专题04 一次函数（考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（湘教版）

清单04 一次函数（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 函数和它的表示法 1.理解常量、变量、函数的概念 (1)变量与常量:在讨论的问题中,取值会发生变化的量称为变量,取值固定不变的量称为常量(或常数). (2)函数:一般地,如果变量y随着变量x而变化,并且对于x取的每一个值,y都有唯一的一个值与它对应,那么称y是x的函数,记作 y=f(x),x叫作自变量,y叫作因变量,对于自变量x取的每一个值a,因变量y的对应值称为函数值,记作f(a). 2 掌握函数的三种表示方法 表示函数的方法一般有列表法、公式法和图象法. 清单02 一次函数的概念 1.一次函数、正比例函数的概念 关于自变量的一次式的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数k≠0). 特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫作正比例函数,其中k叫作比例系数. 2.一次函数的特征及自变量的取值范围 一次函数的特征是:因变量随自变量的变化是均匀的,一次函数 y=kx+b(k,b为常数k≠0)的自变量取值范围是实数集. 清单03 正比例函数的图象 (1) 图象:一般地,正比例函数y=kx(k为常数,≠0)是一条经过原点的直线. (2)性质:①当k>0时,直线 y=kx 经过第一、三象限且从左向右上升,y随x的增大而增大. ②当k<0时,直线 y=kx 经过第二、四象限且从左向右下降,y随x的增大而减小. 清单04 一次函数的图象 (1)一次函数 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象可以看作由直线y=kx平移个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0 时，向下平移). (2)一次函数y=kx+b(k≠0)的性质:当k>0时,y的值随着x值的增大而增大当k<0时,y的值随着x值的增大而减小, 清单05 一次函数表达式的求法 1.待定系数法的定义:通过先设定函数表达式(确定函数模型),再根据条件确定表达式中的未知系数,从而求出函数表达式的方法称为待定系数法. 2.求一次函数表达式的步骤: (1)设出一次函数表达式y=kx+b; (2)根据条件列出表达式中关于k,b的方程; (3)解方程(组),确定k,b的值; (4)根据求出的k,b的值确定函数表达式. 清单06 一次函数图象的实际应用 掌握应用一次函数解决实际问题的步骤 (1)建立函数模型; (2)求出函数表达式; (3)根据函数表达式画出函数图象; (4)根据函数图象的性质或自变量的取值情况解答问题. 清单07 一次函数与一元一次方程的关系 (1)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解. (2)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解. 【考点题型一】函数的概念（） 【例1】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，掌握函数的定义是解决本题的关键． 对于一个自变量x，只有唯一一个因变量y与之相对应，y是x的函数，据此逐项分析判断即可解答． 【详解】解：根据函数概念逐项分析判断如下： A、存在自变量x取一个值的时候，有多个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故A选项不符合题意； B、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故B选项不符合题意； C、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故C选项不符合题意． D、对于每一个自变量x的值，都有1个y值与自变量x相对应，故y是x的函数，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】云南昆明斗南花市是亚洲最大的国际鲜花交易市场．如表所示，某鲜花的单价为元/枝，甲同学购买了20枝，金额为30元，若乙同学购买了枝，金额为元，则，下列说法正确的是（   ） 单价（单位：元/枝） 数量（单位：枝） 20 金额（单位：元） 30 A．数量是自变量 B．金额是自变量 C．是因变量 D．是常量 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，不变的量叫做常量，变化的量叫做变量，能够影响其它量变化的量叫做自变量，随着其他变量变化的量叫做因变量，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，数量是自变量，金额是因变量，是常量， 故选：A． 【变式1-2】下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的概念，掌握函数和自变量的一一对应关系是解题的关键． ①某天的气温随时间的变化而变化，且每一时刻对应唯一的温度，符合函数的定义；②正方形的面积随边长的变化而变化，且对于边长的每一个值，其面积都有唯一的值与之对应，符合函数的定义；③，即当一个点不与原点重合时，对于x的每一个值，y均有两个值与之对应，且互为相反数，不符合函数的定义． 【详解】解：根据函数的定义，某天的气温与时间x（时）的关系可以表示y是x的函数，故①符合题意； 正方形的面积与边长的关系可以表示y是x的函数，故②符合题意； 数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系不能表示y是x的函数，故③不符合题意． 综上，表示y是x的函数的是①②． 故选：A． 【考点题型二】求自变量的取值范围及函数值（） 【例2】按如图所示的程序计算，当输入时，则输出y为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴当输入时，， 故答案为：． 【变式2-1】在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，分式有意义的条件，掌握分母不为0是解题的关键． 根据分式有意义得到，即可求解自变量x的取值范围． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式的分母不等于零，被开方数为非负数列出不等式组计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意， 解得：， 故答案为：． 【变式2-3】已知，则当时， ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查求函数的值，把代入函数表达式即可求解 【详解】解：当时，， 故答案为： 【考点题型三】根据情境确定函数图象（） 【例3】由化学知识可知，用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的稀溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映稀溶液的与所加水的体积V之间对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要了函数的图象，掌握学科间的结合是解题的关键． 根据盐酸的酸性指数以及函数图象解答． 【详解】解：盐酸是酸性，并且随着浓度变大，酸性越弱，函数值越接近于7． 故选A． 【变式3-1】将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化． 故选：B． 【变式3-2】如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象．根据将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，即可求出圆柱形水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，直到水槽注满为止．圆柱形水杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，沿水槽内壁向水橧内匀速注水，水开始时不会流入圆柱形水杯，因而这段时间不变，当水槽内的水面与圆柱形水杯水平时，开始向圆柱形水杯中流水，随的增大而增大，当水注满圆柱形水杯后，圆柱形水杯内水面的高度不再变化 ，故C 正确，B错误． 故选：C． 【变式3-3】均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h随时间变化的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度随时间变化而分三个阶段． 【详解】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度随时间的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短． 故选：A． 【考点题型四】从函数图象中获取信息（） 【例4】如图①，实践小组将挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：弹簧测力计读数、铁块受到的浮力、容器底部受到的液体压强、水面高度，其中某个量与时间t的关系大致可以用图②来描述，这个量是（　　） A．弹簧测力计读数 B．铁块受到的浮力 C．容器底部受到的液体压强 D．水面高度 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，由铁块露出水面越多浮力越小得出答案是解题的关键．分析整个铁块上升的过程，由此即可得出结论． 【详解】解：当铁块上面的面还在水中时，弹簧秤的读数不变； 当铁块上面的面浮出水面，下面的面还在水下时，随着铁块上浮，弹簧秤的读数逐渐变大； 当铁块下面的面浮出水面时，弹簧秤的读数不变． 故选：A． 【变式4-1】有两个相关联的量，它们的关系如图．这两个相关联的量可能是（　　） A．订阅《智力数学》的总价与本数 B．路程一定时，行驶速度与行驶时间 C．圆的面积与它的半径 D．一袋大米的质量一定，吃掉的大米质量与剩下的大米质量 【答案】A 【分析】本题主要考查常量和变量，从函数图象中获取信息．根据图象可知，一个变量随着另一个变量的增加而增加，逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，一个变量随着另一个变量的增加而增加， A、订阅《智力数学》的总价随着本数的增加而增加，故本选项符合题意； B、路程一定时，行驶速度随着行驶时间的增加而减小，故本选项不符合题意； C、圆的面积随着它的半径的平方的增加而增加，故本选项不符合题意； D、一袋大米的质量一定，吃掉的大米质量随着剩下的大米质量的增加而减少，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式4-2】某物流公司引进两种机器人用来搬运货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时．种机器人于某日0时开始搬运，1小时后，种机器人也开始搬运．如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象．根据图象提供的信息，下列说法①型机器人每小时搬运60千克；②型机器人每小时搬运90千克；③型机器人连续搬运5小时后的搬运量是点的纵坐标的值，且千克；④如果两种机器人各连续搬运5小时，那么种机器人比种机器人多搬运了240千克；其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①② 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据图象获取信息可求出A、B型机器人的工作效率，即可判断①、②，然后求出型机器人连续搬运5小时后的搬运量即可判断③，求出、B型机器人连续搬运5小时后的搬运量的差即可判断④． 【详解】解：根据函数图象知：型机器人每小时搬运千克，故①正确； 型机器人每小时搬运千克，故②正确； 型机器人连续搬运5小时后的搬运量，即，故③正确； 如果两种机器人各连续搬运5小时，那么种机器人比种机器人多搬运了千克，故④错误， 故选：B． 【变式4-3】甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．甲的速度为8米/秒 D．当甲出发55秒或65秒时，甲、乙相距50米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断C；然后根据甲的速度可以计算出的值，即可判断A；根据乙的速度，可以计算出的值，可以判断B；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断D． 【详解】解：由图可得，甲的速度为： (米/秒) ，故C错误，符合题意； ∴乙的速度为：(米/秒)， 故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； 设当甲、乙相距米时， 甲出发了秒， 两人相遇前：，解得 ； 两人相遇后： ，解得 ， 故D正确，不符合题意； 故选： C． 【考点题型五】根据一次函数和正比例函数的概念求字母的取值(范围)（） 【例5】已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正比例函数的定义可得到，，解之代入求值即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， ， 故选：D． 【变式5-1】若是关于x的正比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，注意正比例函数的未知数系数不能为零是解题关键． 利用正比例函数的定义列方程和不等式可求得a的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】对于点，若满足，则称该点为“完备点”．已知点是直线上的“完备点”：①当时，则 ；②当时，则的取值范围是 ． 【答案】 1或3 【分析】本题考查一次函数的性质，解一元一次不等式组，掌握一元一次方程和一元一次不等式组的解法是解题的关键． ①将点的坐标代入直线，并根据“完备点”的定义得到和的数量关系，去绝对值求出的值即可； ②根据①，分情况将用含的代数式表示出来，再由得到关于的一元一次不等式组并求其解集，最后求出的取值范围即可． 【详解】解：①∵点是直线上的“完备点”， ，且， 当时，得，即， ， ， 当时，得，即， ， ， 或3， 故答案为：1或3． ②根据①， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， 或， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式5-3】若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 【答案】； 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的函数值，先根据定义可得，求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由函数是关于x的一次函数得， ， ∴， ∴； ∴， 把代入， ． 【考点题型六】正比例函数的图象与性质的综合运用（） 【例6】关于正比例函数，下列说法错误的是（   ） A．其图象经过原点 B．其图象是一条直线 C．随的增大而增大 D．点在其图象上 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质和图象，正比例函数图象是一条经过原点的直线，据此可判断A、B；根据解析式可得增减性，即可判断C；求出当时的函数值即可判断D． 【详解】解：正比例函数图象是一条经过原点的直线，故A、B说法正确，不符合题意； ∵正比例函数解析式为，， ∴随的增大而减小，故C说法错误，符合题意； 在中，当时，， ∴点在其图象上，故D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式6-1】关于正比例函数的描述，正确的是（   ） A．图象过二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象过 D．图象是一条过原点的直线 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数图象与系数的关系是解答此题的关键． 根据正比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵直线是正比例函数，， ∴此函数的图象经过一三象限，故本选项错误； B、∵， ∴随的增大而增大，故本选项错误； C、当时，，故本选项错误； D、∵直线是正比例函数， ∴它的图象是一条过原点的直线，故本选项正确； 故选：D； 【变式6-2】若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．准确理解一次函数图象的性质，确定随的变化情况是解题的关键．由题目所给信息“当时 ”可以知道，随的增大而增大，则由一次函数性质可得，即可求解． 【详解】解：正比例函数的图象经过点和点，当时，， ， 解得：， 故选：C． 【考点题型七】利用一次函数的图象与性质求字母的值或取值范围（） 【例7】关于直线，下列说法正确的是（　　） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．点在直线l上 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：A、当时，， ∴直线在轴上的截距是，选项说法错误，不符合题意； B、，直线经过第二、三、四象限正确，符合题意； C、，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； D、当时，，点不在直线l上，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】在一次函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式，由一次函数的性质可得，求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在一次函数的图象上，随的增大而减小， ∴， ∴， 故选：D． 【变式7-2】已知函数．当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质是解题的关键． 先根据一次函数的系数判断出函数的增减性，再根据其取值范围解答即可． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随的增大而减小． ∵ ∴当时，， 当时，， ∴， 故选：A． 【变式7-3】已知点 ，点在一次函数 的图象上，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据得出随的增大而减小，结合随的增大而减小，则，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴随的增大而减小， ∵点 ，点在一次函数 的图象上，且 ∴， 故选：A． 【变式7-4】对于一次函数， 下列结论正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数中，，则一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.令，解得：，则当时，，原说法错误； D.一次函数中，，则一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选：A． 【考点题型八】两个一次函数图象共存的问题（） 【例8】一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限即可． 【详解】解：A、正比例函数与一次函数的自变量系数k互为相反数．故该选项不符合题意； B、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故该选项不符合题意； C、正比例函数图象经过第一、三象限，则，那么一次函数应经过二、三、四象限，故该选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第二、三象限，则，那么一次函数经过一、二、三象限，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式8-1】在同一直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象的分布，确定k的符号，交点的位置，一致的就是正确的，解答即可． 本题考查了图象的分布，熟练掌握图形分布是解题的关键． 【详解】解：A.根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于负半轴， 故该选项错误； B. 根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于负半轴， 故该选项错误； C. 根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于负半轴， 故该选项正确；     D. 根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于正半轴， 故该选项错误； 故选：C． 【变式8-2】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，数形结合是解答本题的关键．分和两种情况分析即可． 【详解】解：当时，图象经过一三四象限，经过一三象限，此时4个选项均不符合题意； 当时，图象经过一二三象限，经过二四象限，此时B选项符合题意． 故选：B． 【变式8-3】在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，依据正比例函数的图象从左往右下降，则，进而得到一次函数的图象与轴交于负半轴，故A选项正确． 【详解】解：A、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象与轴交于负半轴，故A选项符合题意； B、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象应该与轴交于负半轴，故B选项不符合题意； C、若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数 的图象与应该轴交于正半轴，且从左往右上升，故C选项不符合题意； D、正比例函数的图象应该要过原点，明显D选项不符合题意． 故选：A． 【考点题型九】一次函数与几何综合（） 【例9】如图，已知正比例函数的图象与x轴相交所成的锐角为，定点A的坐标为，P为y轴上的一个动点，M、N为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键． 作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案． 【详解】解：如图，直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，    点是点关于直线的对称点， 作，垂足为，交轴于点，交直线于点，作， ∴，， ， 此时最小， 在中， ，，， ∴， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式9-1】.如图，平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点，交轴于点．将线段绕点逆时针旋转得线段，若直线过点且平行于直线，那么直线能否看作是由直线沿轴向右平移得到？若能，请求出平移距离；若不能，请说明理由． 【答案】直线能看作是由直线沿轴向右平移得到，平移距离为 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、旋转的性质、三角形全等的性质与判定、一次函数图象的平移等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．过点作轴，过点作，过点作，设直线交轴于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，然后求出点的坐标，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作，过点作， 设直线交轴于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵直线过点且平行于直线， ∴设直线的函数解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入函数得：，解得， ∴， 又∵直线的表达式为，交轴于点， ∴直线能看作是由直线沿轴向右平移得到，平移距离为． 【变式9-2】如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①求直线的函数解析式； ②在轴上另有一点的坐标为，请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】（Ⅰ）①根据题意可求，用待定系数法可求直线解析式； ②在上取点，使，连接，，则，证明，得出，证明，得出，可求出，根据两点间距离公式求出，，由，则当E、M、共线时，，最小值为，故周长的最小值为，进而可求出M的坐标； （2）作于H，可证，由题意可证，可求，，即可得点，点坐标，即可求直线解析式． 【详解】（1）解：①∵矩形，，， ∴，，，，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式，过点、点， ∴，解得：， ∴直线的解析式； ②∵， ∴， ∵， ∴， 在上取点，使，连接，，则， ∵为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴当E、M、共线时，，最小值为， ∴周长的最小值为， ∵，， ∴轴，， ∴M的纵坐标为1， 把代入，得， 解得， ∴． （2）解：如图，作于H， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴，， 又，   ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ，   ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式， ∴， ∴， ∴直线的解析式． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形判定和性质，两点之间线段最短．灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形． (1)求点、点的坐标． (2)过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式： (3)在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）首先求出，，然后根据中心对称的性质求出，然后根据平行四边形的性质求出； （2）如图所示，点E为的中点，连接，，首先得出，然后分两种情况讨论，分别根据题意求出点F和点G的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况讨论，当点Q在y轴左边时，求出，得到所在直线表达式为，然后求出；当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点，根据对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点 ∴当时， ∴； 当时， 解得 ∴ ∵点关于点的对称点为点， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为16 ∴； （2）解：如图所示，点E为的中点，连接，， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点E为的中点 ∴ ∴ ∵直线把平行四边形分成面积为的两部分，如图交于点F ∴当时， ∴ ∴ ∵， ∴点F的纵坐标为 ∴将代入得， 解得 ∴ 设表达式为 根据题意得， 解得 ∴的表达式为； ∴当时，如图交于点G ∴ ∵， ∴点G的纵坐标为 ∴将代入得， 解得 ∴ 同理利用待定系数法求出表达式为 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：如图所示， ∵直线与轴交于点（当点在点的下方）， ∴点M为直线直线与y轴的交点 ∴当时， ∴ 当点Q在y轴左边时， ∵， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入得， 解得 ∴； 当点Q在y轴右边时，作点Q关于y轴的对称点 ∴ ∴ ∴ 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式9-4】如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （）当，时，当，时，当，时三种情况分析，再根据全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，当，时，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点， 同理得：， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点，过作交于点， 同理得：， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，即，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或或． 【考点题型十】用待定系数法求一次函数表达式（） 【例10】已知一次函数的图象经过点和，则该函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查待定系数法确定一次函数解析式．将两个点代入解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点与点， ∴代入解析式得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 故选：A． 【变式10-1】如图，直线l与y轴交于点坐标为，过点，，直线l对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，根据直线l与y轴交于点坐标为，设直线l的函数表达式为，代入，两点，可得k的值，即得直线l对应的函数表达式． 【详解】解：∵直线l与y轴交于点坐标为， ∴设直线l的函数表达式为， 代入，， 得，， 解得：， ∴直线l的函数表达式为， 故答案为：． 【变式10-2】若正比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入计算即可得． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-3】在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键． （1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且． 【考点题型十一】一次函数的实际问题（） 【例11】“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． (1)①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； (2)现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)①，② (2)当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组，求得，然后表示出总费用，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ； ②当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ； 故答案为：①，②． （2）解：购进种图书本，则购进种图书本， 根据题意得，， 解得， 购进两种图书的总费用， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 当为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元． 【变式11-1】实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折销售； B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题： (1)分别写出与x之间的关系式： (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案． 【答案】(1)在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 (2)见解析 (3)在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）根据优惠方案，分别列出函数关系式即可； （2）分，和三种情况，进行求解即可； （3）分去A超市，B超市，以及去B超市买球拍，A超市买羽毛球，三种方案，分别求出费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ； ∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为； （2）解：当时，即， 解得， ∴时，去A超市买更划算； 当时，即， 解得， ∴时，去A、B超市买花费一样多； 当时，即， 解得， ∴时，去B超市买更划算； （3）解：如果选择A超市，那么总费用为：（元）， 如果选择B超市，那么总费用为：（元）， 如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：（元）， ∵， ∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱． 【变式11-2】江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 【答案】(1) (2)购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准不等量关系，正确列出一元一次不等式组；（3）灵活运用一次函数的性质求最值． 设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元，根据购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤，根据题意，得，，设销售的总利润为W元，则，根据一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元， 由题意得：， 解得：， 答：南粳1号大米的进价是元，南粳2号大米价是6元． （2）解：设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤， 根据题意，得：， 解得， 设销售的总利润为W元，则， 由y随x的增大而增大，得当时，利润最大，最大为740元． 购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 答：购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 【变式11-3】某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． (1)求每台型和型商品的销售利润； (2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)型利润80元/台，型利润160元/台 (2)型4台，型6台，总利润最大 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出一次函数解析式． （1）设型利润元/台，型利润元/台，由“销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元”建立方程组求解； （2）设型台，则型台，由总利润等于两种型号打印机利润之和列出利润W关于m的函数解析式，根据函数的增减性确定利润的最大值即可． 【详解】（1）解：设型利润元/台，型利润元/台 ， 答：型利润80元/台，型利润160元/台； （2）解：设型台，则型台， 型数量不少于型数量的一半， ， ， ， 随增大而减小 当时，， 答：型4台，型6台，总利润最大． 【变式11-4】在一条直线上依次有，，三个海岛，某巡逻船执行海洋巡逻任务，从岛出发沿直线匀速行驶到岛，保持速度不变，继续行驶到达岛．设该巡逻船行驶（）后，与岛的距离为（km），与的函数关系如图所示． (1)直接写出，两海岛间的距离，并求出函数图象中括号处缺失的数据； (2)求段的关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)在岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，请直接写出该巡逻船能接收到该信号的时长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，理解题目信息是解题的关键． （1）把到，到间的距离相加即可得到两个港口间的距离，再求出巡逻船的速度，最后利用公式可求出到间的时间； （2）利用待定系数法求一次函数解析式求解即可； （3）信号覆盖范围看作一个直径为的圆，路程除以速度即可得到接收信号的时间． 【详解】（1）解：由图象可知， 两岛之间的距离为， 两岛之间的距离为， ，，三个海岛在一条直线上, ，两海岛间的距离为； 由图象可知， 巡逻船从岛到岛的时间为， ∴巡逻船的速度为， ∴巡逻船从岛至岛的时间为， 所以函数图象中括号处缺失的数据为， 故答案为：，； （2）解：设一次函数解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴段的关于的函数解析式为； （3）解：该巡逻船能接收到该信号的时长为． 【变式11-5】某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为元，客户的数量为人，请结合函数图像，回答下列问题： (1)系统维护的固定成本是________元． (2)若当客户人数为5000人时，总的运行成本为元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为元，且． ①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本． ②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？ 【答案】(1)2000 (2)①6元；②5750人 【分析】本题考查一次函数解决实际问题，读懂题意是解题的关键． （1）由图像与y轴的交点的坐标即可解答； （2）①当客户人数不超过5000人时，设每服务一个客户需要的运行成本n元，得到，，根据得到方程，求解即可； ②先求出当时，；当时，．判断当时，，因此得到，求解即可． 【详解】（1）解：由图像可得，当时，， ∴系统维护的固定成本是2000元． 故答案为：2000； （2）解：①当客户人数不超过5000人时，设每服务一个客户需要的运行成本n元，则当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本为元， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴当客户人数不超过5000人时，每服务一个客户需要的运行成本为6元． ②由①可知：当客户人数不超过5000人时，每服务一个客户需要的运行成本为6元；当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本为4元． ∴当时，； 当时，． ∴当时，， ∴当时，， ∴， 解得． ∴该公司至少服务客户5750人． 【变式11-6】我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准．某用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数如图所示． (1)观察图象，求出函数在不同范围内的解析式； (2)若某用户该月交水费63元，求该用户用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)14.5 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是： （1）仔细观察图象，便可写出函数在不同范围内的函数解析式； （2）根据（1）知：该用户的交水费范围属于的范围，代入解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为， 则， ∴， ∴； 当时，设函数解析式为， 则， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴该用户用水超过12吨， ∴， 解得， ∴该用户用了14.5吨水． 【考点题型十二】利用一次函数图象解一元一次不等式（） 【例12】一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，根据图象判断增减性，以及的符号，进而判断出所过象限，判断①和②，根据交点坐标判断③，图象法判断④． 【详解】解：由图象可知：对于函数来说，y随x的增大而减小；故①正确； ∴， 由图象可知：当时，， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴， ∴，故③正确； 由图象可知：当时，； 当时，， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 【变式12-1】如图，一次函数的图象经过坐标轴上，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过坐标轴上，两点， ∴当时，，即 ∴由图象可知，关于x的不等式的解集是． 故选：C． 【变式12-2】函数（）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握从图象上获得信息是解题的关键；从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即可得出答案． 【详解】解：由函数图象可知：函数的图象经过，并且函数值随的增大而减小， 当时，函数值小于，即关于的不等式的解集为， 故答案为：． 【变式12-3】已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一次函数的图象求一元一次不等式的解题，根据不等式即一次函数在轴下方求解即可． 【详解】解：不等式，即一次函数的图象在轴下方， 根据函数图像可知：当，不等式， 故答案为：． 【考点题型十三】图象解二元一次方程组（） 【例13】如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 【变式13-1】一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，本题考查了利用函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解与一次函数交点的关系． 【详解】解：把代入得：， 解得， 所以点坐标为， 所以关于、的二元一次方程组的解是：， 故答案为：． 【变式13-2】在平面直角坐标系中，有直线和直线，它们的交点为P，与x轴交于点A，与x轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)用图象法解方程组 ； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据函数值为零，可得相应自变量的值，可得图象与轴的交点坐标； （2）根据图象的交点坐标是相应方程组的解，可得答案， （3）根据三角形的面积公式，可得答案． 【详解】（1）解：当时，，解得，即； ，解得，即； （2）可变形为： 和的图象如图，      交点P坐标为： 故方程组的解为是； （3）． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【变式13-3】.已知点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，，满足方程． (1)求A、B两点坐标； (2)若在直线上的点横纵坐标均为上面方程的解，则直线叫做方程的图象，已知点是线段上一点，写出m和n的关系式（用n表示m）并写出m的取值范围． 【答案】(1)，或， (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将y看作已知数求出x． （1）把y看作已知数表示出x，即可确定出正整数解，从而求得A、B两点坐标； （2）图象上点的坐标满足解析式即可求得，根据A、B点横坐标即可求得m的取值范围． 【详解】（1）解：方程， 解得：x， 当时，；时，， 则方程的所有正整数解为，． ∵点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，， ∴，或，； （2）∵点是线段上一点， ∴， ∴， ∵点是线段上一点， ∴ ． 【考点题型十四】 求直线围成的图形面积（） 【例14】如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，三角形三边关系的应用，正确利用数形结合解题是解题关键． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴交点横坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可；②记交轴于点，此时最大，再求解直线解析式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，， ∴关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是， 故答案为：， （2）∵关于x的不等式的解集是，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式组的解集， 故答案为： （3）①点C的坐标为．, ∴的面积为， 故答案为： ②，记交轴于点，    此时，此时最大， 设直线为， ∴，解得， 直线为， 令，则， 【变式14-1】已知，直线与轴、轴分别交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）求出点D的坐标，利用计算解题； （3）根据，列方程求出的值，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）当时，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得或， 当时，，点P的坐标为； 当时，，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式14-2】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求点A和点B的坐标； (2)求的面积； (3)若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、面积的计算等． （1）对于，令，即，解得，令，则，即可求解； （2）由点A、B的坐标得，，再根据求解即可； （3）设点P的坐标为，则，根据的面积为面积的2倍，列方程得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：令，即， 解得， 令，则， 故点A、B的坐标分别为、； （2）解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 即的面积为6； （3）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积为面积的2倍， ∴，即， 解得， 点P的坐标为或． 【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于两点，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，，两直线相交于点． (1)________． (2)求点的坐标； (3)若为直线上的动点，连接、，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求交点坐标，根据三角形的面积求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数及其图象的性质． （1）先根据求出点坐标，再根据求出点坐标，利用待定系数法即可求解； （2）联立两条直线解析式即可求出交点坐标； （3）①假设，求出相关三角形的面积，最后根据，即可求出点坐标； ②根据轴对称性，在点上方找一点，当时，的面积为10，假设，根据列出方程，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，代入得，， ， ∵，且点位于轴的正半轴， 将代入得， 解得， ∴； （2）解：联立 解得 ； （3）解：①如图所示，假设， 由得， 当时，， 解得， ， ， ， ， , 即， 解得， ∴； ②如图所示，在点上方找一点，当时，的面积为10， 假设，， 根据勾股定理得， 解得或（舍去）， ， 点的坐标为或． 【变式14-4】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线 交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线与轴交于点，若点是直线上一动点，且满足，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求所围成图形的面积问题，一次函数和一元一次不等式的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和函数图象的性质． （1）利用直线的解析式求出点，利用待定系数法将，代入求解即可得出直线的解析式； （2）利用点的坐标求出底边的长度，假设出点的坐标，利用三角形的面积公式列出方程，进行求解即可得到点的坐标； （3）结合函数图象判断不等式的解集即可，同区间内在下方的函数值比较小，在上方的函数值比较大． 【详解】（1）解：∵将代入得， 解得， ∴ 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线与轴交于点，直线与轴交于点， ∴，， ∴, 假设点的坐标为， ∴， 解得，或， ∴点的坐标为或； （3）解：根据函数图象可得， 在点和点之间的图象，满足的图象在的图象的下方，且点是直线与的交点，交点坐标为0，即， ∴当时，， 即不等式的解集为． 一、单选题 1．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意，得x+3≠0， 解得x≠-3． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2．正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定，由此可以推知一次函数的图象的大致情况． 【详解】∵正比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，且经过第一、三象限． 观察选项，只有A选项正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键． 3．下列说法中，不正确的是（   ）． A．在中，是的正比例函数 B．在中，是的正比例函数 C．在＝3中，是的正比例函数 D．正方形的边长与周长为正比例关系 【答案】A 【分析】根据正比例函数定义，每个选项进行判断即可. 【详解】解：根据定义，与的解析式可以写为形如 (是常数，≠0)的形式. ∴A、是一次函数，故A错误；B、C、D三项均符合的形式，故正确； 故选择：A. 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握正比例函数的定义. 4．下列函数中，不是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据一次函数的定义找出四个选项中的一次函数，从而利于排除法得出符合题意的选项． 【详解】解：A、不是一次函数，故选项正确； B、是一次函数，故选项错误； C、是一次函数，故选项错误； D、是一次函数，故选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数y=kx+b的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．注意正比例函数是特殊的一次函数． 5．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：函数， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 6．在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则直线y=bx+k不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】试题解析：由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限， ∴k>0，b<0， ∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限， ∴直线y=bx+k不经过第三象限， 故选C. 7．某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（    ） A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm 【答案】B 【分析】设，分别将和代入求出一次函数解析式，把代入即可求解． 【详解】解：设，分别将和代入可得： ， 解得 ， ∴， 当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键． 8．关于变量x，y有如下关系：①x-y=5；②y2=2x；③：y=|x|；④y=．其中y是x函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：y是x函数的是①x-y=5；③y=|x|；④y=． 当x=1时，在y2=2x中y=±，则不是函数； 故选D． 【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 9．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，则关于x，y的方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，即可求解． 【详解】解：关于x，y的方程组可化为， ∵两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)， ∴方程组的解为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组的解得关系，熟练掌握两函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1， ∵A（0，2），B（0，6）， ∴AB=6-2=4， 以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3， ∵OB=6， ∴点B到直线y=x的距离为6×， ∵＞3， ∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点， AB的垂直平分线与直线的交点有一个 所以，点C的个数是1+2=3． 故选B． 11．一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境： ①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米； ②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升； ③在矩形中，，点P从点A出发．沿路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，的面积为y．其中，符合图中函数关系的情境个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】由题意及函数图象可直接进行判断①②，③由题意作出图形，然后再根据矩形的性质、勾股定理及三角形面积计算公式可进行判断． 【详解】解：①设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米， 600×2.5=1500（米）=1.5千米，1500÷1000=1.5分钟， ∵4.5-2.5=2分钟，6-4.5=1.5分钟， ∴①符合该函数关系； ②设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升， ∴0.6×2.5=1.5升，1.5÷1=1.5秒， ∴②符合该函数关系； ③如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，， ∴， ∴， 设点P的运动路程为x，的面积为y， 由题意可得当点P从点A运动到点C时，的面积逐渐增大，直到运动到点C时，达到最大，即为， 当点P在线段CD上运动时，的面积保持不变，此时x的范围为， 当点P在线段DA上时，则的面积逐渐减小，当点P与点A重合时，的面积为0，此时x=6， ∴③也符合该函数关系； ∴符合图中函数关系的情境个数为3个； 故选A． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质及矩形的性质、勾股定理，熟练掌握一次函数的图象与性质及矩形的性质、勾股定理是解题的关键． 12．函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据函数y＝可得出x－5≥0，再解出一元一次不等式即可. 【详解】由题意得，x－5≥0， 解得x≥5． 在数轴上表示如下： 故选B． 【点睛】本题要考查的是一元一次不等式的解法以及二次根式成立得出判定，熟练掌握一元一次不等式的解法是本题的解题关键. 13．已知点P（m，n）是一次函数y=x﹣1的图象位于第一象限部分上的点，其中实数m、n满足(m+2)2﹣4m+n(n+2m)=8，则点P的坐标为（     ） A．(0.5,﹣0.5) B．(,) C．(2,1) D．(1.5,0.5) 【答案】D 【详解】∵(m+2)2−4m+n(n+2m)=8， 化简,得(m+n)2=4， ∵点P(m,n)是一次函数y=x−1的图象位于第一象限部分上的点， ∴n=m−1， ∴， 解得， 或. ∵点P(m,n)是一次函数y=x−1的图象位于第一象限部分上的点， ∴m>0，n>0， 故点P的坐标为(1.5,0.5)， 故选D. 14．如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】满足不等式-x+m>nx+4n>0就是直线y=-x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可． 【详解】当时，对于，则．故的解集为．与的交点的横坐标为，观察图象可知的解集为．的解集为．为整数，． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键 15．已知，等边三角形和正方形的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点共线，沿方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为，运动过程中两图形重叠部分的面积为，则下面能大致反映与之间关系的函数图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解． 【详解】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1， 当点C在EF的中点左侧时，    设AC交DE于点H， 则CE=t，HE=ECtan∠ACB=t×=t， 则S=S△CEH=×CE×HE=×t×t=， 可知图象为开口向上的二次函数， 当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE 交于点M，    则EC=t，BE=a-t，ME=， ∴S=， 可知图象为开口向下的二次函数； 当点C在F点右侧且B在EF中点的左侧时，    S=， 可知图象为开口向下的二次函数； 当点C在F点右侧且B在EF中点的右侧时，    此时BF=2a-t，MF=， ∴， 可知图象为开口向上的二次函数； 故选：A 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 二、填空题 16．若直线经过第二、四象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】直接利用正比例函数的定义得出m的取值范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限， ∴m−3＜0， 解得：． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，正确把握正比例函数的性质是解题关键． 17．一次函数的函数值随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据随值的增大而增大，可判断即可得解． 【详解】解：由题：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系；掌握，随值的增大而增大，，随值的增大而减小是本题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，，由绕点顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是 ． 【答案】． 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≌△BAO（AAS），已知A（2，0），B（0，1），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解． 【详解】解：∵ ∴ 过点作轴于点， ∴∠BOA=∠ADC=90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAO+∠CAD=90°. ∵∠ABO+∠BAO=90°, ∴∠CAD=∠ABO. ∵AB=AC， ∴. ∴ ∴ 设直线的解析式为，将点，点坐标代入得 ∴ ∴直线的解析式为． 故答案为． 【点睛】本题是几何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等． 19．由一次函数的图象经过，可知方程的解为 ． 【答案】 【分析】方程3x+9=1的解就是一次函数y=3x+9当y=1时对应的x的值，由于一次函数过点 ，即当时，y=1，由此可得答案． 【详解】解：由于一次函数的图象经过点，即把，代入函数的表达式中所得的等式成立，即，能使方程成立，所以方程的解为． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次方程的关系，对一次函数来说，图象上的一个点（m，n）表示一次方程的解是x=m，就象本题，一次函数的图象经过点，意味着方程3x+9=1的解是． 20．小明和小强进行百米赛跑，小明比小强跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢，如图所示，现在小明让小强先跑 米，直线 表示小明的路程与时间的关系，大约 秒时，小明追上了小强，小强在这次赛跑中的速度是 ． 【答案】 10 l2 20 3米/秒 【分析】因为小明让小强先跑，可知l1表示小强的路程与时间的关系，l2表示小明的路程与时间的关系，再通过图象中的信息回答题目的几个问题，即可解决问题． 【详解】由图象中的信息可知，小明让小强先跑10米， 因此l2表示小明的路程与时间的关系， 大约20秒时，小明追上了小强， 小强在这次赛跑中的速度是（70-10）÷20=3 米/秒； 故答案依次填：10，l2，20，3米/秒． 【点睛】本题考查了学生观察图象的能力，需要先根据题意进行判断，再结合图象进行计算，能读懂图像中的信息是做题的关键． 三、解答题 21．如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？ 【答案】当销售量超过时，生产该产品才能赢利 【分析】生产该产品赢利，销售收入应大于销售成本，即的函数图象应高于的函数图象，看在交点的哪侧即可． 【详解】解：横轴代表销售量，纵轴表示费用， 在交点的右侧，相同的值，的值，那么表示开始赢利． ∴当时，． 答：该产品的销售量超过4吨时，生产该产品才能赢利． 【点睛】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题；理解赢利的意义是解决本题的关键；解决此类问题，应从交点入手思考． 22．如图，分别表示甲步行与乙骑自行车(在同一路上)行走的路程s甲，s乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题： （1）乙出发时，乙与甲相距 千米； （2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 小时； （3）乙从出发起，经过 小时与甲相遇； （4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？ 【答案】（1)10；(2)1；（3）3；（4）不一样，理由见解析； 【分析】（1）根据t=0时甲乙两人的路程差即为两人的距离解答即可； （2）根据s不变的时间即为修车时间解答即可； （3）根据两人的函数图象的交点即为相遇，写出时间即可； （4）利用速度与时间路程的关系解答即可； 【详解】解：（1）由图象可知，乙出发时，乙与甲相距10千米． 故答案为10． （2）由图象可知，走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为=1.5-0.5=1小时， 故答案为1． （3）图图象可知，乙从出发起，经过3小时与甲相遇． 故答案为3 （4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样.理由如下： 乙骑自行车出故障前的速度=15千米/小时． 与修车后的速度=10千米/小时． 因为15＞10， 所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样. 【点睛】此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力，以及路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用图中信息解决问题，所以中考常考题型． 23．已知函数和相交于点． （1）求k、b的值； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用图象求当x取何值时有：①；②且． 【答案】（1），；（2）画图见解析，①，② 【分析】（1）将点分别代入函数和即可求解； （2）根据描点法画出函数图像，①通过函数图像得到时，自变量的取值范围即可；②观察函数图像，求得且时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：（1）将点代入函数得，解得 将点代入函数得，解得 故答案为， （2）列表，如下 0 2 -2 -1 5 -1 函数图像如下： ①由图像可得：当时，，故答案为 ②将代入得，，由图像可知时， 将代入得，，由图像可知时， 由此可得 【点睛】此题考查了待定系数法求解一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握待定系数法以及一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键． 24．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA//x轴，AC是射线． （1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式； （2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？ （3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？ 【答案】（1）y=3x﹣30；（2）4月份上网20小时，应付上网费60元；（3）5月份上网35个小时 【分析】（1）由图可知，当x≥30时，图像是一次函数图像，设函数关系式为y=kx+b，使用待定系数法求解即可； （2）根据题意，从图像上看，30小时以内的上网费用都是60元； （3）根据题意，因为60＜75＜90，当y=75时，代入（1）中的函数关系计算出x的值即可． 【详解】（1）当x≥30时，设函数关系式为y=kx+b， 则， 解得：， 所以y=3x﹣30． （2）若小李4月份上网20小时，由图像可知，他应付60元的上网费． （3）∵75＞60， ∴小李5月份上网时间x＞30， 把y=75代入y=3x-30得75=3x-30， 解得：x=35， ∴若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是35小时． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数关系式，准确识图、熟练应用待定系数法是解题的关键． 25．已知关于x，y的方程组的解是，且直线与直线关于x轴对称． (1)分别求出两条直线的表达式； (2)求出这两条直线与x轴、y轴围成的三角形面积． 【答案】(1)，； (2)8 【分析】（1）根据方程组的解和两条直线的位置关系求出k、m、n值即可； （2）分别求出两条直线与坐标轴的交点，再根据坐标与图形和三角形的面积公式即可求得所围成的面积． 【详解】（1）解：由题意，点（4，0）在直线上， 则0=4k－2，解得：k=， ∴， ∵直线与直线关于x轴对称， ∴n=2， ∵点（4，0）在直线上， ∴0=4m+2，解得：m=， ∴， 故两条直线的表达式为和； （2）解：由（1）中两直线的表达式可得，两条直线与y轴的交点坐标为（0，－2）和（0，2）， ∵两直线的交点坐标为（4，0）， ∴这两条直线与x轴、y轴围成的三角形面积为=8． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次方程组、坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确求得k、m、n值是解题关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 一次函数（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 函数和它的表示法 1.理解常量、变量、函数的概念 (1)变量与常量:在讨论的问题中,取值会发生变化的量称为变量,取值固定不变的量称为常量(或常数). (2)函数:一般地,如果变量y随着变量x而变化,并且对于x取的每一个值,y都有唯一的一个值与它对应,那么称y是x的函数,记作 y=f(x),x叫作自变量,y叫作因变量,对于自变量x取的每一个值a,因变量y的对应值称为函数值,记作f(a). 2 掌握函数的三种表示方法 表示函数的方法一般有列表法、公式法和图象法. 清单02 一次函数的概念 1.一次函数、正比例函数的概念 关于自变量的一次式的函数称为一次函数,它的一般形式是y=kx+b(k,b为常数k≠0). 特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫作正比例函数,其中k叫作比例系数. 2.一次函数的特征及自变量的取值范围 一次函数的特征是:因变量随自变量的变化是均匀的,一次函数 y=kx+b(k,b为常数k≠0)的自变量取值范围是实数集. 清单03 正比例函数的图象 (1) 图象:一般地,正比例函数y=kx(k为常数,≠0)是一条经过原点的直线. (2)性质:①当k>0时,直线 y=kx 经过第一、三象限且从左向右上升,y随x的增大而增大. ②当k<0时,直线 y=kx 经过第二、四象限且从左向右下降,y随x的增大而减小. 清单04 一次函数的图象 (1)一次函数 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象可以看作由直线y=kx平移个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0 时，向下平移). (2)一次函数y=kx+b(k≠0)的性质:当k>0时,y的值随着x值的增大而增大当k<0时,y的值随着x值的增大而减小, 清单05 一次函数表达式的求法 1.待定系数法的定义:通过先设定函数表达式(确定函数模型),再根据条件确定表达式中的未知系数,从而求出函数表达式的方法称为待定系数法. 2.求一次函数表达式的步骤: (1)设出一次函数表达式y=kx+b; (2)根据条件列出表达式中关于k,b的方程; (3)解方程(组),确定k,b的值; (4)根据求出的k,b的值确定函数表达式. 清单06 一次函数图象的实际应用 掌握应用一次函数解决实际问题的步骤 (1)建立函数模型; (2)求出函数表达式; (3)根据函数表达式画出函数图象; (4)根据函数图象的性质或自变量的取值情况解答问题. 清单07 一次函数与一元一次方程的关系 (1)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解. (2)一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解. 【考点题型一】函数的概念（） 【例1】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】云南昆明斗南花市是亚洲最大的国际鲜花交易市场．如表所示，某鲜花的单价为元/枝，甲同学购买了20枝，金额为30元，若乙同学购买了枝，金额为元，则，下列说法正确的是（   ） 单价（单位：元/枝） 数量（单位：枝） 20 金额（单位：元） 30 A．数量是自变量 B．金额是自变量 C．是因变量 D．是常量 【变式1-2】下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【考点题型二】求自变量的取值范围及函数值（） 【例2】按如图所示的程序计算，当输入时，则输出y为 ． 【变式2-1】在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【变式2-2】在函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式2-3】已知，则当时， ． 【考点题型三】根据情境确定函数图象（） 【例3】由化学知识可知，用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的稀溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映稀溶液的与所加水的体积V之间对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式3-3】均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h随时间变化的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】从函数图象中获取信息（） 【例4】如图①，实践小组将挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：弹簧测力计读数、铁块受到的浮力、容器底部受到的液体压强、水面高度，其中某个量与时间t的关系大致可以用图②来描述，这个量是（　　） A．弹簧测力计读数 B．铁块受到的浮力 C．容器底部受到的液体压强 D．水面高度 【变式4-1】有两个相关联的量，它们的关系如图．这两个相关联的量可能是（　　） A．订阅《智力数学》的总价与本数 B．路程一定时，行驶速度与行驶时间 C．圆的面积与它的半径 D．一袋大米的质量一定，吃掉的大米质量与剩下的大米质量 【变式4-2】某物流公司引进两种机器人用来搬运货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时．种机器人于某日0时开始搬运，1小时后，种机器人也开始搬运．如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象．根据图象提供的信息，下列说法①型机器人每小时搬运60千克；②型机器人每小时搬运90千克；③型机器人连续搬运5小时后的搬运量是点的纵坐标的值，且千克；④如果两种机器人各连续搬运5小时，那么种机器人比种机器人多搬运了240千克；其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①② 【变式4-3】甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．甲的速度为8米/秒 D．当甲出发55秒或65秒时，甲、乙相距50米 【考点题型五】根据一次函数和正比例函数的概念求字母的取值(范围)（） 【例5】已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-1】若是关于x的正比例函数，则的值为 ． 【变式5-2】对于点，若满足，则称该点为“完备点”．已知点是直线上的“完备点”：①当时，则 ；②当时，则的取值范围是 ． 【变式5-3】若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 【考点题型六】正比例函数的图象与性质的综合运用（） 【例6】关于正比例函数，下列说法错误的是（   ） A．其图象经过原点 B．其图象是一条直线 C．随的增大而增大 D．点在其图象上 【变式6-1】关于正比例函数的描述，正确的是（   ） A．图象过二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象过 D．图象是一条过原点的直线 【变式6-2】若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】利用一次函数的图象与性质求字母的值或取值范围（） 【例7】关于直线，下列说法正确的是（　　） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．点在直线l上 【变式7-1】在一次函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数．当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知点 ，点在一次函数 的图象上，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-4】对于一次函数， 下列结论正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【考点题型八】两个一次函数图象共存的问题（） 【例8】一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】在同一直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．  B．  C．   D．   【考点题型九】一次函数与几何综合（） 【例9】如图，已知正比例函数的图象与x轴相交所成的锐角为，定点A的坐标为，P为y轴上的一个动点，M、N为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ． 【变式9-1】.如图，平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点，交轴于点．将线段绕点逆时针旋转得线段，若直线过点且平行于直线，那么直线能否看作是由直线沿轴向右平移得到？若能，请求出平移距离；若不能，请说明理由． 【变式9-2】如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①求直线的函数解析式； ②在轴上另有一点的坐标为，请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【变式9-3】在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点关于点的对称点为点，四边形是平行四边形． (1)求点、点的坐标． (2)过线段的中点作直线，直线把平行四边形分成面积为的两部分，求直线的解析式： (3)在（2）的条件下，直线与轴交于点（当点在点的下方），点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 【变式9-4】如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【考点题型十】用待定系数法求一次函数表达式（） 【例10】已知一次函数的图象经过点和，则该函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，直线l与y轴交于点坐标为，过点，，直线l对应的函数表达式为 ． 【变式10-2】若正比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【变式10-3】在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【考点题型十一】一次函数的实际问题（） 【例11】“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进，两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，则进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示． (1)①当时，与之间的函数关系式______； ②当时，与之间的函数关系式______； (2)现学校准备购进，两种图书共100本，已知种图书每本25元．若购进种图书不少于50本，且不超过种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，当为何值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【变式11-1】实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折销售； B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题： (1)分别写出与x之间的关系式： (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案． 【变式11-2】江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 【变式11-3】某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． (1)求每台型和型商品的销售利润； (2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 【变式11-4】在一条直线上依次有，，三个海岛，某巡逻船执行海洋巡逻任务，从岛出发沿直线匀速行驶到岛，保持速度不变，继续行驶到达岛．设该巡逻船行驶（）后，与岛的距离为（km），与的函数关系如图所示． (1)直接写出，两海岛间的距离，并求出函数图象中括号处缺失的数据； (2)求段的关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)在岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，请直接写出该巡逻船能接收到该信号的时长． 【变式11-5】某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为元，客户的数量为人，请结合函数图像，回答下列问题： (1)系统维护的固定成本是________元． (2)若当客户人数为5000人时，总的运行成本为元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为元，且． ①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本． ②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？ 【变式11-6】我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准．某用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数如图所示． (1)观察图象，求出函数在不同范围内的解析式； (2)若某用户该月交水费63元，求该用户用了多少吨水？ 【考点题型十二】利用一次函数图象解一元一次不等式（） 【例12】一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式12-1】如图，一次函数的图象经过坐标轴上，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】函数（）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【变式12-3】已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【考点题型十三】图象解二元一次方程组（） 【例13】如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【变式13-1】一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【变式13-2】在平面直角坐标系中，有直线和直线，它们的交点为P，与x轴交于点A，与x轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)用图象法解方程组 ； (3)求的面积． 【变式13-3】.已知点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，，满足方程． (1)求A、B两点坐标； (2)若在直线上的点横纵坐标均为上面方程的解，则直线叫做方程的图象，已知点是线段上一点，写出m和n的关系式（用n表示m）并写出m的取值范围． 【考点题型十四】 求直线围成的图形面积（） 【例14】如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 【变式14-1】已知，直线与轴、轴分别交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-2】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求点A和点B的坐标； (2)求的面积； (3)若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标． 【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于两点，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，，两直线相交于点． (1)________． (2)求点的坐标； (3)若为直线上的动点，连接、，，求点的坐标． 【变式14-4】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线 交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线与轴交于点，若点是直线上一动点，且满足，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 一、单选题 1．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（  ） A． B． C． D． 3．下列说法中，不正确的是（   ）． A．在中，是的正比例函数 B．在中，是的正比例函数 C．在＝3中，是的正比例函数 D．正方形的边长与周长为正比例关系 4．下列函数中，不是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 5．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则直线y=bx+k不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（    ） A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm 8．关于变量x，y有如下关系：①x-y=5；②y2=2x；③：y=|x|；④y=．其中y是x函数的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，则关于x，y的方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 11．一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境： ①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米； ②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升； ③在矩形中，，点P从点A出发．沿路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，的面积为y．其中，符合图中函数关系的情境个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 12．函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C． D． 13．已知点P（m，n）是一次函数y=x﹣1的图象位于第一象限部分上的点，其中实数m、n满足(m+2)2﹣4m+n(n+2m)=8，则点P的坐标为（     ） A．(0.5,﹣0.5) B．(,) C．(2,1) D．(1.5,0.5) 14．如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为（    ）.    A． B． C． D． 15．已知，等边三角形和正方形的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点共线，沿方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为，运动过程中两图形重叠部分的面积为，则下面能大致反映与之间关系的函数图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   二、填空题 16．若直线经过第二、四象限，则m的取值范围为 ． 17．一次函数的函数值随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，，由绕点顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是 ． 19．由一次函数的图象经过，可知方程的解为 ． 20．小明和小强进行百米赛跑，小明比小强跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢，如图所示，现在小明让小强先跑 米，直线 表示小明的路程与时间的关系，大约 秒时，小明追上了小强，小强在这次赛跑中的速度是 ． 三、解答题 21．如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？ 22．如图，分别表示甲步行与乙骑自行车(在同一路上)行走的路程s甲，s乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题： （1）乙出发时，乙与甲相距 千米； （2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 小时； （3）乙从出发起，经过 小时与甲相遇； （4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？ 23．已知函数和相交于点． （1）求k、b的值； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用图象求当x取何值时有：①；②且． 24．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA//x轴，AC是射线． （1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式； （2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？ （3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？ 25．已知关于x，y的方程组的解是，且直线与直线关于x轴对称． (1)分别求出两条直线的表达式； (2)求出这两条直线与x轴、y轴围成的三角形面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$