切线放缩-2026年高三数学一轮复习

学员姓名：                             年  级：高三                        课 时 数：3

辅导科目：数学                         学科教师：贺老师                    讲义审核：

授课主题

指对共生技巧--切线放缩

教学目标

1、让学生明确常见的几种切线关系，进一步学会变形式的应用。

2、认识到导数问题方法的互通性做到一题多解，熟练掌握。

教学重难点

重点：牢记几种不等关系，明确切线放缩实质是化曲为直。

难点：寻求放缩关系，放缩成什么样子。

教学内容

导数第一课说到了切线的定义：切线就是曲线上的割线在两个交点无限接近时所对应的那条直线。其实在这之前第一个定义来自古希腊三大数学家之一的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190）。

在数学中，喇叭角，也称为horn angle，是一种曲线角，定义为两条相切的曲线之间形成的角。下面这只牛角表面沿纵向正对的两条曲线近似牛角尖处相切，因此就形成一个喇叭角。

阿波罗尼奥斯将切线定义为一条直线，那么它和曲线之间不可能还能插入其他的直线。换句话说，所谓切线就是那个与曲线接触并形成最小夹角的直线。

阿波罗尼奥斯不愧为几何学大师，给出的切线的定义似乎无懈可击。即使将切线推广至曲线，也是可以的。因为若切线是形状大小固定曲线，当你试图将另一条同样的曲线插入喇叭角，并使它同一位置与切点重合时，它必然与原来的切线重合。换句话说，切线和曲线之间也无法再插入一条(同样的)切线了。

                           （阿波罗尼奥斯）

  那么在学会求切线之后，我们可以用切线来解决诸多问题，比如说今天我们要学习的切线放缩证明不等式。

【例l】：证明：.

证法1：易证，设，则，

所以，，

从而在上单调递减，在上单调递增，

故，

所以，从而，故.

证法2：易证，故，

设，则，

所以，，

从而在上单调递减，在上单调递增，

故

所以，从而，故.

证法3：一方面，，所以，

另一方面，，显然当时，，所以，故.

小结：看到指对共生结构，可以考虑运用切线放缩把指数放掉，也可以考虑把对数放掉，当然，如果条件允许，两个都放掉就更简单了.

            一方面， 另一方面，，

变式：对任意的，证明：.