期末模拟测试卷-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

2024-2025学年八年级数学下册期末模拟测试卷 一、单选题 1．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列调查中，最适合采用普查方式的是 A．了解某一城市的猪肉市场价格 B．坐飞机前对乘客的安检 C．对黄河水质情况的调查 D．某城市对垃圾分类处理知晓率的调查 3．若分式的值为零，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．为更好地反映某地一周内气温的变化情况，一般选用（　　） A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．统计表 5．如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 6．下列各式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 7．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（   ） A．其图像分别位于第二、四象限 B．其图像关于原点对称 C．其图像经过点 D．若点都在图像上，且，则 8．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 10．分式，﹣，的最简公分母是 ． 11．在，，，中，与是同类二次根式的是 ． 12．若反比例函数的图象在二､四象限,则m的取值范围是 ． 13．如图，在中，，，点D是中点．将绕点B逆时针旋转，得到，点D的对应点为，则线段的值是 ． 14．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是 . 15．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，连接，则的度数为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点C′落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C′的坐标为 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．（1）计算：； （2）解方程：． 19．先化简，再求值：，其中. 20．如图，中，点E、F在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点O的中心对称图形． (2)将绕点E顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 22．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD． (1)求证：四边形ABCD为矩形； (2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积． 23．如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度． 嘉嘉：． 淇淇：． 根据以上信息，解答下列问题． (1)嘉嘉同学所列方程中的x表示__________； 淇淇同学所列方程中的y表示___________； (2)在嘉嘉和淇淇所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并解答该例题． 24．草长莺飞二月天，某校近期打算组织八年级600名学生进行春游活动，为了提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个：A地：华昌龙之谷、B地：珍珠泉、C地：红山动物园、D地：南京国防园（每位同学只选一个地点），根据调查结果制作了如下统计图    由图中给出的信息解答下列问题： (1)所抽取的样本容量为 ； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中，喜欢去D处的所对应的扇形圆心角的度数为 ； (4)请你根据抽样调查的结果，估计该校八年级最喜欢去红山动物园的学生有多少人？ 25．如图，在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接．． (1)如图1，当是线段的中点，且时，求的面积； (2)如图2，当点不是线段的中点时，求证：； 26．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)动点在第一象限内，且满足； 若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； 若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标． 27．如图，矩形中，，，点是射线上一点，连接． (1)将沿翻折至的位置，使点落在处； ①若在边上，如图1，当点落在边上时，求的长； ②若在延长线上，当为直角三角形时，在图2中画出图形，并求的长． (2)若点在边上，如图3，将沿翻折得到，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则的最小值________． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下册期末模拟测试卷 一、单选题 1．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知：A即是轴对称图形又是中心对称图形，所以A正确；B是轴对称图形但不是中心对称图形，所以B错误；C是轴对称图形但不是中心对称图形，所以C错误；D即不是轴对称图形又不是中心对称图形，所以D错误；故选A． 考点：1．轴对称图形2．中心对称图形 2．下列调查中，最适合采用普查方式的是 A．了解某一城市的猪肉市场价格 B．坐飞机前对乘客的安检 C．对黄河水质情况的调查 D．某城市对垃圾分类处理知晓率的调查 【答案】B 【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于调查精度要求高的，事关重大的调查往往选用普查. 【解析】解：A了解某一城市的猪肉市场价格,适合抽样调查； B坐飞机前对乘客的安检,必须精准，适合普查方式； C对黄河水质情况的调查,无法普查； D某城市对垃圾分类处理知晓率的调查, 普查的意义或价值不大,适合抽查. 故选 B 【点睛】本题主要考查了全面调查和抽样调查，熟记普查得到的结果更精准，但所费人力物力时间较多；而抽样调查的得到的结果比较近似. 3．若分式的值为零，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的值为零的条件：分子＝0且分母≠0，即可求出x的值． 【解析】解：∵分式的值为零， ∴ 解得： 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子＝0且分母≠0是解决此题的关键． 4．为更好地反映某地一周内气温的变化情况，一般选用（　　） A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．统计表 【答案】B 【分析】本题考查了统计图的选择，根据扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，可得答案． 【解析】解：为更好地反映某地一周内新冠确诊病例人数的变化情况，一般选用折线统计图． 故选：B． 5．如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解析】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D．∵，， ∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意； 故选：D． 6．下列各式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加法法则计算并判定A；根据二次根式的乘法法则计算并判定B；根据二次根式的性质化简并判断C；根据二次根式的除法法则计算并判定D． 【解析】解：A、2与不是同类二次根，不能合并，原计算错误，故此选项符合题意； B、，计算正确，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项不符合题意； D、，计算正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 7．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（   ） A．其图像分别位于第二、四象限 B．其图像关于原点对称 C．其图像经过点 D．若点都在图像上，且，则 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质；根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可 ． 【解析】解：A、反比例函数中，， 此函数的图象在二、 四象限， 故本选项说法正确，不合题意； B、反比例函数的图像是关于原点的中心对称，故本选项说法正确，不合题意； C、∵， 图象必经过点，故本选项说法正确，不合题意；   D、反比例函数中，， 此函数的图象在每一象限内随的增大而增大， ∴当，在同一象限时则，在不同象限时则， 故本选项错误，符合题意； 故选：D． 8．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，根据正方形边长为6，得，， 则，，根据M、N分别是和的中点，得是的中位线，是的中位线， ，，，根据得，，即，，则四边形是矩形，即，，即四边形是正方形，根据，得，根据，得，根据四边形是正方形得，运用勾股定理即可得． 【解析】解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，    ∵正方形边长为6，， ∴，， ∴，， ∵M、N分别是和的中点， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴，   ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形的判定，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 二、填空题 9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由在实数范围内有意义，列不等式再解不等式即可得到答案． 【解析】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键． 10．分式，﹣，的最简公分母是 ． 【答案】12x2y2． 【分析】找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，即可解答. 【解析】解：分式，﹣，的最简公分母是12x2y2， 故答案为12x2y2． 【点睛】本题考查分式的最简公分母，熟练掌握求最简公分母的步骤是解题关键. 11．在，，，中，与是同类二次根式的是 ． 【答案】 【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【解析】解：∵＝2，=3，=2，= ∴与是同类二次根式是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查同类二次根式，解题的关键是先把二次根式化成最简二次根式，然后判断． 12．若反比例函数的图象在二､四象限,则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象的性质:当3-2m<0时，反比例函数图象位于第二､四象限，解不等式可得到m的取值范围． 【解析】∵反比例函数的图象在二､四象限， ∴3-2m<0， 解得:， 故答案为:． 【点睛】本题考查了反比例函数 的性质：（1）当k>0时，函数的图象位于第一､三象限；（2）当k<0时,函数的图象位于第二､四象限，解题的关键是理解并掌握反比例函数的性质． 13．如图，在中，，，点D是中点．将绕点B逆时针旋转，得到，点D的对应点为，则线段的值是 ． 【答案】 【分析】连接，，由旋转的性质可得，，，即为等边三角形，根据直角三角形的性质求得，即可求解． 【解析】解：连接，，如下图： 由旋转的性质可得，，， 即为等边三角形， ∴， 在中，，， 则， ∵点D是中点， ∴，即 故答案为： 【点睛】此题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 14．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是 . 【答案】且. 【分析】先去分母，可解得x=a+6，由于关于x的方程的解为正数，则x＞0并且2-x≠0，求解即可． 【解析】解：先去分母，可解得x=a+6， ∵x的方程的解为正数， ∴则a+6＞0且a+6≠2， 解得且. 故答案为：且. 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键． 15．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，连接，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键． 连接，根据菱形的对角线平分一组对角线可得，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据菱形的邻角互补求出，然后求出，最后根据菱形的对称性可得． 【解析】解：如图，连接， 在菱形中，， 是的垂直平分线， ， ， 菱形的对边， ， ， 由菱形的对称性，． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点C′落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C′的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，交于点Q，先证明，从而得到Q是的中点，根据反比例性质得，由已知条件可证得，，结合，可得，然后解方程得．通过和的面积关系得到，设，根据勾股定理求出，再利用，从而求出，然后再通过条件证得，，在中利用等面积法求得，再次根据勾股定理求得，最后参考点所在象限确定坐标即可． 【解析】解：如图，连接，交于点Q， ∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为， ∴，， ∵， ∴∠ABQ＝∠NOQ， 在和中 ∴， ∴，即点Q是的中点， ∴点Q是反比例函数上的点, 过点Q作于点H，则是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点M是反比例函数上的点， ∴， ∵， ∴， 设， 则， 在中，， 则 解得（负值已舍去）， 则，，， 连接，作于G， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点第四象限， ∴的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例图像与性质、与矩形相关的对折、三角形全等的判断与性质、相似三角形的判断与性质、中位线、勾股定理、等面积法求线段的长等知识，关键在于适当添加辅助线和采用数形结合列方程，并能灵活运用相关知识解题． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除混合运算时阶梯的关键． （1）先根据二次根式的性质及二次根式的除法计算，再进行二次根式的减法运算，即得答案； （2）根据平方差公式计算，即得答案． 【解析】（1）解:原式 ； （2）解:原式 ． 18．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）    （2） 【分析】本题考查了解分式方程和分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式方程的解法． （1）先对原始中的两项进行通分，找到最简公分母，然后再进行计算．把分母根据平方差公式分解为，分母提取公因式2后变为，则最简公分母为． （2）将方程去分母后计算即可，求解后要进行检验． 【解析】解：（1）原式 ； （2）原方程去分母得：， 即， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 19．先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，先根据分式四则混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【解析】.解： ， 当时，原式． 20．如图，中，点E、F在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于，根据平行四边形对角线互相平分得到，，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论． 【解析】证明：连接交于，如下图， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． 21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点O的中心对称图形． (2)将绕点E顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， 对于（1），作点A，B，C关于原点对称的点，再依次连接即可； 对于（2），将点D，F绕点E顺时针旋转得到点，再依次连接； 对于（3），连接，并作的垂直平分线，再连接，并作的垂直平分线，两条直线交于点P，确定坐标即可． 【解析】（1）如图所示， （2）如图所示， （3）如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是． 故答案为：． 22．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD． (1)求证：四边形ABCD为矩形； (2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)对角线的长为8，矩形的面积为 【分析】（1）由O为AC的中点，可得OA=OC，然后根据对角线互相平分可证四边形ABCD为平行四边形，又∠ABC＝90°，即可证明四边形ABCD为矩形； （2）易证OE为△ABC的中位线，可得AB=2OE=4，根据矩形的性质和∠AOB＝60°，可证△AOB为等边三角形，可得OA=BO=AB，继而可得对角线AC=8，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，继而可求得矩形的面积. 【解析】（1）证明：∵O为AC的中点， ∴OA=OC， 又∵OD=OB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD为矩形； （2）解：∵OA=OC， ∴E为BC的中点， ∴BE=CE， ∴OE为△ABC的中位线， ∴AB=2OE=2×2=4， ∵ABCD为矩形， ∴OA=AC，OB=BD， ∵AC= BD， ∴OA= OB， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB为等边三角形， ∴OA=BO=AB=4， ∴对角线AC=BD=2OA=8， ∵∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AB=4，AC=8， ∴， ∴ 矩形的面积. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、三角形中位线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等，熟记相关定理是解题的关键. 23．如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度． 嘉嘉：． 淇淇：． 根据以上信息，解答下列问题． (1)嘉嘉同学所列方程中的x表示__________； 淇淇同学所列方程中的y表示___________； (2)在嘉嘉和淇淇所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并解答该例题． 【答案】(1)甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）； (2)嘉嘉用的等量关系是：甲队修路400米所用时间乙队修路600米所用时间； 淇淇用的等量关系是：乙队每天修路的长度甲队每天修路的长度20米； (3)见解析． 【分析】（1）根据所列方程，结合题意，进行作答即可； （2）根据所列方程，结合题意，进行作答即可； （3）解分式方程即可． 【解析】（1）解：由题意，得：嘉嘉同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；淇淇同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）； 故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）； （2）由题意，得： 嘉嘉用的等量关系是：甲队修路400米所用时间乙队修路600米所用时间； 淇淇用的等量关系是：乙队每天修路的长度甲队每天修路的长度20米； （3）（3）①选嘉嘉的方程：， 解得； 经检验是原分式方程的解． 答：甲队每天修路的长度为40米． ②选淇淇的方程：． 解得； 经检验是原分式方程的解． 所以． 答：甲队每天修路的长度为40米． 【点睛】本题考查分式方程的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的计算，是解题的关键． 24．草长莺飞二月天，某校近期打算组织八年级600名学生进行春游活动，为了提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个：A地：华昌龙之谷、B地：珍珠泉、C地：红山动物园、D地：南京国防园（每位同学只选一个地点），根据调查结果制作了如下统计图    由图中给出的信息解答下列问题： (1)所抽取的样本容量为 ； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中，喜欢去D处的所对应的扇形圆心角的度数为 ； (4)请你根据抽样调查的结果，估计该校八年级最喜欢去红山动物园的学生有多少人？ 【答案】(1)； (2)作图见解析； (3)； (4)． 【分析】（1）由两个统计图可知“去地”的有人，占调查人数的，根据频率等于频数除以总数，即可求出； （2）求出“去地”的人数即可补全条形统计图； （3）先求出“去地”所占百分比，即可求出对应的圆心角度数； （4）求出“去地”人数占总人数的百分比，即可估计总体中“去地”所占的百分比，进而求出总体“去地”的人数． 【解析】（1）解： （2）（人） 补全条形统计图如下：    （3） （4） （人） 答：该校八年级最喜欢去红山动物园的学生大约有180人． 【点睛】本题考查扇形统计图，条形统计图及二者之间关系．理解两个图形之间数量关系是解决问题的关键．扇形统计图可以直观反映各部分在总体中所占的比例；而条形统计图可以直观反映各部分的数量． 25．如图，在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接．． (1)如图1，当是线段的中点，且时，求的面积； (2)如图2，当点不是线段的中点时，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据菱形性质证明是等边三角形，又因为是线段的中点，且即可求出的面积； （2）作交于，利用可证明，即可得出最后结论． 【解析】（1）解：四边形是菱形， ∴， ∵， 是等边三角形，又是线段的中点， ，， ， 的面积； （2）如图2，作交于， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ，，    ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)动点在第一象限内，且满足； 若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； 若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1)，； (2)；或或或． 【分析】（）根据矩形的性质得点的坐标，再利用中点坐标公式得点的坐标，从而得出的值，再将代入求出点坐标； （）首先根据求出的面积，再根据 ，得出点的横坐标，从而得出答案； 由知，点在直线上，设直线交轴于，分 ，，三种情形，分别利用菱形的性质可得答案． 【解析】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； （2）由题意知，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴的坐标为； 由知，点在直线上，设直线交轴于，    当时，若点在第一象限， ∴， ∴， 当点在第四象限时，不符合题意，舍去， 当时，    同理得，，， 当时，点， 则点与关于对称， ∴，    综上，所有点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，三角形的面积等知识，明确点在直线上运动是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 27．如图，矩形中，，，点是射线上一点，连接． (1)将沿翻折至的位置，使点落在处； ①若在边上，如图1，当点落在边上时，求的长； ②若在延长线上，当为直角三角形时，在图2中画出图形，并求的长． (2)若点在边上，如图3，将沿翻折得到，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则的最小值________． 【答案】(1)①；②画图见解析；4或24； (2)． 【分析】（1）①根据矩形和翻折的性质可知，，利用勾股定理可求得，从而得到，再利用勾股定理即可解得；②当中时，根据矩形和翻折的性质可得到点、、三点共线，由即可得到；当中时，可推出点、、三点共线，利用勾股定理可得，从而得到，再利用勾股定理即可解得； （2）在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，根据翻折的性质和矩形的性质，可证明四边形是平行四边形，从而推出，再通过证明，，得到，最后利用，可求得最小值，即得到最小值． 【解析】（1）解：①四边形是矩形 ，， 由翻折的性质可知，， ， ， 解得： 的长为； ②当中时，如图所示即为所求： 四边形是矩形 根据翻折的性质，， ， 点、、三点共线 当中时，如图所示即为所求： 四边形是矩形 又 点、、三点共线 根据翻折的性质，， 解得： 的长为4或24； （2）解：在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，如图所示， 根据翻折的性质，，，，， 又 四边形是平行四边形 四边形是矩形 又， ， ，即 又， ， ，即 当、、三点共线时，最短，即 的最小值为 的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，两点之间距离最短，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 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