第4章 三角形章末重点题型复习（18大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大2024版）七年级下册数学 第4章：三角形章末重点题型复习 题型一 三角形的有关概念 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B．C． D． 2．如图所示，的对边是(    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 题型二 三角形的个数问题 1．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有（    ）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 题型三 三角形的三边关系 1．（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．（24-25八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边．且，． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边为奇数，判断的形状． 题型四 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，求和的度数． (2)若，求的长． 题型五 全等三角形的概念及表示方法 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，试找出对应边，对应角． 题型六 利用全等三角形的性质的计算 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，且，，三点在一条直线上，，，，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，若点A，B，D，E在同一条直线上，，，，则的长是 ． 4．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图， 在中，是的角平分线，是中边上的高，求的度数． 5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 题型七 利用全等三角形的性质证明 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，、分别为和上的点．求证：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，与交于点，试探究与有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)请你猜想满足什么条件时，． 5．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 题型八 全等三角形判定的条件 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，要使，可以添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在和中，已知，下列添加的条件中不能证明的是（   ）    A． B． C． D． 4．如图，AB=BD， BC=BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件（      ） A．∠ABE=∠DBC B．∠C=∠E C．∠D=∠E D．∠A=∠D 5．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ． 题型九 全等三角形的证明---SSS 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B，C，D四点依次在同一条直线上，，，．求证：． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 题型十 全等三角形的证明---SAS 1．（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川泸州·二模）如图，在和中，，，，求证：． 4．（2025·云南西双版纳·一模）如图，，，．求证：． 5． （2025·云南·模拟预测）如图，点E在边BC的延长线上，已知． 求证：．    题型十一 全等三角形的证明---ASA 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 4．（2025·广东广州·一模）如图，已知平分，，求证：． 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，且，．求证：． 题型十二 全等三角形的证明---AAS 1．（24-25八年级上·上海·期中）已知，在中，，，垂足为点H，平分，与相交于点D，过点D作，与边相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（     ）    A．15 B．16 C．18 D．20 3．如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED． 4．如图，在中，延长边至点E，使得，连接交于点F，求证：． 5．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 题型十三 三角形全等的开放题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上．现有以下四个条件：①；②；③；④．请以其中三个作为条件，余下的一个作为结论，写出两个真命题，并加以证明． 3．如图，AC与BD相交于E，且AC＝BD    (1)请添加一个条件能说明BC＝AD，这个条件可以是：　 　或　 　； (2)请你选择（1）中你所添加的一个条件，说明BC＝AD的理由． 4．（2022·浙江嘉兴·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，AC与BD相交于点O，．若______，求证：． 题型十四 利用三角形全等证明两直线的位置关系 1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且，连接BE，DF，求证：． 2．如图，D为△ABC的边BC上的一点，E为AD上一点，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AD⊥BC． 3．如图，已知平分，且．    (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 4．如图，在和中，，，，连接，C、D、E三点在同一条直线上，连接． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并说明理由． 题型十五 全等三角形的性质与判定的综合 1．如图，OA=OB，AC=BD，且∠A=∠B，M是CD的中点，求证：OM平分∠AOB．    2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 3．如图，在和中，，，，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在同侧，连结，交于点M，与交于点N．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    5．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上． 求证：（1）BE⊥CE； （2）BC＝AB+CD．    题型十六 利用三角形全等测高度 1．（2024秋•昆明校级期末）如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置CD垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是（　　） 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）小文与爸爸、妈妈在公园荡秋千．小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为，点B到的距离为，点C距离地面的高度是，，则点C到的距离为（   ） A． B． C． D． 3．某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度． 4．某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由. 题型十七 利用三角形全等测宽度 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度，设计了如图所示的方案．在河边选了一点，然后在的延线上找一点，使，在点沿与河边垂直的方向直走到点，观察到A，O，D，三点在同一直线上．测得的长，就是河流的宽度，小明这种测量方法的原理是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，为了测量B点到河对岸的目标A的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是，则B点到河对岸的目标A的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）某班级在“测量水池的宽度”时，设计了如下测量方案：如图，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使；接着过点作的垂线交的延长线于点．测出的长即为，间的距离．该测量方案设计的数学依据是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两棵树A，B之间的距离，可这样操作：在池塘外取的垂线上的点C、D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．这种做法可证，因此，其中全等的依据是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 题型十八 全等三角形的综合题 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）已知，平分，平分， (1)求的度数． (2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：； (3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积． 2．（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 3．如图，O为□ABCD 的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF． （1）图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来； （2）求证：∠MAE=∠NCF． 4．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大2024版）七年级下册数学 第4章：三角形章末重点题型复习 题型一 三角形的有关概念 1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．如图所示，的对边是(    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中角的对边的概念，熟记其概念是解题的关键． 根据三角形对边的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的对边是． 故选：C． 3．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 4．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，，是的内角，原说法正确，不符合题意； B、 是与相邻的角，原说法正确，不符合题意； C、，但不一定等于，原说法错误，符合题意； D、的三条边分别是 ，，，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 题型二 三角形的个数问题 1．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三个点首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形，根据三角形的概念即可求解． 【详解】解：以为边的三角形有， 所以有3个， 故选：C． 3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有（    ）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】根据三角形的定义得出答案即可． 【详解】解：以点为顶点的三角形有6个，它们分别是，，，，，． 故选A． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个． 【答案】4 【分析】本题考查三角形，解答本题的关键要明确：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，， ∴以点A为顶点的三角形有4个， 故答案为：4． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 题型三 三角形的三边关系 1．（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能做成三角形框架，不符合题意； B、，不能做成三角形框架，不符合题意； C、，能做成三角形框架，符合题意； D、，不能做成三角形框架，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数． 【详解】解：四根木条的所有组合：2，3，4和2，4，5和3，4，5和2，3，5； 根据三角形的三边关系，能组成三角形的有2，3，4和2，4，5和3，4，5． 故选：C． 3．（上海市松江区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能做成三角形框架，不符合题意； B、，不能做成三角形框架，不符合题意； C、，能做成三角形框架，符合题意； D、，不能做成三角形框架，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数． 【详解】解：四根木条的所有组合：2，3，4和2，4，5和3，4，5和2，3，5； 根据三角形的三边关系，能组成三角形的有2，3，4和2，4，5和3，4，5． 故选：C． 5．（24-25八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边．且，． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系（确定第三边的取值范围），等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）由三角形三边之间的关系可得，于是得解； （2）由“第三边为奇数”且可得，进而可得，于是可得答案． 【详解】（1）解：由三角形三边之间的关系可得：， 即：， ， 第三边的取值范围为； （2）解：第三边为奇数，且， ， ， 是等腰三角形． 题型四 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 1．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的高的定义容易得出结论． 本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的高的定义是关键． 【详解】解：由三角形高的定义可知， 在中，于C， ∴是中边上的高． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，求和的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答； （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 本题考查了含30度角的直角三角形，三角形的面积，关键是三角形面积公式的应用． 【详解】（1）解： ，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ； （2）解：，，，，是高， ， 即， ． 题型五 全等三角形的概念及表示方法 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解： ， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断． 【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误； 全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确； 若，的对应角为，所以，故④说法正确； 说法正确的有③④，共2个． 故选：B． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义．由全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案． 【详解】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，试找出对应边，对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的相关概念．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：对应边是与，与，与． 对应角是与，与，与． 题型六 利用全等三角形的性质的计算 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，且，，三点在一条直线上，，，，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解： ， ，，，， 故选项C正确，不符合题意； ， ； 故选项A正确，不符合题意； ，， 故选项D错误，符合题意； 故选项B正确，不符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，到局全等三角形的对应边相等得出，进而得出，结合已知条件可得出，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，若点A，B，D，E在同一条直线上，，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 本题先求得，然后根据三角形全等得到，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2 4．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图， 在中，是的角平分线，是中边上的高，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，高的定义及三角形内角和定理．先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出度数，由可求出，再由三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等． （1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：∵ ∴． 题型七 利用全等三角形的性质证明 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，根据，可得到：和，根据角的和与差求出． 【详解】证明：， ，， ， ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，、分别为和上的点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 先由得出，即可得到． 【详解】证明：， ， ∵、分别为和上的点， ， ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，与交于点，试探究与有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 【答案】且，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，垂直的定义和余角等相关知识，熟知相关知识是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到对应角相等，根据垂直的定义得出互余的角，最后根据角即可得出结果． 【详解】解：且，理由如下： ， ， 设与交于点， ， ， ，， ， ， 即． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)请你猜想满足什么条件时，． 【答案】(1)见解析 (2)满足时，． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等、对应角相等． （1）利用全等三角形的性质可得，，然后再等量代换即可； （2）利用平行线的判定方法和全等三角形的性质进行推理即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵A，D，E三点在同一直线上， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴ ∴． 5．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，内错角相等两直线平行等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，进而可得，于是结论得证； （2）由全等三角形的性质可得，然后由内错角相等两直线平行即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 即：； （2）解：，理由如下： ， ， ． 题型八 全等三角形判定的条件 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，要使，可以添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等． 根据全等三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．若添加，无法判定，故不符合题意； B．若添加，则，即， 在和中， ， ∴，故符合题意；     C．若添加，无法判定，故不符合题意；     D．若添加，无法判定，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：∵图乙中的三角形与有两角及其夹边相等， ∴图乙中的三角形与全等． 图丙中：， ∴图丙中的三角形与有两角及其夹边相等， ∴图丙中的三角形与全等． 故选B． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在和中，已知，下列添加的条件中不能证明的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断．注意：、不能判定两个三角形全等． 【详解】解：∵，， ∴A．添加，根据可判定，故不符合题意； B．添加，根据可判定，故不符合题意； C．添加，不能判定，故符合题意； D．添加，根据可判定，故不符合题意； 故选C． 4．如图，AB=BD， BC=BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件（      ） A．∠ABE=∠DBC B．∠C=∠E C．∠D=∠E D．∠A=∠D 【答案】A 【分析】根据已知条件是两个三角形的两组对应边，所以需要添加的条件必须能得到这两边的夹角相等，选择答案即可． 【详解】∵AB=BD，BC=BE， ∴要使△ABE≌△DBC，需添加的条件为∠ABE=∠DBC， 添加的条件为∠C=∠E或∠D=∠E或∠A=∠D时，都不是这两边的夹角，不符合题意， 故选：A． 5．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．由 ，要用“”直接证，则需要补充即可． 【详解】解：补充， ∵ ，， ∴， 故答案为：． 题型九 全等三角形的证明---SSS 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合题意，根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案． 【详解】在和中， ， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出即可解答． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B，C，D四点依次在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的应用．先由得出，结合，，可通过证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 由即可证明即可． 【详解】证明：在和中， ∴． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴，即 ， 在和中， ， ∴． 题型十 全等三角形的证明---SAS 1．（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要全等三角形的判定，由O是的中点，可得，再有，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 3．（2025·四川泸州·二模）如图，在和中，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 先根据题意得出，再由定理证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明： 在和中， ， 4．（2025·云南西双版纳·一模）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用证全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 5． （2025·云南·模拟预测）如图，点E在边BC的延长线上，已知． 求证：．    【答案】见解析 【分析】题目主要考查三角形全等的判定，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ， 在和中， ， ． 题型十一 全等三角形的证明---ASA 1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的判定和性质，根据全等三角形的判定定理判断是解题的关键． 根据题中的条件推理出全等三角形的判定依据，即可求解； 【详解】解： ， ， 在和中， ， ； 则的依据是； 故选：D 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直的定义，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定，结合垂直的定义证明，再利用全等是性质得到，，最后根据求解，即可解题． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即和）和全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 则的面积． 故选：A． 4．（2025·广东广州·一模）如图，已知平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，属于基础题，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．平分，，根据可证明，继而得出． 【详解】证明：平分， ． 在和中， ． ． ． 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴． 题型十二 全等三角形的证明---AAS 1．（24-25八年级上·上海·期中）已知，在中，，，垂足为点H，平分，与相交于点D，过点D作，与边相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，先导角证明，再证明，可得，则D选项结论正确；根据现有条件无法证明A、B、C三个选项中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故D结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论， 故选：D． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（     ）    A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由平行线的性质可得，进而根据“”推出，根据全等三角形的性质得到，进而求出，再由计算即可得到答案． 【详解】解： ，， ， 又 ， ， ， ，即， ，， ∴， ， ． 故选：C． 3．如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED． 【答案】见解析 【分析】通过余角的性质可得∠C＝∠DEB，再用AAS证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°， ∴∠C+∠CEA＝90°，∠CEA+∠DEB＝90°， ∴∠C＝∠DEB， 在△ACE和△BED中， ∵， ∴△ACE≌△BED（AAS）． 4．如图，在中，延长边至点E，使得，连接交于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，，进而得到，然后证明即可． 【详解】在中，∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴． 5．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）根据，可知：，，继而推出，领补角相等，则，结合已知条件，利用“角角边”证明三角形全等即可； （2）根据（1）的结论可知：,则即可求得 【详解】（1） 即： , , 在和中 （AAS） （2） ，，， , 题型十三 三角形全等的开放题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 【答案】选择的三个条件是①②③或①③④，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明，选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④，根据全等三角形的判定即可得证．熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择的三个条件是①②③． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴； 选择的三个条件是①③④． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上．现有以下四个条件：①；②；③；④．请以其中三个作为条件，余下的一个作为结论，写出两个真命题，并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先写出两个真命题，再利用全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质证明即可得解． 【详解】解：条件：②③④，证明①； 证明如下：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 条件：①②④，证明③； 证明如下：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 3．如图，AC与BD相交于E，且AC＝BD    (1)请添加一个条件能说明BC＝AD，这个条件可以是：　 　或　 　； (2)请你选择（1）中你所添加的一个条件，说明BC＝AD的理由． 【答案】(1)∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB 或∠BCA＝∠ADB 或CE＝DE或BE＝AE (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形判定条件添加一个满足题意的条件即可； （2）选CE＝DE或者∠A＝∠B均可，利用SAS或AAS证明三角形全等，即可得出结论． 【详解】（1）解：∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB 或∠BCA＝∠ADB 或CE＝DE或BE＝AE， （2）方法一：选∠A＝∠B 在△FCA和△FDB中， ， ∴△FCA≌△FDB， ∴FC＝FD，FA＝FB， ∴FB﹣FC＝FA﹣FD ，    即BC＝AD， 方法二：选CE＝DE， ∵AC＝BD， 又∵CE＝DE， ∴AC﹣CE＝BD﹣DE，即AE＝BE， 在△BCE和△ADE中， ， ∴△BCE≌△ADE， ∴BC＝AD． 4．（2022·浙江嘉兴·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，AC与BD相交于点O，．若______，求证：． 【答案】（①②③任选其一即可）；证明见解析． 【分析】根据所选择的条件利用全等三角形的判定定理皆可证明，进而利用全等三角形的性质可得出结论． 【详解】解：选择①，证明如下： 证明： 即 ∴（SAS） ∴ 选择②，证明如下： 证明：∵，， ∴(ASA) ∴ 选择③，证明如下： 证明： 即 ∴(ASA) ∴ 题型十四 利用三角形全等证明两直线的位置关系 1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且，连接BE，DF，求证：． 【答案】见解析 【分析】证明：根据平行四边形ABCD，可以证明△ADF≌△CBE，从而得∠AFD=∠CEB，所以∠DFC=∠BEA，由平行线的性质，即可得到DF∥BE． 【详解】证明：∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠DAF=∠BCE 在△ADF和△BCE中， ， ∴△ADF≌△CBE， ∴∠AFD=∠CEB ∴∠DFC=∠BEA， ∴DF∥BE． 2．如图，D为△ABC的边BC上的一点，E为AD上一点，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析． 【分析】在和中，由AAS判定，再根据全等三角对应边相等的性质，得到，继而可以证明，根据全等三角形对应角相等的性质得到，最后由平角的定义解题即可． 【详解】证明：证明：在和中， ∴， ∴， ∵ 在和中， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴ ． 3．如图，已知平分，且．    (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）根据“角角边”证明，由此即可求解； （2）由（1）可知是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴． （2）解：，理由如下， 如图所示，延长交于点，    由（1）可知，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴． 4．如图，在和中，，，，连接，C、D、E三点在同一条直线上，连接． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）由“”可证，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，设与于G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型十五 全等三角形的性质与判定的综合 1．如图，OA=OB，AC=BD，且∠A=∠B，M是CD的中点，求证：OM平分∠AOB．    【答案】证明见解析 【分析】连接OC，OD，根据OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD可得出OC=OD，再由M是CD中点得出CM=DM，根据SSS定理得出△OCM≌△ODM，进而可得出结论. 【详解】连接如图所示．    在和中， ． 是的中点， 在和中， ， ． 平分. 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在和中，，，，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在同侧，连结，交于点M，与交于点N．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用 “”证明，进而即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ． ； （2）解：， ， ，，， ． 4．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 5．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上． 求证：（1）BE⊥CE； （2）BC＝AB+CD．    【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）先根据同旁内角互补得到∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，再利用角平分线性质即可解答, （2）在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF,证明△ABE≌△FBE（SAS），△CDE≌△CFE（AAS）即可解题. 【详解】证明：如图所示：    （1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 又∵AB∥CD， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴BE⊥CE． （2）在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF． 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SAS）， ∴∠A＝∠5． ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∴∠5+∠D＝180， ∵∠5+∠6＝180°， ∴∠6＝∠D， 在△CDE和△CFE中， ， ∴△CDE≌△CFE（AAS）， ∴CF＝CD． ∵BC＝BF+CF， ∴BC＝AB+CD， 题型十六 利用三角形全等测高度 1．（2024秋•昆明校级期末）如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置CD垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是（　　） 【分析】过点O作OG⊥地面于点G，则OG＝60cm，证明△ABO≌△FEO（AAS），得出AB＝EF＝15cm，即可推出结果． 【解答】解：如图，过点O作OG⊥地面于点G，则OG＝60cm， 由题意可知，∠ABO＝∠FEO，∠AOB＝∠FOC，AO＝FO， ∴△ABO≌△FEO（AAS）， ∴AB＝EF＝15cm， ∴嘉离地面的高度是OG﹣EF＝60﹣15＝45（cm）， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）小文与爸爸、妈妈在公园荡秋千．小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为，点B到的距离为，点C距离地面的高度是，，则点C到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用．由证明得出，即可推出结果． 【详解】解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， 点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， ， ， ， ， 又由题意可知，， ， ，， ， 点到的距离为， 故选：C． 3．某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度． 【答案】52米 【分析】先根据大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°以及AB=CD可以推出≌，从而得到，进而计算出即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 又CD=12米，BD=64米， 米， 米， 答：该居民楼ED的高度为52米． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，利用AAS证明≌是解题的关键． 4．某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由. 【答案】理由见解析. 【分析】使AC与房间内壁在一条直线上，且C与一端点接触，然后人在BD的延长线上移动至F，使F、O、E三点正好在一条直线上，记下F点，这时量出DF长，即为房间深度CE．通过证△EAO≌△FBO，可得BF＝AE，则BF－BD＝AE－AC，即DF＝CE． 【详解】解：如图,使AC与房间内壁在一条直线上,且C与一端点接触,然后人在BD的延长线上移动至F,使F,O,E三点正好在一条直线上,记下F点,这时量出DF长,即为房间深度CE.理由如下:由∠A=∠B=90°,OA=OB,∠EOA=∠FOB, ∴△EAO≌△FBO, 得BF=AE, 则BF-BD=AE-AC,即DF=CE. 【点睛】本题考核知识点：全等三角形判定的应用. 解题关键点：构造全等三角形. 题型十七 利用三角形全等测宽度 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度，设计了如图所示的方案．在河边选了一点，然后在的延线上找一点，使，在点沿与河边垂直的方向直走到点，观察到A，O，D，三点在同一直线上．测得的长，就是河流的宽度，小明这种测量方法的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 故选C． 2．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，为了测量B点到河对岸的目标A的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是，则B点到河对岸的目标A的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知易得：， ，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：， ， 在和中， ， 米， ∴A，B两点间的距离为15米， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）某班级在“测量水池的宽度”时，设计了如下测量方案：如图，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使；接着过点作的垂线交的延长线于点．测出的长即为，间的距离．该测量方案设计的数学依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由，，则，证明，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长即为，间的距离， ∴该测量方案设计的数学依据是：， 故选：． 4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两棵树A，B之间的距离，可这样操作：在池塘外取的垂线上的点C、D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．这种做法可证，因此，其中全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可得，再由，即可利用证明，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 根据题意可得，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∵用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙， ∴， ， ∴，， ∴， 故选：C． 题型十八 全等三角形的综合题 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）已知，平分，平分， (1)求的度数． (2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：； (3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； （2）在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论； （3）延长交于F，根据全等三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，设，，根据，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交于F， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8． 2．（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，O为□ABCD 的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF． （1）图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来； （2）求证：∠MAE=∠NCF． 【答案】（1）有4对全等三角形．分别为，，，；（2）见解析． 【分析】（1）有4对全等三角形，分别为，，，；利用平行四边形的性质，可证得；；再由OE=OF，可证得；，即可求解； （2）先证得，可得，再根据平行四边形的性质，可得，即可求证． 【详解】解：（1）有4对全等三角形，分别为，，，；证明如下： 在 中， ∴ ， ∵O为□ABCD 的对角线AC的中点， ∴ ， ∵ ， ∴； ∵OE=OF， ， ， ∴； ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴； 在 中， ， ∵ ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$