重难点03 开放探究（阅读理解）与新定义问题-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

重难点03 开放探究（阅读理解）与新定义问题 （思维导图+2考点+4种题型） 考点一 新定义问题 题型01 新定义问题 1．定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，按此规定，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（　　） A．4 B．﹣1或4 C．0或4 D．1或4 3．规定：对于任意实数a、b、c，有（a，b）*c＝ab+c，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如（2，3）*1＝2×3+1＝7．若关于x的方程（x，mx）*（x+2）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D．且m≠0 4．定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b，若关于x的不等式组的解集为x＞6，则a的取值范围是 　 ． 5．若规定符号的意义是：ad﹣bc，则当m2﹣3m﹣1＝0时，的值为 　　 ． 6．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换： ①△（a，b）＝（﹣a，b）； ②〇（a，b）＝（﹣a，﹣b）； ③Ω（a，b）＝（a，﹣b）， 按照以上变换例如：△（〇（1，2））＝（1，﹣2），则〇（Ω（3，4））等于 　 ． 7．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB，那么边AD的长为 　 ． 8．【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）， （1）若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为 　 ； （2）若该函数经过点（1，﹣6）； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在﹣3≤x≤1范围中，记二次函数y＝﹣x2﹣x+c的最大值为M，最小值为N，求M﹣N的值； （3）在﹣3≤x≤1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围． 9．【定义】： 对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”． 如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC＝BD，∠AOB＝60°． 【定义探究】： （1）判断下列四边形是否为“60°等角线四边形”，如果是在括号内打“√”，如果不是打“×”． ①对角线所夹锐角为60°的平行四边形． 　 　 ②对角线所夹锐角为60°的矩形． 　 　 ③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． 　 　 【性质探究】： （2）如图2，以AC为边，向下构造等边△ACE，连接BE，请直接写出AB+CD与AC的大小关系； （3）请判断AD+BC与的大小关系，并说明理由； 【应用提升】： （4）若“60°等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为 　 　 ． 10．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）． （1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标． （2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值． （3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 阅读理解与开放探究问题 题型01 方法迁移题型 1．【背景】 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．我们可以用数学的方法定义“美感”，把“美感”量化． 【初识】 把上面的问题一般化，如图，在线段上找一点，把分为和两段，是较短的一段，则当时，雕像富有“美感”．人们把此时的比值叫做黄金比值．易知，如果较长一段与整个线段的比是黄金比，那么较短一段与较长一段的比也是黄金比．点叫线段的黄金分割点，显然，一条线段有两个黄金分割点． （1）为简单起见，不失一般性，令，，则，请求出的值． 【拓展】 在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形． （2）如图，矩形为黄金矩形（），点在四条边上，交于点，且四边形，都是正方形，找出图中一对面积相等的四边形，并进行证明． 【迁移】 类似的，数学上称底与腰的比等于黄金比的等腰三角形为黄金三角形． （3）如图，在中，，．求证：是黄金三角形． （4）如图，为的内接正二十边形的边，连接．求证：． 2.在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下： (1)【观察发现】如图1，在等边中，，，，分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． 在等边中，，， 点为边上的中点，． ． 过点作，使，连接． ． ． 又， ． ． 连接，，当，，三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接，可证四边形是矩形， ． 的最小值为 ． (2)【类比应用】如图2，已知正方形的边长为6，为对角线的交点，，分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值． (3)【拓展延伸】如图3，矩形中，，，是的中点，，分别是和上的动点，且总有，求的最小值． 题型02 归纳概括问题 1.如图1，、的角平分线、相交于点， (1)如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空； (2)如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数； (3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案） 2．【问题提出】在由个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？ (1)【问题探究】为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表： 形横长m 2 3 3 5 4 5 … 矩形纵长n 1 1 2 2 3 3 … 矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f 2 3 4 6 6 x … ①观察上表数据，表中的______． ②结论：当m，n互质时，在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是______． ③探究二：当m，n不互质时，不妨设，（a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表： a 2 3 3 5 2 3 … b 1 1 2 2 1 1 … k 2 2 2 2 3 3 … 矩形一条对角线所穿过的 小正方形个数f 4 6 8 y 6 z … 观察上表数据．表中的______，______． 结论：当m，n不互质时，若，（a，b，k为正整数，且a，b互质）．在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是______． (2)【模型应用】一个由边长为1的小正方形组的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形的个数是______个． (3)模型拓展】如图3，在一个由48个棱长为1的小正方形组成的长方体中，经过顶点A，B的直接穿过的小正方体的个数是______个． 3．在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB＝AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图① 小明发现：CE与⊙O的位置关系是 　 ，请说明理由： 【实践探究】 连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．请求出当AB＝3，BC＝6时，CF长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD：DB与点F分线段DE所成的比DF：FE始终相等．请予以证明． 4．如图1，AB为⊙O的直径，AB＝12，C是⊙O上异于A，B的任一点，连接AC，BC，过点A作射线AD⊥AC，D为射线AD上一点，连接CD． 【特例感知】 （1）若BC＝6，则AC＝ ； （2）若点C，D在直线AB同侧，且∠ADC＝∠B，求证：四边形ABCD是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC，连接OD． （3）如图2，当CD与⊙O相切时，求OD的长度； （4）求OD长度的取值范围． 题型03 探究实践类问题 1.综合与探究 问题情境： 数学课上，老师提出以下问题：如图1，正方形的顶点F，G在正方形的边和上，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，猜想和的数量关系，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）“善思小组”将图1中的正方形绕点C逆时针旋转，使得点G落在正方形的内部，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由； （3）“勤学小组”将图2中的正方形继续绕点C逆时针旋转，使得B，G，F在同一直线上，其余条件不变，得到如图3所示的图形，若，请直接写出的长度． 2.【问题提出】 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则 ；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】 （2）如图②，的直径为20，点A，B，C都在上，，求面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，为某市一块空地示意图，米，米，根据设计要求，现要在外选择一点D，将这块地扩大改造为一个四边形便民服务区，要求点D为内部一点，且，为服务区内两条主步道，在上修建一个引导台点E，使，再修建两条新的小道，为了让服务区功能更加合理，要使四边形的面积尽可能大，请求出满足设计要求的四边形面积的最大值． 3.平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在中，点D在边上，，在边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在和中，D，分别边BC，上一点，，，，求证． 【应用拓展】 （3）如图③，已知，直线． ①在图③中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为2，，之间的距离为4，则的最小值是______． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 开放探究（阅读理解）与新定义问题 （思维导图+2考点+4种题型） 考点一 新定义问题 题型01 新定义问题 1．定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，按此规定，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】先由题意得﹣10，再运用解不等式组的知识进行求解． 【解答】解：由题意得﹣10， 即， 解得x≤1， 故选：A． 2．定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（　　） A．4 B．﹣1或4 C．0或4 D．1或4 【分析】根据定义运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，进行计算即可． 【解答】解：由题意得： 2⊗k＝0， ∴（2﹣k）2﹣k＝0， ∴k2﹣5k+4＝0， ∴k1＝1，k2＝4， 故选：D． 3．规定：对于任意实数a、b、c，有（a，b）*c＝ab+c，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如（2，3）*1＝2×3+1＝7．若关于x的方程（x，mx）*（x+2）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D．且m≠0 【分析】依题意，根据新定义可得一元二次方程：mx2+x+2＝0，进一步结合根的判别式求解即可． 【解答】解：根据新定义可得： （x，mx） （x+2）＝x•mx+（x+2）， 展开后方程为：mx2+x+2＝0， 此为关于x的一元二次方程， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝1﹣8m＞0，且m≠0， 解得：m且m≠0， 故选：D． 4．定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b，若关于x的不等式组的解集为x＞6，则a的取值范围是 　 ． 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为x＞6确定a的取值范围即可． 【解答】解：根据新定义关于x的不等式组可化为：， 解不等式①可得：x＞6， 解不等式①可得：x＞3a， 因为该不等式组的解集为x＞6， ∴3a≤6，解得：a≤2． 故答案为：a≤2． 5．若规定符号的意义是：ad﹣bc，则当m2﹣3m﹣1＝0时，的值为 　　 ． 【分析】根据定义的新运算进行计算，然后把m2﹣3m＝1代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ＝m（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m） ＝m2﹣2m﹣（m﹣2m2﹣3+6m） ＝m2﹣2m﹣m+2m2+3﹣6m ＝3m2﹣9m+3， ∵m2﹣3m﹣1＝0， ∴m2﹣3m＝1， ∴当m2﹣3m＝1时，原式＝3（m2﹣3m）+3＝3×1+3＝3+3＝6， 故答案为：6． 6．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换： ①△（a，b）＝（﹣a，b）； ②〇（a，b）＝（﹣a，﹣b）； ③Ω（a，b）＝（a，﹣b）， 按照以上变换例如：△（〇（1，2））＝（1，﹣2），则〇（Ω（3，4））等于 　 ． 【分析】根据三种变换规律的特点解答即可． 【解答】解：〇（Ω（3，4））＝〇（3，﹣4）＝（﹣3，4）． 故答案为：（﹣3，4）． 7．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB，那么边AD的长为 　 ． 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．解直角三角形求出AE，DE即可解决问题 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC． 在Rt△ABH中，tanB， ∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10， ∴k＝2， ∴AH＝6，BH＝8， ∵BC＝12， ∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4， ∴AC2， ∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°， ∴∠ECD＝∠B， 在Rt△CED中，tan∠ECD， ∵CD＝5， ∴DE＝3，CE＝4， ∴AE6， ∴AD＝AE+DE＝9． 故答案为：9． 8．【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）， （1）若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为 　 ； （2）若该函数经过点（1，﹣6）； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在﹣3≤x≤1范围中，记二次函数y＝﹣x2﹣x+c的最大值为M，最小值为N，求M﹣N的值； （3）在﹣3≤x≤1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围． 【分析】（1）根据“三倍点”的定义，即可求得答案； （2）①将点（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c，可得y＝﹣x2﹣x﹣4，将（t，3t）代入，解方程即可； ②先求得M、N的值，即可求得答案； （3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，将在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，即可求解． 【解答】解：（1）根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得D（t，3t）， 故答案为：（t，3t）； （2）①将点（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c，得：﹣6＝﹣1﹣1+c， 解得：c＝﹣4， ∴y＝﹣x2﹣x﹣4， 将（t，3t）代入，得：3t＝﹣t2﹣t﹣4， 解得：t1＝t2＝﹣2， ∴函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”坐标为（﹣2，﹣6）； ②∵y＝﹣x2﹣x﹣4＝﹣（x）2， ∴M， 当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣（﹣3）﹣4＝﹣10， 当x＝1时，y＝﹣1﹣1﹣4＝﹣6， ∴N＝﹣10， ∴M﹣N（﹣10）； （3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x， 在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点， 令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得：x2+4x﹣c＝0， 则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0， 解得：c≥﹣4； 把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9， ∴﹣9≥﹣6+c， 解得：c≤﹣3； 把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3， ∴3≥﹣2+c， 解得：c≤5， 综上，c的取值范围为：﹣4≤c≤5． 9．【定义】： 对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”． 如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC＝BD，∠AOB＝60°． 【定义探究】： （1）判断下列四边形是否为“60°等角线四边形”，如果是在括号内打“√”，如果不是打“×”． ①对角线所夹锐角为60°的平行四边形． 　 　 ②对角线所夹锐角为60°的矩形． 　 　 ③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． 　 　 【性质探究】： （2）如图2，以AC为边，向下构造等边△ACE，连接BE，请直接写出AB+CD与AC的大小关系； （3）请判断AD+BC与的大小关系，并说明理由； 【应用提升】： （4）若“60°等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为 　 　 ． 【分析】（1）根据定义即可求解； （2）证明四边形DBEC是平行四边形，根据AB+BE≥AE即可求解； （3）先构造平行四边形BDEC，可得对应线段相等，再求出∠ACE＝120°，构造直角三角形求出，即可得出答案； （4），根据（2）（3）的结论代入数据即可求解． 【解答】解：（1）①∵对角线所夹锐角为60°的平行四边形的对角线不一定相等，则不能判①是“60°等角线四边形”， ∴选择×； ②∵对角线所夹锐角为60°的矩形，对角线相等，且所夹锐角为60°，故②是“60°等角线四边形”， ∴选择√； ③∵对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“60°等角线四边形”， ∴选择√． 故答案为：①×；②√；③√； （2）∵△ACE是等边三角形， ∴AE＝EC＝AC，∠ACE＝60． ∵∠AOB＝∠ACE＝60， ∴DB∥EC． ∵DB＝AC， ∴DB＝EC， ∴四边形DBEC是平行四边形， ∴BE＝DC． ∵△ABE中，AB+BE≥AE， 即AB+CD≥AC； （3）如图，过C作CE∥BD，且CE＝BD，连接DE，AE， ∴四边形BDEC是平行四边形， ∴DE＝BC，AC＝BD＝CE． ∵∠AOB＝60°， ∴∠COD＝60°． ∵BD∥CE， ∴∠ACE＝180°﹣60°＝120°． 过点C作CH⊥AE，交AE于点H， ∵AC＝CE，∠ACE＝120°， ∴∠ACH＝60°． 在Rt△ACH中，， ∴， 则． ∴； （4）若“60°等角线四边形”的对角线长为2，则AC＝2， 由（2）（3）可得AB+CD≥AC，， ∴． ∴该四边形周长的最小值为． 故答案为：． 10．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）． （1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标． （2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值． （3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式； （2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可； （3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分两种情况讨论：①当EG＝EF时，2，可得F（2，0）或（2，0）；②当EG＝FG时，2，F点不存在． 【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中， ∴， 解得， ∴yx2x﹣1， 在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3， ∴G（0，﹣3）； （2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2t﹣1），N（t，0）， ∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DMt2t﹣1﹣（t2+2t﹣3）t2t+2， ∴； （3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下： 由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1， ∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称， ∴E（﹣2，﹣1）， 设F（x，0）， ①当EG＝EF时， ∵G（0，﹣3）， ∴EG＝2， ∴2， 解得x2或x2， ∴F（2，0）或（2，0）； ②当EG＝FG时，2， 此时x无实数根； 综上所述：F点坐标为（2，0）或（2，0）． 考点二 阅读理解与开放探究问题 题型01 方法迁移题型 1．【背景】 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．我们可以用数学的方法定义“美感”，把“美感”量化． 【初识】 把上面的问题一般化，如图，在线段上找一点，把分为和两段，是较短的一段，则当时，雕像富有“美感”．人们把此时的比值叫做黄金比值．易知，如果较长一段与整个线段的比是黄金比，那么较短一段与较长一段的比也是黄金比．点叫线段的黄金分割点，显然，一条线段有两个黄金分割点． （1）为简单起见，不失一般性，令，，则，请求出的值． 【拓展】 在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形． （2）如图，矩形为黄金矩形（），点在四条边上，交于点，且四边形，都是正方形，找出图中一对面积相等的四边形，并进行证明． 【迁移】 类似的，数学上称底与腰的比等于黄金比的等腰三角形为黄金三角形． （3）如图，在中，，．求证：是黄金三角形． （4）如图，为的内接正二十边形的边，连接．求证：． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）由题意知：，代入数据得：，解出的值，即可求得的值； （2）证明，先由矩形是黄金矩形，得到，由四边形是正方形，得，所以，，由四边形是正方形 ，得，所以，化简得，即； （3）根据题意证明，可得，又，得，所以，即可得，即得证； （4）先根据题意证明出是黄金三角形，得到，再由，即可证明． 【详解】（1）解：由题意知：， ，，，   ， 解得：，（舍去）， ； （2）， 证明：矩形是黄金矩形，   ， 四边形是正方形， ， ， ， 四边形是正方形 ， ， ， ， 即； （3）证明：延长到点，使，连接， ，， ， ，， ，   ， ， 又，， ，   ， ，   ，   ，   ， 是黄金三角形； （4）证明：连接、，交于点， 、是的内接正二十边形的边， ， ， ， ，， ，，   是黄金三角形，   即， 在中  ， 即． 【点睛】本题主要考查了黄金分割点、解一元二次方程、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 2.在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下： (1)【观察发现】如图1，在等边中，，，，分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． 在等边中，，， 点为边上的中点，． ． 过点作，使，连接． ． ． 又， ． ． 连接，，当，，三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接，可证四边形是矩形， ． 的最小值为 ． (2)【类比应用】如图2，已知正方形的边长为6，为对角线的交点，，分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值． (3)【拓展延伸】如图3，矩形中，，，是的中点，，分别是和上的动点，且总有，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得四边形是矩形，从而得到； （2）类比第一问作辅助线，得出，当G，N，C三点共线时，线段的长为的最小值，进而求解即可； （3）由和前述思路可以构造，所有延长到H，使，连接，从而，得到，连接，当E、F、H三点共线时，线段的长为的最小值，利用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：由作图可知，四边形是矩形， ∴， 的最小值为 ， 故答案为：． （2）解：如图，类比（1），过点D作，使，连接， ∴ 在和中， ∵， ∴． ∴． ∴． 连接，当G，N，C三点共线时，线段的长为的最小值． 过点G作，交的延长线于点H． 在正方形中，为对角线， ∴ ∵ ∴． ∴为等腰直角三角形． ∵正方形的边长为6， ∴， ∴． ∴在 中，， ∴的最小值为 ． （3）解：如图，延长到H，使，连接． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，当E、F、H三点共线时，线段的长为的最小值． ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查最短距离问题，涉及矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 题型02 归纳概括问题 1.如图1，、的角平分线、相交于点， (1)如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空； (2)如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数； (3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案） 【答案】(1)32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析 (2)16° (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义可知，，，根据三角形外角的性质可知，，可得； （2）根据（1）的方法求解即可； （3）由（1）（2）的规律可知，． 【详解】（1）解：结论：=32°；理由如下： ∵、的角平分线、相交于点， ∴，（角平分线的定义） ∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴． （2）解：∵、的角平分线、相交于点， ∴，（角平分线的意义） ∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴ （3） 解：由（1）（2）可知， ， ， ， …， ∴． 【点睛】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和成为解答本题的关键． 2．【问题提出】在由个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？ (1)【问题探究】为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表： 形横长m 2 3 3 5 4 5 … 矩形纵长n 1 1 2 2 3 3 … 矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f 2 3 4 6 6 x … ①观察上表数据，表中的______． ②结论：当m，n互质时，在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是______． ③探究二：当m，n不互质时，不妨设，（a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表： a 2 3 3 5 2 3 … b 1 1 2 2 1 1 … k 2 2 2 2 3 3 … 矩形一条对角线所穿过的 小正方形个数f 4 6 8 y 6 z … 观察上表数据．表中的______，______． 结论：当m，n不互质时，若，（a，b，k为正整数，且a，b互质）．在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是______． (2)【模型应用】一个由边长为1的小正方形组的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形的个数是______个． (3)模型拓展】如图3，在一个由48个棱长为1的小正方形组成的长方体中，经过顶点A，B的直接穿过的小正方体的个数是______个． 【答案】(1)①7；②；③12，9， (2)1050个 (3)6个 【分析】（1）通过分析图形特征，得到x，y，z的值，从而归纳得到f与m，n之间的关系式，f与a，b，k之间的关系式． （2）运用探究二的结论，可以求得结果． （3）运用探究一、二的结论，可以求得结果． 【详解】（1）解：探究一： 7 ，f与m，n之间的关系式是：． 探究二： 12 ， 9 ，f与a，b，k之间的关系式是． （2）解：根据探究二的结论，630=70×9，490=70×7， 即，，，，， ∵（个）， ∴穿过的小正方形的个数是 1050 个． （3）解：穿过的小正方体的个数是 6 个． 【点睛】本题考查了对图形规律的分析、归纳及应用，充分理解题意，得到f与m，n之间的关系式，f与a，b，k之间的关系式是解题的关键． 3．在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB＝AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图① 小明发现：CE与⊙O的位置关系是 　 ，请说明理由： 【实践探究】 连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．请求出当AB＝3，BC＝6时，CF长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD：DB与点F分线段DE所成的比DF：FE始终相等．请予以证明． 【分析】操作发现：连接CO并延长交⊙O于点M，连接AM，根据直径所对圆周角为直角得到∠MAC＝90°，根据旋转的性质得到∠B＝∠ACE，由圆周角定理推出∠B＝∠AMC，等量代换得到∠ACE＝∠AMC，利用直角三角形的性质即可证明∠OCE＝90°，即可得出结论； 实践探究：证明△ABC∽△ADE，得到∠B＝∠ADE＝∠ACB，结合三角形外角的性质 得到∠CDF＝∠BAD，易证△ABD∽△DCF，得到 ，设BD＝x，则CD＝6﹣x，得到CF（6﹣x）（x﹣3）2+3，利用二次函是的性质即可求解； 问题解决：过点E作EN∥BC交AC于点N，由旋转的 性质知：∠B＝∠ACE，证明∠ENC＝∠ACE，推出EN＝CE，由旋转的性质得：△ABD≌△ACE，得到BD＝EN，根据EN∥BC，易证△CDF﹣△NEF，得到，即可证明结论． 【解答】解：操作发现： 连接CO并延长交⊙O于点M，连接AM， ∵MC是⊙O直径， ∴∠MAC＝90°， ∴∠AMC+∠ACM＝90° 由旋转的性质得∠B＝∠ACE， ∵∠B＝∠AMC， ∴∠ACE＝∠AMC， ∵OCE＝∠ACM+∠ACE＝∠ACM+∠AMC＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE与⊙O相切； 实践探究：由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE， ∵AB＝AC， ∴， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠B＝∠ADE＝∠ACB， ∵∠ADC＝∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD， ∴∠CDF＝∠BAD， ∴△ABD∽△DCF， ∴， 设BD＝x， 则CD＝6﹣x， ∴， ∴CF（6﹣x）（x﹣3）2 ∴当x＝3时，CF有最大值为； 问题解决：证明：过点E作EN∥BC交AC于点N， ∴∠ENC＝∠ACB， 由旋转的性质知：∠B＝∠ACE， ∵∠B＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠ACE， ∴∠ENC＝∠ACE， ∴EN＝CE， 由旋转的性质得：△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∴BD＝EN， ∵EN∥BC， ∴△CDF∽△NEF， ∴， ∵BD＝EN， ∴． 4．如图1，AB为⊙O的直径，AB＝12，C是⊙O上异于A，B的任一点，连接AC，BC，过点A作射线AD⊥AC，D为射线AD上一点，连接CD． 【特例感知】 （1）若BC＝6，则AC＝ ； （2）若点C，D在直线AB同侧，且∠ADC＝∠B，求证：四边形ABCD是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC，连接OD． （3）如图2，当CD与⊙O相切时，求OD的长度； （4）求OD长度的取值范围． 【分析】（1）利用勾股定理求出AC长即可； （2）根据AD⊥AC，推导出AD∥BC，由∠ADC＝∠B和等角的余角相等推出AB∥CD，根据平行四边形定义可证明； （3）连接OC，先求出∠ADC＝60°，∠ACD＝30°，利用解直角三角形求出CD，再利用勾股定理求出OD长即可； （4）过点A作射线AF⊥AB，作射线OF满足∠AOF＝60°，射线AF与OF交于点F，连接OC、CF，可证△CAF∽△DAO，继而得到FC，利用勾股定理求出OF、OC，再根据|OF﹣OC|≤CF≤OF+OC求出CF的范围，继而得到OD的长度范围． 【解答】（1）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC6， 故答案为：6； （2）证明：∵AD⊥AC， ∴∠DAC＝∠BCA＝90°， ∴AD∥BC， ∵∠ADC＝∠B， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （3）解：在Rt△ACD中， ∵tan∠ADC， ∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°， 如图2，连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠ACD+∠ACO＝90°， 又∵∠ACO+∠OCB＝90°， ∴∠ACD＝∠OCB， ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠OCB＝∠ACD＝30°， 在Rt△ABC中，AC＝AB•sin30°＝6， 在Rt△ACD中，CD4， ∴在Rt△COD中，OD2； （4）解：如图3，过点A作射线AF⊥AB，作射线OF满足∠AOF＝60°，射线AF与OF交于点F，连接OC、CF， 在Rt△AOF中，AF＝OA•tan60°OA， ∵tan∠ADC， ∴， ∵AF， ∴， ∵∠DAC＝∠OAF＝90°， ∴∠DAC+∠CAO＝∠OAF+∠CAO，即∠DAO＝∠CAF， ∴△CAF∽△DAO， ∴，即FC， 在Rt△AOF中， ∵， ∴12， 又∵|OF﹣OC|≤CF≤OF+OC， ∴6≤CF≤18， ∴2OD． 题型03 探究实践类问题 1.综合与探究 问题情境： 数学课上，老师提出以下问题：如图1，正方形的顶点F，G在正方形的边和上，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，猜想和的数量关系，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）“善思小组”将图1中的正方形绕点C逆时针旋转，使得点G落在正方形的内部，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由； （3）“勤学小组”将图2中的正方形继续绕点C逆时针旋转，使得B，G，F在同一直线上，其余条件不变，得到如图3所示的图形，若，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，正确做出辅助线是解题的关键． （1）利用正方形的性质得到，再利用角度转换得到，即可证明即可解答； （2）证明，可得，，再证明，即可证明，即可解答； （3）分类讨论，分当点在线段上，和当点在线段上，依次解答即可． 【详解】（1）解：四边形和四边形为正方形， ， ， ， 即， ， ， ， ，即， ； （2）解：仍旧成立，理由如下： ， ，即， ， ， ，， 设， ，， ， ， 同（1）可得， ， ， ； （3）解：如图，当点在线段上， 过点作的垂线段，交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， 设，则， 根据勾股定理可得， 可得， 解得（负值舍去）， ， ， , , , ，， 设， ，， ， ， 同（1）可得， ， ， ， ； 如图，当点在线段上， 过点作的垂线段，交的延长线于点，连接， ， ， ， , , 为等腰直角三角形， 设，则， 根据勾股定理可得， 可得， 解得（负值舍去）， ， ， ， ，即， ， ， ，， 设， ，， ， ， 同（1）可得， ， ， ， ， 综上所述，或． 2.【问题提出】 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则 ；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】 （2）如图②，的直径为20，点A，B，C都在上，，求面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，为某市一块空地示意图，米，米，根据设计要求，现要在外选择一点D，将这块地扩大改造为一个四边形便民服务区，要求点D为内部一点，且，为服务区内两条主步道，在上修建一个引导台点E，使，再修建两条新的小道，为了让服务区功能更加合理，要使四边形的面积尽可能大，请求出满足设计要求的四边形面积的最大值． 【答案】（1）=；（2）108；（3）平方米． 【分析】（1）由平行线的性质，根据同底等高的两三角形面积相等作答； （2）长不变，只要边上的高最大，面积最大；由图知当C是优弧的中点时，边上的高最大，面积最大，求得优弧的中点到的距离就可求得最大面积； （3）过C作交的延长线于F，得，先证得四边形的面积的面积；根据得点F在以为边向外作的等边的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F运动到点G时，的面积最大，即四边形的面积最大．最后计算出的面积即是四边形的面积最大值． 【详解】解：（1）如图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 又， ∴； 故答案为：=； （2）如图②，取优弧的中点记为，过作的垂线，垂足为D， 由垂径定理知过点O，且． 过点C作的平行线， 当直线向上平移时，与的距离增大，即的边上的高增大， ∴当CE运动到最高点C时，的边上的高最大． 又为定值， ∴当C运动到时，的面积最大， 连接， ，的直径为20， ， 在中，． ． 的面积为． 面积的最大值为108． （3）如图，过点C作交的延长线于F． ． ． ， 四边形是平行四边形． ． ， ． ． 又由（1）的结论知， ． 所以只需求得最大值即得的最大值． 以AC为边向外作等边，再作等边的外接圆，过点G作于点J．如图， ， 点F在的外接圆上． 由第（2）问的解决知，当点F运动到点G时，． 在中，（米）， （米）， （米）， （平方米）． 四边形面积的最大值为平方米． 【点睛】本题考查了三角形等积变形、定角对定边的三角形的面积最大值、等边三角形及其外接圆、平行四边形的判定和性质等考点，熟练掌握相关知识并能综合应用是解题关键． 3.平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在中，点D在边上，，在边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在和中，D，分别边BC，上一点，，，，求证． 【应用拓展】 （3）如图③，已知，直线． ①在图③中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为2，，之间的距离为4，则的最小值是______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析，② 【分析】（1）作，与交于点E，点E即为所求； （2）过点D作交于点E，过点作交于点，证明，，列出对应的比例式，得到，根据角的等量代换得到，即可得证； （3）①作直线l分别交，，于点M，N，P；过点A作一条射线，在上截取，；连接，过点E作交于点Q，连接；在任取一点，作交于点；作交于点，则即为求． ②延长交于点Q，则，根据题意得到，进而，则求出即可求得，当为等边三角形时，取得最小值，过点作于点H，即可解答． 本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，作图，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作，与交于点E，点E即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 则点E即为所求． （2）证明：如图，过点D作交于点E，过点作交于点 ∵，， ，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ， ∵，， ，， ∴， 即， ∵，， ∴ ，， ， 即， ， 又，， ∴， 即， 解：①如图，即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交，，于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线，在上截取，； 第3步：连接，过点E作交于点Q，连接； 第4步：在任取一点，作交于点； 第5步：作交于点，则即为求． ②如①右图，延长交于点Q，则， ， ， ∴， ∴， 求出即可求得， 当为等边三角形时，取得最小值， 过点作于点H， ，之间的距离为4， ， ∴， ∴， 故答案为： 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$