精品解析：广东省惠州一中教育集团2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷 -

惠州一中教育集团2024-2025学年第二学期初二期中考试数学试题卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式一定是二次根式的是（     ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 1，2，3 D. 5，7，11 4. 下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 角平分线上的点到角的两边距离相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 对顶角相等 5. 如图，四边形中，，对角线AC、BD相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 在四边形中，．顺次连接四边形四边中点E、F、G、H，则四边形的形状一定是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能确定 7. 如图，点E表示的数为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在的两边上分别截取，，使，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，，，若，四边形的面积为，则的长为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，和是两块相互平行的平面镜，与之间的距离为，光线从点出发，照射到点后，再反射到点．根据“知识桥”的内容可知，光线的长为（ ） 知识桥：根据镜面反射规律，若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有． A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________． 12. 比较大小：__________．（填“”“”或“”） 13. 如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 14. 如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若，，则点D的坐标是____________． 15. 如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图1是一架移动式小吊机的示意图，吊机工作时利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到水平地面的距离，点到的距离．求点到水平地面的距离． 18. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 求值： （1）已知，求的值； （2）已知，求代数式的值． 20. 【题目】求的整数部分． 【解题方法】方法一：由，得， ， 的整数部分是1． 方法二：如图①，正方形的边长为1，由勾股定理可求得对角线的长为，再由三边关系可求得，进而求得的整数部分是1． 【应用】 （1）利用方法一求的小数部分； （2）如图②，在的正方形网络中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．借助图②，利用方法二说明与的大小关系． 21. 在中，，D是的中点， 小星说：由题目的已知条件，若过点A作，且，连接，则可证明四边形是菱形； 小红说：由题目的已知条件，若过点A作，过点C作，则可证明四边形是菱形； （1）请你选择一位同学的说法进行证明； （2）若，，求菱形的周长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在学习勾股定理后，我们知道，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则可得到，小红和小林分别通过各自的方式验证了这一结论． 【验证】（1）小红将如图1所示的4张大小形状完全相同的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的面积为______，也可用几个三角形和正方形的面积表示为______，然后根据面积之间的数量关系即可验证勾股定理； （2）爱动脑的小林用图1中相同的2张直角三角形纸片拼成了如图3所示的梯形，他发现通过该图形也能验证勾股定理，请你帮助小林完成验证； 【应用】（3）如图4，已知在中，，，，动点D从点B出发沿射线运动，连接． ①当点D在线段上运动，且时，求的长； ②已知点C关于所在直线的对称点为点，当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 23. 综合与探究 问题情境：折叠问题的实质是图形的轴对称变化，找出对应相等的元素是解题的关键．如图，在矩形中，，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 问题解决： （1）如图当点落在对角线上时，求线段的长． （2）如图，当时，求线段的长． （3）在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州一中教育集团2024-2025学年第二学期初二期中考试数学试题卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式一定是二次根式的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，当时，就是二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是三次根式，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：中被开方数，所以无意义，故B选项不符合题意； C选项：符合二次根式的定义，故C选项符合题意； D选项：中当时，无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，二次根式减法计算和化简二次根式，根据二次根式的相关计算法则求出每个选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 1，2，3 D. 5，7，11 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，即可一一判定． 【详解】解：A、，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形； B、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形； C、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形； D、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握和运用勾股定理的逆定理是解决本题的关键． 4. 下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 角平分线上的点到角的两边距离相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与逆命题，分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可，能够写出各个命题的逆命题是解题的关键． 【详解】、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意． 、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题，符合题意； 故选：． 5. 如图，四边形中，，对角线AC、BD相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】A. 由，可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C. 由，可知，四边形的一组对边平行且相等，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D. 由，可知，，即，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 6. 在四边形中，．顺次连接四边形四边中点E、F、G、H，则四边形的形状一定是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键；画出图形，由三角形中位线定理得四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，则有，从而四边形是矩形． 【详解】解：如图，四边形，与交于点O，E、F、G、H分别为各边的中点，依次连接点E、F、G、H，如图所示： ∵E、F、G、H分别为各边的中点， ∴，（三角形的中位线平行于第三边） ∴四边形是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ∵， ∴， ∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）， ∴， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故选：A． 7. 如图，点E表示的数为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A表示的数为-1，点D表示的数为0，得到AD=1，根据正方形ABCD中AD=CD=1，∠ADC=90°，推出，得到，推出，得到点E表示的数为． 【详解】解：∵点A表示的数为-1，点D表示的数为0， ∴AD=1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=1，∠ADC=90°， ∴， ∵， ∴， ∴点E表示的数为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解决问题的关键是熟练掌握实数与数轴上的点一一对应的关系，数轴上两点间的距离与两点表示的数的关系． 8. 如图，在的两边上分别截取，，使，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，，，若，四边形的面积为，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键．根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得 故选：B． 9. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 由等腰三角形的性质可得点是的中点，从而可得是的中位线，根据三角形的中位线定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，平分交于点， ∴点是的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 10. 如图，和是两块相互平行的平面镜，与之间的距离为，光线从点出发，照射到点后，再反射到点．根据“知识桥”的内容可知，光线的长为（ ） 知识桥：根据镜面反射规律，若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，作于，则，由平行线的性质并结合题意可得，由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图：作于，则， ， ∵和是两块相互平行的平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义，则， 即． 故答案为： 12. 比较大小：__________．（填“”“”或“”） 【答案】> 【解析】 【分析】根据二次根式将化为，即可进行比较． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：>． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握比较实数大小的方法． 13. 如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得：负值已舍去 故答案为： 14. 如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若，，则点D的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的四条边都相等，菱形的性质和等边三角形的性质，求出D点到x轴的距离和到y轴的距离即可． 【详解】解：过点D作于点G， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形，四边形 ABCO是正方形， ∴， ∴， =， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形和菱形的性质，等边三角形的性质，运用了解直角三角形的知识，解题关键是牢记相关性质以及灵活运用解直角三角形的公式． 15. 如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，取的中点，连接，易得：为的中位线，进而得到当时，最短，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，则：， ∵， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为上一个动点， ∴当时，最小， ∵矩形， ∴， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘方、化简二次根式、计算二次根式的除法，再进行加减法计算即可． 【详解】解： 17. 如图1是一架移动式小吊机的示意图，吊机工作时利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到水平地面的距离，点到的距离．求点到水平地面的距离． 【答案】点到水平地面的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，先证明四边形是矩形求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题可知，，，， ． 四边形是矩形， ． ∵，， ∴在中，由勾股定理得：， ． 答：点到水平地面的距离为． 18. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 【答案】 ∵菱形的对角线和交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定，先根据菱形的性质得，，，则，证明四边形是平行四边形，结合，，即可作答． 【详解】略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 求值： （1）已知，求的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算、完全平方公式、平方差公式、代数式的求值等问题，利用公式进行变形简化计算是解题的关键． （1）先求出，，，再根据平方差公式进行变形简化计算，即可求解； （2）先利用完全平方公式进行变形简化计算，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 当时， 原式． 20. 【题目】求的整数部分． 【解题方法】方法一：由，得， ， 的整数部分是1． 方法二：如图①，正方形的边长为1，由勾股定理可求得对角线的长为，再由三边关系可求得，进而求得的整数部分是1． 【应用】 （1）利用方法一求的小数部分； （2）如图②，在的正方形网络中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．借助图②，利用方法二说明与的大小关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据题意得到，即可得到答案； （2）由勾股定理可求得，，，根据三角形三边关系得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：由，得， ， 的小数部分是． 【小问2详解】 解：如图，由勾股定理可求得，，， 在中，， ． 21. 在中，，D是的中点， 小星说：由题目的已知条件，若过点A作，且，连接，则可证明四边形是菱形； 小红说：由题目的已知条件，若过点A作，过点C作，则可证明四边形是菱形； （1）请你选择一位同学的说法进行证明； （2）若，，求菱形的周长． 【答案】（1） 选择小星的说法证明： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴ ∴四边形是菱形； 或选择小红的说法证明： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴ ∴四边形是菱形； （2）20 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）小星：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，然后结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出一组邻边相等，证明四边形是菱形；小红：根据两组对边平行的四边形是平行四边形，然后结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出一组邻边相等，证明四边形是菱形； （2）运用勾股定理算出斜边是，再结合斜边上的中线等于斜边的一半以及菱形的四边相等的性质，进行作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∵D是的中点， ∴ ∵四边形是菱形； ∴菱形的周长是． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在学习勾股定理后，我们知道，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则可得到，小红和小林分别通过各自的方式验证了这一结论． 【验证】（1）小红将如图1所示的4张大小形状完全相同的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的面积为______，也可用几个三角形和正方形的面积表示为______，然后根据面积之间的数量关系即可验证勾股定理； （2）爱动脑的小林用图1中相同的2张直角三角形纸片拼成了如图3所示的梯形，他发现通过该图形也能验证勾股定理，请你帮助小林完成验证； 【应用】（3）如图4，已知在中，，，，动点D从点B出发沿射线运动，连接． ①当点D在线段上运动，且时，求的长； ②已知点C关于所在直线的对称点为点，当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）验证：∵梯形的面积为，也可表示为， ∴， 整理得； （3）①；②的长为或6 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，以及勾股定理的灵活运用，解答时涉及列代数式，等式变形，熟练运用数形结合思想，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）将正方形的面积表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即可用含a、b、c的代数式表示出大正方形的面积；根据同一个图形用不同方法表示出其面积，面积不变即可得到等式； （2）梯形的面积为，也可表示为，可得，再化解即可； （3）①在中，由勾股定理得．再由，可得．在中，由勾股定理得； ②分为当点D在线段上，且点恰好落在射线上，当点D在线段的延长线上，且点恰好落在射线上，这两种情况结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）图2中大正方形的面积为，也可用几个三角形和正方形的面积表示为, 故答案为：；； （2） 略 ②如图，当点D在线段上，且点恰好落在射线上． ∵点C与点关于对称， ∴，，， ∴，． 设， ∴． 在中，， 即， ∴， 即的长为； 如图2，当点D在线段的延长线上，且点恰好落在射线上． ∵点C与点关于对称， ∴，，， ∴． 设， ∴． 在中，， 即， ∴，即的长为6． 综上，的长为或6 23. 综合与探究 问题情境：折叠问题的实质是图形的轴对称变化，找出对应相等的元素是解题的关键．如图，在矩形中，，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 问题解决： （1）如图当点落在对角线上时，求线段的长． （2）如图，当时，求线段的长． （3）在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）利用勾股定理得，由折叠的性质得，，，即得，设，则，在中利用勾股定理解答即可求解； （）在上取一点，使得，连接，可证是等腰直角三角形，得到，即得，进而得，即得到，据此即可求解； （）分点在和点在延长上，分别画出图形，利用矩形和折叠的性质分别解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，在上取一点，使得，连接， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，当点在上时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴； 如图所示，当点在延长上时， 同理可证明， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $