专题19 探索规律（提升练）-2024-2025小升初数学易错培优专项练 通用版 （原卷版＋解析版）

专题19 探索规律（提升练） 2024-2025小升初数学易错培优专项练 通用版（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．按规律填数：，，，( )，( )，。 【答案】 【分析】观察可知，前一个数×＝后一个数，据此进行计算。 【解析】 ＝、× 按规律填数：，，，，，。 2．观察下面各式： （2＋1）2＝22＋2×2×1＋12，（3＋2）2＝32＋2×3×2＋22，… (1)请你根据其中的规律再写一道这样的算式：( )。 (2)运用这个规律计算：13892＋2×1389×611＋6112＝( )。 【答案】(1)（5＋4）2＝52＋2×5×4＋42 (2)4000000 【分析】（1）观察已知的两个式子，发现规律：等号左边是两个连续自然数和的平方，等号右边是较大自然数的平方加上这两个连续自然数的积的2倍，再加上较小自然数的平方；据此规律再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律把13892＋2×1389×611＋6112改写成（1389＋611）2，计算出结果即可。 【解析】（1）（5＋4）2＝52＋2×5×4＋42。（答案不唯一） （2）13892＋2×1389×611＋6112 ＝（1389＋611）2 ＝20002 ＝4000000 3．如图1所示，搭建单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建。如果想串起来搭建顶帐篷，那么需要( )根钢管。 【答案】 【分析】搭建单顶帐篷需要17根钢管，往后每增加一顶帐篷，增加11根钢管，据此规律解答即可。 【解析】搭1顶帐篷，需要17根钢管，即； 搭2顶帐篷，需要28根钢管，即； 搭3顶帐篷，需要39根钢管，即； 搭顶帐篷，需要的钢管根数为：。 【总结】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多搭1顶帐篷就多需11根钢管是解题的关键。 4．用黑白两种颜色的正六边形地砖按图所示的方式排成若干个图案，第4个图案中有白色地砖( )块，第n个图案中白色地砖( )块。 【答案】 18 （4n＋2） 【分析】第1个图案中有白色地砖6块，即4×1＋2； 第2个图案中有白色地砖10块，即4×2＋2； 第3个图案中有白色地砖14块，即4×3＋2； …… 第n个图案中有白色地砖的块数为：4n＋2。 【解析】根据分析可知，第n个图案中有白色地砖的块数为：（4n＋2）块。 当n＝4时， 4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（块） 用黑白两种颜色的正六边形地砖按图所示的方式排成若干个图案，第4个图案中有白色地砖18块，第n个图案中白色地砖（4n＋2）块。 【总结】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个图形就多4块白色地砖是解本题的关键。 5．在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥被称为“十二地支”，十天干和十二地支循环组合：甲子、乙丑、丙寅……一直到癸亥，共得到60个组合，称为六十甲子，如此周而复始用来纪年的方法，称为甲子纪年法。在甲子纪年法中，以“丑”结尾的年份除了“乙丑”外，还有( )。 【答案】丁丑、己丑、辛丑、癸丑 【分析】首先分析题中的丑经过12年出现一次，共60年，出现5次，据此用枚举法即可解答。 【解析】由题意可知，丑经过12年出现一次，60年共出现60÷12＝5（次）； 第一个是乙丑，丑出现时经过（年） 则：（年），（年），（年）； 即经过14年、26年、38年、50年对应的天干分别是丁、己、辛、癸，所以以“丑”结尾的年份除了乙丑，还有丁丑、己丑、辛丑、癸丑。 【总结】本题主要考查对周期问题的理解和掌握，关键是找对对应的数字，问题即可解决。 6．如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有( )个点。 …… 【答案】111 【分析】根据给出的几幅图的点数，我们可以得到：第②比第①多4；第③比第②多6；第④比第③多8…由此可得，从第②幅图开始，每一幅图比前一幅多的点数分别为4、6、8… 据此总结规律求解即可。 【解析】观察题图可知： 图①中点的个数为； 图②中点的个数为 ； 图③中点的个数为； 图④中点的个数为； 图n中点的个数为； 当时，图中点的个数有 （个）点。 【总结】考查数与形，能总结出一般规律是解题关键。 7．观察算式的规律。22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…用含有字母n的式子表示上述规律：( )。用上述规律计算：102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝( )。 【答案】 n2－（n－1）2＝2n－1 55 【分析】观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子，并用规律计算出算式的结果。 【解析】n2－（n－1）2 ＝n＋（n－1） ＝2n－1 即n2－（n－1）2＝2n－1。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12 ＝10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝（10＋1）＋（9＋2）＋（8＋3）＋（7＋4）＋（6＋5） ＝11×5 ＝55 【总结】本题考查找规律，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键。 8．如图，第5行第1个数是( )，第20行第5个数是( )。 【答案】 17 366 【分析】通过观察可知，第1行最后一个数是1，第2行最后一个数是4，也就是22，第3行最后一个数是9，也就是32，以此类推，第n行最后一个数是n2，第（n＋1）行的第一个数就是（n2＋1），第（n＋1）行的第m个数就是（n2＋m），；所以第5行第1个数就是（42＋1）；第20行第一个数是（192＋1），第5个数是（192＋5）。据此解答。 【解析】根据题意可知， 42＋1 ＝16＋1 ＝17 192＋5 ＝361＋5 ＝366 第5行第1个数是17，第20行第5个数是366。 9．六（1）班同学毕业联欢，按一红、两黄、三绿的顺序将气球连起来装饰教室，第128个气球是( )色的。 【答案】黄 【分析】按一红、两黄、三绿的顺序将气球连起来装饰教室，可以把这六个气球看作一组，用除法计算128里包含几个这样的组，余数是几，就在气球组里数几个，就能确定第128个是什么颜色。 【解析】 ＝21（组）……2（个） 剩下的2个依次是红色、黄色。 故第128个气球是黄色。 10．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据、、、，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这种规律写出的第7个数是( )。 【答案】 【分析】由前面四个数可知，分子是序数与2的和的平方，分母比分子小4，可得第7个数。 【解析】由题目可得：＝；＝；＝；＝； 所以第7个数为：＝。 【总结】本题考查了数字排列的规律，关键是要从前面的几个数找出规律从而进行解答。 二、选择题 11．观察下面的圆柱，分析它们的底面直径和高的变化引起体积变化的规律，根据这个规律，用含有字母的式子表示第n个圆柱的体积是（    ）。 A．π2n B．πn2 C．π2n2 D．πn3 【答案】D 【分析】根据圆柱体积公式：V＝πr2h，依次计算出图①、②、③、④的体积，据此找出规律解答即可。 【解析】第一个圆柱体的体积为：π×（2÷2）2×1＝π×1；第二个圆柱体的体积为：π×（4÷2）2×2＝π×23；第三个圆柱体的体积为：π×（6÷2）2×3＝π×33；第四个圆柱依的体积为：π×（8÷2）2× 4 ＝ π×43 ……，所以第n个圆柱体的体积为：πn3。 故答案为：D 【总结】此题考查了圆柱体积公式的应用，关键是熟记公式。 12．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（    ）。 A．5＋3 B．42 C．52＋32 D．52－32 【答案】C 【分析】把算式1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1看作两部分：1＋3＋5＋7＋9和5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＋9＝52，5＋3＋1＝32，据此解答。 【解析】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1） ＝52＋32 ＝25＋9 ＝34 所以，与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的是52＋32。 故答案为：C 【总结】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。 13．按如图所示3×3方格中的规律，在下面4个符号中选择一个，填入第三行的空格内，你选的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】简单的周期规律：每个方格中的图形有上下两部分，下面的部分是大图形，第一行都是长方形，第二行都是圆形，第三行都是正方形，所以排除选项A和C。 选项B和D不同的知识下面的正方形是空心还是实心。 方格中，横轴看，只有第二行三个图形都有图形所示两个空心，纵向看，第一列和第三列都是两个空心一个实心，所以每一行、每一列都是两个空心、一个实心。 所以第三行差一个空心的正方形。 故答案为：D 14．观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561；那么32024的末位数字应该是（    ）。 A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】D 【分析】根据题意可知，末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，用2024除以4，余数是1，末尾数字是3；余数是2，末尾数字是9；余数是3，末尾数字是7；没有余数，末尾数字是1；据此根据余数的情况确定末尾数字即可。 【解析】2024÷4＝506，没有余数，32024的末位数字应该是1。 观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561；那么32024的末位数字应该是1。 故答案为：D 15．6.1457145714…的小数部分第2024位上的数字是（    ）。 A．1 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】6.1457145714…看它的循环节是几位小数，根据“周期问题”，用2024除以循环节，如果能整除，则是循环节的末尾上的数字，如果有余数，余数是几，就从循环节的首位数出几位，该位数的数字就是第2024位数的数字，据此解答。 【解析】6.1457145714…的循环节是1457，4位数字循环。 2024÷4＝506，底2024位上的数字是7。 6.1457145714…的小数部分第2024位上的数字是7。 故答案为：D 16．如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒，搭10间房子用（    ）根小棒。 A．41 B．52 C．45 D．50 【答案】A 【分析】看图可知，搭1个房子需要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2个房子需要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3个房子需要13根小棒，13＝3×4＋1，由此可知，小棒根数＝搭几个房子就用几×4＋1。 【解析】10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（根） 搭10间房子用41根小棒。 故答案为：A 17．已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（    ）。 A．114 B．122 C．220 D．84 【答案】B 【分析】根据题意可知，设框住的四个数中，第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。四个数的和为x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2），化简为（4x－10）；据此依次列方程为4x－10＝114，4x－10＝122，4x－10＝220，4x－10＝84，分别推出每个选项的第二行中间数是否符合即可。 【解析】解：设第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。 x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2） ＝x＋x－10＋x－2＋x＋2 ＝4x－10 A．4x－10＝114 解：4x－10＋10＝114＋10 4x＝124 4x÷4＝124÷4 x＝31 31在第4行第1列，不可能为第二行中间数。 B．4x－10＝122 解：4x－10＋10＝122＋10 4x＝132 4x÷4＝132÷4 x＝33 这四个数的和有可能是122。 C．4x－10＝220 解：4x－10＋10＝220＋10 4x＝230 4x÷4＝230÷4 x＝57.5 57.5不是整数；不符合题意； D．4x－10＝84 解：4x－10＋10＝84＋10 4x＝94 4x÷4＝94÷4 x＝23.5 23.5不是整数；不符合题意。 有可能是这四个数的和的是122。 故答案为：B 18．在一张足够长的纸条上从左到右依次写下1～2014这些自然数，然后从左到右每隔三位加一个逗号：123，456，789，101，112，131，…，则第102个逗号前的那个三位数是第（    ）个三位数。 A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】D 【分析】每三个数分在一起，则102个逗号前面有102个数字，就有306个数。306个数里面去掉一的9个，两位数有90个，就是有180个数字，这189个数字恰好能分成63组三位数。则剩下的117个数字里面就是从第一个三位数开始的，每三个为一组，能分成39组，正好就是第39个三位数。 【解析】（个） ＝ ＝ ＝117（个） 117÷3＝39（个） 第102个逗号前的那个三位数是第39个三位数。 故答案为：D 三、判断题 19．◯△◎□◯△◎□……，第103个图形是□。( ) 【答案】× 【分析】观察图形可知，◯△◎□每4个图形循环一次，即一个周期，确定周期后，用103除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个，据此判断即可。 【解析】103÷4＝25（组）⋯⋯3（个） 则第103个图形是◎。原题干说法错误。 故答案为：× 20．0.9，0.99，0.999，…越向后写出的数越接近整数1。( ) 【答案】√ 【分析】观察这组小数的排列规律，后一个数比前一个多一个小数数位，且小数部分每个数位的数都是9，与整数1的差距分别是0.1、0.01、0.001…，与1的差距越小越接近整数1，据此分析。 【解析】根据分析，这组小数与整数1的差距分别是0.1、0.01、0.001…，与1的差距越来越小，因此越向后写出的数越接近整数1，原题说法正确。 故答案为：√ 21．像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。( ) 【答案】√ 【分析】规律：每多1个正方形就多3根小棒； 第1个图形里共有4根小棒，即3×1＋1； 第2个图形里共有7根小棒，即3×2＋1； 第3个图形里共有10根小棒，即3×3＋1； 第4个图形里共有13根小棒，即3×4＋1； …… 第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1。 【解析】根据分析可知，第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1，当n＝100时， 3n＋1 ＝3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 即第100个图形需要301根小棒。 故答案为：√ 22．找规律：、、、、、、、（    ），括号里应填。( ) 【答案】√ 【分析】观察可知，分子从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，分母加1后，分子继续从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，据此规律进行分析。 【解析】1＋1＝2 找规律：、、、、、、、，括号里应填，原题说法正确。 故答案为：√ 23．照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 【答案】√ 【分析】由图可知，第1个图形一共有9个方块，可以写成：3×[3＋2×（1－1）]个方块； 第2个图形一共有15个方块，可以写成：3×[3＋2×（2－1）]个方块； 第3个图形一共有21个方块，可以写成：3×[3＋2×（3－1）]个方块； … 第n个图形一共有3×[3＋2×（n－1）]个方块； 第1个图形一共有1个黑色方块，第2个图形一共有2个黑色方块，第3个图形一共有3个黑色方块……则第n个图形有n个黑色方块； 白色方块的数量＝方块的总数量－黑色方块的数量，据此求出第10个图形中黑色方块和白色方块，再进行比较，即可解答。 【解析】根据分析可知，第10个图形方块有： 3×[3＋2×（10－1）] ＝3×[3＋2×9] ＝3×[3＋18] ＝3×21 ＝63（个） 黑色方块有10个； 白色方块有：63－10＝53（个） 照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。 原题干说法正确。 故答案为：√ 四、解答题 24．80个圆片按一定的规律排列：○○●●●○○○●●●○……其中○共有多少个？ 【答案】41个 【分析】通过对该图形的观察，发现，除了一开始的两个白色圆片外，后面的图形都是6个圆片一组，并且中间3个黑色圆片和3个白色圆片，如此重复，顺序为3个黑色圆片在3个白色圆片之前； 求80个圆片中有多少个白色圆片，可以先用80减去2，即把一开始的两个白色圆片先去除掉，再用求出的差除以6，得出剩下的圆片总共可以分成几组，用求出的组数乘每组中白色圆片的数量3，即为按规律排列的圆片中有多少白色圆片，最后加上一开始的2个白色圆片，即为总共有多少白色圆片。 【解析】由分析可得： （80－2）÷6×3＋2 ＝78÷6×3＋2 ＝13×3＋2 ＝39＋2 ＝41（个） 答：80个圆片中○共有41个。 25．探索规律。 (1)找规律填空。 ，，( )，( )，…… (2)此数列一直填下去，会无限接近（    ）。 A．0 B．1 C．100 【答案】(1) (2)A 【分析】（1）根据题意，可以发现其分子都为1，分母分别为4、9。4可以写成2²；9可以写成3²。由此可推测出这组数列的规律是：分母依次为连续自然数的平方，据此解答。 （2）根据题意，对于这组数列，由于其分子始终为 1 保持不变，而分母呈现出2²、3²、4²、5²……这样的规律，并且不断增大，在分数中，当分子不变时，分母越大，分数值越小，据此解答。 【解析】（1）因为第一个数的分母是2²＝4，第二个数的分母是3²＝9，所以第三个数的分母应为4²＝16，第四个数的分母应为 5²＝25。故括号里依次应填：；。 ，，，，…… （2）在分数中，当分子不变时，分母越大，分数值越小。所以随着这组数列分母的不断增大，分数值会越来越小。持续下去，分母会变得极其巨大，此时分数值就会无限趋近于0。 故答案为：A 26．下边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等。 （1）这个相等的和等于______； （2）在图中将所有的□填完整。 【答案】（1）14 （2）见解析 【分析】（1）观察图形可知，1，2，3，4，5，6，在三个圆中各用到2次，先求出它们的和的2倍，再除以3即为所求； （2）让每个圆的相对的2个数字的和为7，进行填写即可。 【解析】（1）（1＋2＋3＋4＋5＋6）×2÷3 ＝21×2÷3 ＝14 （2）如图所示： 【总结】考查了发现规律，求出相等的和是解题的关键。 27．填一填。 （1）     （2）     （3）做了上面两题，你有什么发现呢？任选一题，写一写你的发现。 【答案】（1）＋＝；＋＝； （2）－＝；－＝； （3）见解析 【分析】（1）我们知道要使两个分数相加得到一个确定的结果，需要先将它们通分，化为同分母分数再进行计算。对于这道题，我们从较小的分母开始尝试。因为等式右边的分数分子是3，所以我们要找到两个分数，通分后分子相加能得到3。先假设右边分母为 4，那么左边两个分数的分母可以尝试2和4，因为＋＝＋＝，符合要求。再假设右边分母为 6，左边两个分数的分母可以是3和6，经过计算， ＋＝；＋＝符合。由于分母的取值范围可以是无限的自然数，所以解的组数也是无限的。但在一定范围内，可以通过列举和规律总结来解这道题，据此解答。 （2）对于后两个减法算式，我们同样先确定右边分数的分母。然后尝试找到两个分数，使它们通分后分子相减等于 3。在寻找过程中，同样要关注分母之间的关系，通过合理选择分母，来使等式成立，例：，－＝；－＝；解题时，需要考虑不同分母的组合情况。由于分母的取值范围可以是无限的自然数，所以解的组数也是无限的。但在一定范围内，可以通过列举和规律总结来解这道题，据此解答。 【解析】（1）假设右边分母为4，则有＋＝； 右边分母为6，则有＋＝，则题中可填写为： ＋＝；＋＝。（答案不唯一） （2）右边分母为8，则有－＝ 右边分母为16，则有－＝。（答案不唯一） （3）可以填写＋＝；＋＝；＋＝等，当两个分数的分母存在倍数关系时，通过通分可以较容易地得到满足等式的组合。 28．有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1，2，3…24的帽子，他们从左往右按1，2，1，2…依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续按1，2，1，2…依次报数，如此进行下去。 （1）当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号呢？ （2）如果有80个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时，这个同学的帽子编号又是几号呢？有何规律？ 【答案】（1）16号 （2）64号；规律见解析 【分析】（1）根据题意，可以画图找到答案，先写出1～24的编号，每次把报1的编号划掉，看最后剩下一名同学的编号是几，并从中找到规律。 （2）由上一题发现规律，剩下1人所需淘汰的次数为n时，这个同学的编号是2n；据此求出80个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时的编号。 【解析】（1）如图： 第一次：24人剩12人 第二次：12人剩6人 第三次：6人剩3人 第四次：3人剩1人 24＝16 答：当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是16号。 （2）第一次：80人剩40人 第二次：40人剩20人 第三次：20人剩10人 第四次：10人剩5人 第五次：5人剩2人 第六次：2人剩1人 26＝64 答：这个同学的帽子编号是64号。规律：最后一个同学的编号是2n的编号（n为剩下1人所需淘汰的次数）。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 探索规律（提升练） 2024-2025小升初数学易错培优专项练 通用版（原卷版） 一、填空题 1．按规律填数：，，，( )，( )，。 2．观察下面各式： （2＋1）2＝22＋2×2×1＋12，（3＋2）2＝32＋2×3×2＋22，… (1)请你根据其中的规律再写一道这样的算式：( )。 (2)运用这个规律计算：13892＋2×1389×611＋6112＝( )。 3．如图1所示，搭建单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建。如果想串起来搭建顶帐篷，那么需要( )根钢管。 4．用黑白两种颜色的正六边形地砖按图所示的方式排成若干个图案，第4个图案中有白色地砖( )块，第n个图案中白色地砖( )块。 5．在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥被称为“十二地支”，十天干和十二地支循环组合：甲子、乙丑、丙寅……一直到癸亥，共得到60个组合，称为六十甲子，如此周而复始用来纪年的方法，称为甲子纪年法。在甲子纪年法中，以“丑”结尾的年份除了“乙丑”外，还有( )。 6．如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有( )个点。 …… 7．观察算式的规律。22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…用含有字母n的式子表示上述规律：( )。用上述规律计算：102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝( )。 8．如图，第5行第1个数是( )，第20行第5个数是( )。 9．六（1）班同学毕业联欢，按一红、两黄、三绿的顺序将气球连起来装饰教室，第128个气球是( )色的。 10．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据、、、，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这种规律写出的第7个数是( )。 二、选择题 11．观察下面的圆柱，分析它们的底面直径和高的变化引起体积变化的规律，根据这个规律，用含有字母的式子表示第n个圆柱的体积是（    ）。 A．π2n B．πn2 C．π2n2 D．πn3 12．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（    ）。 A．5＋3 B．42 C．52＋32 D．52－32 13．按如图所示3×3方格中的规律，在下面4个符号中选择一个，填入第三行的空格内，你选的是（　　） A． B． C． D． 14．观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561；那么32024的末位数字应该是（    ）。 A．3 B．9 C．7 D．1 15．6.1457145714…的小数部分第2024位上的数字是（    ）。 A．1 B．4 C．5 D．7 16．如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒，搭10间房子用（    ）根小棒。 A．41 B．52 C．45 D．50 17．已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（    ）。 A．114 B．122 C．220 D．84 18．在一张足够长的纸条上从左到右依次写下1～2014这些自然数，然后从左到右每隔三位加一个逗号：123，456，789，101，112，131，…，则第102个逗号前的那个三位数是第（    ）个三位数。 A．36 B．37 C．38 D．39 三、判断题 19．◯△◎□◯△◎□……，第103个图形是□。( ) 20．0.9，0.99，0.999，…越向后写出的数越接近整数1。( ) 21．像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。( ) 22．找规律：、、、、、、、（    ），括号里应填。( ) 23．照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 四、解答题 24．80个圆片按一定的规律排列：○○●●●○○○●●●○……其中○共有多少个？ 25．探索规律。 (1)找规律填空。 ，，( )，( )，…… (2)此数列一直填下去，会无限接近（    ）。 A．0 B．1 C．100 26．下边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等。 （1）这个相等的和等于______； （2）在图中将所有的□填完整。 27．填一填。 （1）     （2）     （3）做了上面两题，你有什么发现呢？任选一题，写一写你的发现。 28．有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1，2，3…24的帽子，他们从左往右按1，2，1，2…依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续按1，2，1，2…依次报数，如此进行下去。 （1）当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号呢？ （2）如果有80个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时，这个同学的帽子编号又是几号呢？有何规律？ 学科网（北京）股份有限公司 $$专题19 探索规律（提升练） 2024-2025小升初数学易错培优专项练 通用版（原卷＋答案版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．按规律填数：，，，( )，( )，。 2．观察下面各式： （2＋1）2＝22＋2×2×1＋12，（3＋2）2＝32＋2×3×2＋22，… (1)请你根据其中的规律再写一道这样的算式：( )。 (2)运用这个规律计算：13892＋2×1389×611＋6112＝( )。 3．如图1所示，搭建单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建。如果想串起来搭建顶帐篷，那么需要( )根钢管。 4．用黑白两种颜色的正六边形地砖按图所示的方式排成若干个图案，第4个图案中有白色地砖( )块，第n个图案中白色地砖( )块。 5．在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥被称为“十二地支”，十天干和十二地支循环组合：甲子、乙丑、丙寅……一直到癸亥，共得到60个组合，称为六十甲子，如此周而复始用来纪年的方法，称为甲子纪年法。在甲子纪年法中，以“丑”结尾的年份除了“乙丑”外，还有( )。 6．如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有( )个点。 …… 7．观察算式的规律。22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…用含有字母n的式子表示上述规律：( )。用上述规律计算：102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝( )。 8．如图，第5行第1个数是( )，第20行第5个数是( )。 9．六（1）班同学毕业联欢，按一红、两黄、三绿的顺序将气球连起来装饰教室，第128个气球是( )色的。 10．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据、、、，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这种规律写出的第7个数是( )。 二、选择题 11．观察下面的圆柱，分析它们的底面直径和高的变化引起体积变化的规律，根据这个规律，用含有字母的式子表示第n个圆柱的体积是（    ）。 A．π2n B．πn2 C．π2n2 D．πn3 12．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（    ）。 A．5＋3 B．42 C．52＋32 D．52－32 13．按如图所示3×3方格中的规律，在下面4个符号中选择一个，填入第三行的空格内，你选的是（　　） A． B． C． D． 14．观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561；那么32024的末位数字应该是（    ）。 A．3 B．9 C．7 D．1 15．6.1457145714…的小数部分第2024位上的数字是（    ）。 A．1 B．4 C．5 D．7 16．如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒，搭10间房子用（    ）根小棒。 A．41 B．52 C．45 D．50 17．已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（    ）。 A．114 B．122 C．220 D．84 18．在一张足够长的纸条上从左到右依次写下1～2014这些自然数，然后从左到右每隔三位加一个逗号：123，456，789，101，112，131，…，则第102个逗号前的那个三位数是第（    ）个三位数。 A．36 B．37 C．38 D．39 三、判断题 19．◯△◎□◯△◎□……，第103个图形是□。( ) 20．0.9，0.99，0.999，…越向后写出的数越接近整数1。( ) 21．像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。( ) 22．找规律：、、、、、、、（    ），括号里应填。( ) 23．照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( ) 四、解答题 24．80个圆片按一定的规律排列：○○●●●○○○●●●○……其中○共有多少个？ 25．探索规律。 (1)找规律填空。 ，，( )，( )，…… (2)此数列一直填下去，会无限接近（    ）。 A．0 B．1 C．100 26．下边球体上画出了三个圆，在图中的六个□里分别填入1，2，3，4，5，6，使得每个圆周上四个数相加的和都相等。 （1）这个相等的和等于______； （2）在图中将所有的□填完整。 27．填一填。 （1）     （2）     （3）做了上面两题，你有什么发现呢？任选一题，写一写你的发现。 28．有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1，2，3…24的帽子，他们从左往右按1，2，1，2…依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续按1，2，1，2…依次报数，如此进行下去。 （1）当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号呢？ （2）如果有80个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时，这个同学的帽子编号又是几号呢？有何规律？ 参考答案 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 D C D D D A B D 1． 【分析】观察可知，前一个数×＝后一个数，据此进行计算。 【解析】 ＝、× 按规律填数：，，，，，。 2．(1)（5＋4）2＝52＋2×5×4＋42 (2)4000000 【分析】（1）观察已知的两个式子，发现规律：等号左边是两个连续自然数和的平方，等号右边是较大自然数的平方加上这两个连续自然数的积的2倍，再加上较小自然数的平方；据此规律再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律把13892＋2×1389×611＋6112改写成（1389＋611）2，计算出结果即可。 【解析】（1）（5＋4）2＝52＋2×5×4＋42。（答案不唯一） （2）13892＋2×1389×611＋6112 ＝（1389＋611）2 ＝20002 ＝4000000 3． 【分析】搭建单顶帐篷需要17根钢管，往后每增加一顶帐篷，增加11根钢管，据此规律解答即可。 【解析】搭1顶帐篷，需要17根钢管，即； 搭2顶帐篷，需要28根钢管，即； 搭3顶帐篷，需要39根钢管，即； 搭顶帐篷，需要的钢管根数为：。 【总结】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多搭1顶帐篷就多需11根钢管是解题的关键。 4． 18 （4n＋2） 【分析】第1个图案中有白色地砖6块，即4×1＋2； 第2个图案中有白色地砖10块，即4×2＋2； 第3个图案中有白色地砖14块，即4×3＋2； …… 第n个图案中有白色地砖的块数为：4n＋2。 【解析】根据分析可知，第n个图案中有白色地砖的块数为：（4n＋2）块。 当n＝4时， 4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（块） 用黑白两种颜色的正六边形地砖按图所示的方式排成若干个图案，第4个图案中有白色地砖18块，第n个图案中白色地砖（4n＋2）块。 【总结】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个图形就多4块白色地砖是解本题的关键。 5．丁丑、己丑、辛丑、癸丑 【分析】首先分析题中的丑经过12年出现一次，共60年，出现5次，据此用枚举法即可解答。 【解析】由题意可知，丑经过12年出现一次，60年共出现60÷12＝5（次）； 第一个是乙丑，丑出现时经过（年） 则：（年），（年），（年）； 即经过14年、26年、38年、50年对应的天干分别是丁、己、辛、癸，所以以“丑”结尾的年份除了乙丑，还有丁丑、己丑、辛丑、癸丑。 【总结】本题主要考查对周期问题的理解和掌握，关键是找对对应的数字，问题即可解决。 6．111 【分析】根据给出的几幅图的点数，我们可以得到：第②比第①多4；第③比第②多6；第④比第③多8…由此可得，从第②幅图开始，每一幅图比前一幅多的点数分别为4、6、8… 据此总结规律求解即可。 【解析】观察题图可知： 图①中点的个数为； 图②中点的个数为 ； 图③中点的个数为； 图④中点的个数为； 图n中点的个数为； 当时，图中点的个数有 （个）点。 【总结】考查数与形，能总结出一般规律是解题关键。 7． n2－（n－1）2＝2n－1 55 【分析】观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子，并用规律计算出算式的结果。 【解析】n2－（n－1）2 ＝n＋（n－1） ＝2n－1 即n2－（n－1）2＝2n－1。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12 ＝10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝（10＋1）＋（9＋2）＋（8＋3）＋（7＋4）＋（6＋5） ＝11×5 ＝55 【总结】本题考查找规律，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键。 8． 17 366 【分析】通过观察可知，第1行最后一个数是1，第2行最后一个数是4，也就是22，第3行最后一个数是9，也就是32，以此类推，第n行最后一个数是n2，第（n＋1）行的第一个数就是（n2＋1），第（n＋1）行的第m个数就是（n2＋m），；所以第5行第1个数就是（42＋1）；第20行第一个数是（192＋1），第5个数是（192＋5）。据此解答。 【解析】根据题意可知， 42＋1 ＝16＋1 ＝17 192＋5 ＝361＋5 ＝366 第5行第1个数是17，第20行第5个数是366。 9．黄 【分析】按一红、两黄、三绿的顺序将气球连起来装饰教室，可以把这六个气球看作一组，用除法计算128里包含几个这样的组，余数是几，就在气球组里数几个，就能确定第128个是什么颜色。 【解析】 ＝21（组）……2（个） 剩下的2个依次是红色、黄色。 故第128个气球是黄色。 10． 【分析】由前面四个数可知，分子是序数与2的和的平方，分母比分子小4，可得第7个数。 【解析】由题目可得：＝；＝；＝；＝； 所以第7个数为：＝。 【总结】本题考查了数字排列的规律，关键是要从前面的几个数找出规律从而进行解答。 11．D 【分析】根据圆柱体积公式：V＝πr2h，依次计算出图①、②、③、④的体积，据此找出规律解答即可。 【解析】第一个圆柱体的体积为：π×（2÷2）2×1＝π×1；第二个圆柱体的体积为：π×（4÷2）2×2＝π×23；第三个圆柱体的体积为：π×（6÷2）2×3＝π×33；第四个圆柱依的体积为：π×（8÷2）2× 4 ＝ π×43 ……，所以第n个圆柱体的体积为：πn3。 故答案为：D 【总结】此题考查了圆柱体积公式的应用，关键是熟记公式。 12．C 【分析】把算式1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1看作两部分：1＋3＋5＋7＋9和5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＋9＝52，5＋3＋1＝32，据此解答。 【解析】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1） ＝52＋32 ＝25＋9 ＝34 所以，与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的是52＋32。 故答案为：C 【总结】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。 13．D 【解析】简单的周期规律：每个方格中的图形有上下两部分，下面的部分是大图形，第一行都是长方形，第二行都是圆形，第三行都是正方形，所以排除选项A和C。 选项B和D不同的知识下面的正方形是空心还是实心。 方格中，横轴看，只有第二行三个图形都有图形所示两个空心，纵向看，第一列和第三列都是两个空心一个实心，所以每一行、每一列都是两个空心、一个实心。 所以第三行差一个空心的正方形。 故答案为：D 14．D 【分析】根据题意可知，末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，用2024除以4，余数是1，末尾数字是3；余数是2，末尾数字是9；余数是3，末尾数字是7；没有余数，末尾数字是1；据此根据余数的情况确定末尾数字即可。 【解析】2024÷4＝506，没有余数，32024的末位数字应该是1。 观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561；那么32024的末位数字应该是1。 故答案为：D 15．D 【分析】6.1457145714…看它的循环节是几位小数，根据“周期问题”，用2024除以循环节，如果能整除，则是循环节的末尾上的数字，如果有余数，余数是几，就从循环节的首位数出几位，该位数的数字就是第2024位数的数字，据此解答。 【解析】6.1457145714…的循环节是1457，4位数字循环。 2024÷4＝506，底2024位上的数字是7。 6.1457145714…的小数部分第2024位上的数字是7。 故答案为：D 16．A 【分析】看图可知，搭1个房子需要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2个房子需要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3个房子需要13根小棒，13＝3×4＋1，由此可知，小棒根数＝搭几个房子就用几×4＋1。 【解析】10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（根） 搭10间房子用41根小棒。 故答案为：A 17．B 【分析】根据题意可知，设框住的四个数中，第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。四个数的和为x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2），化简为（4x－10）；据此依次列方程为4x－10＝114，4x－10＝122，4x－10＝220，4x－10＝84，分别推出每个选项的第二行中间数是否符合即可。 【解析】解：设第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。 x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2） ＝x＋x－10＋x－2＋x＋2 ＝4x－10 A．4x－10＝114 解：4x－10＋10＝114＋10 4x＝124 4x÷4＝124÷4 x＝31 31在第4行第1列，不可能为第二行中间数。 B．4x－10＝122 解：4x－10＋10＝122＋10 4x＝132 4x÷4＝132÷4 x＝33 这四个数的和有可能是122。 C．4x－10＝220 解：4x－10＋10＝220＋10 4x＝230 4x÷4＝230÷4 x＝57.5 57.5不是整数；不符合题意； D．4x－10＝84 解：4x－10＋10＝84＋10 4x＝94 4x÷4＝94÷4 x＝23.5 23.5不是整数；不符合题意。 有可能是这四个数的和的是122。 故答案为：B 18．D 【分析】每三个数分在一起，则102个逗号前面有102个数字，就有306个数。306个数里面去掉一的9个，两位数有90个，就是有180个数字，这189个数字恰好能分成63组三位数。则剩下的117个数字里面就是从第一个三位数开始的，每三个为一组，能分成39组，正好就是第39个三位数。 【解析】（个） ＝ ＝ ＝117（个） 117÷3＝39（个） 第102个逗号前的那个三位数是第39个三位数。 故答案为：D 19．× 【分析】观察图形可知，◯△◎□每4个图形循环一次，即一个周期，确定周期后，用103除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个，据此判断即可。 【解析】103÷4＝25（组）⋯⋯3（个） 则第103个图形是◎。原题干说法错误。 故答案为：× 20．√ 【分析】观察这组小数的排列规律，后一个数比前一个多一个小数数位，且小数部分每个数位的数都是9，与整数1的差距分别是0.1、0.01、0.001…，与1的差距越小越接近整数1，据此分析。 【解析】根据分析，这组小数与整数1的差距分别是0.1、0.01、0.001…，与1的差距越来越小，因此越向后写出的数越接近整数1，原题说法正确。 故答案为：√ 21．√ 【分析】规律：每多1个正方形就多3根小棒； 第1个图形里共有4根小棒，即3×1＋1； 第2个图形里共有7根小棒，即3×2＋1； 第3个图形里共有10根小棒，即3×3＋1； 第4个图形里共有13根小棒，即3×4＋1； …… 第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1。 【解析】根据分析可知，第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1，当n＝100时， 3n＋1 ＝3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 即第100个图形需要301根小棒。 故答案为：√ 22．√ 【分析】观察可知，分子从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，分母加1后，分子继续从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，据此规律进行分析。 【解析】1＋1＝2 找规律：、、、、、、、，括号里应填，原题说法正确。 故答案为：√ 23．√ 【分析】由图可知，第1个图形一共有9个方块，可以写成：3×[3＋2×（1－1）]个方块； 第2个图形一共有15个方块，可以写成：3×[3＋2×（2－1）]个方块； 第3个图形一共有21个方块，可以写成：3×[3＋2×（3－1）]个方块； … 第n个图形一共有3×[3＋2×（n－1）]个方块； 第1个图形一共有1个黑色方块，第2个图形一共有2个黑色方块，第3个图形一共有3个黑色方块……则第n个图形有n个黑色方块； 白色方块的数量＝方块的总数量－黑色方块的数量，据此求出第10个图形中黑色方块和白色方块，再进行比较，即可解答。 【解析】根据分析可知，第10个图形方块有： 3×[3＋2×（10－1）] ＝3×[3＋2×9] ＝3×[3＋18] ＝3×21 ＝63（个） 黑色方块有10个； 白色方块有：63－10＝53（个） 照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。 原题干说法正确。 故答案为：√ 24．41个 【分析】通过对该图形的观察，发现，除了一开始的两个白色圆片外，后面的图形都是6个圆片一组，并且中间3个黑色圆片和3个白色圆片，如此重复，顺序为3个黑色圆片在3个白色圆片之前； 求80个圆片中有多少个白色圆片，可以先用80减去2，即把一开始的两个白色圆片先去除掉，再用求出的差除以6，得出剩下的圆片总共可以分成几组，用求出的组数乘每组中白色圆片的数量3，即为按规律排列的圆片中有多少白色圆片，最后加上一开始的2个白色圆片，即为总共有多少白色圆片。 【解析】由分析可得： （80－2）÷6×3＋2 ＝78÷6×3＋2 ＝13×3＋2 ＝39＋2 ＝41（个） 答：80个圆片中○共有41个。 25．(1) (2)A 【分析】（1）根据题意，可以发现其分子都为1，分母分别为4、9。4可以写成2²；9可以写成3²。由此可推测出这组数列的规律是：分母依次为连续自然数的平方，据此解答。 （2）根据题意，对于这组数列，由于其分子始终为 1 保持不变，而分母呈现出2²、3²、4²、5²……这样的规律，并且不断增大，在分数中，当分子不变时，分母越大，分数值越小，据此解答。 【解析】（1）因为第一个数的分母是2²＝4，第二个数的分母是3²＝9，所以第三个数的分母应为4²＝16，第四个数的分母应为 5²＝25。故括号里依次应填：；。 ，，，，…… （2）在分数中，当分子不变时，分母越大，分数值越小。所以随着这组数列分母的不断增大，分数值会越来越小。持续下去，分母会变得极其巨大，此时分数值就会无限趋近于0。 故答案为：A 26．（1）14 （2）见解析 【分析】（1）观察图形可知，1，2，3，4，5，6，在三个圆中各用到2次，先求出它们的和的2倍，再除以3即为所求； （2）让每个圆的相对的2个数字的和为7，进行填写即可。 【解析】（1）（1＋2＋3＋4＋5＋6）×2÷3 ＝21×2÷3 ＝14 （2）如图所示： 【总结】考查了发现规律，求出相等的和是解题的关键。 27．（1）＋＝；＋＝； （2）－＝；－＝； （3）见解析 【分析】（1）我们知道要使两个分数相加得到一个确定的结果，需要先将它们通分，化为同分母分数再进行计算。对于这道题，我们从较小的分母开始尝试。因为等式右边的分数分子是3，所以我们要找到两个分数，通分后分子相加能得到3。先假设右边分母为 4，那么左边两个分数的分母可以尝试2和4，因为＋＝＋＝，符合要求。再假设右边分母为 6，左边两个分数的分母可以是3和6，经过计算， ＋＝；＋＝符合。由于分母的取值范围可以是无限的自然数，所以解的组数也是无限的。但在一定范围内，可以通过列举和规律总结来解这道题，据此解答。 （2）对于后两个减法算式，我们同样先确定右边分数的分母。然后尝试找到两个分数，使它们通分后分子相减等于 3。在寻找过程中，同样要关注分母之间的关系，通过合理选择分母，来使等式成立，例：，－＝；－＝；解题时，需要考虑不同分母的组合情况。由于分母的取值范围可以是无限的自然数，所以解的组数也是无限的。但在一定范围内，可以通过列举和规律总结来解这道题，据此解答。 【解析】（1）假设右边分母为4，则有＋＝； 右边分母为6，则有＋＝，则题中可填写为： ＋＝；＋＝。（答案不唯一） （2）右边分母为8，则有－＝ 右边分母为16，则有－＝。（答案不唯一） （3）可以填写＋＝；＋＝；＋＝等，当两个分数的分母存在倍数关系时，通过通分可以较容易地得到满足等式的组合。 28．（1）16号 （2）64号；规律见解析 【分析】（1）根据题意，可以画图找到答案，先写出1～24的编号，每次把报1的编号划掉，看最后剩下一名同学的编号是几，并从中找到规律。 （2）由上一题发现规律，剩下1人所需淘汰的次数为n时，这个同学的编号是2n；据此求出80个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时的编号。 【解析】（1）如图： 第一次：24人剩12人 第二次：12人剩6人 第三次：6人剩3人 第四次：3人剩1人 24＝16 答：当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是16号。 （2）第一次：80人剩40人 第二次：40人剩20人 第三次：20人剩10人 第四次：10人剩5人 第五次：5人剩2人 第六次：2人剩1人 26＝64 答：这个同学的帽子编号是64号。规律：最后一个同学的编号是2n的编号（n为剩下1人所需淘汰的次数）。 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$