第三讲 圆柱与圆锥（讲义+强化训练）-2024-2025学年人教版六年级下册期末复习宝典
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精品
内容正文：
第三讲 圆柱与圆锥
考点1 圆柱的特征 5
考点2 圆柱的展开图 9
考点3 圆柱的侧面积和表面积 13
考点4 圆柱的体积 17
考点5 圆锥的特征 22
考点6 圆锥的体积 26
考点回顾
1．圆柱的特征
圆柱就是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的．它的底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面．
2．圆柱的展开图
圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高．
3．圆柱的侧面积和表面积
圆柱的表面积=侧面积+2个底面积
侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积=侧面积+2个底面积
圆柱的侧面积=底面的周长×高，用字母表示：
S侧=Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧=2πrh
圆柱的底面积=πr2
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表=2πr2+2πrh
4.圆柱的体积
若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h
5.圆锥的特征
圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面．
6.圆锥的体积
圆锥体积=×底面积×高，用字母表示：
V=Sh=πr2h，（S表示底面积，h表示高）
方法归纳
圆柱的侧面积=底面的周长×高，用字母表示：
S侧=Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧=2πrh
圆柱的底面积=πr2
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表=2πr2+2πrh
若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h
圆锥体积=×底面积×高，用字母表示：
V=Sh=πr2h，（S表示底面积，h表示高）
考点1 圆柱的特征
典例
例1（2025春•太原期中）一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的（ ）也是6厘米。
A．底面周长
B．底面直径
C．底面半径
D．无法确定
【答案】B
【分析】一个直放的圆柱，从正面（或侧面）看到的是一个长为圆柱底面直径，宽为圆柱高的长方形，一个高6厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱底面直径也是6厘米。
【解答】解：一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的底面直径也是6厘米。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是圆柱的特征，一个高6厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，也就是沿这个圆柱的底面直径剖开是一个正方形，高6厘米，底面直径也是6厘米。
例2（2024春•赤坎区校级期中）下列哪个物体是圆柱形的？（ ）
A．篮球
B．乒乓球
C．铅笔
D．粉笔
【答案】D
【分析】圆柱就是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的．它的底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，据此选择即可。
【解答】解：是圆柱形的是粉笔。
故选：D。
【点评】本题主要考查了圆柱的特征，要熟练掌握。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
【变式练1】（2024•镇安县）下列图形中，以直线为轴旋转一圈，可以形成圆柱的是（ ）
A．
B．
C．
【答案】C
【分析】圆柱是由一个长方形绕着一条边旋转得到的，得出结论。
【解答】解：以直线为轴旋转一圈，可以形成圆柱。
故选：C。
【变式练2】（2024•防城港）用一张长方形纸通过下面（ ）方式旋转，得到底面直径是6cm,高是9cm的圆柱。
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】圆柱是由一个长方形绕着一条边旋转得到的，绕9cm旋转，那么另一条边就是6cm,是圆柱的底面直径。据此选择。
【解答】解：通过旋转，得到底面直径是6cm,高是9cm的圆柱。
故选：C。
【变式练3】（2024春•麻章区校级期中）圆柱有 ______个面，其中 ______个面是圆的，叫作圆柱的底面。
【答案】3，2。
【分析】根据圆柱的特征可知圆柱是由三个面组成的，两个底面是大小相等的圆，侧面都是曲面。
【解答】解：圆柱有3个面，其中2个面是圆的，叫作圆柱的底面。
故答案为：3，2。
【变式练4】（2024•平昌县）如图所示，转动长方形ABCD，生成右边的圆柱。完成下面的填空。
圆柱是以长方形的 ______边为轴旋转而成的，底面半径是 ______cm,高是 ______cm。
【答案】AD（或BC）；4；8。
【分析】根据面动成体的旋转知识，结合圆柱的特征分析解答即可。
【解答】解：如图所示，转动长方形ABCD，生成右边的圆柱。圆柱是以长方形的AD（或BC）边为轴旋转而成的，底面半径是4厘米，高是8厘米。
故答案为：AD（或BC）；4；8。
【变式练5】（2025春•微山县期中）圆柱有无数条高． ______． （判断对错）
【答案】√
【分析】根据圆柱的高的含义：圆柱两个底面之间的距离，叫作圆柱的高，进行解答．
【解答】解：由圆柱的高的含义知：圆柱有无数条高；
所以上面的说法是正确的；
故答案为：√．
【变式练6】（2024春•晋源区期中）将圆柱截成两个相等的部分，截面一定是两个完全一样的圆面。 ______（判断对错）
【答案】×
【分析】根据圆柱的特征：圆柱上下两个面是圆形，侧面是曲面；将圆柱截成两个相等的部分，如果沿平行于底面去切，截面一定是圆形，但如果不是沿平行于底面去切，则切面就不是圆形；由此即可判断。
【解答】解：由分析可知：将圆柱截成两个相等的部分，如果沿平行于底面去切，截面一定是圆形，但如果不是沿平行于底面去切，则切面就不是圆形。
故答案为：×。
考点2 圆柱的展开图
典例
例1（2025春•安丘市期中）一个圆柱底面直径和高都是4.5厘米，侧面沿高展开后是一个（ ）
A．长方形
B．正方形
C．平行四边形
D．圆形
【答案】A
【分析】根据圆柱侧面展开的特征可知，当一个圆柱底面直径和高都是4.5厘米，侧面沿高展开后是一个长等于底面周长、宽等于圆柱高的长方形。据此解答。
【解答】解：一个圆柱底面直径和高都是4.5厘米，侧面沿高展开后是一个长方形。
故选：A。
【点评】本题主要考查圆柱侧面展开图的特征。
例2（2025春•陇县期中）下面圆柱展开图正确的是（ ）（单位：cm）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】圆柱展开图，上、下底是两个相同的圆，侧面是长（或宽）为圆柱底面周长，宽（或长）为圆柱高的长方形。根据圆周长计算公式“C=πd”分别计算出各选项的底面周长，再与标出的侧面长（或宽）作比较即可作出选择。
【解答】解：A、3.14×4=12.56（cm）
圆柱的侧面长为12.56cm。不符合题意；
B、3.14×6=18.84（cm）
圆柱的侧面长为18.84cm。符合题意；
C、3.14×2=6.28（cm）
圆柱的侧面长为6.28cm。不符合题意；
D、3.14×8=25.12（cm）
圆柱的侧面长为25.12cm。不符合题意。
故选：B。
【点评】首先根据圆周长计算公式分别计算出各展开图的底面周长，再看与标出的侧面的长（或宽）是否相等。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
【变式练1】（2024春•福清市期中）下面最有可能是圆柱的平面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如果圆柱的底面周长与高相等，把圆柱的侧面展开有两种情况：①沿高线剪，此时圆柱的侧面展开是一个正方形；②不沿高线剪，斜着剪开将会得到一个平行四边形；如果圆柱的底面周长与高不相等，把圆柱的侧面展开有两种情况：①沿高线剪，此时圆柱的侧面展开是一个长方形；②不沿高线剪，斜着剪开将会得到一个平行四边形或菱形。即此题转化为判断圆柱底面周长中哪一个选项和长方形（或正方形）的长（或边长）相等的问题。
【解答】解：圆柱的展开图应该有两个相等的圆和一个长方形（或正方形）。圆的周长等于长方形的长，通常情况下长方形的长大约是圆直径的3倍多一点。观察给出的四个选项：
A选项中长方形的长与圆的直径关系不符合大约3倍多一点；
B选项中长方形的长与圆的直径关系不符合大约3倍多一点；
D选项中长方形的长与圆的直径关系不符合大约3倍多一点；
而C选项中可以看出有两个圆，且长方形的长与圆直径的关系符合大约3倍多一点，所以只有C符合。
故选：C。
【变式练2】（2024•盐城）一种圆柱形的罐头，它的侧面有一张商标纸，沿着高把商标纸剪开（如图），展开后是（ ）
A．长方形
B．三角形
C．梯形
D．平行四边形
【答案】A
【分析】圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。
【解答】解：一种圆柱形的罐头，它的侧面有一张商标纸，沿着高把商标纸剪开（如图），展开后是长方形。
故选：A。
【变式练3】（2024春•双流区期中）一个底面周长为12cm的圆柱的侧面展开后是一个正方形，这个圆柱的高是 ______cm,这个正方形的面积是 ______cm2。
【答案】12；144。
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，当圆柱的侧面沿高展开是正方形的时，这个圆柱的底面周长和高相等，根据正方形的面积公式：S=a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：12×12=144（平方厘米）
答：这个圆柱的高是12厘米，这个正方形的面积是144平方厘米。
故答案为：12；144。
【变式练4】（2025春•周至县期中）如图，一个圆柱形收纳盒底面半径是4厘米，高是18厘米，把侧面包装纸展开后是一个长方形，这个长方形的长是 ______厘米，宽是 ______厘米。
【分析】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高，由此根据圆的周长公式C=2πr代入数据解决问题。
【解答】解：长是：2×3.14×4=25.12（厘米），
宽是18厘米；
答：这个长方形的长是25.12厘米，宽是18厘米．
故答案为：25.12，18。
【变式练5】（2024•洛南县）圆柱的侧面展开后一定是长方形． ______．（判断对错）
【答案】×
【分析】如果沿着圆柱的高展开的，圆柱的底面周长为圆柱侧面展开图的长，圆柱的高为圆柱侧面展开图的宽，如果圆柱的底面周长等于圆柱的高，那么圆柱的侧面展开图就是正方形，如果圆柱的底面周长与圆柱的高不相等，那么圆柱的侧面展开图就是长方形；如果不是沿着圆柱的高展开那么圆柱的侧面展开图可能是平行四边形或不规则图形．
【解答】解：如果沿着圆柱的高展开，
圆柱的底面周长为圆柱侧面展开图的长，圆柱的高为圆柱侧面展开图的宽，
如果圆柱的底面周长等于圆柱的高，那么圆柱的侧面展开图就是正方形，
如果圆柱的底面周长与圆柱的高不相等，那么圆柱的侧面展开图就是长方形，
所以圆柱的侧面展开后的图形不一定是长方形；
如果不是沿着圆柱的高展开的，
那么圆柱的侧面展开图可能是平行四边形或不规则图形．
故答案为：×．
【变式练6】（2024春•巧家县校级期中）圆柱的侧面展开后不可能是正方形．______．
【分析】把一个圆柱沿高剪开，当圆柱的底面周长等于圆柱的高时，展开的图形是正方形，当由此做出判断．
【解答】解：因为，把一个圆柱沿高剪开，当圆柱的底面周长等于圆柱的高时，展开的图形是正方形；
所以，将圆柱的侧面展开有可能是正方形；
故答案为：×．
考点3 圆柱的侧面积和表面积
例1（2024•黄埔区）一个底面直径为20cm、长为50cm的圆柱形通风管（如图），在地面上滚动一周，滚过的面积是（ ）典例
A．314cm2
B．3140cm2
C．3768cm2
D．1570cm2
【答案】B
【分析】圆柱形通风管在地面上滚动一周，求滚过的面积是多少，是求这个圆柱形通风管的侧面积。根据侧面积=底面周长×高计算。
【解答】解：3.14×20×50=3140（cm2）
答：滚过的面积是3140cm2。
故选：B。
【点评】本题解答的关键是把实际问题转化为求圆柱体侧面积的数学问题。
例2（2024春•三原县期中）把一个底面直径是5cm的圆柱切成两个小圆柱，表面积增加了（ ）cm2。
A．78.5
B．31.4
C．39.25
D．62.8
【答案】C
【分析】把一个圆柱切成两个小圆柱，增加的表面积是两个底面圆的面积。我们需要根据圆的面积公式S=πr2 （其中r为半径）来计算增加的表面积。
【解答】解：5÷2=2.5（厘米）
3.14×2.52
=3.14×6.25
=19.625（厘米）
19.625×2=39.25（立方厘米）
故选：C。
【点评】本题考查圆柱的表面积的计算以及实际应用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
圆柱的侧面积=底面的周长×高，用字母表示：
S侧=Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧=2πrh
圆柱的底面积=πr2
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表=2πr2+2πrh
【变式练1】（2024春•化州市期中）一个圆柱，底面直径和高都是2分米，这个圆柱的表面积是（ ）平方分米．
A．6π
B．5π
C．4π
D．2π
【答案】A
【分析】本题是已知圆柱的底面直径和高，求它的表面积，可利用公式“侧面积+底面积×2=表面积”求得，然后再选正确答案即可．
【解答】解：π×2×2+π×（）2×2
=π×4+π×2
=6π（平方分米）
故选：A．
【变式练2】（2024•孟村县模拟）一根圆柱形木料的底面半径是0.5dm,长是2m。如图所示，将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（ ）
A．0.471平方米
B．47.1平方分米
C．471平方厘米
D．471平方分米
【答案】C
【分析】把一个圆柱截成4段，表面积增加了圆柱底面积的6倍。据此解答。
【解答】解：3.14×0.52×6
=3.14×0.25×6
=4.71（平方分米）
4.71平方分米=471平方厘米
答：这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了471平方厘米。
故选：C。
【变式练3】（2025春•裕华区期中）清康熙五彩竹纹笔筒近似圆柱形，高是14.2cm,底面直径是18cm,外壁一面绘墨竹两枝，竹枝于黑彩外又润以绿彩和赭石色少许，外壁的面积约是 ______cm2。
【答案】802.584。
【分析】圆柱的侧面积=底面周长×高，底面周长=πd,由此代入数据即可解答。
【解答】解：3.14×18×14.2
=56.52×14.2
=802.584（cm2）
答：外壁的面积约是802.584cm2。
故答案为：802.584。
【变式练4】（2024春•长丰县期中）如图，把底面半径为4厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么长方体的高是 ______厘米。
【答案】10。
【分析】如图，把圆柱切拼成一个近似的长方体，长方体的长=圆柱底面周长的一半，长方体的宽=底面半径，长方体的高=圆柱的高。表面积增加了左右两个侧面，增加的表面积÷2=一个长方形的面积，一个长方形的面积÷底面半径=长方体的高，据此列式计算。
【解答】解：80÷2÷4=10（厘米）
答：长方体的高是10厘米。
故答案为：10。
【变式练5】（2024春•泾阳县期中）计算如图所示立体图形的表面积：
【答案】244.92平方分米。
【分析】首先根据圆柱底面周长求出圆柱底面半径，高是10分米，圆柱的表面积=2πr2+2πrh,再代入数据计算即可解答。
【解答】解：18.84÷3.14÷2
=6÷2
=3（分米）
3.14×32×2+18.84×10
=3.14×9×2+188.4
=28.26×2+188.4
=56.52+188.4
=244.92（平方分米）
答：这个圆柱的表面积是244.92平方分米。
【变式练6】（2023•随州）如图，在一个长方体木块中挖了一个圆柱形的洞，求这个物体的表面积。（单位：cm）
【答案】1700平方厘米。
【分析】由图意可知：这个物体的表面积=长方体的表面积-圆柱的底面积×2+圆柱的侧面积，据此代入数据即可求解。
【解答】解：（30×5+30×20+5×20）×2
=850×2
=1700（平方厘米）
1700-3.14×（10÷2）2×2+3.14×10×5
=1700-157+157
=1700（平方厘米）
答：这个物体的表面积是1700平方厘米。
考点4 圆柱的体积
典例
例1（2025春•钢城区期中）由一个正方体木块加工成的最大圆柱，它的底面直径是20厘米，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。
A．8000
B．4000
C．1000
【答案】A
【分析】根据题意可知，把一个正方体加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：V=a3，把数据代入公式解答。
【解答】解：20×20×20
=400×20
=8000（立方厘米）
答：这个正方体的体积是8000立方厘米。
故选：A。
【点评】此题主要考查了正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，结合题意分析解答即可。
例2（2025春•梁溪区期中）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水（如图），根据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据图可知，瓶子的底面积是相同的，由于瓶子的容积=水的体积+空白部分的体积，可以设瓶子的底面积为S，根据圆柱的体积=底面积×高，则水的体积是：14S，瓶子的容积是：14S+（20-16）S=14S+4S=18S，根据一个数是另一个数的几分之几，用14S÷18S，据此即可解答。
【解答】解：由分析可知：设瓶子的底面积为S。
14S+（20-16）S
=14S+4S
=18S
14S÷18S=
答：可得瓶中水的体积占瓶子容积的。
故选：A。
【点评】本题主要考查圆柱的体积公式以及一个数是另一个数的几分之几的计算方法，熟练掌握它的公式以及运算方法并灵活运用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h
【变式练1】（2024春•巨野县期中）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们体积差是20立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。
A．40
B．30
C．20
D．15
【答案】B
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，因此它们的体积差除以2就是圆锥的体积，用圆锥的体积乘3就是圆柱的体积。
【解答】解：20÷2=10（立方厘米）
10×3=30（立方厘米）
答：圆柱的体积是30立方厘米。
故选：B。
【变式练2】（2024•大埔县）一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，体积扩大到原来的（ ）
A．3倍
B．6倍
C．9倍
D．27倍
【答案】C
【分析】圆柱的体积=底面积×高，圆柱的高不变，设圆柱底面半径为r,高为h,原来的体积为V，扩大后的体积为V1，则扩大后的半径为3r,代入圆柱的体积公式，从而可以求出它的体积扩大的倍数。
【解答】解：原来的体积：V=πr2h
扩大后的体积：V1=π（3r）2h=9πr2h
体积扩大：9πr2h÷πr2h=9
答：它的体积扩大为原来的9倍。
故选：C。
【变式练3】（2024春•化州市校级期中）把一个棱长为4厘米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是 ______立方厘米。
【答案】50.24。
【分析】此类问题首先要确定削成的圆柱的底面直径和高，根据正方体内最大圆柱的特点可得：这个最大圆柱的底面直径是4厘米，高是4厘米，利用圆柱的体积公式即可解决问题。
【解答】解：4÷2=2（厘米）
3.14×22×4
=3.14×4×4
=50.24（立方厘米）
答：这个圆柱体的体积是50.24立方厘米。
故答案为：50.24。
【变式练4】（2024春•临县期中）如图所示是一个饮料瓶（瓶身为圆柱形），已知瓶子的底面积是20cm2。根据图中的数据（单位：cm），计算出瓶子的容积是 ______cm3。
【答案】120。
【分析】将瓶子容积转化为圆柱体积进行计算，圆柱体积=底面积×高，据此代入数据计算即可求出瓶子的容积。
【解答】解：20×[4+（7-5）]
=20×[4+2]
=20×6
=120（立方厘米）
故答案为：120。
【变式练5】（2023•巴南区）计算如图物体的体积（π取3.14）。
【答案】502.4立方米。
【分析】根据圆柱的体积=底面积×高计算即可。
【解答】解：3.14×（8÷2）2×10
=3.14×16×10
=50.24×10
=502.4（立方米）
答：图形的体积是502.4立方米。
【变式练6】（2024春•灌云县期中）计算如图立体图形的体积。
【答案】282.6立方厘米。
【分析】如图，这个立体图形的体积可以看作底面半径是6cm,高是10cm的圆柱体积的，根据圆柱的体积=底面积×高，列式计算。
【解答】解：3.14×62×10×
=3.14×36×10×
=1130.4×
=282.6（立方厘米）
答：立体图形的体积是282.6立方厘米。
考点5 圆锥的特征
典例
例1（2025春•海口期中）将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个（ ）三角形。
A．等边
B．直角
C．锐角
D．等腰
【答案】D
【分析】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫作圆锥。因此将圆锥沿着它的高平均切成两半，截面是一个等腰三角形。
【解答】解：将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个等腰三角形。
故选：D。
【点评】此题主要考查圆锥的认识，考查目的是让学生牢固掌握圆锥的特征。
例2（2025春•潍坊期中）如图1，在边长是4厘米的铁皮上剪下了一个圆形和扇形，使之恰好围成了图2所示的一个圆锥模型，那么围成的圆锥底面半径是（ ）厘米。
A．1
B．2
C．4
D．16
【答案】A
【分析】根据题意，结合圆锥的特征可知，圆锥的侧面展开所得弧长等于底面周长，据此计算其底面半径即可。
【解答】解：3.14×4×2÷4÷3.14÷2
=6.28÷3.14÷2
=1（厘米）
答：围成的圆锥底面半径是1厘米。
故选：A。
【点评】本题主要考查圆锥的特征及应用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
【变式练1】（2024•朝天区）如图，以直角三角形ABC的直角边AB为轴旋转一周后得到的圆锥的底面直径是（ ）cm。
A．6
B．8
C．16
D．12
【答案】D
【分析】由题意可知，以直角三角形的直角边（8厘米）为轴旋转一周得到的圆锥的底面半径是6厘米，高是8厘米，由此解答即可。
【解答】解如图，以直角三角形ABC的直角边AB为轴旋转一周后得到的圆锥的底面直径是：6×2=12（cm）。
故选：D。
【变式练2】（2024•河西区）妙想要测量圆锥的高，下面四种方法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫作圆锥的高，根据圆锥的高的概念进行判断。
【解答】解：测量圆锥高时要先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离，该距离即为圆锥的高，这种测量方法是正确的。
故选：D。
【变式练3】（2024•青秀区）李师傅将一个底面半径为2分米、高为6分米的圆锥从顶点沿着高切成两半（如图），切开后的切面呈现 ______形，这个切面的底为 ______分米，高为 ______分米。
【答案】三角，4，6。
【分析】李师傅将一个底面半径为2分米、高为6分米的圆锥从顶点沿着高切成两半（如图），切开后的切面呈现三角形，这个切面的底就是圆锥的底面直径，高就是圆锥的高。
【解答】解：李师傅将一个底面半径为2分米、高为6分米的圆锥从顶点沿着高切成两半（如图），切开后的切面呈现三角形，这个切面的底为4分米，高为6分米。
故答案为：三角，4，6。
【变式练4】（2024•鼓楼区）如图，在正方形卡纸上剪下的一个圆和一个扇形恰好围成一个圆锥模型，如果圆的半径为r,扇形的半径为R，那么R是r的 ______倍。
【答案】4。
【分析】观察图形，圆锥底面是四分之一大圆周长，也等于小圆周长。圆的周长公式：C=2πr。因此2πR÷4=2πr,可得R=4r,即R是r的4倍。
【解答】解：如图，在正方形卡纸上剪下的一个圆和一个扇形恰好围成一个圆锥模型，如果圆的半径为r,扇形的半径为R，那么R是r的4倍。
故答案为：4。
【变式练5】（2025春•临沂期中）从圆锥的顶点到底面周长上任一点的距离是圆锥的高．______． （判断对错）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆锥的高的含义：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，进而判断即可
【解答】解：从圆锥的顶点到底面周长上任一点的距离是圆锥的高，说法错误；
故答案为：×．
【变式练6】（2025春•南京期中）有一个圆锥形的模具，底面直径是16厘米，高是1分米，沿着底面直径切开，表面积增加80平方厘米。 ______（判断对错）
【答案】×。
【分析】根据题意可知，把圆锥沿底面直径切开，表面积增加两个切面（三角形）的面积，每个切面的底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高，根据三角形的面积=底×高÷2，把数据代入公式解答。
【解答】解：1分米=10厘米
16×10÷2×2
=80×2
=160（平方厘米）
表面积增加160平方厘米，所以原题说法错误。
故答案为：×。
考点6 圆锥的体积
典例
例1（2025春•莱西市期中）已知圆柱和圆锥体积和高相等，如果圆锥的底面积是9平方米，则圆柱的底面积是（ ）
A．27平方米
B．3平方米
C．18平方米
【答案】B
【分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，一个圆柱和一个圆锥的体积和高都相等，圆锥的底面积是S平方米，那么圆柱的底面积是S平方米。
【解答】解：根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，一个圆柱和一个圆锥的体积和高都相等，圆锥的底面积是9平方米，那么圆柱的底面积是：×9=3（平方米）
故选：B。
【点评】理解和掌握等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，根据这一关系进行解答。
例2（2025春•钢城区期中）圆锥的底面积扩大到原来的3倍，高也扩大到原来的3倍，则体积扩大到原来的（ ）倍。
A．3
B．27
C．9
【答案】C
【分析】根据圆锥的体积=底面积×高÷3，解答此题即可。
【解答】解：3×3=9
答：体积扩大到原来的9倍。
故选：C。
【点评】熟练掌握圆锥的体积公式，是解答此题的关键。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
圆锥体积=×底面积×高，用字母表示：
V=Sh=πr2h，（S表示底面积，h表示高）
【变式练1】（2024春•凉州区期中）一个圆锥的体积是12cm3，底面积是4cm2，高是（ ）
A．3
B．6
C．9
【答案】C
【分析】根据圆锥体积=×底面积×高，用这个圆锥的体积的3倍除以它的底面积，求出高是多少即可．
【解答】解：12×3÷4
=36÷4
=9（cm）
答：高是9cm.
故选：C．
【变式练2】（2024春•石城县期中）如图，两个圆柱的体积之差是235.5cm3，如果将这两个圆柱体分别切削成两个最大的圆锥，那么这两个圆锥的体积之差是（ ）
A．等于235.5cm3
B．大于235.5cm3
C．小于235.5cm3
D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【分析】把圆柱切削成最大的圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，等底等高的圆锥的体积是圆柱的，因为两个圆柱的体积之差是235.5立方厘米，所以削成的两个圆锥的一定小于235.5立方厘米。据此解答即可。
【解答】解：削成圆锥的体积是圆柱体积的，因为两个圆柱的体积之差是235.5立方厘米，所以削成的两个圆锥的体积之差一定小于235.5立方厘米。
故选：C。
【变式练3】（2024春•海门区期中）圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装（ ）升水。
A．20
B．80
C．40
D．70
【答案】D
【分析】如图，画出圆锥内部的高线与底面半径R与液面的半径r,这里组成了一个三角形，很显然r与R的比是1：2，由此设容器中水的底面半径为1，则容器的底面半径为2，求出水的体积与这个容器的容积之比即可解答问题。
【解答】解：画出圆锥内部的高线与底面半径R与液面的半径r,这里组成了一个三角形，很显然r与R的比是1：2，
设水的底面半径是1，则圆锥容器的底面半径是2；
所以水的体积为：×π×12×h=πh；
容器的容积为：×π×22×h=πh,
所以水的体积与容器的容积之比是：πh：πh=1：8，
水的体积是10升，所以容器的容积是8×10=80（升）
80-10=70（升）
答：这个容器还能装70升水。
故选：D。
【变式练4】（2025春•福田区期中）一个圆锥的体积是75.36cm3，这个圆锥的底面直径是6cm,高是 ______cm。
【答案】8。
【分析】根据圆锥的体积公式：V=πr2h,那么h=V÷÷（πr2），把数据代入公式求出圆锥的高，
【解答】解：75.36÷÷[3.14×（6÷2）2]
=75.36×3÷[3.14×9]
=226.08÷28.26
=8（厘米）
答：高是8cm。
故答案为：8。
【变式练5】（2025春•武义县期中）一个圆柱与一个圆锥的底面积之比是1：4，高之比是2：3，那么圆柱与圆锥的体积之比是 ______。
【答案】1：2。
【分析】根据“圆柱的体积V=πr2h”以及“圆锥体积V=Sh=πr2h”，结合比的意义即可解答。
【解答】解：（1×2）：（×4×3）=2：4=1：2
答：圆柱与圆锥的体积之比是1：2。
故答案为：1：2。
【变式练6】（2023春•新会区校级期中）求圆锥的体积。（单位：厘米）
【答案】10.48立方厘米。
【分析】根据圆锥的体积公式：V=πr2h,把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×（8÷2）2×6×
=3.14×42×6×
=3.14×16×6×
=100.48（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是100.48立方厘米。
【变式练7】（2023春•同江市期中）求如图正方体挖去最大的圆锥后剩下的体积。（单位：厘米）
【答案】538.245立方厘米。
【分析】最大圆锥的底面直径和高等于正方体的棱长，利用圆锥的体积公式：V=πr2h求出圆锥的体积，剩下的体积=正方体的体积-圆锥的体积，据此解答。
【解答】解：9×9×9-×3.14×（9÷2）2×9
=729-×3.14×4.52×9
=729-×9×3.14×20.25
=729-3×3.14×20.25
=729-190.755
=538.245（立方厘米）
答：剩下的体积是538.245立方厘米。
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第三讲 圆柱与圆锥
考点1 圆柱的特征 5
考点2 圆柱的展开图 7
考点3 圆柱的侧面积和表面积 10
考点4 圆柱的体积 12
考点5 圆锥的特征 15
考点6 圆锥的体积 18
考点回顾
1．圆柱的特征
圆柱就是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的．它的底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面．
2．圆柱的展开图
圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高．
3．圆柱的侧面积和表面积
圆柱的表面积=侧面积+2个底面积
侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积=侧面积+2个底面积
圆柱的侧面积=底面的周长×高，用字母表示：
S侧=Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧=2πrh
圆柱的底面积=πr2
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表=2πr2+2πrh
4.圆柱的体积
若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h
5.圆锥的特征
圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面．
6.圆锥的体积
圆锥体积=×底面积×高，用字母表示：
V=Sh=πr2h，（S表示底面积，h表示高）
方法归纳
圆柱的侧面积=底面的周长×高，用字母表示：
S侧=Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧=2πrh
圆柱的底面积=πr2
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表=2πr2+2πrh
若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h
圆锥体积=×底面积×高，用字母表示：
V=Sh=πr2h，（S表示底面积，h表示高）
考点1 圆柱的特征
典例
例1（2025春•太原期中）一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的（ ）也是6厘米。
A．底面周长
B．底面直径
C．底面半径
D．无法确定
【答案】B
【分析】一个直放的圆柱，从正面（或侧面）看到的是一个长为圆柱底面直径，宽为圆柱高的长方形，一个高6厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱底面直径也是6厘米。
【解答】解：一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的底面直径也是6厘米。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是圆柱的特征，一个高6厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，也就是沿这个圆柱的底面直径剖开是一个正方形，高6厘米，底面直径也是6厘米。
例2（2024春•赤坎区校级期中）下列哪个物体是圆柱形的？（ ）
A．篮球
B．乒乓球
C．铅笔
D．粉笔
【答案】D
【分析】圆柱就是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的．它的底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，据此选择即可。
【解答】解：是圆柱形的是粉笔。
故选：D。
【点评】本题主要考查了圆柱的特征，要熟练掌握。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
【变式练1】（2024•镇安县）下列图形中，以直线为轴旋转一圈，可以形成圆柱的是（ ）
A．
B．
C．
【变式练2】（2024•防城港）用一张长方形纸通过下面（ ）方式旋转，得到底面直径是6cm,高是9cm的圆柱。
A．
B．
C．
D．
【变式练3】（2024春•麻章区校级期中）圆柱有 ______个面，其中 ______个面是圆的，叫作圆柱的底面。
【变式练4】（2024•平昌县）如图所示，转动长方形ABCD，生成右边的圆柱。完成下面的填空。
圆柱是以长方形的 ______边为轴旋转而成的，底面半径是 ______cm,高是 ______cm。
【变式练5】（2025春•微山县期中）圆柱有无数条高． ______． （判断对错）
【变式练6】（2024春•晋源区期中）将圆柱截成两个相等的部分，截面一定是两个完全一样的圆面。 ______（判断对错）
考点2 圆柱的展开图
典例
例1（2025春•安丘市期中）一个圆柱底面直径和高都是4.5厘米，侧面沿高展开后是一个（ ）
A．长方形
B．正方形
C．平行四边形
D．圆形
【答案】A
【分析】根据圆柱侧面展开的特征可知，当一个圆柱底面直径和高都是4.5厘米，侧面沿高展开后是一个长等于底面周长、宽等于圆柱高的长方形。据此解答。
【解答】解：一个圆柱底面直径和高都是4.5厘米，侧面沿高展开后是一个长方形。
故选：A。
【点评】本题主要考查圆柱侧面展开图的特征。
例2（2025春•陇县期中）下面圆柱展开图正确的是（ ）（单位：cm）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】圆柱展开图，上、下底是两个相同的圆，侧面是长（或宽）为圆柱底面周长，宽（或长）为圆柱高的长方形。根据圆周长计算公式“C=πd”分别计算出各选项的底面周长，再与标出的侧面长（或宽）作比较即可作出选择。
【解答】解：A、3.14×4=12.56（cm）
圆柱的侧面长为12.56cm。不符合题意；
B、3.14×6=18.84（cm）
圆柱的侧面长为18.84cm。符合题意；
C、3.14×2=6.28（cm）
圆柱的侧面长为6.28cm。不符合题意；
D、3.14×8=25.12（cm）
圆柱的侧面长为25.12cm。不符合题意。
故选：B。
【点评】首先根据圆周长计算公式分别计算出各展开图的底面周长，再看与标出的侧面的长（或宽）是否相等。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
【变式练1】（2024春•福清市期中）下面最有可能是圆柱的平面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式练2】（2024•盐城）一种圆柱形的罐头，它的侧面有一张商标纸，沿着高把商标纸剪开（如图），展开后是（ ）
A．长方形
B．三角形
C．梯形
D．平行四边形
【变式练3】（2024春•双流区期中）一个底面周长为12cm的圆柱的侧面展开后是一个正方形，这个圆柱的高是 ______cm,这个正方形的面积是 ______cm2。
【变式练4】（2025春•周至县期中）如图，一个圆柱形收纳盒底面半径是4厘米，高是18厘米，把侧面包装纸展开后是一个长方形，这个长方形的长是 ______厘米，宽是 ______厘米。
【变式练5】（2024•洛南县）圆柱的侧面展开后一定是长方形． ______．（判断对错）
【变式练6】（2024春•巧家县校级期中）圆柱的侧面展开后不可能是正方形．______．
考点3 圆柱的侧面积和表面积
例1（2024•黄埔区）一个底面直径为20cm、长为50cm的圆柱形通风管（如图），在地面上滚动一周，滚过的面积是（ ）典例
A．314cm2
B．3140cm2
C．3768cm2
D．1570cm2
【答案】B
【分析】圆柱形通风管在地面上滚动一周，求滚过的面积是多少，是求这个圆柱形通风管的侧面积。根据侧面积=底面周长×高计算。
【解答】解：3.14×20×50=3140（cm2）
答：滚过的面积是3140cm2。
故选：B。
【点评】本题解答的关键是把实际问题转化为求圆柱体侧面积的数学问题。
例2（2024春•三原县期中）把一个底面直径是5cm的圆柱切成两个小圆柱，表面积增加了（ ）cm2。
A．78.5
B．31.4
C．39.25
D．62.8
【答案】C
【分析】把一个圆柱切成两个小圆柱，增加的表面积是两个底面圆的面积。我们需要根据圆的面积公式S=πr2 （其中r为半径）来计算增加的表面积。
【解答】解：5÷2=2.5（厘米）
3.14×2.52
=3.14×6.25
=19.625（厘米）
19.625×2=39.25（立方厘米）
故选：C。
【点评】本题考查圆柱的表面积的计算以及实际应用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
圆柱的侧面积=底面的周长×高，用字母表示：
S侧=Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧=2πrh
圆柱的底面积=πr2
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表=2πr2+2πrh
【变式练1】（2024春•化州市期中）一个圆柱，底面直径和高都是2分米，这个圆柱的表面积是（ ）平方分米．
A．6π
B．5π
C．4π
D．2π
【变式练2】（2024•孟村县模拟）一根圆柱形木料的底面半径是0.5dm,长是2m。如图所示，将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（ ）
A．0.471平方米
B．47.1平方分米
C．471平方厘米
D．471平方分米
【变式练3】（2025春•裕华区期中）清康熙五彩竹纹笔筒近似圆柱形，高是14.2cm,底面直径是18cm,外壁一面绘墨竹两枝，竹枝于黑彩外又润以绿彩和赭石色少许，外壁的面积约是 ______cm2。
【变式练4】（2024春•长丰县期中）如图，把底面半径为4厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么长方体的高是 ______厘米。
【变式练5】（2024春•泾阳县期中）计算如图所示立体图形的表面积：
【变式练6】（2023•随州）如图，在一个长方体木块中挖了一个圆柱形的洞，求这个物体的表面积。（单位：cm）
考点4 圆柱的体积
典例
例1（2025春•钢城区期中）由一个正方体木块加工成的最大圆柱，它的底面直径是20厘米，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。
A．8000
B．4000
C．1000
【答案】A
【分析】根据题意可知，把一个正方体加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：V=a3，把数据代入公式解答。
【解答】解：20×20×20
=400×20
=8000（立方厘米）
答：这个正方体的体积是8000立方厘米。
故选：A。
【点评】此题主要考查了正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，结合题意分析解答即可。
例2（2025春•梁溪区期中）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水（如图），根据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据图可知，瓶子的底面积是相同的，由于瓶子的容积=水的体积+空白部分的体积，可以设瓶子的底面积为S，根据圆柱的体积=底面积×高，则水的体积是：14S，瓶子的容积是：14S+（20-16）S=14S+4S=18S，根据一个数是另一个数的几分之几，用14S÷18S，据此即可解答。
【解答】解：由分析可知：设瓶子的底面积为S。
14S+（20-16）S
=14S+4S
=18S
14S÷18S=
答：可得瓶中水的体积占瓶子容积的。
故选：A。
【点评】本题主要考查圆柱的体积公式以及一个数是另一个数的几分之几的计算方法，熟练掌握它的公式以及运算方法并灵活运用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h
【变式练1】（2024春•巨野县期中）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们体积差是20立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。
A．40
B．30
C．20
D．15
【变式练2】（2024•大埔县）一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，体积扩大到原来的（ ）
A．3倍
B．6倍
C．9倍
D．27倍
【变式练3】（2024春•化州市校级期中）把一个棱长为4厘米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是 ______立方厘米。
【变式练4】（2024春•临县期中）如图所示是一个饮料瓶（瓶身为圆柱形），已知瓶子的底面积是20cm2。根据图中的数据（单位：cm），计算出瓶子的容积是 ______cm3。
【变式练5】（2023•巴南区）计算如图物体的体积（π取3.14）。
【变式练6】（2024春•灌云县期中）计算如图立体图形的体积。
考点5 圆锥的特征
典例
例1（2025春•海口期中）将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个（ ）三角形。
A．等边
B．直角
C．锐角
D．等腰
【答案】D
【分析】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫作圆锥。因此将圆锥沿着它的高平均切成两半，截面是一个等腰三角形。
【解答】解：将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个等腰三角形。
故选：D。
【点评】此题主要考查圆锥的认识，考查目的是让学生牢固掌握圆锥的特征。
例2（2025春•潍坊期中）如图1，在边长是4厘米的铁皮上剪下了一个圆形和扇形，使之恰好围成了图2所示的一个圆锥模型，那么围成的圆锥底面半径是（ ）厘米。
A．1
B．2
C．4
D．16
【答案】A
【分析】根据题意，结合圆锥的特征可知，圆锥的侧面展开所得弧长等于底面周长，据此计算其底面半径即可。
【解答】解：3.14×4×2÷4÷3.14÷2
=6.28÷3.14÷2
=1（厘米）
答：围成的圆锥底面半径是1厘米。
故选：A。
【点评】本题主要考查圆锥的特征及应用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
【变式练1】（2024•朝天区）如图，以直角三角形ABC的直角边AB为轴旋转一周后得到的圆锥的底面直径是（ ）cm。
A．6
B．8
C．16
D．12
【变式练2】（2024•河西区）妙想要测量圆锥的高，下面四种方法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式练3】（2024•青秀区）李师傅将一个底面半径为2分米、高为6分米的圆锥从顶点沿着高切成两半（如图），切开后的切面呈现 ______形，这个切面的底为 ______分米，高为 ______分米。
【变式练4】（2024•鼓楼区）如图，在正方形卡纸上剪下的一个圆和一个扇形恰好围成一个圆锥模型，如果圆的半径为r,扇形的半径为R，那么R是r的 ______倍。
【变式练5】（2025春•临沂期中）从圆锥的顶点到底面周长上任一点的距离是圆锥的高．______． （判断对错）
【变式练6】（2025春•南京期中）有一个圆锥形的模具，底面直径是16厘米，高是1分米，沿着底面直径切开，表面积增加80平方厘米。 ______（判断对错）
考点6 圆锥的体积
典例
例1（2025春•莱西市期中）已知圆柱和圆锥体积和高相等，如果圆锥的底面积是9平方米，则圆柱的底面积是（ ）
A．27平方米
B．3平方米
C．18平方米
【答案】B
【分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，一个圆柱和一个圆锥的体积和高都相等，圆锥的底面积是S平方米，那么圆柱的底面积是S平方米。
【解答】解：根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，一个圆柱和一个圆锥的体积和高都相等，圆锥的底面积是9平方米，那么圆柱的底面积是：×9=3（平方米）
故选：B。
【点评】理解和掌握等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，根据这一关系进行解答。
例2（2025春•钢城区期中）圆锥的底面积扩大到原来的3倍，高也扩大到原来的3倍，则体积扩大到原来的（ ）倍。
A．3
B．27
C．9
【答案】C
【分析】根据圆锥的体积=底面积×高÷3，解答此题即可。
【解答】解：3×3=9
答：体积扩大到原来的9倍。
故选：C。
【点评】熟练掌握圆锥的体积公式，是解答此题的关键。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
圆锥体积=×底面积×高，用字母表示：
V=Sh=πr2h，（S表示底面积，h表示高）
【变式练1】（2024春•凉州区期中）一个圆锥的体积是12cm3，底面积是4cm2，高是（ ）
A．3
B．6
C．9
【变式练2】（2024春•石城县期中）如图，两个圆柱的体积之差是235.5cm3，如果将这两个圆柱体分别切削成两个最大的圆锥，那么这两个圆锥的体积之差是（ ）
A．等于235.5cm3
B．大于235.5cm3
C．小于235.5cm3
D．以上三种情况都有可能
【变式练3】（2024春•海门区期中）圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装（ ）升水。
A．20
B．80
C．40
D．70
【变式练4】（2025春•福田区期中）一个圆锥的体积是75.36cm3，这个圆锥的底面直径是6cm,高是 ______cm。
【变式练5】（2025春•武义县期中）一个圆柱与一个圆锥的底面积之比是1：4，高之比是2：3，那么圆柱与圆锥的体积之比是 ______。
【变式练6】（2023春•新会区校级期中）求圆锥的体积。（单位：厘米）
【变式练7】（2023春•同江市期中）求如图正方体挖去最大的圆锥后剩下的体积。（单位：厘米）
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第三讲 圆柱与圆锥 强化训练
一．选择题（共12小题）
1．用一块长25.12厘米，宽18.84厘米的长方形铁皮，配上下面（ ）圆形铁片正好可以做成最大的圆柱形容器．（单位；厘米）
A． r=1
B． d=3
C． r=4
D． d=6
【答案】C
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，已知长方形铁皮的长是25.12厘米，宽是18.84厘米，要使所做圆柱形容器的容积最大，也就是用长方形的铁皮的长作为圆柱的底面周长，根据圆的周长公式：c=2πr,那么r=c÷2π，据此解答即可．
【解答】解：25.12÷3.14÷2
=8÷2
=4（厘米），
答：配上底面半径是4厘米的圆形铁片正好可以做成最大的圆柱形容器．
故选：C．
2．把圆柱形的纸筒沿一条直线剪开，不可能得到的平面图形是（ ）
A．长方形
B．正方形
C．平行四边形
D．三角形
【答案】D
【分析】圆柱的侧面展开图的对边是相等的，长方形、正方形、平行四边形的对边是相等的，据此选择正确的答案。
【解答】解：把圆柱形的纸筒沿一条直线剪开，不可能得到的平面图形是三角形。
故选：D。
3．用两张完全相同的长方形纸，分别卷成两个不同的圆柱形纸筒，圆柱①和圆柱②的侧面积相比，（ ）
A．一样大
B．圆柱①大
C．圆柱②大
D．无法比较
【答案】A
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征可知，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的面积等于围成圆柱的侧面积。据此解答。
【解答】解：由分析得：用两张完全相同的长方形纸，分别卷成两个不同的圆柱形纸筒，圆柱①和圆柱②的侧面积相比，一样大。
故选：A。
4．手工课上，同学们用两个完全一样的小圆柱拼成一个高4dm的大圆柱（如图），但表面积减少了8πdm2。原来一个小圆柱的体积是（ ）dm3。
A．8π
B．16π
C．32π
D．64π
【答案】A
【分析】由题意可知，两个完全一样的圆柱拼成一个圆柱后，高是原来的2倍，可求出原来每个圆柱的高；表面积减少了2个底面，因表面积减少8π平方分米，即可求出圆柱的一个底面积，再根据圆柱的体积=底面积×高，即可列式解决问题。
【解答】解：8π÷2×（4÷2）
=4π×2
=8π（立方分米）
答：原来一个圆柱的体积是8π立方分米。
故选：A。
5．一个圆柱体杯中盛满15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中还有（ ）水．
A．5升
B．7.5升
C．10升
D．9升
【答案】C
【分析】由条件“一个与它等底等高的铁圆锥”可知，圆锥的体积是圆柱体积的，也就是15升的；把铁圆锥倒放入水中后，铁圆锥会排出与它等体积的水，所以杯中剩下的水的体积就是圆柱体积的（1-），也就是15升的（1-），可用乘法列式求得．
【解答】解：15×（1-）=10（升）；
故选：C．
6．把一段圆柱木材按2：3：4的比截成3个圆柱，并分别加工成最大的圆锥，三个圆锥的体积之和是原来这段木材体积的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把一段圆柱木材按2：3：4的比截成3个圆柱，它们的底面积相同，则3个圆柱的体积比也是2：3：4；圆柱加工成最大的圆锥，则等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，即三个圆锥的体积和与圆柱的体积比为：×（2+3+4）：（2+3+4），据此解答。
【解答】解：×（2+3+4）：（2+3+4）=
答：三个圆锥的体积之和是原来这段木材体积的。
故选：B。
7．用如图的方法测量圆锥，量出的长度是5cm,圆锥的高（ ）
A．大于5cm
B．小于5cm
C．等于5cm
D．无法确定
【答案】B
【分析】圆锥的高是指顶点到圆心的距离，因此图示中的圆锥的高要小于5厘米。
【解答】解：上图圆锥的高小于5厘米。
故选：B。
8．把一个底面直径是5cm的圆柱切成两个小圆柱，表面积增加了（ ）cm2。
A．78.5
B．31.4
C．39.25
D．62.8
【答案】C
【分析】把一个圆柱切成两个小圆柱，增加的表面积是两个底面圆的面积。我们需要根据圆的面积公式S=πr2 （其中r为半径）来计算增加的表面积。
【解答】解：5÷2=2.5（厘米）
3.14×2.52
=3.14×6.25
=19.625（厘米）
19.625×2=39.25（立方厘米）
故选：C。
9．把一个棱长为3分米的正方体铁块熔铸成一个底面积为9平方分米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是（ ）分米。
A．3
B．9
C．18
D．27
【答案】B
【分析】根据体积的意义可知，把正方体铁块熔铸成圆锥形，体积不变，根据正方体的体积公式：V=a3，圆锥的体积公式：V=Sh,那么h=3V÷S，把数据代入公式解答。
【解答】解：33×3÷9
=27×3÷9
=81÷9
=9（分米）
答：这个圆锥形铁块的高是9分米。
故选：B。
10．如图，两个圆柱的体积之差是235.5cm3，如果将这两个圆柱体分别切削成两个最大的圆锥，那么这两个圆锥的体积之差是（ ）
A．等于235.5cm3
B．大于235.5cm3
C．小于235.5cm3
D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【分析】把圆柱切削成最大的圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，等底等高的圆锥的体积是圆柱的，因为两个圆柱的体积之差是235.5立方厘米，所以削成的两个圆锥的一定小于235.5立方厘米。据此解答即可。
【解答】解：削成圆锥的体积是圆柱体积的，因为两个圆柱的体积之差是235.5立方厘米，所以削成的两个圆锥的体积之差一定小于235.5立方厘米。
故选：C。
11．一个圆柱形容器底面积是 240cm2，高20cm,原来水面高度是8cm,分别往该容器内完全浸没不同物体后，水面高度均上升至10cm（如图）。比较浸没物体的体积，下面说法正确的是（ ）
A．正方体大
B．圆锥大
C．圆柱大
D．一样大
【答案】D
【分析】通过观察图形，把正方体、圆锥、圆柱放入容器中，上升部分水的体积就等于放入物体的体积，所以正方体、圆锥、圆柱的体积相同，据此解答即可。
【解答】解：240×（10-8）
=240×2
=480（立方厘米）
所以三个物体的体积相同，都是480立方厘米。
故选：D。
12．一根圆柱形木料的底面半径是2厘米，长是40厘米。如图所示，将它截成5段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（ ）平方厘米。
A．200.96
B．100.48
C．80
D．50.24
【答案】B
【分析】通过观察图形可知，把这根圆柱形木料横截成5段，表面积比原来增加8个截面的面积，根据圆的面积公式：S=πr2，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×22×8
=3.14×4×8
=12.56×8
=100.48（平方厘米）
答：这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了100.48平方厘米。
故选：B。
二．填空题（共5小题）
13．把一张边长为16厘米的正方形卡纸围成一个最大的圆柱形纸筒。这个纸筒的侧面积是 ______平方分米。
【答案】2.56。
【分析】根据圆柱的侧面展开图的特点，正方形的面积正好是这个圆柱体的侧面积，利用正方形的面积公式即可解答。
【解答】解：16厘米=1.6分米
1.6×1.6=2.56（平方分米）
答：这个纸筒的侧面积是2.56平方分米。
故答案为：2.56。
14．把一根长6米的圆柱形木料锯成两段后，表面积增加1.6平方米。原来这根圆柱形木料的体积是 ______立方米。
【答案】4.8。
【分析】根据题意可知，把这根圆柱形木料横截成两段后，表面积增加两个底面的面积，据此可以求出一个底面的面积，再根据圆柱的体积=底面积×高，把数据代入公式解答。
【解答】解：1.6÷2×6
=0.8×6
=4.8（立方米）
答：原来这根圆柱形木料的体积是4.8立方米。
故答案为：4.8。
15．把底面周长是18.84厘米、高为10厘米的圆柱切成若干份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的底面积是 ______平方厘米，高是 ______厘米，体积是 ______立方厘米。
【答案】28.26，10，282.6，282.6。
【分析】由题意知：把圆柱切拼成一个近似的长方体后，底面积、高及体积都没有变，只有表面积比原来的圆柱体多了两个长方形的面积，而这两个长方形的长跟圆柱的高相等，宽跟圆柱的底面半径相等；所以，要求长方体的体积，根据圆柱的体积公式V=πr2h求得圆柱体的体积即可。
【解答】解：长方体的底面积是：
3.14×（18.84÷3.14÷2）2
=3.14×9
=28.26（平方厘米）
高是10厘米，
体积是：3.14×（18.84÷3.14÷2）2×10
=3.14×9×10
=282.6（立方厘米）
答：这个长方体的底面积是28.26平方厘米，高是10厘米，体积是282.6立方厘米；圆柱的体积是282.6立方厘米。
故答案为：28.26，10，282.6，282.6。
16．一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米．以4厘米的直角边为轴旋转1周，所得到的立体图形是______，它的体积是______立方厘米．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知，以直径三角形的一条直角边（4厘米）为锥旋转一周得到一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：V=πr2h,把数据代入公式解答．
【解答】解：×3.14×32×4
=3.14×9×4
=37.68（立方厘米）
答：得到的立体图形是圆锥，它的体积是37.68立方厘米．
故答案为：圆锥、37.68．
17．把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱（如图1），表面积增加了40cm2；若把这个圆柱从中间切成两个圆柱（如图2），表面积就会增加25.12cm2。这个圆柱的表面积是 ______cm2，体积是 ______cm3。
【答案】87.92，62.8立方厘米。
【分析】通过观察图1可知，把这个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径；若把这个圆柱从中间切成两个圆柱（如图2），表积就会增加25.12平方厘米，表面积增加的是与圆柱底面相等的两个切面的面积，据此可以求出一个切面（圆柱的底面）的面积，根据圆的面积公式：S=πr2，可以求出圆柱的底面半径，进而求出圆柱的高，然后根据圆柱的表面积公式：S表=S侧+S底×2，圆柱的体积公式：V=Sh,把数据代入公式解答。
【解答】解：设圆柱的底面半径为r厘米，
圆柱的底面积：25.12÷2=12.56（平方厘米）
3.14×r2=12.56
314×r2÷3.14=12.56÷3.14
r2=4
r=2
圆柱的高：
40÷2÷（2×2）
=20÷4
=5（厘米）
表面积：
2×3.14×2×5+12.56×2
=12.56×5+25.12
=62.8+25.12
=87.92（平方厘米）
体积：
12.56×5=62.8（立方厘米）
答：这个圆柱的表面积是87.92平方厘米，体积是62.8立方厘米。
故答案为：87.92，62.8。
三．计算题（共3小题）
18．求下面图形的表面积和体积。
【答案】533.8平方厘米，665.68立方厘米。
【分析】图形的表面积是大圆柱的表面积加上小圆柱的表面积减去小圆柱的一个底面积；图形的体积是大圆柱的体积加上小圆柱的体积。
【解答】解：表面积：3.14×（14÷2）2×2+3.14×14×4+3.14×4×4
=3.14×49×2+3.14×14×4+3.14×4×4
=3.14×（49×2+14×4+4×4）
=3.14×（98+56+16）
=3.14×170
=533.8（平方厘米）
体积：3.14×（14÷2）2×4+3.14×（4÷2）2×4
=3.14×49×4+3.14×4×4
=3.14×（49×4+4×4）
=3.14×（196+16）
=3.14×212
=665.68（立方厘米）
19．有一个半圆柱形的木块（如图），求它的表面积和体积。
【答案】464cm2，588.75cm3。
【分析】依据题意结合图示可知，木块的表面积等于直径是10厘米的圆的面积加上直径是10厘米，高是15厘米的圆柱侧面积的一半，再加上长是15厘米，宽是10厘米的长方形的面积，木块的体积等于圆柱的体积的一半，由此解答本题。
【解答】解：10×15+3.14×（10÷2）2+3.14×10×15÷2
=150+78.5+235.5
=464（cm2）
3.14×（10÷2）2×15÷2
=3.14×25×15÷2
=588.75（cm3）
答：木块的表面积是464cm2，体积是588.75cm3。
20．计算下面圆柱的表面积和体积，圆锥的体积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的体积=底面积×高，把数据分别代入公式解答．
（2）根据圆锥的体积公式：V=r2h,把数据代入公式解答．
【解答】解：（1）3.14×5×2×13+3.14×52×2
=31.4×13+3.14×25×2
=408.2+157
=565.2（平方分米）；
3.14×52×13
=3.14×25×13
=78.5×13
=1020.5（立方分米）；
答：这个圆柱的表面积是565.2平方分米，体积是1020.5立方分米．
（2）3.14×82×15
=3.14×64×15
=1004.8（立方厘米）；
答：这个圆锥的体积是1004.8立方厘米．
四．应用题（共5小题）
21．一个从里面量底面直径是10厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是9厘米，底面半径是4厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，当铅锤从水中取出后，这时水面下降了多少厘米？
【答案】1.92厘米。
【分析】圆锥体积=底面积×高，把数据代入公式求出圆锥形铁块的体积，然后用圆锥形铁块的体积除以圆柱形容器的底面积即可。
【解答】解：
=3.14×16×3÷[3.14×25]
=50.24×3÷78.5
=150.72÷78.5
=1.92（厘米）
答：这时水面下降了1.92厘米。
22．把一个底面积是16dm2，高是6dm的圆柱形钢材熔铸成一个底面积是18dm2的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知：把圆柱形钢材铸成圆锥体，只是形状变了，但体积不变，首先根据圆柱的体积公式：V=Sh,求出圆柱形钢材的体积，再根据圆锥的体积公式：V=Sh,那么h=3V÷S，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：16×6×3÷18
=288÷18
=16（dm）
答：这个圆锥的高是16分米．
23．如图，一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为8cm,高为12cm。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5cm,铅锤的高为3cm,这个铅锤的底面积是多少平方厘米？
【答案】25.12平方厘米。
【分析】根据题意可知，把圆锥形铅锤放入圆柱形容器，上升部分水的体积就等于这个铅锤的体积，根据圆柱的体积公式：V=πr2h,圆锥的体积公式：VSh,那么S=3V÷h,把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×（8÷2）2×0.5×3÷3
=3.14×16×0.5×3÷3
=25.12×3÷3
=25.12（平方厘米）
答：这个铅锤的底面积是25.12平方厘米。
24．一个圆柱形茶叶筒的底面直径是10厘米，高是15厘米，它的侧面有精美的包装纸。
（1）侧面包装纸的面积有多大？
（2）这个茶叶筒的体积是多少立方厘米？
【答案】（1）471平方厘米；（2）1177.5立方厘米。
【分析】（1）求侧面包装纸的面积就是求圆柱的侧面积，将数据代入圆柱的侧面积公式：S侧=πdh计算即可；
（2）将数据代入圆柱的体积公式：V=πr2h计算即可。
【解答】解（1）3.14×10×15
=31.4×15
=471（平方厘米）
答：侧面包装纸的面积是471平方厘米。
（2）3.14×（10÷2）2×15
=3.14×52×15
=3.14×25×15
=78.5×15
=1177.5（立方厘米）
答：这个茶叶筒的体积是1177.5立方厘米。
25．在“五一”小长假里，小平和小天到厦门鼓浪屿游玩。他们用一样的钱给自己的妈妈买了一个圆锥形贝壳工艺品（如图）。
（1）这个贝壳工艺品的体积是多少立方厘米？
（2）小平和小天都带了一些钱，他们带的钱的比是5：3，买了贝壳工艺品后，小平的钱还剩360元，小天还剩120元。小天带了多少钱？
【答案】（1）157立方厘米；（2）360元。
【分析】（1）从图中可知，这个圆锥形贝壳工艺品的底面直径是10厘米，高是6厘米；根据圆锥的体积公式V=πr2h,求出这个贝壳工艺品的体积。
（2）已知小平和小天带的钱的比是5：3，他们买的贝壳工艺品的价钱一样，所以两人剩下的钱的比仍是5：3，即小平剩下的钱占5份，小天剩下的钱占3份，相差（5-3）份；已知小平的钱还剩360元，小天还剩120元，两个剩下的钱相差（360-120）元，用相差的钱数除以份数差，求出一份数，再乘小天的份数，即可求出小天带的钱数。
【解答】解：（1）×3.14×（10÷2）2×6
=×3.14×25×6
=157（平方厘米）
答：这个贝壳工艺品的体积是157立方厘米。
（2）（360-120）÷（5-3）
=240÷2
=120（元）
120×3=360（元）
答：小天带了360元。
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$$第三讲 圆柱与圆锥
考点 1 圆柱的特征..................................................5
考点 2 圆柱的展开图................................................7
考点 3 圆柱的侧面积和表面积.......................................10
考点 4 圆柱的体积.................................................12
考点 5 圆锥的特征.................................................15
考点 6 圆锥的体积.................................................18
1．圆柱的特征
圆柱就是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的．它的底面是完全相同的两
考点目录
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位置
考点回顾
个圆，侧面是一个曲面．
2．圆柱的展开图
圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或
正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高．
3．圆柱的侧面积和表面积
圆柱的表面积=侧面积+2个底面积
侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周
长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表
面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积=侧面积+2个底面积
圆柱的侧面积=底面的周长×高，用字母表示：
S 侧=Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或 S 侧=2πrh
圆柱的底面积=πr2
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，用字母表示：
S 表=2πr2+2πrh
4.圆柱的体积
若一个圆柱底面半径为 r，高为 h，则圆柱的体积为 V=πr2h
5.圆锥的特征
圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个
曲面．
6.圆锥的体积
圆锥体积=
1
3
×底面积×高，用字母表示：
V=
1
3
Sh=
1
3
πr2h，（S表示底面积，h表示高）
圆柱的侧面积=底面的周长×高，用字母表示：
S 侧=Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或 S 侧=2πrh
圆柱的底面积=πr2
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，用字母表示：
S 表=2πr2+2πrh
若一个圆柱底面半径为 r，高为 h，则圆柱的体积为 V=πr2h
圆锥体积=
1
3
×底面积×高，用字母表示：
V=
1
3
Sh=
1
3
πr2h，（S表示底面积，h表示高）
考点 1 圆柱的特征
例 1（2025 春•太原期中）一个高是 6 厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，
方法归纳
典例
说明这个圆柱的（ ）也是 6厘米。
A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定
【答案】B
【分析】一个直放的圆柱，从正面（或侧面）看到的是一个长为圆柱底面直径，
宽为圆柱高的长方形，一个高 6厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，说明这
个圆柱底面直径也是 6厘米。
【解答】解：一个高是 6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆
柱的底面直径也是 6厘米。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是圆柱的特征，一个高 6厘米的圆柱从正面看正好是一
个正方形，也就是沿这个圆柱的底面直径剖开是一个正方形，高 6厘米，底面直
径也是 6厘米。
例 2（2024春•赤坎区校级期中）下列哪个物体是圆柱形的？（ ）
A．篮球 B．乒乓球 C．铅笔 D．粉笔
【答案】D
【分析】圆柱就是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的．它的底面是完全相同
的两个圆，侧面是一个曲面，据此选择即可。
【解答】解：是圆柱形的是粉笔。
故选：D。
【点评】本题主要考查了圆柱的特征，要熟练掌握。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
【变式练 1】（2024•镇安县）下列图形中，以直线为轴旋转一圈，可以形成圆
柱的是（ ）
A． B． C．
【变式练 2】（2024•防城港）用一张长方形纸通过下面（ ）方式旋转，得
到底面直径是 6cm,高是 9cm的圆柱。
A． B． C． D．
【变式练 3】（2024春•麻章区校级期中）圆柱有 ______个面，其中 ______个
面是圆的，叫作圆柱的底面。
【变式练 4】（2024•平昌县）如图所示，转动长方形 ABCD，生成右边的圆柱。
完成下面的填空。
圆柱是以长方形的 ______边为轴旋转而成的，底面半径是 ______cm,高是
______cm。
【变式练 5】（2025春•微山县期中）圆柱有无数条高． ______． （判断对错）
【变式练 6】（2024春•晋源区期中）将圆柱截成两个相等的部分，截面一定是
两个完全一样的圆面。 ______（判断对错）
考点 2 圆柱的展开图
例 1（2025春•安丘市期中）一个圆柱底面直径和高都是 4.5厘米，侧面沿高展
开后是一个（ ）
A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆形
【答案】A
【分析】根据圆柱侧面展开的特征可知，当一个圆柱底面直径和高都是 4.5厘米，
侧面沿高展开后是一个长等于底面周长、宽等于圆柱高的长方形。据此解答。
【解答】解：一个圆柱底面直径和高都是 4.5厘米，侧面沿高展开后是一个长方
形。
故选：A。
【点评】本题主要考查圆柱侧面展开图的特征。
例 2（2025春•陇县期中）下面圆柱展开图正确的是（ ）（单位：cm）
典例
A ．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】圆柱展开图，上、下底是两个相同的圆，侧面是长（或宽）为圆柱底面
周长，宽（或长）为圆柱高的长方形。根据圆周长计算公式“C=πd”分别计算
出各选项的底面周长，再与标出的侧面长（或宽）作比较即可作出选择。
【解答】解：A、3.14×4=12.56（cm）
圆柱的侧面长为 12.56cm。不符合题意；
B、3.14×6=18.84（cm）
圆柱的侧面长为 18.84cm。符合题意；
C、3.14×2=6.28（cm）
圆柱的侧面长为 6.28cm。不符合题意；
D、3.14×8=25.12（cm）
圆柱的侧面长为 25.12cm。不符合题意。
故选：B。
【点评】首先根据圆周长计算公式分别计算出各展开图的底面周长，再看与标出
的侧面的长（或宽）是否相等。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
【变式练1】（2024春•福清市期中）下面最有可能是圆柱的平面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式练 2】（2024•盐城）一种圆柱形的罐头，它的侧面有一张商标纸，沿着
高把商标纸剪开（如图），展开后是（ ）
A．长方形 B．三角形 C．梯形 D．平行四边形
【变式练 3】（2024春•双流区期中）一个底面周长为 12cm的圆柱的侧面展开后
是一个正方形，这个圆柱的高是 ______cm,这个正方形的面积是 ______cm2。
【变式练 4】（2025春•周至县期中）如图，一个圆柱形收纳盒底面半径是 4厘
米，高是 18厘米，把侧面包装纸展开后是一个长方形，这个长方形的长是 ______
厘米，宽是 ______厘米。
【变式练 5】（2024•洛南县）圆柱的侧面展开后一定是长方形． ______．（判
断对错）
【变式练 6】（2024春•巧家县校级期中）圆柱的侧面展开后不可能是正方
形．______．
考点 3 圆柱的侧面积和表面积
例 1（2024•黄埔区）一个底面直径为 20cm、长为 50cm 的圆柱形通风管（如图），
在地面上滚动一周，滚过的面积是（ ）
A．314cm2 B．3140cm2 C．3768cm2 D．1570cm2
【答案】B
【分析】圆柱形通风管在地面上滚动一周，求滚过的面积是多少，是求这个圆柱
形通风管的侧面积。根据侧面积=底面周长×高计算。
【解答】解：3.14×20×50=3140（cm2）
答：滚过的面积是 3140cm2。
故选：B。
【点评】本题解答的关键是把实际问题转化为求圆柱体侧面积的数学问题。
例 2（2024春•三原县期中）把一个底面直径是 5cm的圆柱切成两个小圆柱，表
典例
面积增加了（ ）cm2。
A．78.5 B．31.4 C．39.25 D．62.8
【答案】C
【分析】把一个圆柱切成两个小圆柱，增加的表面积是两个底面圆的面积。我们
需要根据圆的面积公式 S=πr2 （其中 r为半径）来计算增加的表面积。
【解答】解：5÷2=2.5（厘米）
3.14×2.52
=3.14×6.25
=19.625（厘米）
19.625×2=39.25（立方厘米）
故选：C。
【点评】本题考查圆柱的表面积的计算以及实际应用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
圆柱的侧面积=底面的周长×高，用字母表示：
S 侧=Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或 S 侧=2πrh
圆柱的底面积=πr2
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，用字母表示：
S 表=2πr2+2πrh
【变式练 1】（2024春•化州市期中）一个圆柱，底面直径和高都是 2分米，这
个圆柱的表面积是（ ）平方分米．
A．6π B．5π C．4π D．2π
【变式练 2】（2024•孟村县模拟）一根圆柱形木料的底面半径是 0.5dm,长是
2m。如图所示，将它截成 4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了
（ ）
A．0.471平方米 B．47.1平方分米
C．471平方厘米 D．471平方分米
【变式练 3】（2025春•裕华区期中）清康熙五彩竹纹笔筒近似圆柱形，高是
14.2cm,底面直径是 18cm,外壁一面绘墨竹两枝，竹枝于黑彩外又润以绿彩和赭
石色少许，外壁的面积约是 ______cm2。
【变式练 4】（2024春•长丰县期中）如图，把底面半径为 4厘米的圆柱切成若
干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加 80 平方厘米，
那么长方体的高是 ______厘米。
【变式练 5】（2024春•泾阳县期中）计算如图所示立体图形的表面积：
【变式练 6】（2023•随州）如图，在一个长方体木块中挖了一个圆柱形的洞，
求这个物体的表面积。（单位：cm）
考点 4 圆柱的体积
例 1（2025春•钢城区期中）由一个正方体木块加工成的最大圆柱，它的底面直
径是 20厘米，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。
A．8000 B．4000 C．1000
典例
【答案】A
【分析】根据题意可知，把一个正方体加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面
直径和高都等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：V=a3，把数据代入公式
解答。
【解答】解：20×20×20
=400×20
=8000（立方厘米）
答：这个正方体的体积是 8000立方厘米。
故选：A。
【点评】此题主要考查了正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，结合题
意分析解答即可。
例 2（2025春•梁溪区期中）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的
数学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水
（如图），根据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）
A．
7
9
B．
4
5
C．
7
10
D．
7
8
【答案】A
【分析】根据图可知，瓶子的底面积是相同的，由于瓶子的容积=水的体积+空白
部分的体积，可以设瓶子的底面积为 S，根据圆柱的体积=底面积×高，则水的
体积是：14S，瓶子的容积是：14S+（20-16）S=14S+4S=18S，根据一个数是另一
个数的几分之几，用 14S÷18S，据此即可解答。
【解答】解：由分析可知：设瓶子的底面积为 S。
14S+（20-16）S
=14S+4S
=18S
14S÷18S=
7
9
答：可得瓶中水的体积占瓶子容积的
7
9
。
故选：A。
【点评】本题主要考查圆柱的体积公式以及一个数是另一个数的几分之几的计算
方法，熟练掌握它的公式以及运算方法并灵活运用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
若一个圆柱底面半径为 r，高为 h，则圆柱的体积为 V=πr2h
【变式练 1】（2024春•巨野县期中）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们体积
差是 20立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。
A．40 B．30 C．20 D．15
【变式练 2】（2024•大埔县）一个圆柱的底面半径扩大到原来的 3 倍，高不变，
体积扩大到原来的（ ）
A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．27倍
【变式练 3】（2024春•化州市校级期中）把一个棱长为 4厘米的正方体削成一
个最大的圆柱，这个圆柱的体积是 ______立方厘米。
【变式练 4】（2024春•临县期中）如图所示是一个饮料瓶（瓶身为圆柱形），
已知瓶子的底面积是 20cm2。根据图中的数据（单位：cm），计算出瓶子的容积
是 ______cm3。
【变式练 5】（2023•巴南区）计算如图物体的体积（π取 3.14）。
【变式练 6】（2024春•灌云县期中）计算如图立体图形的体积。
考点 5 圆锥的特征
例 1（2025春•海口期中）将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个（ ）
三角形。
A．等边 B．直角 C．锐角 D．等腰
【答案】D
【分析】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余
两边旋转形成的面所围成的旋转体叫作圆锥。因此将圆锥沿着它的高平均切成两
半，截面是一个等腰三角形。
【解答】解：将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个等腰三角形。
故选：D。
【点评】此题主要考查圆锥的认识，考查目的是让学生牢固掌握圆锥的特征。
典例
例 2（2025春•潍坊期中）如图 1，在边长是 4厘米的铁皮上剪下了一个圆形和扇
形，使之恰好围成了图2所示的一个圆锥模型，那么围成的圆锥底面半径是（ ）
厘米。
A．1 B．2 C．4 D．16
【答案】A
【分析】根据题意，结合圆锥的特征可知，圆锥的侧面展开所得弧长等于底面周
长，据此计算其底面半径即可。
【解答】解：3.14×4×2÷4÷3.14÷2
=6.28÷3.14÷2
=1（厘米）
答：围成的圆锥底面半径是 1厘米。
故选：A。
【点评】本题主要考查圆锥的特征及应用。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
【变式练 1】（2024•朝天区）如图，以直角三角形 ABC的直角边 AB为轴旋转一
周后得到的圆锥的底面直径是（ ）cm。
A．6 B．8 C．16 D．12
【变式练 2】（2024•河西区）妙想要测量圆锥的高，下面四种方法中正确的是
（ ）
A． B．
C．
D．
【变式练 3】（2024•青秀区）李师傅将一个底面半径为 2分米、高为 6分米的
圆锥从顶点沿着高切成两半（如图），切开后的切面呈现 ______形，这个切面
的底为 ______分米，高为 ______分米。
【变式练 4】（2024•鼓楼区）如图，在正方形卡纸上剪下的一个圆和一个扇形
恰好围成一个圆锥模型，如果圆的半径为 r,扇形的半径为 R，那么 R是 r的
______倍。
【变式练 5】（2025春•临沂期中）从圆锥的顶点到底面周长上任一点的距离是
圆锥的高．______． （判断对错）
【变式练 6】（2025 春•南京期中）有一个圆锥形的模具，底面直径是 16 厘米，
高是 1分米，沿着底面直径切开，表面积增加 80平方厘米。 ______（判断对错）
考点 6 圆锥的体积
例 1（2025春•莱西市期中）已知圆柱和圆锥体积和高相等，如果圆锥的底面积
是 9平方米，则圆柱的底面积是（ ）
A．27平方米 B．3平方米 C．18平方米
【答案】B
【分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的
1
3
，一个圆柱和一个圆锥的体
积和高都相等，圆锥的底面积是 S平方米，那么圆柱的底面积是
1
3
S平方米。
【解答】解：根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，一个圆柱和一个圆锥的
体积和高都相等，圆锥的底面积是 9平方米，那么圆柱的底面积是：
1
3
×9=3（平
方米）
典例
故选：B。
【点评】理解和掌握等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的
1
3
，根据这一关系进行
解答。
例 2（2025春•钢城区期中）圆锥的底面积扩大到原来的 3倍，高也扩大到原来
的 3倍，则体积扩大到原来的（ ）倍。
A．3 B．27 C．9
【答案】C
【分析】根据圆锥的体积=底面积×高÷3，解答此题即可。
【解答】解：3×3=9
答：体积扩大到原来的 9倍。
故选：C。
【点评】熟练掌握圆锥的体积公式，是解答此题的关键。
◊ ◊ 点拨 ◊ ◊
圆锥体积=
1
3
×底面积×高，用字母表示：
V=
1
3
Sh=
1
3
πr2h，（S表示底面积，h表示高）
【变式练 1】（2024 春•凉州区期中）一个圆锥的体积是 12cm3，底面积是 4cm2，
高是（ ）
A．3 B．6 C．9
【变式练 2】（2024春•石城县期中）如图，两个圆柱的体积之差是 235.5cm3，
如果将这两个圆柱体分别切削成两个最大的圆锥，那么这两个圆锥的体积之差是
（ ）
A．等于 235.5cm3 B．大于 235.5cm3
C．小于 235.5cm3 D．以上三种情况都有可能
【变式练 3】（2024春•海门区期中）圆锥形容器中有 10升水，水的高度是圆锥
高度的一半，这个容器还能装（ ）升水。
A．20 B．80 C．40 D．70
【变式练 4】（2025春•福田区期中）一个圆锥的体积是 75.36cm3，这个圆锥的
底面直径是 6cm,高是 ______cm。
【变式练 5】（2025春•武义县期中）一个圆柱与一个圆锥的底面积之比是 1：
4，高之比是 2：3，那么圆柱与圆锥的体积之比是 ______。
【变式练 6】（2023春•新会区校级期中）求圆锥的体积。（单位：厘米）
【变式练 7】（2023春•同江市期中）求如图正方体挖去最大的圆锥后剩下的体
积。（单位：厘米）
第三讲 圆柱与圆锥 强化训练
一．选择题（共12小题）
1．用一块长25.12厘米，宽18.84厘米的长方形铁皮，配上下面（ ）圆形铁片正好可以做成最大的圆柱形容器．（单位；厘米）
A． r=1
B． d=3
C． r=4
D． d=6
2．把圆柱形的纸筒沿一条直线剪开，不可能得到的平面图形是（ ）
A．长方形
B．正方形
C．平行四边形
D．三角形
3．用两张完全相同的长方形纸，分别卷成两个不同的圆柱形纸筒，圆柱①和圆柱②的侧面积相比，（ ）
A．一样大
B．圆柱①大
C．圆柱②大
D．无法比较
4．手工课上，同学们用两个完全一样的小圆柱拼成一个高4dm的大圆柱（如图），但表面积减少了8πdm2。原来一个小圆柱的体积是（ ）dm3。
A．8π
B．16π
C．32π
D．64π
5．一个圆柱体杯中盛满15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中还有（ ）水．
A．5升
B．7.5升
C．10升
D．9升
6．把一段圆柱木材按2：3：4的比截成3个圆柱，并分别加工成最大的圆锥，三个圆锥的体积之和是原来这段木材体积的（ ）
A．
B．
C．
D．
7．用如图的方法测量圆锥，量出的长度是5cm,圆锥的高（ ）
A．大于5cm
B．小于5cm
C．等于5cm
D．无法确定
8．把一个底面直径是5cm的圆柱切成两个小圆柱，表面积增加了（ ）cm2。
A．78.5
B．31.4
C．39.25
D．62.8
9．把一个棱长为3分米的正方体铁块熔铸成一个底面积为9平方分米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是（ ）分米。
A．3
B．9
C．18
D．27
10．如图，两个圆柱的体积之差是235.5cm3，如果将这两个圆柱体分别切削成两个最大的圆锥，那么这两个圆锥的体积之差是（ ）
A．等于235.5cm3
B．大于235.5cm3
C．小于235.5cm3
D．以上三种情况都有可能
11．一个圆柱形容器底面积是 240cm2，高20cm,原来水面高度是8cm,分别往该容器内完全浸没不同物体后，水面高度均上升至10cm（如图）。比较浸没物体的体积，下面说法正确的是（ ）
A．正方体大
B．圆锥大
C．圆柱大
D．一样大
12．一根圆柱形木料的底面半径是2厘米，长是40厘米。如图所示，将它截成5段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（ ）平方厘米。
A．200.96
B．100.48
C．80
D．50.24
二．填空题（共5小题）
13．把一张边长为16厘米的正方形卡纸围成一个最大的圆柱形纸筒。这个纸筒的侧面积是 ______平方分米。
14．把一根长6米的圆柱形木料锯成两段后，表面积增加1.6平方米。原来这根圆柱形木料的体积是 ______立方米。
15．把底面周长是18.84厘米、高为10厘米的圆柱切成若干份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的底面积是 ______平方厘米，高是 ______厘米，体积是 ______立方厘米。
16．一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米．以4厘米的直角边为轴旋转1周，所得到的立体图形是______，它的体积是______立方厘米．
17．把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱（如图1），表面积增加了40cm2；若把这个圆柱从中间切成两个圆柱（如图2），表面积就会增加25.12cm2。这个圆柱的表面积是 ______cm2，体积是 ______cm3。
三．计算题（共3小题）
18．求下面图形的表面积和体积。
19．有一个半圆柱形的木块（如图），求它的表面积和体积。
20．计算下面圆柱的表面积和体积，圆锥的体积．
四．应用题（共5小题）
21．一个从里面量底面直径是10厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是9厘米，底面半径是4厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，当铅锤从水中取出后，这时水面下降了多少厘米？
22．把一个底面积是16dm2，高是6dm的圆柱形钢材熔铸成一个底面积是18dm2的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？
23．如图，一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为8cm,高为12cm。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5cm,铅锤的高为3cm,这个铅锤的底面积是多少平方厘米？
24．一个圆柱形茶叶筒的底面直径是10厘米，高是15厘米，它的侧面有精美的包装纸。
（1）侧面包装纸的面积有多大？
（2）这个茶叶筒的体积是多少立方厘米？
25．在“五一”小长假里，小平和小天到厦门鼓浪屿游玩。他们用一样的钱给自己的妈妈买了一个圆锥形贝壳工艺品（如图）。
（1）这个贝壳工艺品的体积是多少立方厘米？
（2）小平和小天都带了一些钱，他们带的钱的比是5：3，买了贝壳工艺品后，小平的钱还剩360元，小天还剩120元。小天带了多少钱？
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$$第三讲 圆柱与圆锥 强化训练
一．选择题（共 12 小题）
1．用一块长 25.12厘米，宽 18.84厘米的长方形铁皮，配上下面（ ）圆形铁
片正好可以做成最大的圆柱形容器．（单位；厘米）
A． r=1 B． d=3
C． r=4 D． d=6
2．把圆柱形的纸筒沿一条直线剪开，不可能得到的平面图形是（ ）
A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．三角形
3．用两张完全相同的长方形纸，分别卷成两个不同的圆柱形纸筒，圆柱①和圆柱
②的侧面积相比，（ ）
A．一样大 B．圆柱①大 C．圆柱②大 D．无法比较
4．手工课上，同学们用两个完全一样的小圆柱拼成一个高 4dm的大圆柱（如
图），但表面积减少了 8πdm2。原来一个小圆柱的体积是（ ）dm3。
A．8π B．16π C．32π D．64π
5．一个圆柱体杯中盛满 15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中
还有（ ）水．
A．5升 B．7.5升 C．10升 D．9升
6．把一段圆柱木材按 2：3：4的比截成 3个圆柱，并分别加工成最大的圆锥，三
个圆锥的体积之和是原来这段木材体积的（ ）
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
6
7．用如图的方法测量圆锥，量出的长度是 5cm,圆锥的高（ ）
A．大于 5cm B．小于 5cm C．等于 5cm D．无法确定
8．把一个底面直径是 5cm的圆柱切成两个小圆柱，表面积增加了（ ）cm2。
A．78.5 B．31.4 C．39.25 D．62.8
9．把一个棱长为 3分米的正方体铁块熔铸成一个底面积为 9平方分米的圆锥形铁
块，这个圆锥形铁块的高是（ ）分米。
A．3 B．9 C．18 D．27
10．如图，两个圆柱的体积之差是 235.5cm3，如果将这两个圆柱体分别切削成两
个最大的圆锥，那么这两个圆锥的体积之差是（ ）
A．等于 235.5cm3 B．大于 235.5cm3
C．小于 235.5cm3 D．以上三种情况都有可能
11．一个圆柱形容器底面积是 240cm2，高 20cm,原来水面高度是 8cm,分别往该容
器内完全浸没不同物体后，水面高度均上升至 10cm（如图）。比较浸没物体的体
积，下面说法正确的是（ ）
A．正方体大 B．圆锥大 C．圆柱大 D．一样大
12．一根圆柱形木料的底面半径是 2厘米，长是 40厘米。如图所示，将它截成 5
段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（ ）平方厘米。
A．200.96 B．100.48 C．80 D．50.24
二．填空题（共 5 小题）
13．把一张边长为 16厘米的正方形卡纸围成一个最大的圆柱形纸筒。这个纸筒的
侧面积是 ______平方分米。
14．把一根长 6米的圆柱形木料锯成两段后，表面积增加 1.6平方米。原来这根圆
柱形木料的体积是 ______立方米。
15．把底面周长是 18.84厘米、高为 10厘米的圆柱切成若干份，拼成一个近似的
长方体，这个长方体的底面积是 ______平方厘米，高是 ______厘米，体积是
______立方厘米。
16．一个直角三角形的两条直角边分别是 3厘米和 4厘米．以 4厘米的直角边为轴
旋转 1周，所得到的立体图形是______，它的体积是______立方厘米．
17．把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱（如图 1），表面积增加了 40cm2；若
把这个圆柱从中间切成两个圆柱（如图 2），表面积就会增加 25.12cm2。这个圆柱
的表面积是 ______cm2，体积是 ______cm3。
三．计算题（共 3 小题）
18．求下面图形的表面积和体积。
19．有一个半圆柱形的木块（如图），求它的表面积和体积。
20．计算下面圆柱的表面积和体积，圆锥的体积．
四．应用题（共 5 小题）
21．一个从里面量底面直径是 10厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是 9
厘米，底面半径是 4厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，当铅锤从水中取出后，这
时水面下降了多少厘米？
22．把一个底面积是 16dm2，高是 6dm的圆柱形钢材熔铸成一个底面积是 18dm2的
圆锥，这个圆锥的高是多少分米？
23．如图，一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为 8cm,高为 12cm。把一
个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了 0.5cm,铅锤的高为 3cm,这
个铅锤的底面积是多少平方厘米？
24．一个圆柱形茶叶筒的底面直径是 10厘米，高是 15厘米，它的侧面有精美的包
装纸。
（1）侧面包装纸的面积有多大？
（2）这个茶叶筒的体积是多少立方厘米？
25．在“五一”小长假里，小平和小天到厦门鼓浪屿游玩。他们用一样的钱给自己
的妈妈买了一个圆锥形贝壳工艺品（如图）。
（1）这个贝壳工艺品的体积是多少立方厘米？
（2）小平和小天都带了一些钱，他们带的钱的比是 5：3，买了贝壳工艺品后，小
平的钱还剩 360元，小天还剩 120元。小天带了多少钱？
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