精品解析：浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（2-17班使用）

北仑中学2025学年第二学期高一年级期中考试数学试卷 （2-17班使用） 命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若＝（1，2），＝（x，4），若//，则实数x＝（　　） A. 8 B. －2 C. 2 D. －8 2. 复数（ ） A. B. C. D. 3. 如图在△ABC， ， P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知等腰直角三角形，是由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（ ） A. B. 8 C. D. 32 6. 如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体与直三棱柱的组合体，且为等腰直角三角形，则直线与直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（ ） A B. C. D. 8. 函数的图象与轴交于点A，过点A的直线与函数的图象交于点两点，则（　　） A. B. C. D. 25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数z，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的虚部为1 D. 若，则 10. 已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（ ） A. 的周长为 B. 的三个内角，，满足关系 C. 的外接圆半径为 D. 中线的长为 11. “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ） A. 该“十字贯穿体”有22个顶点 B. 该“十字贯穿体”的表面积是 C. 该“十字贯穿体”体积是 D. 一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量在向量上的投影向量______（用坐标表示）. 13. 已知正四面体的棱长为4，则该正四面体外接球的体积为______． 14. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，其中． （1）若向量为单位向量，且，求向量； （2）若向量，向量与向量共线，求． 16. 如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． （1）求证：直线平面． （2）求证：平面平面． 17. 在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 18. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花. （1）求该烟花的体积； （2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）. ①请用表示燃料的体积V； ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间. 19. 已知点坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量． （1）若，求坐标； （2）若，求的坐标（用表示）； （3）若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北仑中学2025学年第二学期高一年级期中考试数学试卷 （2-17班使用） 命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若＝（1，2），＝（x，4），若//，则实数x＝（　　） A. 8 B. －2 C. 2 D. －8 【答案】C 【解析】 【分析】直接用向量平行的坐标运算公式计算即可. 【详解】// ，得 故选：C 2. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则计算即得. 【详解】. 故选：A. 3. 如图在△ABC， ， P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算得到，再利用向量共线定理的推论得到方程，求出m的值. 【详解】因为，所以，故， 因为三点共线，故，解得：. 故选：C 4. 如图，已知等腰直角三角形，是由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 分析】利用斜二测画法还原图形可得答案. 【详解】∵，，，∴， 由此可知平面图形是如图所示的， 其中，，， ∴． 故选：D. 5. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（ ） A. B. 8 C. D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出正四棱锥，借助于求得斜高长，即可计算侧面积. 【详解】 如图，是四棱锥的高，于点，连接，则， 因正方形的边长为4，则， ， 故正四棱锥的侧面积为. 故选：D. 6. 如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体与直三棱柱的组合体，且为等腰直角三角形，则直线与直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，易知，所以为直线与直线所成的角或其补角，设，从而得出，，在中，利用余弦定理即可求出结果. 【详解】如图，连接，易知，所以为直线与直线所成的角或其补角， 设,则，在中，， 在中，由余弦定理得， 又，所以，又直线与直线所成角范围为， 所以直线与直线所成的角为， 故选：D. 7. 在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正弦定理化边为角求出角，在向量化求出边，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以， 在中，D为的中点，则， 则， 即，解得（舍去）， 所以. 故选：D. 8. 函数的图象与轴交于点A，过点A的直线与函数的图象交于点两点，则（　　） A. B. C. D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】由求得点坐标，设，由对称性求得，然后由数量积坐标表示计算． 【详解】由f(x)=可得=kπ，k∈Z； ∴；又，∴x=即A(,0)； 设， 又过点A的直线l与函数的图象交于，C两点， ∴B,C两点关于A对称,即x1+x2=5，y1+y2=0； ∴ 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数z，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的虚部为1 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；求出模判断B；求出虚部判断C；利用复数的几何意义判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，设，由，得，的虚部为1，C正确； 对于D，表示复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 是点与点的距离，而，所以，即，D正确. 故选：BCD 10. 已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（ ） A. 的周长为 B. 的三个内角，，满足关系 C. 的外接圆半径为 D. 的中线的长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知结合正、余弦定理和面积公式可以求得，，进而可以得到选项ABC是否正确，选项D，弦利用正弦定理和三角变换求出，再借助余弦定理解三角形，可得解. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 设，利用余弦定理得，， 而，则，由，得， 解得，因此， 对于A， 的周长为，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由正弦定理得外接圆半径为，C正确； 对于D，在中，利用正弦定理，解得，又，则， 在中，由余弦定理，D错误． 故选：ABC 11. “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ） A 该“十字贯穿体”有22个顶点 B. 该“十字贯穿体”的表面积是 C. 该“十字贯穿体”的体积是 D. 一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据几何体特征判断即可；对于B：该“十字贯穿体”由4个正方形和16个与梯形全等的梯形组成，分别求出来即可；对于C：求出两个正四棱锥重叠部分为多面体的体积，然后求整个几何体的体积；对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，则线段的长即为所求. 【详解】对于A：该“十字贯穿体”有22个顶点，A正确； 对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成， 故表面积，B错误； 对于C：如图两个正四棱锥重叠部分为多面体，取的中点， 则多面体可以分成8个全等的三棱锥， 又， 所以该“十字贯穿体”的体积是，C正确； 对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，如图： 则，所以为钝角， 连接，则线段的长为一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长，根据对称性可得， 因为，所以， 又， 所以， 所以，又， 所以， 则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量在向量上的投影向量______（用坐标表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件和投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意得， 所以向量在向量上的投影向量为， 所以. 故答案为：. 13. 已知正四面体的棱长为4，则该正四面体外接球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体，则两几何体有共同的外接球，根据正四面体棱长，求出正方体棱长，再由其体对角线长求得外接球半径，即可求解. 【详解】 如图，将正四面体放入正方体中， 则该正四面体的外接球即正方体的外接球， 设正方体棱长为，因正四面体的棱长为4，则有，解得， 则正四面体外接球半径为， 故该正四面体外接球的体积为. 故答案为：. 14. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据结合余弦定理得，再将所求利用正弦定理化边为角，利用二倍角公式化简，利用对勾函数求出范围. 【详解】由余弦定理得，又， 则，即，于是， 由正弦定理得， 即， 在锐角中，，，而正弦函数在上递增， 则，即，此时，，，， ， 令，函数在上递减，在上递增， 当时，，当时，， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，其中． （1）若向量为单位向量，且，求向量； （2）若向量，向量与向量共线，求． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示及单位向量定义求解. （2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求出. 【小问1详解】 设与向量垂直的向量，则，不妨取，得， 而，则，又向量单位向量，则， 所以向量为或. 【小问2详解】 向量，由，而， 依题意，，解得. 16. 如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． （1）求证：直线平面． （2）求证：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理和正方形性质得到，再由线线平行证明线面平行即可； （2）先证明直线平面，结合（1）已证直线平面，利用线面平行即可证明面面平行. 【小问1详解】 因分别是的中点，则， 又是正方形，则，故， 因平面，平面，故直线平面. 【小问2详解】 因分别是的中点，则， 又平面，平面，故直线平面， 由（1）已证直线平面， 因平面，故平面平面. 17. 在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. 【小问2详解】 由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. 【小问3详解】 因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 18. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花. （1）求该烟花的体积； （2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）. ①请用表示燃料的体积V； ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据球，圆台，圆锥的体积公式运算即可； （2）①利用角度关系结合三角函数表示出矩形的边长，从而求出圆柱体的体积；②将体积代入关系式中并化简，解得：，然后结合复合函数和基本不等式将等式转化求解. 【小问1详解】 该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成， 又，，， 所以该烟花的体积. 【小问2详解】 ①由图可知：，， 在梯形中，由，，易知，故， 则， 所以； ②由①可知：， 即， 令，则，上式即为， 又令，，则， 当时，，当时，， 当时， ， 当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意． 该烟花燃烧的最长时间为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问题目难度较大，将等式转化成，然后结合基本不等式二次转化成是本题的关键点和突破点. 19. 已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量． （1）若，求的坐标； （2）若，求的坐标（用表示）； （3）若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设，得到，逆时针旋转，得到，根据三角函数定义求出的坐标为； （2）设，向量绕逆时针旋转角后得到向量，结合三角恒等变换得到的坐标； （3）设，时，，由（2）知， 将代入抛物线，消去得，将代入上式得，讨论的个数，等价于上式的解的个数，其中时，需找方程的非零解，令，，联立得，再根据两方程的根的判别式分类讨论，得到答案. 【小问1详解】 设， 由于，，则，， 又将向量绕逆时针旋转，故，， 所以，， 设，则，， 所以的坐标为； 【小问2详解】 设，， 又，则， 向量绕逆时针旋转角后得到向量， 所以，， 其中， ， 故； 【小问3详解】 设，时，， 由（2）知逆时针旋转得， 即， 均在抛物线上，故， 消去得， 所以， 即，故， 将代入上式得， 由可知，确定，则与之唯一确定， 所以讨论的个数，等价于的解的个数， 其中时，需找方程的非零解， 令①，其中， 令②，其中， 联立①②得， 所以时，方程①②有相同解，， 当时，方程①②均无解，所以的个数为0； 当时，方程①无解，②仅有一个解，所以的个数为1； 当时，方程①无解，②有一个非零解，，所以的个数为1； 当或时，方程①无解，②有两个解，所以的个数为2； 当时，方程①仅有1个解，，②有2个解，或， 所以的个数为2； 当时，方程①②均有两个解，且两方程解均不同，所以的个数为4； 综上，当时，的个数为0；当或0时，的个数为1； 当或时，的个数为2；当时，的个数为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$