1.1 集合的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1集合的概念 01 新课引入 圆的集合定义: 到一个定点的距离等于定长的点的集合; 线段的垂直平分线: 到线段两个端点的距离相等的点的集合. 什么是集合? 小学学过:自然数集合,整数的集合 初中学过: 发疯了的数学家康托尔 康托尔(Georg Cantor,1845-1918)是德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡,1918年1月6日病逝于哈雷。 发疯了的数学家康托尔 康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年入柏林大学,主修数学,1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试,后在该大学任讲师,1872年任副教授,1879年任教授。 发疯了的数学家康托尔 由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”),许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间,不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水,成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。这样看起来,1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”,后来几年,康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章,通过严格证明得出了许多惊人的结论。 发疯了的数学家康托尔 康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突,遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说,康托尔的集合论是一种“疾病”,康托尔的概念是“雾中之雾”,甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔,使他心力交瘁,患了精神分裂症,被送进精神病医院 发疯了的数学家康托尔 真金不怕火炼,康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上,他的成就得到承认,伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托尔仍然神志恍惚,不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日,康托尔在一家精神病院去世。 发疯了的数学家康托尔 康托尔创立了集合论作为实数理论,以至整个微积分理论体系的基础。从而解决17世纪牛顿(I.Newton,1642-1727)与莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)创立微积分理论体系之后,在近一二百年时间里,微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始,柯西(A.L.Cauchy,1789-1857)、魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass,1815-1897)等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论。 02 新课讲授 1.集合的有关概念 元素(element)-我们把研究的对象统称为元素 集合(set)-把一些元素组成的总体叫做集合, 简称集. 常用大写拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写拉丁字母a,b,c…表示元素 注:组成集合的元素可以是物,数,图,点等 元素的任意性 2.集合元素特性: (2)互异性:集合中的元素必须是互不相同的. (1)确定性:集合中的元素必须是确定的. 3.集合相等 (3)无序性:集合中的元素是无先后顺序的. 集合中的任何两个元素都可以交换位置. 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的 1.判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由; (1)大于3小于11的偶数; (2)我国的小河流。 中国的直辖市 身材较高的人 著名的数学家 求真5、6班眼睛很近视的同学 2.判断下列例子能否构成集合 注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词都不能构成集合 √ 4.重要数集: (1) N 自然数集(含0) (2) N+或N﹡ 正整数集(不含0) (3) Z 整数集 (4) Q 有理数集 (5) R 实数集 即非负整数集 整数集为什么用 Z 表示呢? 自然数集 N 是 英文natural number(自然数)的第一个字母; 实数集 R 是real number(实数)的第一个字母; 复数集 C 是complex number(复数)的第一个字母; 有理数集 Q 是quotient 的第一个字母,那 Z 呢? 整数集 Z 其实不是英文词汇的缩写,而是德语 Zahl 的首写字母。前几个都是英文缩写,唯独整数集 Z 是德语字母的缩写。历史上近代以来的数学帝国依此是法国、德国、英国、俄罗斯、美国,其中德国在数学中的地位亦不可小觑。大名鼎鼎的数学家希尔伯特、康托、克莱因都是德国数学强盛时期的代表,在他们之前的“数学王子”高斯也是德国人。 另外要说明的是 Q,有理数的英文是rational number,那有理数为什么不用rational的首写字母 R 表示呢?因为当时 R 已经被用来表示实数了,所以无理数集用了rational“可比”的相近词quotient “商”表示 自然数集: 常用数集间关系 正整数集: 整数集: 有理数集: 实数集: N Z Q R (1)属于(belong to):如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A (2)不属于(not belong to):如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作 5.元素对于集合的关系 用符号“∈”或“ ”填空 (1) 3.14_Q (2) _Q (3) 0_N (4) 0_N+ (5) (-0.5)0_Z (6) 2_R ∈ ∈ ∈ ∈ 池中试水 6.集合的分类 有限集:含有限个元素的集合 无限集:含无限个元素的集合 空集:不含任何元素的集合 7.集合的表示方法 1、列举法: 将集合中的元素一一列举出来,并用花括号{ } 括起来的方法叫做列举法 互异 确定 无序 例1:用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; (3)由1~20以内的所有质数组成的集合。 思考题 (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗? 7.集合的表示方法 2、描述法: 将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件) 表示出来,写成{x︱p(x)}的形式 特征性质 课堂小结 1.集合的定义; 2.集合元素的性质: 3.数集及有关符号; 4. 集合的表示方法; 5. 集合的分类. 确定性,互异性,无序性 N Z Q R 用图形表示数集包含关系: $$