋势来看，2022年和2023年连续两年聚焦二次函数的实际应用考查，而2024年则转向一次函数的实际应用． 解答这类题目时，务必遵循规范的解题步骤：首先要逐字逐句研读题干，精准提炼出题目中的关键信息和等量关系；接着，依据具体情境准确建立函数模型；最后，结合一次函数的增减性或二次函数的图象特征，求解函数的最值及其他相关问题．此类题型着重考查同学们对函数知识的综合运用能力与严谨的运算素养，需要大家加强针对性训练，提升解题的熟练度和准确率． 【解答题】1．一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的BC长为x米，矩形面积为y平方米． （1）求y关于x的函数表达式； （2）考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当x取何值时，所围矩形土地的面积最大． 【答案】（1）yx2+150x；（2）当x＝148时，所围矩形土地的面积最大为11248平方米 【解析】解：（1）这个矩形地块的BC长为x米，则AB长为米， 由题意可得：y＝x•x2+150x， ∴y关于x的函数表达式为yx2+150x； （2）∵yx2+150x（x﹣150）2+11250， ∵0，每段栅栏不可分割， ∴当x＝148时，y有最大值，最大值为11248， 答：当x＝148时，所围矩形土地的面积最大为11248平方米． 【解答题】2．某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，35≤x≤55，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价． 【答案】（1）y＝﹣x+70（35≤x≤55）；（2）40元 【解析】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（35，35），（50，20）代入y＝kx+b得：，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+70（35≤x≤55）； （2）由题意可得：（x﹣30）（﹣x+70）＝300， 整理得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60（不合题意，舍去）． 答：该商品销售单价为40元． 【解答题】3．某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【答案】（1）A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元； （2）当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元 【解析】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元， 由题意可得：，解得：， 答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元； （2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件， 由题意可得：w＝（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m＝10m+10000， ∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍， ∴1000﹣m≥4m，解得：m≤200． ∵在w＝10m+10000中，k＝10＞0， ∴w的值随m的增大而增大， ∴当m＝200时，w取最大值，最大值为10×200+10000＝12000， ∴当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元． 【解答题】4．某文创店经销两种春节纪念品，两次购进纪念品的情况如表所示： A种纪念品（件） B种纪念品（件） 合计金额（元） 第一次 50 30 1200 第二次 30 40 1160 （备注：A，B两种纪念品的进价保持不变） （1）求A、B两种纪念品的进价； （2）销售完前两次购进的纪念品后，该店第三次购进A、B两种纪念品共200件，且进货资金不超过3360元，将其中的2a件A种纪念品和3a件B种纪念品按进价销售，剩余的A种纪念品按17元/件，B种纪念品按30元/件销售．若第三次购进的200件纪念品全部售出后，获得的最大利润为800元，求a的值． 【答案】（1）A种纪念品的进价是12元，B种纪念品的进价是20元；（2）20 【解析】解：（1）设A种纪念品的进价是x元，B种纪念品的进价是y元， 由题意可得：，解得：， 答：A种纪念品的进价是12元，B种纪念品的进价是20元； （2）设第三次购进的m件A种纪念品，则购进（200﹣m）件B种纪念品， 由题意可得：12m+20（200﹣m）≤3360，解得：m≥80， 设获得的利润为w元， 由题意可得：w＝（17﹣12）（m﹣2a）+（30﹣20）（200﹣m﹣3a）＝﹣5m﹣40a+2000， ∵﹣5＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝80时，w有最大值＝﹣5×80﹣40a+2000＝﹣40a+1600， 由题意可得：﹣40a+1600＝800，解得：a＝20， 答：a的值为20． 【解答题】5．某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张．学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元． （1）求a的值； （2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？ 【答案】（1）15；（2）购买A型凳子600张，购买B型凳子300张时总采购费用最少，最少是36750元 【解析】解：（1）设A型凳子的售价为x元/张， 由题意可得：，解得：， 答：a的值为15； （2）设购买A型凳子m张，则购买B型凳子（900﹣m）张， 由题意可得：，解得：150≤m≤600， 设总采购费用为w元， 由题意可得：当150≤m≤250时，w＝50m+40（900﹣m）＝10m+36000； 当250＜m≤600时，w＝50×250+（50﹣15）×（m﹣250）+40（900﹣m）＝﹣5m+39750， ∴， 当150≤m≤250时，10＞0，w随m的增大而增大，m＝150时，w的最小值为37500； 当250＜m≤600时，﹣5＜0，w随m的增大而减小，m＝600时，w的最小值为36750． ∵37500＞36750， ∴购买A型凳子600张，购买B型凳子300张时总采购费用最少，最少是36750元． 押题猜想七 圆综合题 限时：10min 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，交BA的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AF＝2，tan∠F，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明详见解析；（2）3 【解析】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E，交BA的延长线于点F， ∴∠ODF＝∠AEF＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠ODF＝90°， ∴tanF， ∴DFOD， ∵AF＝2，OA＝OD， ∴OF＝OA+AF＝OD+2， ∵OD2+DF2＝OF2， ∴OD2（OD+2）2，解得：OD＝3或OD（不合题意，舍去）， ∴⊙O的半径长为3． 2．如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，分别与AC、BC相交于点D、E，连接AE、BD交于点F，且DE平分∠BDC． （1）求证：AE＝BE； （2）若AB＝6，BE＝8，当DE＝EF时，求的值． 【答案】（1）证明详见解析；（2） 【解析】（1）证明：∵∠ABE+∠ADE＝180°，∠ADE+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠ABE， ∵DE平分∠BDC， ∴∠CDE＝∠BDE， ∵∠BDE＝∠BAE， ∴∠CDE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠ABE， ∴AE＝BE； （2）解：∵BE＝8， ∴AE＝8， ∵DE＝EF， ∴∠EDF＝∠EFD， ∵∠AFB＝∠EFD，∠DEF＝∠BAF， ∴∠BAF＝∠AFB， ∵∠BAF＝∠ABE， ∴∠AFB＝∠ABE， ∵∠BAF＝∠EAB， ∴△ABF∽△AEB， ∴AF：AB＝AB：AE，即AF：6＝6：8，解得AF， ∴EF＝AE﹣AF＝8， ∵∠CDE＝∠CBA，∠DCE＝∠BCA， ∴△CDE∽△CBA， ∴． 押题解读 作为中考必考内容，本考点通常以中等难度的解答题形式出现．其中，第1小问侧重逻辑证明，常涉及切线判定、线段数量与位置关系探究、相似三角形判定等核心内容；第2小问则聚焦计算求解，需综合运用勾股定理、相似性质及锐角三角函数等知识，解决角度计算、线段长度及比例关系等问题． 特别提示：证明切线时，必须同时满足“直线过圆上某点”且“该点与圆心的连线与直线垂直”（即“过切点”且“夹角为90°”），两个条件缺一不可，需在答题中完整呈现推理依据。本考点为必考考点，以解答题的形式呈现，难度中等． 【解答题】1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D． （1）求证：∠D＝∠EBC； （2）若CD＝2BC，AE＝6，求AB． 【答案】（1）证明详见解析；（2）9 【解析】（1）证明：∵AD为⊙O的切线， ∴BA⊥AD， ∴∠D+∠ABD＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EBC+∠ACB＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACB， ∴∠D＝∠EBC； （2）解：∵CD＝2BC， ∴， ∵∠D＝∠EBC，∠BAD＝∠CEB＝90°， ∴△BEC∽△DAB， ∴，即，解得：AB＝9． 【解答题】2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝12，BC＝5，求CD的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2） 【解析】（1）证明：如图，连接OD， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AOD＝∠BOD90°， ∴OD⊥AB， ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴ED是⊙O的切线； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∵AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BDAB， 过点B作BH⊥CD于点H， ∵∠BCDACB＝45°， ∴BH＝CHBC， ∴DH6， ∴CD＝CH+DH． 【解答题】3．如图，△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，DF是⊙O的切线交AC于点F． （1）试判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若AC与⊙O相切于点M，⊙O的半径为3，，求AB的长． 【答案】（1）DF⊥AC，理由详见解析；（2）8 【解析】解：（1）DF⊥AC，理由如下： 如图，连接OD， ∵DF是⊙O的切线， ∴OD⊥DF， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴DF⊥AC； （2）连接OM， ∵AC与⊙O相切于点M， ∴∠OMF＝∠MFD＝∠ODF＝90°， ∴四边形ODFM是矩形， ∵OM＝OD， ∴四边形ODFM是正方形， ∴OM＝FM＝DF＝3， ∵CD， ∴CF1， ∴CM＝4， ∵OA2＝OM2+AM2， ∴（AB﹣3）2＝32+（AB﹣4）2， ∴AB＝8． 【解答题】4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE＝DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若OB＝2，OC＝1，tanA，求AE的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2） 【解析】（1）证明：如图，连接OD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵AE＝DE， ∴∠A＝∠EDA， ∴∠B+∠EDA＝90°， 又∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB+∠EDA＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图，连接OE， ∵OB＝2，OC＝1， ∴BC＝3， ∵tanA， ∴AC＝6， 设AE＝DE＝x，则CE＝6﹣x， ∵∠OCE＝∠ODE＝90°， ∴OC2+CE2＝OE2，OD2+DE2＝OE2， ∴12+（6﹣x）2＝22+x2， ∴x， ∴AE． 押题猜想八 尺规作图 限时：12min 1．如图，已知△ABC． （1）在图1中用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D使得∠ADC＝2∠ABC，再作出△ABD的内切圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）条件下，若AB＝16，，则⊙O的半径为　　． 【答案】（1）作图详见解析；（2） 【解析】解：（1）如图1，作线段AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，再作∠ABC的平分线，交直线DE于点O，以点O为圆心，OE的长为半径画圆， 则点D和点O即为所求； （2）如图，设⊙O与BC相交于点F，连接OF， 由（1）可得：OF⊥BD，DE垂直平分AB， ∴OE⊥AB，BE8， ∵， ∴， ∴DE＝6， ∴BD10． 设⊙O的半径为x，则OE＝OF＝x，OD＝6﹣x， ∵∠OFD＝∠BED，∠ODF＝∠BDE， ∴△ODF∽△BDE， ∴，即，解得：x， ∴⊙O的半径为， 故本题答案为：． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到AB、BC两边的距离相等，设直线l与AC边交于点D，在BC上找一点E，使∠BDE＝45°；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若CE＝1，BE＝5，则CD的长为　　． 【答案】（1）作图详见解析；（2）3或2 【解析】解：（1）直线l与点E如图所示： （2）如图，作EF⊥BD于点F， 设FE＝x， ∵∠BDE＝45°， ∴∠DEF＝∠BDE＝45°， ∴FD＝FE＝x， ∴， 在Rt△CDE、Rt△BEF和Rt△BCD中， 由勾股定理得：CD2＝DE2﹣CE2，BF2＝BE2﹣EF2，CD2＝BD2﹣BC2， ∵CE＝1，BE＝5， ∴BF， ∴， 解得：（舍去），（舍去）， 当时，CD， 当时，CD， 故本题答案为：3或2． 押题解读 本考点为必考考点，以解答题倒数第3题的形式呈现，难度中等偏上．尺规作图题属于实践操作类题目，非常符合新课标的主题．复习阶段，必须不断总结归纳尺规作图的方法和步骤，以便应对愈发变化多端的尺规作图题． 【解答题】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AB上找一点P，以点P为圆心作一个圆，使⊙P与AC、BC都相切；（不写作法，保留作图痕迹，作图痕迹描粗加黑） （2）已知Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求⊙P的半径．（如需画辅助线，请使用图2） 【答案】（1）作图详见解析；（2） 【解析】解：（1）如图，⊙P即为所求； （2）设⊙P与BC相切于点F，连接PF．设PE＝PF＝r， ∵∠ACB＝90°，PF⊥AC，PE⊥CB， ∴•AC•BC•AC•r•BC•r， ∴r． ∴⊙P的半径为． 【解答题】2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：请在图1的△ABC内作一点P，使点P在以BC为直径的圆上，且点P到AB、BC的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，AB＝4，则直径BC、弦BP、围成的封闭图形的面积为　　．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）作图详见解析；（2） 【解析】解：（1）如图1，先作线段BC的垂直平分线，交BC于点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，再作∠ABC的平分线，交⊙O于点P， 则点P即为所求． （2）如图，连接OP，过点P作PD⊥BC于点D， ∵∠C＝90°，，AB＝4， ∴BC2，sin∠ABC， ∴OB＝OC＝OP＝1，∠ABC＝60°． 由（1）知，BP为∠ABC的平分线， ∴∠OBP30°， ∴∠COP＝2∠CBP＝60°， ∴DP＝OP•sin∠DOP＝1， ∴直径BC、弦BP、围成的封闭图形的面积为S△BOP+S扇形COP． 故本题答案为：． 【解答题】3．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①在AC上求作点O，使以O为圆心的圆经过A，C两点； ②若⊙O交BC于D，求作点E，使E为劣弧CD的中点．（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） （2）在（1）的条件下，连接AE交BC于点F，若AB＝6，CF＝3，则cosB＝　　． （如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）①、②作图详见解析；（2） 【解析】解：（1）①如图，作AC的垂直平分线KT交AC于O，以O为圆心，OA为半径作⊙O， 点O，⊙O即为所求； ②如图，过O作CD的垂线MN交劣弧CD于E，则点E即为所求； （2）如图，连接CE， ∵AC为⊙O直径， ∴∠AEC＝90°， ∴∠FCE+∠EFC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAF+∠FAC＝90°， 由作图可知：E为中点， ∴， ∴∠FCE＝∠FAC， ∴∠EFC＝∠BAF， ∵∠BFA＝∠EFC， ∴∠BAF＝∠BFA， ∴BF＝AB＝6， ∵CF＝3， ∴BC＝BF+CF＝6+3＝9， ∴cosB， 故本题答案为：． 【解答题】4．在矩形ABCD中，AD＞AB． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD上确定点E，使 BE＝BC．再在CD上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C． （2）在（1）的条件下，若AB＝3，且 ，则BC的长为　　． 【答案】（1）作图详见解析；（2）5 【解析】解：（1）图数如图所示： （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC， ∵sin∠DEF， ∴可以假设DF＝4k，EF＝5k， ∵FE＝FC＝5k， ∴CD＝DF+CF＝9k＝3， ∴k， ∴EF，DF，DE＝1， 设AD＝BC＝BE＝x， 在Rt△ABE中，x2＝32+（x﹣1）2， ∴x＝5， ∴BC＝5． 故本题答案为：5． 【解答题】5．如图，在△ABC中，AB＞AC． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB＝DC；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值） 【答案】（1）作图详见解析；（2） 【解析】解：（1）如图：AD即为所求； （2）如图，过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，则∠AED＝∠AFD＝90°， ∵∠BAC＝90° ∴四边形AEDF为矩形， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴DE＝DF， ∴四边形AEDF为正方形， ∴AE＝AF＝ED＝DF， 设AE＝AF＝ED＝DF＝x， ∴BE＝AB﹣AE＝7﹣x，FC＝AF﹣AC＝x﹣5， 在Rt△BED中，BD2＝ED2+BE2＝x2+（7﹣x）2， 在Rt△CFD中，CD2＝DF2+FC2＝x2+（x﹣5）2， ∵DB＝DC， ∴DB2＝DC2， ∴x2+（7﹣x）2＝x2+（x﹣5）2，解得：x＝6， ∴． 押题猜想九 二次函数综合题 限时：15-20min 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴直线x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； （3）以点B为圆心，画半径为2的圆，P为⊙B上一个动点，请求出PCPA的最小值． 【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（2）M（4，﹣3）或M（0，5）或M（5，0）；（3） 【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝3，AB＝4， ∴A（1，0），B（5，0）， 设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5）＝ax2+bx+5， ∴a＝1， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣6x+5； （2）∵直线AD：y＝kx﹣1经过点A（1，0）， ∴k﹣1＝0，解得：k＝1， ∴直线AD的解析式为：y＝x﹣1， ∵当x＝3时，y＝x﹣1＝2， ∴D（3，2）， 设M（x，y），则AD2＝（3﹣1）2+22＝8，AM2＝（x﹣1）2+y2， DM2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2， ①当∠DAM＝90°时，由AD2+AM2＝DM2，得8+（x﹣1）2+y2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2，化简得y＝﹣x+1， 联立，解得：或， ∴点M的坐标为（4，﹣3）， ②当∠ADM＝90°时，AD2+DM2＝AM2， 同理可求得：点M的坐标为（0，5）或（5，0）， 综上，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）； （3）如图，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，PF，PB， ∵PB＝2，∴， ∵， ∴， ∵∠PBF＝∠ABP， ∴△PBF∽△ABP， ∴，即PFPA， ∴PCPA＝PC+PF≥CF， ∴当点C，P，F三点共线时，PCPA的值最小，即为线段CF的长． ∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4， ∴CF， ∴PCPA的最小值为． 2．如图，抛物线yx2+bx与x轴交于点A（5，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点B（1，m）是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPA＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）yx2x；（2）点D坐标为（3，3）；（3）点P坐标为（﹣1，﹣3）或（6，﹣3） 【解析】解：（1）由已知可得：25+b×5＝0，解得：b， ∴yx2x； （2）如图，作CE⊥OA于E，DF⊥OA于F， 当x＝1时，m121＝2， 点B坐标为（1，2）， 设AB解析式为：y＝kx+b， ，解得， ∴y， ∵， ∴， ∵CE⊥OA于E，DF⊥OA于F， ∴CE∥DF， ∴， 设E（m，0）， ∴C（m，），F（m，0），D（m，）． ∵点D在抛物线上， ∴（m）2m， ∴9m2﹣30m+25＝0，解得：m1＝m2， ∴点D坐标为（3，3）； （3）如图，作过O、P、A三点的圆M，连接OM，AM，PM，作MN⊥OA于N， ∵∠OPA＝45°， ∴∠AMO＝90°， ∵OM＝AM，OA＝5， 又∵MN⊥OA， ∴ON＝AN＝MN＝2.5， ∴点M坐标为（2.5，﹣2.5）， ∴AM＝OM， ∴PM， 设点P坐标为（x，y）， ∴（x﹣2.5）2+（y+2，5）2＝（）2， ∴x2﹣5x+y2+5y＝0， ∵yx2x． ∴y2+3y＝0， ∴y1＝0，（不合题意舍去），y2＝﹣3． ∴y＝﹣3， ∴﹣3x2x， ∴x1＝﹣1，x2＝6， ∴点P坐标为（﹣1，﹣3）或（6，﹣3）． 3．已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴分别交于点A和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，交x轴于点D，P为抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当∠PCA＝∠ACD时，求点P的坐标； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（5，﹣12）或（，）； （3）存在，点Q的横坐标是﹣5或4或或 【解析】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2x+c，对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+2x+c， 将点B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c中得：﹣1﹣2+c＝0， ∴c＝3， ∴这个二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）分两种情况： ①如图1，点P在AC的下方时， ∵D（1，0），C（0，3）， 设DC的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3， ∴﹣x2+2x+3＝﹣3x+3，解得：x1＝0（舍），x2＝5， ∴点P的坐标为（5，﹣12）； ②如图2，点P在AC的上方时，设直线CP交x轴于E， ∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°， ∴∠ACO＝∠CAO＝45°， ∵∠ACO＝∠ACD+∠OCD，∠CAO＝∠ACP+∠AEC，∠ACD＝∠ACP， ∴∠OCD＝∠AEC， ∴tan∠OCD＝tan∠AEC， ∴， ∴， ∴OE＝9， ∵E（9，0）， 易得CE的解析式为：yx+3， ∴﹣x2+2x+3x+3， ∴3x2﹣7x＝0， x（3x﹣7）＝0， ∴x1＝0，x2， ∴点P的坐标为（，）； 综上，点P的坐标为（5，﹣12）或（，）； （3）设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， 分三种情况： ①如图3，过点P作PF⊥x轴于F，则∠AFP＝90°， ∵四边形ACQP是矩形， ∴∠CAP＝90°， ∵∠CAO＝45°， ∴∠PAF＝45°， ∴△AFP是等腰直角三角形， ∴AF＝FP， ∴3﹣t＝t2﹣2t﹣3， ∴t1＝3，t2＝﹣2， ∴点P的横坐标为﹣2， ∵A（3，0），C（0，3）， ∴点Q的横坐标为﹣5； ②如图4，过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGC＝90°， ∵四边形ACPQ是矩形， ∴∠ACP＝90°， ∵∠ACO＝45°， ∴∠PCG＝45°， ∴△PCG是等腰直角三角形， ∴PG＝CG， ∴t＝﹣t2+2t+3﹣3， ∴t＝0或1， ∴点P的横坐标为1， ∴点Q的横坐标为4； ③如图5，∠APC＝90°， ∴CP2+AP2＝AC2， ∴t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2+（t﹣3）2+（﹣t2+2t+3﹣0）2＝（3）2， ∴t4﹣4t3+2t2+3t＝0， ∵t≠0， ∴t3﹣4t2+2t+3＝0， ∴（t﹣3）（t2﹣t﹣1）＝0， ∴t1＝3（舍），t2，t3， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是﹣5或4或或． 押题解读 作为中考数学的必考内容，本考点常以解答题压轴题（倒数第1题或第2题）形式呈现，综合难度较高．二次函数综合题主要聚焦三类核心问题： 其一，面积最值问题．需先将几何图形中的相关线段长度用含自变量的代数式表示，进而转化为二次函数面积表达式，再借助函数图象与性质求解最值． 其二，线段或周长最值问题．命题常与垂线段最短、三点共线最值、胡不归模型等经典几何最值模型相结合，需通过几何转化或代数运算建立函数关系推导极值． 其三，存在性问题．具体包括特殊角度（或角度数量关系）、特殊三角形（如等腰/直角三角形）、特殊四边形（如平行四边形/矩形/菱形）的存在性探究，需通过分类讨论思想，结合几何性质构建方程或函数关系式进行验证． 【解答题】1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴分别相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点C，∠CBA＝45°． （1）请求出a的值； （2）已知点D是函数图象上一动点（不与A、B重合），过点D的直线l平行于y轴，与△ABD的外接圆交于另一点E，连接AE，CE．请问是否存在点D，使得AE+CE最小？若存在，请求出点D坐标并求出AE+CE的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1；（2）D（，）， 【解析】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1）， 令y＝0，则x＝3或﹣1， 故A（﹣1，0），B（3，0）． ∵与y轴相交于点C，∠CBA＝45°， ∴OB＝OC＝3，故C（0，﹣3）， 把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣3）（x+1）中，解得：a＝1． （2）如下图，设D（m，n），设△ABD的外接圆圆心为M（1，k）， ∴由中点坐标公式得：E（m，2k﹣n）， ∵BM2＝DM2， ∴（3﹣1）2+k2＝（m﹣1）2+（n﹣k）2.① ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴把D（m，n）代入可得：n＝（m﹣1）2﹣4，即（m﹣1）2＝n+4②， 把②式代入①式得：4+k2＝n+4+（n﹣k）2，整理得：n2﹣2kn+n＝0， ∴n（n﹣2k+1）＝0， ∵n≠0， ∴n﹣2k+1＝0，即2k﹣n＝1， ∴E（m，1），即E点在直线y＝1上运动， 作A点关于直线y＝1的对称点A'，则A'（﹣1，2）， 连接CA'，则AE+CE最小值为CA'的长， ∴CA'，则AE+CE最小值为． 直线A'C的解析式为y＝﹣5x﹣3， ∴E（，1）， ∴D（，）． 【解答题】2．如图，二次函数y＝ax2﹣6ax+c（a＜0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线BQ交y轴于点E，且5EQ＝3BQ． （1）请直接写出A，B两点的坐标：A　　，B　　； （2）当顶点P与点Q关于x轴对称时，S△QCE． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使∠BEF＝2∠OBE，请直接写出点F的坐标． 【答案】（1）（﹣2，0），（8，0）；（2）①yx2x；②F（3，）或F（3，） 【解析】解：（1）如图1， ∵y＝ax2﹣6ax+c＝a（x﹣3）2﹣9a+c， ∴抛物线对称轴是：直线x＝3， ∴OD＝3， ∵DQ∥y轴，则OD：BD＝EQ：BQ， ∵5EQ＝3BQ， ∴EQ：BQ＝3：5＝OD：BD， ∴BD＝5， ∴B（8，0）， 由对称性可得：A（﹣2，0）， 故本题答案为：（﹣2，0），（8，0）； （2）①如图1， 将点A（﹣2，0）代入二次函数y＝ax2﹣6ax+c中得：4a+12a+c＝0， ∴c＝﹣16a， ∵y＝ax2﹣6ax+c＝a（x﹣3）2﹣9a+c， ∴P（3，﹣9a+c）， ∵顶点P与点Q关于x轴对称， ∴Q（3，9a﹣c），即Q（3，25a）， ∵S△QCE． ∴， ∴EC， 由点B、Q的坐标可得：直线BQ的表达式为：y＝﹣5ax+40a， ∴E（0，40a）， ∵C（0，c），即（0，﹣16a）， ∴﹣16a﹣40a，解得：a＝﹣0.1， ∴c＝﹣16×（﹣0.1）， ∴此时抛物线的函数表达式为：yx2x； ②如图2，当点F在BE的下方时，连接PB， ∵顶点P与点Q关于x轴对称， ∴∠PBD＝∠QBD， ∵∠BEF＝2∠OBE， ∴∠BEF＝∠PBQ， ∴PB∥EF， 由①可知：a＝﹣0.1 ∴P（3，2.5）， 同理可得：PB的解析式为：yx+4， ∴设EF的解析式为：yx+n， ∵E（0，﹣4）， ∴n＝﹣4， ∴F（3，）； ②如图，当点F在BE的上方时，连接DE， 设F（3，m）， ∵D（3，0）， ∴BD＝5， ∵D（3，0）E（0，﹣4），OD＝3，OE＝4， 由勾股定理可得：ED＝5， ∴DE＝BD， ∴∠DEB＝∠OBE， ∵∠FEB＝2∠OBE， ∴∠FEB＝2∠DEB， ∴EQ：EF＝DQ：FD， ∵BE4， 又∵5EQ＝3BQ， ∴EQBQ， ∴EQ+BQ＝BE， ∴EQ， ∵DQ＝2.5，FD＝m， ∴EQ：EF＝DQ：FD， ∴EFm， 过F作FD⊥y轴，垂足为N， 在直角三角形中，EF， ∴m，解得：m或（舍去）， 综上，F（3，）或F（3，）． 【解答题】3．已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接AC，BC，若点P为直线BC下方的函数图象上一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交BC于点E． ①点F为线段DE上一动点，FG⊥y轴，垂足为点G，点H为线段AC上一动点，连接CP，BF，GH．当△BCP的面积最大时，求BF+FG+GH的最小值； ②在y轴上是否存在点T，使以P、E、C、T为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）①1；②T（0，﹣2）或（0，﹣1） 【解析】解：（1）∵A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点，则点B（2，0）， ∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2； （2）由抛物线的表达式可知：点C（0，﹣2）， 由点B、C的坐标可得：直线BC的表达式为：y＝x﹣2； ①△BCP的面积OB×PE＝PE， ∴PE最大时，△BCP的面积最大， 设点E（m，m﹣2），则点P（m，m2﹣m﹣2），则PE＝﹣m2+2m＝﹣m2+2m﹣1+1＝﹣（m﹣1）2+1≤1， ∴当m＝1时，PE最大时，即△BCP的面积最大，则点P（1，﹣2），则点D（1，0）， 将点B的坐标向右平移1个单位（GF的长度为1）得到D， 作DG⊥AC交BC于点H，交y轴于点G，则此时BF+FG+GH最小， ∵BD＝1＝GF且BD∥GF，则四边形GFBD为平行四边形，则BF＝DG， ∴BF+FG+GH＝DG+GH+FG＝DH+1为最小， 由点A、C的坐标可得：tan∠OAC＝2， ∴sin∠OAC， ∴HD＝ADsin∠OAC， ∴BF+FG+GH最小值为1； ②如图，当CE为边时， 设点E（m，m﹣2），则点P（m，m2﹣m﹣2）， 由P、C、E的坐标可得：PE＝﹣m2+2m，CEm，CP2＝m2+（m2﹣m）2， ∵PE＝DE， ∴﹣m2+2mm，解得：m＝0（舍去）或22， ∴CEm＝22＝TC， ∴点T（0，﹣2）； 如图，当CE为对角线时，CP＝PE， ∴（﹣m2+2m）2＝m2+（m2﹣m）2，解得：m＝1（不合题意的值已舍去）， ∴CT＝PE＝﹣m2+2m＝1， ∴点T（0，﹣1）， 综上，T（0，﹣2）或（0，﹣1）． 【解答题】4．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线x＝2，且经过点A（4，3），该抛物线与x轴的负半轴交于点B． （1）此抛物线对应的函数表达式； （2）点P是抛物线上的一点，当△PAB的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； （3）点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若△AMN是以AM为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 【答案】（1）yx2+x+3；（2）P（1，）或P（31，）P或（﹣31，）； （3）N（4+2，1﹣2）或N（4﹣2，1+2）或N（2，1+2）或N（﹣2，1﹣2）． 【解析】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且经过点A（4，3）， ∴，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为yx2+x+3； （2）平移直线AB到MN，使MN与抛物线只有一个交点P1时，△PAB的面积等于△ABP1的面积的P恰好有三个（P1，P2，P3）， 如图，设MN交y轴于K，AB交y轴于Q，P2P3交y轴于T， 在yx2+x+3中，令y＝0得：0x2+x+3，解得：x＝﹣2或x＝6， ∴B（﹣2，0）， ∵A（4，3）， ∴直线AB解析式为yx+1， 由MN∥AB设直线MN解析式为yx+b， ∴x2+x+3x+b有两个相等实数解，即x2x+3﹣b＝0有两个相等实数解， ∴Δ＝0，即3﹣b＝0，解得：b， ∴直线MN解析式为yx，方程x2x+30的解为x1＝x2＝1， ∴P1（1，）， 由直线AB解析式yx+1得Q（0，1），直线MN解析式yx得K（0，）， ∴KQ1， ∵直线MN与直线AB的距离等于直线P1P2与AB的距离， ∴QT＝KQ， ∴Q（0，）， ∴直线P1P2的解析式为yx， 联立，解得：或， ∴P2（31，），P3（﹣31，）， 综上，P的坐标为（1，）或（31，）或（﹣31，）； （3）设M（2，m），N（n，n2+n+3）， 如图，过N作KT∥y轴，过M作MK⊥KT于K，过A作AT⊥KT于T， ∵△AMN是以AM为斜边的等腰直角三角形， ∴∠ANM＝90°，AN＝MN， ∵∠ANT＝90°﹣∠MNK＝∠NMK， ∵∠T＝∠K＝90°， ∴△ANT≌△NMK（AAS）， ∴NT＝KM， ∴|n2+n+3﹣3|＝|2﹣n|， ∴n2+n＝2﹣n或n2+n＝n﹣2，解得：n＝4+2或n＝4﹣2或n＝2或n＝﹣2， ∴N（4+2，1﹣2）或（4﹣2，1+2）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）． 押题猜想十 四边形综合题 限时：15-20min 在▱ABCD中，，E是边BC上一点，将△ABE沿着AE翻折到△AFE， （1）如图1，若E、F、D三点共线， ①求证：AD＝DE； ②若BC＝2，∠AFE＝∠CFE，求BE的长． （2）如图2，若，点E是BC中点，CF＝1，求▱ABCD的面积． 【答案】（1）①证明详见解析；②BE；（2）▱ABCD的面积为 【解析】（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵将△ABE沿着AE翻折到△AFE， ∴∠AEB＝∠AEF， ∴∠DAE＝∠AEF， ∴AD＝DE； ②解：∵将△ABE沿着AE翻折到△AFE， ∴∠ABE＝∠AFE，BE＝EF， ∵∠AFE＝∠CFE， ∴∠ABE＝∠CFE， ∵AB∥CD， ∴∠ABE+∠DCE＝180°， ∵∠CFE+∠DFC＝180°， ∴∠DCE＝∠DFC， ∵∠CDE＝∠FDC， ∴△CDE∽△FDC， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝2， ∴AD＝BC＝2，CD＝AB， 由①知DE＝AD＝2， ∴， ∴FD， ∴EF＝DE﹣FD＝2， ∴BE； （2）解：如图，过F作FH⊥BC于H，过A作AK⊥BC于K， ∵E为BC中点，BC， ∴BE＝CE， ∵将△ABE沿着AE翻折到△AFE， ∴EF＝BECE，∠AEB＝∠AEF， ∴∠EFC＝∠ECF， ∴∠AEB＝∠FCE，即∠AEK＝∠FCH， 设CH＝m，则EHm， ∵CF2﹣CH2＝FH2＝EF2﹣EH2， ∴12﹣m2＝（）2﹣（m）2，解得：m， ∴CH， ∴cos∠FCH， ∴cos∠AEK＝cos∠FCH，即， 设KE＝5n，则AE＝13n， ∴AK12n，BK＝BE＝KE5n， ∵AK2+BK2＝AB2， ∴（12n）2+（5n）2＝（）2，解得：n或n（舍去）， ∴AK＝12n＝12， ∵BC•AK， ∴▱ABCD的面积为． 押题解读 根据历年无锡中考数学的命题趋势以及对四边形知识板块的考查重点分析，2025年无锡中考很有可能考查四边形的综合题．这类题目往往会将平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的性质与判定进行融合，同时可能结合三角形全等、相似、勾股定理等知识，对同学们的综合运用能力要求较高． 比如，可能会给出一个四边形，通过添加一些条件，如边长关系、角度关系、对角线关系等，要求同学们判断该四边形的形状，或者证明其具有某些特殊性质；又或者已知一个特殊四边形，在图形中进行一些线段的添加、动点的设置，进而求解线段长度、图形面积、角度大小等问题． 【解答题】1．已知，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B的对应点B′落在边CD的中点上，A′B′交AD于点G，连接BB'． （1）如图，若AB＝4，AD＝6时，求EF的长； （2）若G为AD的三等分点，求的值． 【答案】（1）EF的长为；（2）的值为或1 【解析】解：（1）如图1，设EF交BB′于点P，作EQ⊥BC于点Q，则∠BQE＝∠FQE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，点B′是CD的中点， ∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，∠A＝∠ABQ＝∠C＝90°， ∴CB′＝DB′CD＝2，四边形ABQE是矩形， ∴BB′2，EQ＝AB＝4， 由折叠可得：点B′与点B关于直线EF对称， ∴EF垂直平分BB′， ∴∠BPF＝90°， ∵∠FQE＝∠C＝90°，∠QEF＝∠CBB′＝90°﹣∠BFE， ∴△QEF∽△CBB′， ∴， ∴EFBB′2， ∴EF的长为； （2）如图2，G为AD的三等分点，且DGAD，则AGAD，延长BA、B′A′交于点H， ∵DB′∥AH， ∴△DGB′∽△AGH， ∴， 设CB′＝DB′＝m，则AB＝CD＝2m，AH＝2DB′＝2m， ∴BH＝AB+AH＝4m， 由折叠可得：∠BB′H＝∠B′BH， ∴B′H＝BH＝4m， ∴B′GB′HB′Hm， ∵∠D＝90°， ∴DGm， ∴BC＝AD＝3DGm， ∴； 如图3，G为AD的三等分点，且AGAD，则DGAD，延长BA、B′A′交于点M， ∵AM∥DB′， ∴△AGM∽△DGB′， ∴， 设AM＝n，则DB′＝2AM＝2n， ∴AB＝CD＝2DB′＝4n， ∴BM＝AB+AM＝5n， 由折叠可得：∠BB′M＝∠B′BM， ∴B′M＝BM＝5n， ∴B′GB′MB′M， ∴DGn， ∴BC＝ADDG＝4n， ∴1； 综上，的值为或1． 【解答题】2．【观察发现】 如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝6，点E为AD边上的一个动点．连接EO并延长交BC于点F，将四边形ABCD沿着直线EF折叠，点A的对称点是点A′，点B的对称点是点B′．点E从点A出发，沿着AD运动，当点B′与点D重合时，运动停止． 【解决问题】 （1）判断△EFG的形状； （2）设AE＝x，DG＝y，求出y与x之间的函数表达式（无需写出x的取值范围）； （3）如图2，连接OD交B′F于点H．当x＝1时，求的值． 【答案】（1）△EFG是等腰三角形；（2）；（3） 【解析】解：（1）△EFG是等腰三角形， 由折叠的性质可得：∠EFB＝∠EFG， ∵矩形ABCD， ∴AD∥CB， ∴∠EFB＝∠GEF， ∴∠EFG＝∠GEF， ∴GE＝GF， ∴△EFG是等腰三角形； （2）如图，过点G作GH⊥BC于点H， ∵AE＝x，DG＝y， ∴EG＝AD﹣AE﹣DG＝6﹣x﹣y， ∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴CF＝AE＝x， ∴FH＝CF﹣CH＝x﹣y， 在Rt△GHF中，由勾股定理可得：FH2+GH2＝GF2， 由（1）可知：GE＝GF， ∴EG＝GF＝6﹣x﹣y， ∴（x﹣y）2+42＝（6﹣x﹣y）2， 整理得：3x+3y＝5+xy， ∴； （3）当x＝1时，， ∴AE＝1，DG＝1， 如图，连接BD， ∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴点O在对角线BD上，且， 在Rt△BCD中，， ∴， 作HN⊥AD于点N，取AD的中点P，连接OP， ∴OP是△ABD的中位线， ∴OP∥AB，，DP＝APAD＝3， ∴OP⊥AD， ∵AE＝1， ∴PE＝2＝OP， ∴△PEO是等腰直角三角形， ∴∠PEO＝45°， ∴∠EFG＝∠GEF＝45°， ∴△EFG是等腰直角三角形，即∠EGF＝90°， ∴点G与点N重合， ∴△DGH∽△DPO， ∴，即． 【解答题】3．综合与探究 （1）【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，求证：CE＝DF”．请完成解答过程： 证明：设CE与DF交于点P ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝　　， ∴∠BCE+∠DCE＝90°， ∵CE⊥DF， ∴∠CPD＝　　°， ∴∠CDF+∠DCE＝90°， ∴∠CDF＝∠BCE， ∴△CBE≌△DCF（　　填判定依据，用字母表示）， ∴CE＝DF． （2）【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，F分别在边AB，BC上，且CE⊥DF，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点E为AB的三等分点，过点B作BD⊥CE交AC于D，请直接写出BD的长． 【答案】（1）CD，90，ASA；（2）（1）中的结论不成立，理由详见解析；（3）或 【解析】（1）证明：设CE与DF交于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD， ∴∠BCE+∠DCE＝90°， ∵CE⊥DF， ∴∠CPD＝90°， ∴∠CDF+∠DCE＝90°， ∴∠CDF＝∠BCE， ∴△CBE≌△DCF（ASA）， ∴CE＝DF， 故本题答案为：CD，90，ASA； （2）解：（1）中的结论不成立，理由如下： 由（1）可知：∠CDF＝∠BCE， 又∵∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴△DCF∽△CBE， ∴， ∴， ∴DFCE； （3）如图，当BE＝1时，过点A作AN∥BC，过点C作CN∥AB，延长BD交AN于H， ∴四边形ABCN是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCN是矩形， ∴∠NAB＝∠ABC＝90°， ∵BD⊥CE， ∴∠DBC+∠ECB＝90°＝∠DBC+∠ABD， ∴∠ABD＝∠BCE， ∴△ABH∽△BCE， ∴， ∴AH1， ∴BH， ∵AN∥BC， ∴△ADH∽△CDB， ∴， ∴， ∴BD； 如图，当AE＝1时，过点A作AN∥BC，过点C作CN∥AB，延长BD交AN于H， 同理可求得：BD； 综上，BD或． 【解答题】4．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD． （1）求证：； （2）在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势； （3）已知AB，设CP＝x，S△PBD＝S，试求S关于x的函数表达式． 【答案】（1）证明详见解析；（2）∠PBD的度数是定值，∠PBD＝45°；（3）Sx2x． 【解析】（1）证明：如图，设AD与PB交于点K， ∵CA＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵PA＝PD，∠APD＝90°， ∴∠PDK＝∠PAD＝∠ABK＝45°， ∵∠AKB＝∠DKP， ∴△AKB∽△PKD， ∴， ∴， ∵∠AKP＝∠BKD， ∴△AKP∽△BKD， ∴∠ADB＝∠APK，∠PAK＝∠DBK＝45°， ∴∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠ACP， ∵∠ADB＝∠APC， ∴△ABD∽△ACP， ∴； （2）解：∠PBD的度数是定值，∠PBD＝45°，理由如下： 由（1）可知：△AKP∽△BKD， ∴∠PAK＝∠DBK＝45°， ∴在点P运动过程中，∠PBD的度数是定值，∠PBD＝45°； （3）解：在Rt△ABC中，∵AB， ∴BC＝AC＝1， 在Rt△ACP中，PA， ∵△ABD∽△ACP， ∴， ∴， ∴BDx， ∴S＝S△ABD+S△APD﹣S△ABP••x••（1+x）•1x2x． 【解答题】5．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是AB边上的一个动点，连接DE，过点E作DE的垂线交BC于点F，以EF为斜边作等腰直角三角形EFG（点G在EF上方）． （1）若AE＝2，求GE的长； （2）当点E从点A运动到点B的过程中，求△EFB的外接圆的圆心到AB边距离的最大值； （3）当点E从点A运动到点B时，则点G经过的路径长为　　． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵DE⊥EF， ∴∠AED+∠FEB＝90°， ∴∠ADE＝∠FEB， ∵AE＝2，AB＝8，AD＝6， ∴BE＝6＝AD， 在△ADE和△BEF中， ， ∴△ADE≌△BEF（ASA）， ∴AE＝BF＝2， ∴EF2， ∵△EFG为等腰直角三角形， ∴GE； （2）∵∠B＝90°， ∴△EFB的外接圆的圆心Z在斜边EF的中点处， 如图，设△EFB的外接圆的圆心为O，过点O作OH⊥AB于点H， ∵OH⊥AB，FB⊥AB， ∴OH∥FB， ∵OE＝OF， ∴OH为△BEF的中位线， ∴OH， 设AE＝x，则BE＝8﹣x， 由（1）可知：∠ADE＝∠FEB，∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE∽△BEF， ∴， ∴， ∴BF， ∵0， ∴当AE＝4时，DF有最大值为， ∴OH的最大值为DF， ∴△EFB的外接圆的圆心到AB边距离的最大值为； （3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，连接BG， ∵GM⊥AB，GN⊥BC，∠B＝90°， ∴四边形GNBN为矩形，∠MGN＝90°， ∵△EFG为等腰直角三角形， ∴∠EGF＝90°，GE＝GF， ∴∠EGF＝∠MGN＝90°， ∴∠EGM＝∠FGN， 在△EGM和△FGN中， ， ∴△EGM≌△FGN（AAS）， ∴GM＝GN，EM＝NF， ∴四边形GNBN为正方形， ∴∠MBG＝∠NBG＝45°， ∴点G在∠AB的平分线上运动， ∴当点E从点A运动到点B时，则点G经过的路径长为当BM最大时线段BG的长， ∴BGBM， 由（1）可知：设AE＝x，则BE＝8﹣x，BF， 设BM＝BN＝a，则EM＝BE﹣BM＝8﹣x﹣a，NF＝BN﹣BF＝a﹣（）a， ∴8﹣x﹣aa， ∴a4， ∴a的最大值为， ∴点G经过的路径长为， 故本题答案为：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$