第6章 变量之间的关系章末重点题型复习（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大2024版）七年级下册数学 第6章：变量之间的关系章末重点题型复习 题型一 变量与常量 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（    ） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ） A．单价和金额 B．重量和金额 C．重量和单价 D．重量，单价和金额 4．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）学校用100元钱购买乒乓球，所购买球的数量W与单价n（元）之间的关系是，其中（   ） A．100是常量，W，n是变量 B．100，W是常量，n是变量 C．100，n是常量，W是变量 D．100是变量，W，n是常量 5．（23-24八年级下·吉林·期中）一个长方形的面积是，其长是，宽是，下列判断正确的是（    ） A．常量为10、a，变量为b B．常量为10，变量为a、b C．常量为10、b，变量为a D．常量为a、b，变量为10 6．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（   ） A．的度数 B．的长度 C．的面积 D．的长度 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列各个过程中的变量与常量： (1)我国第一颗人造地球卫星绕地球1周需内卫星绕地球的周数为N，； (2)长方形的长为2，它的面积S与宽a的关系式为． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）写出下列变化过程中的变量和常量： (1)一个面积是10平方厘米的长方形，记它的长为a厘米，宽为b厘米； (2)小佳带了20元钱到某商店购买练习本，练习本的单价是元，小佳购买n本练习本，剩余M元； (3)气温T（单位：）随海拔高度h（单位：）的变化而变化，某地气温为，海拔每升高气温下降． 题型二 自变量与因变量 1．一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（    ） A．r是因变量，V是自变量 B．r是自变量，V是因变量 C．r是自变量，h是因变量 D．h是自变量，V是因变量 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）云南昆明斗南花市是亚洲最大的国际鲜花交易市场．如表所示，某鲜花的单价为元/枝，甲同学购买了20枝，金额为30元，若乙同学购买了枝，金额为元，则，下列说法正确的是（   ） 单价（单位：元/枝） 数量（单位：枝） 20 金额（单位：元） 30 A．数量是自变量 B．金额是自变量 C．是因变量 D．是常量 3．（23-24七年级下·河南郑州·期中）清明假期小华一家驾车出游，爸爸开车到加油站加油，小华发现加油机上某一时刻的数据显示牌如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．单价、数量、金额是变量 B．单价是自变量 C．金额是因变量 D．178.00和8.90是常量 4．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）一个长方体的长为，宽为2，高为1，体积为V，体积V随着长a的变化而变化，在这个变化过程中对变量的描述正确的是（    ） A．a，V都是因变量 B．a是自变量，V是因变量 C．a，V都是自变量 D．a是因变量，V是自变量 5．（21-22八年级上·安徽宣城·期末）寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（    ） A．每小时用电量 B．室内温度 C．设置温度 D．用电时间 6．生活中太阳能热水器已经慢慢普及使用．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒太阳时间的长短而变化，这个问题中因变量是(     ) A．太阳光的强弱 B．水的温度 C．晒太阳的时间 D．热水器 7．小明给在北京的姑姑打电话，电话费随时间的变化而变化，在这个问题中，因变量是（ ） A．时间 B．电话费 C．电话 D．距离 8．世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（　　） A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量 B．y是自变量，x是因变量 C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量 D．x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常量． 9．如图是用火柴棒拼成的图案，需用火柴棒的根数m随着拼成的正方形的个数n的变化而变化，在这一变化过程中，下列说法中错误的是(    ) A．m，n都是变量 B．n是自变量，m是因变量 C．m是自变量，n是因变量 D．m随着n的变化而变化 题型三 用表格表示变量间的关系 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（古代文化）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：）和时间t（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当h为时，对应的时间t为（   ） … 1 2 3 4 … … … A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 支撑物的高度 60 70 80 90 100 小车下滑的时间 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35 下列说法正确的是（   ） A．当时， B．h每增加，减小 C．随着h逐渐升高，t也逐渐变大 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温 … … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为次，则该地当时的气温约为（   ） A． B． C． D． 4．（13-14八年级上·全国·课后作业）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 根据表格所得到的信息，下列说法：①在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数：②温度越低，声速越慢；⑧当温度每升高时，声速增加；④当空气温度为时，声音可以传播．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）某河受暴雨袭击，某天此河水的水位记录为下表： 时间/时 0 4 8 12 16 20 24 水位/米 2 2.5 3 4 5 6 8 (1)上表中反应了哪两个变量之间的关系？自变量和因变量各是什么？ (2)12时，水位是多少？ (3)几时，水位是6米？ (4)哪一时段水位上升最快？ 7．某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)： x(人) 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y(元) ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？ 题型四 用关系式表示变量之间的关系 1．（2025·山西临汾·一模）某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）为打造“比、学、赶、帮、超”的良好班风和浓厚学风，数学老师购买了包卡通橡皮和本笔记本来表彰表现优秀的学生，卡通橡皮每包元，笔记本每本元，共花元，则和的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）清明假期，刘老师乘车从学校到井冈山观赏映山红，缅怀革命先烈．已知学校距离井冈山，车行驶的平均速度为，后刘老师距离井冈山，则与之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）“6.18”购物狂欢节期间，深圳本土品牌“布先生”天猫旗舰店在平台推出优惠活动，对于标价超过500元的服饰先按标价减免50元再打六折，小张在该平台购买了标价元的服饰（），则应付款（元）与商品标价（元）的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·吉林白城·期末）一根弹簧原长13厘米，挂物体质量不得超过16千克，并且每挂1千克就伸长0.5厘米弹簧长度y（厘米）与所挂物体质量x（千克）与的关系式为 （）． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则与的关系式为 ． 7．（23-24七年级下·陕西西安·期中）2024 世界泳联跳水世界杯总决赛 4月 日在西安奥体中心游泳跳水馆举行，小陆同学和家人一同从家出发观赛，由于距离较远，决定打车前往．已知西安市出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于 公里），超过3 公里每增加1公里（不足1 公里按1公里计算）加收元，则出租车费（元）与行程（公里）（是大于3的整数）之间的关系式为 ． 8．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)设汽车行驶的时间为小时，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示； (2)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 题型五 用关系式表示变量之间的规律 1．小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为（　　） A．y＝6x+4 B．y＝5x+4 C．y＝5x D．y＝6x+10 2．某电影院第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座位，．．．．．．每一排都比前一排多3个座位，依此类推，则第n排的座位数m= ．(不需要注明取值范围) 3．观察下列图形及表格：    梯形个数 周长 则周长与梯形个数之间的关系式为 ． 4．如图，若用n表示正方形个数，y表示摆放正方形所用火柴棒根数，则y与n之间的关系式为 ．    5．黑白棋子按如图所示的规律排列，观察图形，完成填空．    (1)第6行白棋子有______个，黑棋子有______个． (2)第n行黑白棋子共有y个，则y与n的关系式为______． 题型六 用表格和关系式表示变量之间的关系 1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的关系可以近似的表示为（    ） 所处深度 2 3 7 10 13 地表以下岩层的温度 90 125 265 370 475 A． B． C． D． 2．声音在空气中传播的速度（简称“声速”）和气温有下表中的关系： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 (1)随着T的增大，v将随之_____________（填“增大”或“不变”或“减小”）． (2)根据表中数据的变化，你发现了什么规律？写出v与T之间的函数解析式（不需要写自变量的取值范围）． (3)根据你发现的规律，回答下列问题： 在气温为的某个夏夜，小明在看到闪电后听到雷声，那么打雷的地方距小明大约多远？ 3．（23-24七年级下·河南平顶山·期中）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．根据下表，回答以下问题： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … (1)由表可知，距离地面高度每上升1千米，温度降低________摄氏度． (2)写出气温t与海拔高度h的关系式；并求出当海拔高度是7千米时，其气温是多少？ (3)某航班飞机在执行飞行任务至一定高度时，驾驶舱突现险情，此时舱外气温为．两名飞行员冷静应对，创造了世界航空史上的奇迹，请你计算出该飞机发生险情时的海拔高度（假设当时所在位置的地面温度为）． 4．苏老师非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到了下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱中的剩余油量 50 42 34 26 18 … (1)在这个问题中，自变量是______，因变量是______； (2)该轿车油箱的容量为______L，行驶时，油箱中的剩余油量为______L； (3)苏老师将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，请求出A，B两地之间的距离． 5．游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水/立方米 858 780 702 546    题型七 从实际问题中抽象图象 1．（2024八年级·全国·竞赛）晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图为一蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量往这个蓄水池注水，下列图象中能大致表示在蓄水池中水的深度h和时间t之间关系的是（    ） A．B．C． D． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期中）1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A．   B．   C．   D．   4．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：投篮时，投出去的篮球的高度与时间的关系；乙：去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系；丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系；丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系．用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是（    ）    A．③①④② B．①③④② C．①④③② D．③④①② 5．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）圆圆出门散步，从家出发走了到达高家的广场，看到大家正在跳舞，也加入了其中，度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家距离与外出时间之间关系的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，一个动点P从点A出发，沿着弧线，线段，匀速运动到A，当点P运动的时间为t时，的长为s，则s与t的关系可以用图象大致表示为（    ）   A．  B．   C．  D．   8．小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（　　） A．B．C． D． 题型八 从图象中获取信息 1．（23-24八年级上·陕西榆林·开学考试）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　）    A．点表示老刘出发，他一共骑行 B．老刘实际骑行时间为 C．老刘的骑行速度为 D．老刘的骑行在的速度比的速度慢 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）某周六下午，小林从家骑自行车去“西北书城”， 途中他在东方红广场停留了一段时间，在整个过程中小林离“西北书城”的距离s（米）与他所用的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．小林家距离西北书城1600米 B．小林在东方红广场玩了10分钟 C．小林从家到东方红广场的速度比从东方红广场到西北书城的速度大 D．小林离开东方红广场后的速度为320米/分钟 3．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    5．如图是小乐从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，从中得到如下信息：    ①学校离小乐家1000米；    ②小乐用了20分钟到家； ③小乐前10分钟走了路程的一半；    ④小乐后10分钟比前10分钟走得快， 其中正确的有 （填序号）． 6．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象．根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)图中点表示的意义题什么？ (3)在范围内，当温度为多少时，水的密度为？ (4)当温度在变化时，随着温度增大，水的密度是如何变化的？ 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）星期天，小新和爸爸妈妈一起去电影院看一场电影．在去的路上，小新画出了汽车的速度随时间变化的情况如图： (1)汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？ (2)汽车在哪个范围内保持匀速？速度是多少？ (3)出发后分钟到分钟这段时间可能出现什么情况？ 8．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)小明从家到学校的路程共______米，小明共用了______分钟； (3)小明修车用了______分钟； (4)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 题型九 动点运动问题的图象 1．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段运动，当点N运动到点D时，点M，N同时停止运动，设的面积为y，运动时间为x（s），请写出y与x之间函数关系式 ．    2．如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 3．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是______；边的长度是______； (2)在变化过程中，长方形面积的最大值______； (3)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 4．已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的三角形ABP的面积S（）与时间t（秒）之间的关系用图乙中的图象表示，若AB=6cm，试回答下列问题： (1)图甲中的BC长是多少？ (2)图乙中的是多少？ 5．（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图①，正方形的边长为，F为边上一点，动点P以的速度沿的路径向终点A运动．设运动时间为，的面积为，S与t的关系图象如图②所示． (1)求线段的长及a的值； (2)的面积S为时，直接写出t的值． 题型十 变量之间的关系的综合题 1．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 2．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）； (2)当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值： (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，三角形的底边，当边上的高由小到大变化时，三角形的面积也随之发生了变化． (1)设边上的高为，请写出三角形的面积与高的关系式； (2)请你用表格表示当由变化到时（每次增加，的相应值； (3)当高每增加1时，三角形的面积是如何变化？ 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … (1)自变量是_____________，因变量是_____________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是_____________m； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 5．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．    【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 6．（23-24七年级下·山东济南·期中）王师傅非常喜欢自驾游，为了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 … 油箱剩余油量 45 35 25 15 … (1)在这个问题中，自变量是__________，因变量是__________； (2)该轿车油箱的容量为__________L，行驶时，油箱中的剩余油量为__________L；将油箱加满油后，轿车最多能行驶__________； (3)油箱剩余油量与行驶的路程的关系式：_____________________； (4)王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，王师傅离A地的距离与离开A地的时间之间的关系图象如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题： ①A地与B地的路程是__________；王师傅中途有事停了__________h； ②王师傅从A地到B地的平均速度是__________； ③王师傅到达B地后，继续开车到C地，到达C地时油箱中的剩余油量（中途不加油）为，请直接写出B、C两地之间的距离是__________． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大2024版）七年级下册数学 第6章：变量之间的关系章末重点题型复习 题型一 变量与常量 1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，常量是固定不变的量，变量是变化的量，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴其中的常量是单价． 故选：C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（    ） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 【答案】B 【分析】本题考查了函数关系式，常量与变量，弄清变量概念是解题的关键．根据变量的定义判断即可． 【详解】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是． 在此变化过程中，变量是路程、时间， 故答案为：B． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ） A．单价和金额 B．重量和金额 C．重量和单价 D．重量，单价和金额 【答案】B 【分析】本题考查实际生活中的变量，读懂题意，理解水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化，即可得到答案，熟记数学概念在生活中的运用是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，小华同学在市场买某种水果，图中称重时电子秤的数据显示牌，中具有重量、单价和金额，显然水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化， 其中的变量是重量和金额， 故选：B． 4．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）学校用100元钱购买乒乓球，所购买球的数量W与单价n（元）之间的关系是，其中（   ） A．100是常量，W，n是变量 B．100，W是常量，n是变量 C．100，n是常量，W是变量 D．100是变量，W，n是常量 【答案】A 【分析】本题考查了常量与变量，在变化过程中，数值不变的量是常量，数值发生变化的量是变量，根据常量与变量的含义判断即可． 【详解】解：在关系式中，100是常量，W，n是变量； 故选：A． 5．（23-24八年级下·吉林·期中）一个长方形的面积是，其长是，宽是，下列判断正确的是（    ） A．常量为10、a，变量为b B．常量为10，变量为a、b C．常量为10、b，变量为a D．常量为a、b，变量为10 【答案】B 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键．根据常量与变量的定义：一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量判断即可． 【详解】解：是常量，变量是，， 故选：． 6．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（   ） A．的度数 B．的长度 C．的面积 D．的长度 【答案】D 【分析】本题主要考查了常量和变量的定义，根据常量和变量的定义进行判断． 【详解】解：木条绕点A自由转动至过程中，的长度始终不变， 故的长度是常量； 而的度数、的长度、的面积一直在变化，均是变量． 故选：D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列各个过程中的变量与常量： (1)我国第一颗人造地球卫星绕地球1周需内卫星绕地球的周数为N，； (2)长方形的长为2，它的面积S与宽a的关系式为． 【答案】(1)N和t是变量，114是常量 (2)S和a是变量，2是常量 【分析】本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键． （1）根据在这一变化过程中，是保持不变的量；和是可以取不同数值的量分析判断即可得解； （2）根据在这一变化过程中，是保持不变的量；和是可以取不同数值的量分析判断即可得解． 【详解】（1）解：和是变量，是常量； （2）解：和是变量，是常量． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）写出下列变化过程中的变量和常量： (1)一个面积是10平方厘米的长方形，记它的长为a厘米，宽为b厘米； (2)小佳带了20元钱到某商店购买练习本，练习本的单价是元，小佳购买n本练习本，剩余M元； (3)气温T（单位：）随海拔高度h（单位：）的变化而变化，某地气温为，海拔每升高气温下降． 【答案】(1)a，b为变量，10为常量 (2)n，M为变量，20，为常量 (3)T，h是变量；12，6是常量 【分析】此题主要考查了变量和常量，解决问题的关键是理解在某一变化过程中，不发生变化的量叫做常量，发生变化的量叫变量． （1）根据长方形的面积为10平方厘米不变化可得出常量，根据长方形长随宽的变化而变化可得出变量； （2）根据20元钱及笔记本单价元不变化可得出常量；根据剩余的钱数M随购买笔记本的数量n的变化而变化可得出变量； （2）根据某地气温为，海拔每升高气温下降不变化可得常量，根据气温T（单位：）随海拔高度h（单位：）的变化而变化可得变量． 【详解】（1）解：∵长方形的面积为10平方厘米不变化，长方形长随宽的变化而变化， ∴a，b为变量，10为常量； （2）解：∵小佳带的20元钱和单价1.2元不变化，剩余的钱数M随购买笔记本的数量n的变化而变化， ∴n，M为变量，20，1.2为常量． （3）解：∵某地气温为，海拔每升高气温下降不变化，气温T（单位：）随海拔高度h（单位：）的变化而变化， ∴T，h是变量；12，6是常量． 题型二 自变量与因变量 1．一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（    ） A．r是因变量，V是自变量 B．r是自变量，V是因变量 C．r是自变量，h是因变量 D．h是自变量，V是因变量 【答案】B 【分析】本题主要考查变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，函数值为因变量，另一个值为自变量．根据自变量、因变量的定义进行求解即可． 【详解】解：圆柱的高h为，因此h是常量不是变量，故排除C、D，圆柱的体积V随底面圆半径r的变化而变化，所以r是自变量，V是因变量． 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）云南昆明斗南花市是亚洲最大的国际鲜花交易市场．如表所示，某鲜花的单价为元/枝，甲同学购买了20枝，金额为30元，若乙同学购买了枝，金额为元，则，下列说法正确的是（   ） 单价（单位：元/枝） 数量（单位：枝） 20 金额（单位：元） 30 A．数量是自变量 B．金额是自变量 C．是因变量 D．是常量 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，不变的量叫做常量，变化的量叫做变量，能够影响其它量变化的量叫做自变量，随着其他变量变化的量叫做因变量，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，数量是自变量，金额是因变量，是常量， 故选：A． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期中）清明假期小华一家驾车出游，爸爸开车到加油站加油，小华发现加油机上某一时刻的数据显示牌如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．单价、数量、金额是变量 B．单价是自变量 C．金额是因变量 D．178.00和8.90是常量 【答案】C 【分析】本题考查了常量与变量，函数的定义理解常量与变量的定义是正确判断的前提；根据函数的定义依次判断. 【详解】解：单价是常量，金额和数量是变量金额是数量的函数， 故选项C符合题意， 故选：C． 4．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）一个长方体的长为，宽为2，高为1，体积为V，体积V随着长a的变化而变化，在这个变化过程中对变量的描述正确的是（    ） A．a，V都是因变量 B．a是自变量，V是因变量 C．a，V都是自变量 D．a是因变量，V是自变量 【答案】B 【分析】根据函数的概念，常量与变量的概念即可求解． 【详解】解：∵体积V随着长a的变化而变化，， ∴a是自变量，V是因变量， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数的概念，理解并掌握函数的概念，常量，变量的概念是解题的关键． 5．（21-22八年级上·安徽宣城·期末）寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（    ） A．每小时用电量 B．室内温度 C．设置温度 D．用电时间 【答案】C 【分析】根据题意分析，自变量是设置温度，因变量是空调的每小时用电量，据此分析即可． 【详解】解：空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是设置温度， 故选：C． 【点睛】本题考查了自变量与函数关系，理解题意是解题的关键． 6．生活中太阳能热水器已经慢慢普及使用．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒太阳时间的长短而变化，这个问题中因变量是(     ) A．太阳光的强弱 B．水的温度 C．晒太阳的时间 D．热水器 【答案】B 【详解】∵在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温是随所晒太阳时间的长短而变化的， ∴在这个问题中，“因变量”是“水的温度”. 故选B. 7．小明给在北京的姑姑打电话，电话费随时间的变化而变化，在这个问题中，因变量是（ ） A．时间 B．电话费 C．电话 D．距离 【答案】B 【分析】函数的定义：设x和y是两个变量，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，则x是自变量，y是x的函数，也叫因变量．由此定义即可完成解答． 【详解】解：根据函数的定义，电话费随时间的变化而变化，则电话费是因变量． 故选B． 【点睛】此题考查了函数的定义，掌握函数的定义是关键． 8．世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（　　） A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量 B．y是自变量，x是因变量 C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量 D．x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常量． 【答案】D 【分析】根据自变量、因变量和常量的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、x是自变量，0.6元/千瓦时是常量，故本选项说法错误，不符合题意； B、y是因变量，x是自变量，故本选项说法错误，不符合题意； C、0.6元/千瓦时是常量，y是因变量，故本选项说法错误，不符合题意； D、x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常量，故本选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了自变量、因变量和常量的定义，属于基础知识题型，熟知概念是关键． 9．如图是用火柴棒拼成的图案，需用火柴棒的根数m随着拼成的正方形的个数n的变化而变化，在这一变化过程中，下列说法中错误的是(    ) A．m，n都是变量 B．n是自变量，m是因变量 C．m是自变量，n是因变量 D．m随着n的变化而变化 【答案】C 【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量，再根据火柴棒的根数m随着拼成的正方形的个数n的变化而变化，从而确定自变量和因变量． 【详解】解：A. m与n都是变量，选项A正确； B.n是自变量，m是因变量，选项B正确； C. m是自变量，n是因变量，选项C错误； D. m随着n的变化而变化，选项D正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查了函数的定义以及常量与变量，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 题型三 用表格表示变量间的关系 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（古代文化）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：）和时间t（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当h为时，对应的时间t为（   ） … 1 2 3 4 … … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的表示方法，找到变量之间的变化规律是解题的关键．由表格可知，增加，增加，据此列方程并求解即可． 【详解】解：由表格可知，增加，增加，则， 解得， 当为时，对应的时间为． 故选：D 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 支撑物的高度 60 70 80 90 100 小车下滑的时间 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35 下列说法正确的是（   ） A．当时， B．h每增加，减小 C．随着h逐渐升高，t也逐渐变大 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】D 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格获得有效信息是解题的关键． 通过分析表格数据，理解变量之间的关系以及随着自变量的变化因变量的变化趋势，即可得出答案． 【详解】解：A．当时，，故选项错误； B．h每增加，减小的值不一定，故选项错误； C．随着h逐渐升高，t逐渐变小，故选项错误； D. 随着h逐渐升高，小车下滑的时间逐渐变小，小车下滑的平均速度逐渐加快，故选项正确； 故选：． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温 … … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为次，则该地当时的气温约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，由表格数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加次，据此即可求解； 【详解】解：由表格数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加次， 在温度为，蟋蟀每分钟鸣叫次的基础上， 可得：若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为次，则该地当时的气温约为， 故选：C 4．（13-14八年级上·全国·课后作业）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度y增加；当不挂重物时，弹簧的长度为，然后逐个分析四个选项，得出正确答案． 本题考查了函数，能够根据所给的表格进行分析变量的值的变化情况，得出答案． 【详解】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故选项正确； B、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误； C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故选项正确； D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确； 故选：B 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 根据表格所得到的信息，下列说法：①在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数：②温度越低，声速越慢；⑧当温度每升高时，声速增加；④当空气温度为时，声音可以传播．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据自变量与函数的定义即可判断①；通过观察表格数据即可判断②、③；根据表格计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断④．本题考查了函数的表示方法、常量与变量，掌握自变量与函数的定义是解题的关键． 【详解】解：声速随温度的变化而变化， 自变量是温度，声速是温度的函数，故①正确； 从表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，故②正确； 从数据可知，温度每升高，声速就增加，故③正确； 由表格可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播，故④错误； 故选：C． 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）某河受暴雨袭击，某天此河水的水位记录为下表： 时间/时 0 4 8 12 16 20 24 水位/米 2 2.5 3 4 5 6 8 (1)上表中反应了哪两个变量之间的关系？自变量和因变量各是什么？ (2)12时，水位是多少？ (3)几时，水位是6米？ (4)哪一时段水位上升最快？ 【答案】(1)反应了时间和水位两个变量之间的关系，自变量是时间，因变量是水位 (2)4米 (3)20 (4)时 【分析】（1）根据自变量和因变量的概念求解即可； （2）根据表格求解即可； （3）根据表格求解即可； （4）根据函数的概念，利用表格得出各时间对应的水位，再找出水位上升最快的时段即可． 本题考查了函数的表示方法及函数的有关概念，根据表格得出各时间对应的水位是解题的关键． 【详解】（1）由表可知：反映了时间和水位之间的关系，自变量是时间，因变量是水位； （2）由表可以看出：12时，水位是4米； （3）由表可以看出：20时，水位是6米． （4）由表可以看出：在相等的时间间隔内，时水位上升最快． 7．某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)： x(人) 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y(元) ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？ 【答案】(1)x， y；(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到2000；(3)每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元． 【分析】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案； （2）直接利用表中数据分析得出答案； （3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案． 【详解】解：(1)在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量； 故答案为每月的乘车人数x，每月的利润y； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损； 故答案为观察表中数据可知，每月乘客量达到2000； (3)由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元， 当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元． 【点睛】本题考查常量与变量以及函数的表示方法，正确把握函数的定义是解题关键． 题型四 用关系式表示变量之间的关系 1．（2025·山西临汾·一模）某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，分别计算出前2天的费用和后面天的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 2．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）为打造“比、学、赶、帮、超”的良好班风和浓厚学风，数学老师购买了包卡通橡皮和本笔记本来表彰表现优秀的学生，卡通橡皮每包元，笔记本每本元，共花元，则和的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意正确列式即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， 故选：． 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）清明假期，刘老师乘车从学校到井冈山观赏映山红，缅怀革命先烈．已知学校距离井冈山，车行驶的平均速度为，后刘老师距离井冈山，则与之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，根据“路程、速度、时间”之间的关系解答即可； 【详解】解：根据题意有：， 故选：A． 4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）“6.18”购物狂欢节期间，深圳本土品牌“布先生”天猫旗舰店在平台推出优惠活动，对于标价超过500元的服饰先按标价减免50元再打六折，小张在该平台购买了标价元的服饰（），则应付款（元）与商品标价（元）的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用关系式表示的变量间关系，明确题意各变量的关系是解题的关键．根据题意应付款等于标价减免50再打六折，列出关系式即可． 【详解】解：设小张在该平台购买了标价元的服饰（），应付款（元） 那么有： 故选：A． 5．（23-24八年级下·吉林白城·期末）一根弹簧原长13厘米，挂物体质量不得超过16千克，并且每挂1千克就伸长0.5厘米弹簧长度y（厘米）与所挂物体质量x（千克）与的关系式为 （）． 【答案】 【分析】解决本题的关键是得到弹簧长度的关系式，难点是得到千克重物在原来基础上增加的长度．弹簧的长度重物伸长的长度，把相关数值代入即可． 【详解】解：每挂1千克重物伸长0.5厘米， 挂千克重物伸长厘米，则挂物体（千克）与弹簧长度（厘米）的函数关系式是（）． 故答案为： 6．（2025七年级下·全国·专题练习）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则与的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出变量之间的关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先表示出碳水化合物的含量是，再根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，列关系式即可． 【详解】解：∵碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，设蛋白质为， ∴碳水化合物的含量是， ∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共，设脂肪的含量为， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·陕西西安·期中）2024 世界泳联跳水世界杯总决赛 4月 日在西安奥体中心游泳跳水馆举行，小陆同学和家人一同从家出发观赛，由于距离较远，决定打车前往．已知西安市出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于 公里），超过3 公里每增加1公里（不足1 公里按1公里计算）加收元，则出租车费（元）与行程（公里）（是大于3的整数）之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，理解出租车的收费标准是正确解答的前提．根据出租车的收费标准，用含有x的代数式表示车费即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)设汽车行驶的时间为小时，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示； (2)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】(1) (2)16小时 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值： （1）用油箱原有油量减去消耗的油量即可得到答案； （2）求出当时，自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，解得， ∴这辆汽车最多能行驶16小时． 题型五 用关系式表示变量之间的规律 1．小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为（　　） A．y＝6x+4 B．y＝5x+4 C．y＝5x D．y＝6x+10 【答案】A 【分析】当1个图形时，总长度为10cm；当2个图形拼接时，总长度为（10+6）cm；当3个图形拼接时，总长度为（10+6×2）cm．依此类推，当x个图形拼接时，总长度为[10+6（x﹣1）]cm，由此可得y与x的关系式． 【解答】解：当1个图形时，总长度为10cm；当2个图形拼接时，总长度为（10+6）cm；当3个图形拼接时，总长度为（10+6×2）cm；… 当x个图形拼接时，总长度为[10+6（x﹣1）]cm． ∴y＝10+6（x﹣1）＝6x+4． 故选：A． 【点睛】本题考查函数关系式，用列举法找规律，从而写出其函数关系式． 2．某电影院第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座位，．．．．．．每一排都比前一排多3个座位，依此类推，则第n排的座位数m= ．(不需要注明取值范围) 【答案】 【分析】根据第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座位，......每一排都比前一排多3个座位，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得：第n排的座位数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列函数关系，找准等量关系，正确列出关系式是解题的关键． 3．观察下列图形及表格：    梯形个数 周长 则周长与梯形个数之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】分析表格中的数据可直接确定变量，由于每增加一个梯形时，周长就增加3，据此，即可写出l与n的关系． 【详解】解：当梯形的个数为1个时，图形周长为； 当梯形的个数为2个时，图形周长为； 当梯形的个数为3个时，图形周长为； …， 当梯形个数为n个时，图形周长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了图形的变化类，解题的关键是通过观察，归纳、总结得出图形的周长与梯形的个数之间的关系． 4．如图，若用n表示正方形个数，y表示摆放正方形所用火柴棒根数，则y与n之间的关系式为 ．    【答案】 【分析】根据“所用火柴棒的根数”与“所摆正方形的个数”之间的变化关系，得出答案． 【详解】第1个图形需要火柴棒根数为， 第2个图形需要火柴棒根数为， 第3个图形需要火柴棒根数为， …… 第n个图形需要火柴棒根数为， y与n之间的关系式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数关系式，图形的变化类，理解函数的定义，发现“所用火柴棒的根数与所摆正方形的个数”之间的变化规律是解决问题的前提． 5．黑白棋子按如图所示的规律排列，观察图形，完成填空．    (1)第6行白棋子有______个，黑棋子有______个． (2)第n行黑白棋子共有y个，则y与n的关系式为______． 【答案】(1)6，11； (2) 【分析】（1）根据题干中黑白棋子的摆放规律，即可得到答案； （2）根据题干中黑白棋子的摆放数量，得到一般规律，即第行白棋子数量为，黑棋子的数量为，进而得到第n行黑白棋子的总数，即可得到答案． 【详解】（1）解：由黑白棋子的排列规律可知，白棋子每行比上一行多1个，黑棋子每行比上一行多2， 第6行白棋子有个，黑棋子有个， 故答案为：6，11； （2）解：由题意可知， 第一行白棋子数量为：1，黑棋子的数量为：1； 第二行白棋子数量为：2，黑棋子的数量为：， 第三行白棋子数量为：3，黑棋子的数量为：， 第四行白棋子数量为：4，黑棋子的数量为：， …… 第行白棋子数量为：，黑棋子的数量为：， 第n行黑白棋子共有， y与n的关系式为． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，函数关系式，根据题意得出一般规律是解题关键． 题型六 用表格和关系式表示变量之间的关系 1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的关系可以近似的表示为（    ） 所处深度 2 3 7 10 13 地表以下岩层的温度 90 125 265 370 475 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用表达式表示变量之间的关系，根据表格中数据的变化规律求解即可． 【详解】解：由表格中数据可知，从2千米开始，每下降1千米，气温升高， ∴y与x的关系可以近似的表示为． 故选A． 2．声音在空气中传播的速度（简称“声速”）和气温有下表中的关系： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 (1)随着T的增大，v将随之_____________（填“增大”或“不变”或“减小”）． (2)根据表中数据的变化，你发现了什么规律？写出v与T之间的函数解析式（不需要写自变量的取值范围）． (3)根据你发现的规律，回答下列问题： 在气温为的某个夏夜，小明在看到闪电后听到雷声，那么打雷的地方距小明大约多远？ 【答案】(1)增大； (2)气温每升高，速度增加；； (3)打雷的地方距小明大约 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格得出函数关系式是解题关键． （1）根据表格作答即可； （2）由表中数据的变化发现，气温每升高，速度增加，进而写出函数解析式即可； （3）先求出气温为时的速度，再乘以时间即可． 【详解】（1）解：由表格可知，随着T的增大，v将随之增大， 故答案为：增大； （2）解：由表中数据的变化发现，气温每升高，速度增加， 即气温每升高，速度增加， ； （3）解：当时，， 小明在看到闪电后听到雷声， ， 即打雷的地方距小明大约． 3．（23-24七年级下·河南平顶山·期中）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．根据下表，回答以下问题： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … (1)由表可知，距离地面高度每上升1千米，温度降低________摄氏度． (2)写出气温t与海拔高度h的关系式；并求出当海拔高度是7千米时，其气温是多少？ (3)某航班飞机在执行飞行任务至一定高度时，驾驶舱突现险情，此时舱外气温为．两名飞行员冷静应对，创造了世界航空史上的奇迹，请你计算出该飞机发生险情时的海拔高度（假设当时所在位置的地面温度为）． 【答案】(1)6 (2) (3)9.7千米 【分析】本题考查了用表格和关系式表示变量间的关系，根据表格找出两个变量的变化规律是解题的关键． （1）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律，即可解答； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：每增加1千米，气温就下降，即可解答； （3）把代入中，进行计算即可解答． 【详解】（1）由表格中数据可以得出，距离地面高度每上升1千米，温度降低摄氏度； 故答案为：6； （2）气温与海拔高度的关系式：， 当时，， 所以气温t与海拔高度h的关系式为； 当海拔高度是7千米时，其气温是； （3）当时，即， 解得：， 答：该飞机发生险情时的海拔高度9.7千米． 4．苏老师非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到了下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱中的剩余油量 50 42 34 26 18 … (1)在这个问题中，自变量是______，因变量是______； (2)该轿车油箱的容量为______L，行驶时，油箱中的剩余油量为______L； (3)苏老师将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，请求出A，B两地之间的距离． 【答案】(1)； (2)50，38 (3)A、B两地之间的距离为 【分析】（1）通过观察统计表可知：轿车行驶的路程是自变量，油箱剩余油量是因变量; （2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得答案； （3）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得Q与s的关系式，把代入函数关系式求得相应的s值即可. 【详解】（1）解：上表反映了轿车行驶的路程和油箱剩余油量之间的关系，其中轿车行驶的路程是自变量，油箱剩余油量是因变量;答：A，B两地之间的距离为. （2）解：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少， 据此可得Q与s的关系式为， 当时， ， 故答案是：50，38; （3）解：（3）由（2）得, 当时，得， 解得. 答：A、B两地之间的距离为. 【点睛】此题考查了函数的有关概念，解决问题的关键是能够根据统计表提供的信息，解决有关的实际问题. 5．游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水/立方米 858 780 702 546    (1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的函数关系式．（不要求写自变量范围） 【答案】(1)放水时间，游泳池的存水； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识； （1）根据题中表格即可完成； （2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水，即可完成填写表格； （3）根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式． 【详解】（1）解：由题意知，两个变量分别是：放水时间及游泳池的存水； （2）解：根据每小时放水78立方米，完成表格如下： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水/立方米 858 780 702 624 546 468 390 （3）解：与的函数关系式为． 题型七 从实际问题中抽象图象 1．（2024八年级·全国·竞赛）晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象识别，理解两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．根据路程随出发时间的变化而变化的情况进行判断即可． 【详解】解：根据题意，在前20分钟，离家的距离随时间增加而增加， 当时间为分钟时，路程保持不变， 当时间为分钟时，离家的距离随时间增加而增加，且比前20分钟时，增加的要快，因此只有D符合， 故选：D． 2．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图为一蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量往这个蓄水池注水，下列图象中能大致表示在蓄水池中水的深度h和时间t之间关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的底面积大，故与的关系变为先慢后快． 【详解】解：根据题意和图形的形状， 可知水的最大深度与时间之间的关系分为两段，先慢后快． 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期中）1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程成为解答本题的关键．根据自由落体运动速度与事件的关系进行判定即可． 【详解】解：苹果从树上落下来，基本是自由落体运动， 即，g为定值，故v与t成正比例函数，v随t的增大而增大． 符合条件的只有选项B． 故选：B． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系：甲：投篮时，投出去的篮球的高度与时间的关系；乙：去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系；丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系；丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系．用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是（    ）    A．③①④② B．①③④② C．①④③② D．③④①② 【答案】D 【分析】此题考查了运用图象表示变量之间的关系，根据四种变化中两个变量间的关系，可分别判断每种变化对应的图象．关键是能准确理解相关知识与读图． 【详解】解：甲：投篮时，投出去的篮球的高度随时间成抛物线形状，对应图③； 乙：去文具店购买签字笔，支付费用与购买签字笔支数的关系，对应图④； 丙：一长方形水池里还有一部分水，再打开水管匀速往里注水，注水时间和水池中水面的高度之间的关系，对应图①； 丁：乐乐去奶奶家吃饭，饭后，按原速度原路返回，乐乐离家的距离与时间的关系，对应图②； 即：排序正确的是③④①②， 故选：D． 5．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）圆圆出门散步，从家出发走了到达高家的广场，看到大家正在跳舞，也加入了其中，度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家距离与外出时间之间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图象法表示实际问题的变量关系，根据题意，结合选项逐项判断即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意圆圆出门散步，从家出发走了到达高家的广场，随着时间增加，圆圆离家距离在增加； 圆圆看到大家跳舞看了，圆圆离家距离在不变； 圆圆再用回到家中，圆圆离家距离在减小； 综上所述，能表示圆圆离家距离与外出时间之间关系的图象是 故选：A． 6．（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，掌握知识点的应用是解题的关键．根据容器形状，匀速注水，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知，开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐增大；接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐减小，因此选项符合题意． 故选：． 7．如图，一个动点P从点A出发，沿着弧线，线段，匀速运动到A，当点P运动的时间为t时，的长为s，则s与t的关系可以用图象大致表示为（    ）   A．  B．   C．  D．   【答案】D 【分析】分别判断出点P在弧线上时，点P在线段上时，点P在线段上时，的变化情况，然后可得答案． 【详解】解：点P在弧线上时，的长不变；当点P在线段上运动时，的长逐渐变小；当点P在线段上运动时，的长逐渐变大； 所以D选项的图象符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了用图象表示变量间的关系，理清点P在各边时长度的变化情况是解题的关键． 8．小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据路程、速度与时间的关系以及函数图象的特点，结合题意逐项判断解答即可． 【详解】解：由题意，小明先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，路程从0 开始随时间匀速增加到2千米； 途经超市时，买文具用了5分钟，路程不变； 再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校，离家路程随时间匀速增加到3千米． 故选：D． 【点睛】本题考查用图象表示变量间关系，理解题意，能判断出路程与时间的关系是解答的关键，注意买文具时路程不变． 题型八 从图象中获取信息 1．（23-24八年级上·陕西榆林·开学考试）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　）    A．点表示老刘出发，他一共骑行 B．老刘实际骑行时间为 C．老刘的骑行速度为 D．老刘的骑行在的速度比的速度慢 【答案】B 【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，点所对应的路程为80km，时间为5h，即表示出发5h，老刘共骑行80km，故A正确，不符合题意； 内的路程没有变化， 老刘实际骑行时间为，故B错误，符合题意； 老刘骑行的路程为30km， 的速度为，故C正确，不符合题意； 骑行的路程为， 的速度为， ， 老刘的骑行在的速度比的速度慢，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键． 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）某周六下午，小林从家骑自行车去“西北书城”， 途中他在东方红广场停留了一段时间，在整个过程中小林离“西北书城”的距离s（米）与他所用的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．小林家距离西北书城1600米 B．小林在东方红广场玩了10分钟 C．小林从家到东方红广场的速度比从东方红广场到西北书城的速度大 D．小林离开东方红广场后的速度为320米/分钟 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示两个变量的关系，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图象中的数据的实际意义判断各项即可． 【详解】解：A、当时，，则小林家距离西北书城2400米，故A选项不符合题意； B、小林在东方红广场玩了分钟，故B选项不符合题意； C、小林从家到东方红广场的速度为（米/分钟），从东方红广场到西北书城的速度为（米/分钟），，故C选项不符合题意； D、小林离开东方红广场后的速度为320米/分钟，故D选项符合题意； 故选：D． 3．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 5．如图是小乐从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，从中得到如下信息：    ①学校离小乐家1000米；    ②小乐用了20分钟到家； ③小乐前10分钟走了路程的一半；    ④小乐后10分钟比前10分钟走得快， 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】根据观察函数图象的横坐标、纵坐标，可得答案． 【详解】解：①由图象的纵坐标可以看出，学校离小乐家1000米，故①正确； ②由图象的横坐标可以看出，小乐用了20分钟到家，故②正确； ③由图象的纵坐标可以看出，小乐前10分钟走的路程较多，故③错误；    ④由图象的纵坐标可以看出，小乐后10分钟比前10分钟走得慢，故④错误； 故填：①②． 【点睛】本题考查了用图象表达变量之间的关系，观察图象的横坐标、纵坐标，能从图象识别信息是解题的关键． 6．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象．根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)图中点表示的意义题什么？ (3)在范围内，当温度为多少时，水的密度为？ (4)当温度在变化时，随着温度增大，水的密度是如何变化的？ 【答案】(1)温度，水的密度 (2)当4℃时，水的密度为 (3)当温度为时，水的密度为 (4)当温度在时，水的密度逐渐增大；当温度在时，水的密度逐渐减小 【分析】本题考查了从函数图象获取信息的能力； （1）根据自变量和因变量的定义可得答案； （2）根据横、纵坐标表示的意义可得答案； （3）根据图象，找出纵坐标为时对应的t的值即可； （4）根据图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是温度，因变量是水的密度， 故答案为：温度，水的密度； （2）图中点表示当4时，水的密度为； （3）由图可得，当温度为时，水的密度为； （4）由图可知，当温度在时，水的密度逐渐增大；当温度在时，水的密度逐渐减小． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）星期天，小新和爸爸妈妈一起去电影院看一场电影．在去的路上，小新画出了汽车的速度随时间变化的情况如图： (1)汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？ (2)汽车在哪个范围内保持匀速？速度是多少？ (3)出发后分钟到分钟这段时间可能出现什么情况？ 【答案】(1)分钟，千米/时 (2)时，时 (3)加油或是乘客下车（答案不唯一） 【分析】本题主要考查根据图象获取信息， （1）根据图象的横轴、纵轴表示的信息即可求解； （2）根据图形中随着时间变化，速度不变的情况即可求解； （3）根据实际情况进行分析，答案不唯一． 【详解】（1）解：汽车行驶的时间为：（分钟），它的最大速度为：千米/时； （2）解：汽车在分钟，分钟时保持匀速，速度分别是千米/时，千米/时； （3）解：分钟到分钟，汽车的速度为千米/时，有可能是加油，或是有乘客下车（答案不唯一）． 8．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)小明从家到学校的路程共______米，小明共用了______分钟； (3)小明修车用了______分钟； (4)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 【答案】(1)离家时间，离家距离 (2)2000，20 (3)5 (4)小明修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟． 【分析】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是找出变化过程中的自变量和因变量． （1）所给图象中横轴为自变量，纵轴为因变量； （2）根据图象中的数据可直接得出答案； （3）根据图象中的数据可直接得出答案； （4）根据速度等于路程除以时间求解． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是离家时间，因变量是离家的距离； （2）解：由图图象可得：小明从家到学校的路程共2000米；小明共用了20分钟； （3）解：由图象可得：从第10分钟开始到15分钟在修车，故小明修车用了5分钟， （4）解：由图象可得，小明修车前的速度为：（米/分钟）； 小明修车后的速度为：（米/分钟）． 即小明修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟． 题型九 动点运动问题的图象 1．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段运动，当点N运动到点D时，点M，N同时停止运动，设的面积为y，运动时间为x（s），请写出y与x之间函数关系式 ．    【答案】 【分析】根据点N的运动情况，写出y和x之间的函数关系式即可. 【详解】解：当点N在运动时， ∵， ∴， ∵动点M以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿线段运动， ∴，， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是运动型综合题，考查了函数表达式、正方形的性质、三角形的面积等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程. 2．如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，弄清图象上的信息是解题的关键．根据图象得出，以及此时面积，利用三角形面积公式求出；再由图象得出，最后利用梯形面积公式计算梯形面积即可． 【详解】解：根据图象得：，此时 ，即 解得： 由图像可得： 故答案为：26． 3．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是______；边的长度是______； (2)在变化过程中，长方形面积的最大值______； (3)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2；3 (2) (3) 【分析】（1）由图2可知，当时，，即可求出；由图3可知，当时，，再利用长方形的面积公式即可求出； （2）由图2可知的最大值，代入公式即可求出面积的最大值； （3）由图2可知向左平移的总路程和时间，再根据路程=时间×速度公式算出向左平移的速度，再将用含的关系式表示出来，最后利用面积公式求出与的关系即可． 【详解】（1）解：由图2可知，当时，， ∴， 由图3可知，当时，， ∴， ∴， 故答案为：2；3； （2）解：由图2可知，的最大值为， ∴长方形面积的最大值为， 故答案为：； （3）解：由图2可计算出，BC向左运动的速度为， 此时， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积公式、用关系式表示变量之间的关系、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息以及路程=时间×速度公式等知识，熟练掌握相关知识、数形结合是解题的关键． 4．已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的三角形ABP的面积S（）与时间t（秒）之间的关系用图乙中的图象表示，若AB=6cm，试回答下列问题： (1)图甲中的BC长是多少？ (2)图乙中的是多少？ 【答案】(1)图甲中的BC长是8cm； (2)图乙中的a是24． 【分析】（1）根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，由动点的速度，可得BC的长； （2）由（1）可得BC的长，又由AB=6cm，可以计算出△ABP的面积，计算可得a的值． 【详解】（1）解：动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒， ∴BC=2×4=8(cm)； 故图甲中的BC长是8cm； （2）解：由（1）可得，BC=8cm， 则：a=×BC×AB=24（）； 图乙中的a是24． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． 5．（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图①，正方形的边长为，F为边上一点，动点P以的速度沿的路径向终点A运动．设运动时间为，的面积为，S与t的关系图象如图②所示． (1)求线段的长及a的值； (2)的面积S为时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查利用函数图象解决实际问题．建立实际问题与函数图象的对应关系是解题关键． （1）当点P运动到点C时，的面积为12；当点P运动后，的面积为6；据此即可求解； （2）由图2可得，当点在段或段时，的面积都可能是10，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：当点P运动到点C时，结合图②可得：， 即：， ， 由图②可得：点P运动后，， 即：， ， 解得：； （2）或时，的面积S为．理由如下： ①当点P在段时： ， ， 解得：； ②当点P在段时：， ， 解得：， 综上所述：或时，的面积S为10． 题型十 变量之间的关系的综合题 1．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【答案】(1)（或）的长，长方形的面积． (2)； (3)长方形的面积从变到． 【分析】本题考查函数的函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题于求关系式的方法． （1）根据函数的定义求解； （2）通过长方形的面积长宽求解； （2）分别代入两值求解即可； 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积． 故答案为：（或）的长，长方形的面积． （2）长方形的面积，即， 答：长方形的面积与之间的关系式为：． （3）当时，， 当时，， 答：当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到． 2．（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）； (2)当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值： (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1) (2)剩余油量Q的值为17升； (3)能在汽车报警前回到家，见解析 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据数量关系列出关系式是解题的关键． （1）单位耗油量=耗油量÷行驶里程，剩余油量=油箱内油的升数-行驶路程的耗油量； （2）把千米代入剩余油量公式，计算即可； （3）计算出升油能行驶的距离，与来回400千米比较大小即可得． 【详解】（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为（升/千米）， ∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为； （2）解：当时，（升）， 答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升； （3）解：他们能在汽车报警前回到家， （千米）， 由知他们能在汽车报警前回到家． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，三角形的底边，当边上的高由小到大变化时，三角形的面积也随之发生了变化． (1)设边上的高为，请写出三角形的面积与高的关系式； (2)请你用表格表示当由变化到时（每次增加，的相应值； (3)当高每增加1时，三角形的面积是如何变化？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)当高每增加1时，三角形的面积增加3 【分析】本题考查函数关系式，掌握三角形的面积计算方法是正确解答的关键． （1）根据三角形的面积公式可得函数关系式； （2）代入计算即可； （3）依据（2）中表格直接得出结论． 【详解】（1）由三角形的面积公式可得， ， 答：三角形的面积与高的关系式； （2）当、3、4、5、6时，、9、12、15、18，用表格表示如下： 2 3 4 5 6 6 9 12 15 18 （3）依据（2）中表格要知，当高每增加1时，三角形的面积增加3． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … (1)自变量是_____________，因变量是_____________； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是_____________m； (3)观察表中数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加多少米？该型号汽车某次的刹车距离为，推测刹车时的车速是多少？ 【答案】(1)刹车时车速；刹车距离 (2)10 (3)当刹车时车速每增加时，刹车距离增加；该型号汽车某次的刹车距离为，测刹车时的车速是． 【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据表格中的数据可知当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，由此可得，代入求出v的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速为时，刹车距离是； 故答案为：10； （3）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加， ∴， ∴当时，则，解得， ∴当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，该型号汽车某次的刹车距离为，测刹车时的车速是． 5．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．    【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 【答案】（1）t，h；（2）108，3；（3）所走的路径的长度是米 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别函数图象中的信息是解题的关键． （1）根据自变量和因变量求解； （2）根据图象求解； （3）根据用圆的周长除以分钟，得出每分钟走过的路径长，再乘以分钟即可求解． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是t，因变量是h； 故答案为：t，h； （2）摩天轮最高点距地面108（米），摩天轮最低点距地面3（米）； 故答案为：108，3； （3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， ∴摩天轮的直径是105米， ∴（米） 答：所走的路径的长度是米． 6．（23-24七年级下·山东济南·期中）王师傅非常喜欢自驾游，为了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 … 油箱剩余油量 45 35 25 15 … (1)在这个问题中，自变量是__________，因变量是__________； (2)该轿车油箱的容量为__________L，行驶时，油箱中的剩余油量为__________L；将油箱加满油后，轿车最多能行驶__________； (3)油箱剩余油量与行驶的路程的关系式：_____________________； (4)王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，王师傅离A地的距离与离开A地的时间之间的关系图象如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题： ①A地与B地的路程是__________；王师傅中途有事停了__________h； ②王师傅从A地到B地的平均速度是__________； ③王师傅到达B地后，继续开车到C地，到达C地时油箱中的剩余油量（中途不加油）为，请直接写出B、C两地之间的距离是__________． 【答案】(1)行驶的路程s，油箱剩余油量Q (2) (3) (4) 【分析】本题考查了函数的相关概念，学会解读表格数据与函数图象是解题关键． （1）油箱剩余油量随着行驶的路程变化而变化，据此即可求解； （2）根据表格数据即可求解； （3）根据每增加，随着减少，即可求解； （4）根据图象即可求解①②；③求出王师傅到达B地后油箱中的剩余油量即可求解； 【详解】（1）解：∵油箱剩余油量随着行驶的路程变化而变化， ∴自变量是行驶的路程s，因变量是油箱剩余油量Q 故答案为：行驶的路程s，油箱剩余油量Q （2）解：由表格数据可知：当时，；当时，； ∴该轿车油箱的容量为L，行驶时，油箱中的剩余油量为 L； ∵每增加，随着减少， ∴将油箱加满油后，轿车最多能行驶， 故答案为： （3）解：由（2）可知： 故答案为： （4）解：由图象可知：①A地与B地的路程 ；王师傅中途有事停了h； ②王师傅从A地到B地的平均速度是： ； ③∵， ∴王师傅到达B地后油箱中的剩余油量为： ∵到达C地时油箱中的剩余油量（中途不加油）为， ∴B地开车到C地共耗油： ∴B、C两地之间的距离是 故答案为： 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$