专题6.11 多边形的内角和与外角和（精选精练）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
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内容正文：
专题6.11 多边形的内角和与外角和（精选精练）（专项练习）
1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求）
1．（2025·江苏扬州·一模）“任意画出一个多边形，外角和是”这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键：在一定条件下一定会发生的事件是必然事件．
利用多边形外角和定理结合必然事件的定义进行求解即可．
解：“任意画出一个多边形，外角和是”这是一定会发生的，是必然事件，
故选B．
2．（21-22八年级下·四川成都·期末）雷峰塔位于杭州市西湖风景区南岸夕照山的雷峰上，它远借西湖，邻借古刹，晚借夕阳，朝借钟声，水、光、声、色俱全，绝妙无比，是杭州的风景名胜建筑．雷锋塔底呈平面八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
【答案】C
【分析】利用多边形内角和等于（n-2）×180°（n大于等于3且n为整数）求解即可．
解：∵多边形内角和等于（n-2）×180°，
∴当是，内角和为：，
故选：C．
【点拨】本题考查多边形内角和定理，解题的关键是熟知多边形内角和等于（n-2）×180°．
3．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值．
解：设这个内角度数为，边数为，
则，
，
∵为正整数，，
∴，
∴这个内角度数为．
故选：C．
4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，是四边形的对角线，且四边形的内角和为，与的内角和相加为n，则（ ）
A． B． C． D．无法比较m，n大小关系
【答案】B
【分析】本题考查了多边形内角和与三角形内角和，掌握多边形内角和公式是解题关键．分别求出、的值比较即可．
解：四边形的内角和为，
，
与的内角和相加为n，
，
，
故选：B．
5．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）小刚在计算一个多边形的内角和时，求得内角和为，检查后发现其中一个内角多算了一次，则这个重复计算的内角度数以及多边形的边数分别为（ ）
A．，6 B．，8 C．，6 D．，8
【答案】B
【分析】本题考查多边形内角和与不等式组的应用，掌握多边形内角和计算公式是解题的关键．
设这个多边形的边数是，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，，因为，，求解即可．
解：设这个多边形的边数是，重复计算的内角的度数是，
∴
∵
∴
解得：
∵n为整数，
∴，
．
故这个重复计算的内角度数为，这个多边形的边数是8．
故选：B．
6．（2025·山西运城·二模）如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是四边形的内角和定理，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得答案．
解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C
7．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）下图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，由题意可得是等边三角形，可得，延长交于点E，则，求出，即正n边形的一个外角是，进而得出这个多边形是十二边形，从而得到答案.
解：如图，由题意可得是等边三角形，
∴，
延长交于点E，则，
∴，即正n边形的一个外角是，
∴这个多边形是边形，
∴正n边形的内角和为；
故选：A.
【点拨】本题考查了正多边形的内角和外角、等边三角形的性质等知识，掌握求解的方法是关键.
8．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形的内角和、多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．设题中的正八边形为正八边形，过点作于点，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得的度数，从而可得的度数，同理可得的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得．
解：如图，设题中的正八边形为正八边形，过点作于点，
∵八边形为正八边形，
∴正八边形的每个内角为，
∵，
∴在五边形中，，
由入射角等于反射角得：，
∴，即，
∴在五边形中，，
同理可得：，
∴在五边形中，，
故选：A．
9．（2024·河北唐山·三模）将正六边形和正方形按如图所示的方式放置，点为正六边形的中心，与交于点，记七边形的面积为，四边形的面积为，五边形的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了正多边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，连接，过点O作于G，证明，求出，再求出和即可判断，正确理解正多边形的性质是解题的关键
解：如图，连接，过点O作于G，
设正六边形的边长为1，
则正六边形的面积为，
∵点为正六边形的中心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴A，B，C均错误，D正确；
故选：D
10．（2022·广西玉林·中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．0
【答案】B
【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．
解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，
∴，
∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处，
连接AE，过点F作FG⊥AE于点G，如图所示：
在正六边形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键．
2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）多边形的每个外角都等于，则此多边从一个顶点出发可作的对角线共有 条
【答案】
【分析】先根据多边形的外角和以及这个多边形每一个外角都是，可求出这个多边形的边数，再根据多边形对角线的定义进行计算即可．
解：多边形的每一个外角都是，
这个多边形是正多边形，且边数为，即这个多边形是正十八边形，
正十八边形从一个顶点出发可以画出条对角线，
故答案为：．
12．（2025年吉林省长春市中考二模数学试题）如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是 ．
【答案】
【分析】此题考查了正多边形的内角与多边形内角和定理、平面镶嵌，先求出第三块正多边形木板的内角，再根据多边形内角和列方程解方程即可．
解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为，
∴第三块正多边形木板的内角为，
设第三块正多边形木板的边数为,
解得，
即第三块木板的边数应是，
故答案为：
13．（2025·吉林·模拟预测）如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正边形一部分．若正边形的两条边所在直线、所夹锐角为．则的值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查正多边形外角和及三角形内角和，熟练掌握正多边形外角和及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而根据正多边形的性质可进行求解．
解：如图，
由题意得：，，
∴，
∴正多边形的边数；
故答案为5．
14．（24-25九年级下·上海·阶段练习）将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两个三角形重叠部分为四边形，根据四边形内角和为360度列式求解即可．
解：如图，
由题意知，，，，，
，
，
，
故答案为：．
15．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键．
由多边形内角和定理得，整理得，则，即可得出结论．
解：由图2可知，，
整理得：，
∴，
故答案为：．
16．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）在某市一个正八边形的广场上每个顶点处安装一个安全监控摄像头（俯视图如图所示），每个摄像头的视野夹角相同，点处的摄像头视野边沿恰好经过点和点，则摄像头的视野夹角的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】本题考查正八边形性质，四边形内角和，等腰三角形性质等．根据题意先计算出正八边形各个内角度数，再计算出和，继而得到，再计算出四边形内角和度数，继而求出本题答案．
解：∵正八边形各个内角度数：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形内角和为，
∴，
故答案为：．
17．（22-23八年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝5，AE＝ED＝6，∠ABC+∠AED＝180°，M为边CD的中点，BM＝7，EM＝8，则五边形ABCDE的面积为
【答案】56
【分析】延长BM到点F，使FM=BM，连接BE，EF，DF，这样就构成了等腰三角形BEF，求五边形的面积就转化成了等腰三角形BEF的面积，等腰三角形BEF的底，高都已知，所以求解即可．
解：如图，延长BM到点F，使FM=BM，连接BE，EF，DF，
在△BMC和△FMD中
，
∴，
∴，．
∵，
，
∴．
∵，
∴，
在△ABE和△DFE中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴五边形ABCDE的面积=
=
=56．
故答案为：56．
【点拨】本题考查的是多边形和等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记有关定理是解题的基础，巧作辅助线构建等腰三角形是解这道题的关键．
18．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）爱好绘画的小明在学习英文时看到这句话：“Heavy is the head who wears the crown．”意思是：“欲戴王冠， 必承其重．”，于是他在画本上绘制出如图的王冠， 已知，，王冠两边、的延长线相交于点O，且， 则 （用含有x的式子表示）．
【答案】
【分析】此题考查了多项式内角和，三角形内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线．
连接，，，，首先得到，，，，然后求出，然后得到，进而求解即可．
解：如图所示，连接，，，
∴，，，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转得，，相交于点．
（1）求和的大小；
（2）若，则直接写出的大小．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键．
（1）先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，由旋转的性质可得，再根据邻补角的定义求出，由四边形内角和为即可解答；
（2）由旋转的性质可得，，再由平行线的性质得，进而推出，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，结合（1）即可求解．
解：（1）解：∵在中，，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴；
（2）解：由旋转的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·湖北孝感·期末）四边形在平面直角坐标系中如图所示，已知，，且满足，，，．
（1）求出的长度及的度数；
（2）求点的坐标；
（3）若点，点是轴上任一点，当为等腰三角形时，请直接写出的度数．
【答案】（1），，；（2）点的坐标为；（3）或或或
【分析】（1）根据条件可得，结合非负数的性质可得，，可得，，再利用四边形的内角和定理可得；
（2）过点D作轴于点H，先得出，再证明，进而得出，，推出，即可得出答案；
（3）分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，利用三角形内角和定理及等边对等角求解即可．
解：（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过点D作轴于点H，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
∴；
①当时，如图所示：
；
；
②当时，如图所示：点P与点O重合，
；
③当时，如图所示：
；
综上可得：的度数为或或或．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，四边形内角和，坐标与图形，利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，正确理解题意，作出图形是解题的关键．
21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·陕西安康·期末）问题提出
（1）如图1，和均为等边三角形，D为边上一个动点，，O为边的中点，连接，当线段最小时，线段的长是 ．
问题解决
（2）如图2，四边形是某学校的健身馆平面图，满足，，小明量出健身馆的对角线米，求四边形健身馆的面积．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）连接，证明，得到，即得，可得点E在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可；
（2）延长到点E，使得，连接，证明，推出，，，可得．
解：（1）如图，连接，
和均为等边三角形，
，，，
，
即，
，
，
，
点E在射线上运动，
当时，有最小值，
此时，
，O为边的中点，
，
，
故答案为：1；
（2）如图，延长到点E，使得，连接，
四边形中，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
即四边形健身馆的面积为．
【点拨】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和等，解题的关键是第一问求出点E的运动轨迹，第二问通过作辅助线构造全等三角形．
22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南郑州·期末）课本再现：
如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果．
（1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来．
类比迁移：
（2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程．
（3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______．
【答案】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，；（2）小明第一次回到O点时所走过的路程为120米；（3）18
【分析】（1）外角的大小不会改变，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画出图形即可．
（2）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得（米）．
（3）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得，解方程即可．
本题考查了多边形的外角性质，外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
解：（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画图如下：
．
（2）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为，
故多边形的周长为：（米）．
（3）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．
（1）如图2，四边形是“对补四边形”，是四边形的一个外角，求证：；
（2）在（1）的条件下，，，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，点G是的中点，过点E作与的延长线相交于点H，连接，，探索与的关系，并证明．
【答案】（1）见分析；（2），，见分析
【分析】本题考查四边形的外角，全等三角形的判定与性质；
（1）根据“对补四边形”可得，再结合外角可得，即可得到；
（2）先证明，得到，再证明得到，，最后根据，得到．
解：（1）证明：∵四边形是“对补四边形”
∴，
∵，
∴；
（2）解：，，证明如下：
∵G为的中点，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∴．．
24．（本小题满分12分）（23-24七年级下·福建泉州·期末）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
（1）已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形 （填序号）
正三角形 正四边形 正五边形 正六边形
（2）小强发现某个花纹用个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图，小强猜想，如果用个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则的值为 ，并简要说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见分析
【分析】本题考查的是平面镶嵌、多边形的内角和公式、解一元一次方程等知识，用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，掌握以上知识是解题的关键．
（1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论；
（2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论．
解：（1）解：正三角形的内角是，，可以密铺，不符合题意；
正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意；
③正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意；
④正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边的每个内角的度数是，
所以，，
解得：，
故答案为：．
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专题6.11 多边形的内角和与外角和（精选精练）（专项练习）
1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求）
1．（2025·江苏扬州·一模）“任意画出一个多边形，外角和是”这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定
2．（21-22八年级下·四川成都·期末）雷峰塔位于杭州市西湖风景区南岸夕照山的雷峰上，它远借西湖，邻借古刹，晚借夕阳，朝借钟声，水、光、声、色俱全，绝妙无比，是杭州的风景名胜建筑．雷锋塔底呈平面八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
3．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，是四边形的对角线，且四边形的内角和为，与的内角和相加为n，则（ ）
A． B． C． D．无法比较m，n大小关系
5．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）小刚在计算一个多边形的内角和时，求得内角和为，检查后发现其中一个内角多算了一次，则这个重复计算的内角度数以及多边形的边数分别为（ ）
A．，6 B．，8 C．，6 D．，8
6．（2025·山西运城·二模）如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）下图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河北唐山·三模）将正六边形和正方形按如图所示的方式放置，点为正六边形的中心，与交于点，记七边形的面积为，四边形的面积为，五边形的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广西玉林·中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．0
2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）多边形的每个外角都等于，则此多边从一个顶点出发可作的对角线共有 条
12．（2025年吉林省长春市中考二模数学试题）如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是 ．
13．（2025·吉林·模拟预测）如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正边形一部分．若正边形的两条边所在直线、所夹锐角为．则的值是 ．
14．（24-25九年级下·上海·阶段练习）将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是 ．
15．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ．
16．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）在某市一个正八边形的广场上每个顶点处安装一个安全监控摄像头（俯视图如图所示），每个摄像头的视野夹角相同，点处的摄像头视野边沿恰好经过点和点，则摄像头的视野夹角的度数为 ．
17．（22-23八年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝5，AE＝ED＝6，∠ABC+∠AED＝180°，M为边CD的中点，BM＝7，EM＝8，则五边形ABCDE的面积为
18．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）爱好绘画的小明在学习英文时看到这句话：“Heavy is the head who wears the crown．”意思是：“欲戴王冠， 必承其重．”，于是他在画本上绘制出如图的王冠， 已知，，王冠两边、的延长线相交于点O，且， 则 （用含有x的式子表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕着点顺时针方向旋转得，，相交于点．
（1）求和的大小；
（2）若，则直接写出的大小．
20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·湖北孝感·期末）四边形在平面直角坐标系中如图所示，已知，，且满足，，，．
（1）求出的长度及的度数；
（2）求点的坐标；
（3）若点，点是轴上任一点，当为等腰三角形时，请直接写出的度数．
21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·陕西安康·期末）问题提出
（1）如图1，和均为等边三角形，D为边上一个动点，，O为边的中点，连接，当线段最小时，线段的长是 ．
问题解决
（2）如图2，四边形是某学校的健身馆平面图，满足，，小明量出健身馆的对角线米，求四边形健身馆的面积．
22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南郑州·期末）课本再现：
如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果．
（1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来．
类比迁移：
（2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程．
（3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______．
23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．
（1）如图2，四边形是“对补四边形”，是四边形的一个外角，求证：；
（2）在（1）的条件下，，，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，点G是的中点，过点E作与的延长线相交于点H，连接，，探索与的关系，并证明．
24．（本小题满分12分）（23-24七年级下·福建泉州·期末）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
（1）已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形 （填序号）
正三角形 正四边形 正五边形 正六边形
（2）小强发现某个花纹用个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图，小强猜想，如果用个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则的值为 ，并简要说明理由．
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