精品解析：江苏省射阳中学2025届高三下学期全真模数学试题

2025届高三全真模拟数学学科试题 时间：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点 的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【详解】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D 2. 已知集合，若，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B，再由集合交集建立不等式得解. 【详解】因为，， 所以，所以， 故选：B 3. 若“，”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定对于恒成立，变换，根据三角函数的值域得到答案. 【详解】“，”是假命题， 即对于恒成立，即， ，，故. 故选：B 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得 ，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】根据正态分布的知识得，则， ， 当且仅当，即时取等. 故选：D 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及对数函数性质，结合不等式性质比较大小. 【详解】依题意，，， ， 所以. 故选：D 6. 设数列满足，，，为的前项和，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，从而可得，即可求解. 【详解】令由，得到， 即，又，，则，， 所以，则，又， 所以数列是以 为首项，公比为 的等比数列，则， 由，得到，即，又，所以， 故选：D. 7. 已知分别是双曲线 ：的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为 ，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于，利用角平分线的性质及双曲线的定义求得，再根据双曲线的参数关系及离心率公式求离心率. 【详解】延长交于，由是的角平分线， 则，，又是的中点， 所以，且， 由， 则， 所以. 故选：A 8. 如图，三个区域有通道口两两相通，一质点从其所在的区域随机选择一个通道口进入相邻的区域，设经过次随机选择后质点到达 区域的概率为，若质点一开始在 区域，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记质点经过次随机选择后到达 区域的概率为，质点经过次随机选择后到达区域的概率为，经过分析可得，整理得，通过构造等比数列即可求解. 【详解】记质点经过次随机选择后到达 区域的概率为， 质点经过次随机选择后到达区域的概率为， 则有，消去，可得， 则，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 故. 故选：. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10. 已知抛物线 ：的焦点为 ，为 上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与 相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 【答案】BCD 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D. 【详解】解：抛物线 ：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误； 由，即，解得，所以直线与 相切，故B正确； 设点，所以， 所以，故C正确； 如图过点作准线，交于点 ，，， 所以， 当且仅当、、 三点共线时取等号，故D正确； 故选：BCD 11. 柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（ ） A. 该正八面体的外接球的体积为 B. 平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为 C. 甲能构成正三角形的概率为 D. 甲与乙均能构成正三角形的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图形，根据勾股定理求出球的半径，结合球的体积公式计算即可判断A；如图，根据等面积求出OH，进而求出截面圆的半径即可判断B；确定甲乙选择的三个点构成正三角形的情况，结合古典概型的概率公式计算即可判断CD. 【详解】A：由棱长为2，得正八面体上半部分的斜高为，高为， 则正八面体的体积为． 则正八面体的外接球的球心为，半径为， 所以外接球的体积为，故A正确； B：由于到平面的距离等于到平面的距离， 在中，过作的垂线，垂足为，则平面． 由，得， 平面截正八面体的外接球所得截面是圆，半径， 所以所得截面的面积为，故B正确； C：甲随机选择的情况有种，甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况： 甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有种， 甲构成正三角形的概率为，故C错误； D：乙随机选择的情况有种，乙构成正三角形，只有一种情况： 上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点， 或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点， 共有种，概率为；又甲能构成正三角形的概率为， 所以甲与乙均能构成正三角形的概率为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的综合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，关键是：⑴利用球的弦长公式计算弦长；⑵确定平面截球体所得截面的形状. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数在处取得极值10，则a＝______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数在处有极值10，可知（1）和（1），可求出 . 【详解】由，得， 函数在处取得极值10， （1），（1）， ， 或， 当 时，， 在处不存在极值； 当时， ，，，，， 符合题意. 故答案为：4. 13. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为__________；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设事件 表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件 表示“骑共享单车”，事件 “表示迟到”，利用全概率公式可得小明这一天迟到的概率；利用贝叶斯公式即可得到若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率；或者在迟到的前提下计算概率即可． 【详解】由题意设事件 表示“自驾”，事件表示“坐公交车”， 事件 表示“骑共享单车”，事件 表示“迟到”， 则. 由全概率公式可得小明这一天迟到的概率： . 解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得 他自驾去上班的概率是. 解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率. 故答案为：；. 14. 在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，过点作于点 ，则折成二面角后，，由结合向量的数量积运算求解即可． 【详解】在平面直角坐标系中，过点作于点 ， 可知， 沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后， 仍有， 则， 由， 可得， 即， 即， 可得． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． （1）求； （2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求； （2）利用余弦定理得到，结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以且，所以，可知， 又由，可知，所以，故， 由，可得，即． 【小问2详解】 ， 化简得， 因为，所以， 所以， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以，故长的最大值为． 16. 如图，三棱柱中，，，平面平面. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成角为， 为的中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：过点 作，垂足为， 因为平面平面， 所以平面，故， 又因为，，， 所以，故， 因为，所以， 又因为，所以平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）过点C作CO⊥AA1，则CO⊥平面AA1B1B，CO⊥OB，推导出Rt△AOC≌Rt△BOC，从而AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平面BOC，由此能证明AA1⊥BC． （2）以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值． 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，，，所在直线为 ，，轴，建立空间直角坐标系， 因为平面， 所以是直线与平面所成角， 故， 所以，， ，，，，，， 设平面的法向量为，则 ，所以， 令，得， 因为平面， 所以为平面的一条法向量， ， ， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 17. 在数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1） （2）①证明：由得 所以① 所以② ②-①得：③ 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ②证明：当时，由得，所以， 又，故的公差为1，所以， 所以， 即 ． 【解析】 【分析】（1）变形得到，结合，故，从而得到； （2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列； ②求出，结合，得到公差，得到通项公式，所以，裂项相消法求和证明出结论. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以n=1时，， 所以数列是各项为0的常数列，即， 所以． 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 18. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以 ，为焦点，4为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程. （2）①设直线 的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到，再由斜率公式计算可得； ②作关于 轴的对称点，则 ， ， 三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【小问1详解】 由，， 所以点在以 ，为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为， 焦距为，则，， 所以， 所以C的方程为. 【小问2详解】 ①由，直线 的斜率存在且不为0， 设直线 的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以， 又因为，所以，， 所以， . ②由①可知，，所以， 作关于 轴的对称点，则 ， ， 三点共线， 又，，设， 则直线方程即为直线方程， 又直线方程为， 作差可得， 所以， 所以，， 又，得出， 又因为， 所以， 即，即， 所以点在以 ，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以. 19. 已知函数. （1）若为奇函数，求此时在点处的切线方程； （2）设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点. （i）求函数的极值； （ii）若，且，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）时，极大值，极小值；时，极大值，极小值. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义, 求出 的值, 然后利用导数求切线方程. （2）( i )对 进行求导, 将 既存在极大值, 又存在极小值转化成 必有两个不等的实数根, 利用导数得到 的单调性和极值, 进而即可求解; (ii) 对 进行求导, 利用导数分析 的极值, 将 恒成立转化成 , 构造函数, 利用导数分类讨论求解即可. 【小问1详解】 为奇函数，有，则，经检验知满足题意， 所以所以，， 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）， 因为函数既存在极大值，又存在极小值， 则必有两个不等的实根，则， 令可得 或， 所以，解得且. 当时，.则有： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 极大值，极小值 当时，.则有： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 极大值，极小值. （ii）由，所以， 由题意可得对恒成立， 即 令，其中 ， 令，则 ①当，即时，在上是严格增函数， 所以，即，符合题意； ②当，即或时， 设方程的两根分别为且， 当时，则， 则在上是严格增函数， 所以，即，符合题意； 当时，则， 则，则当时，， 则在上单调递减，，即不合题意. 综上所述， 的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究曲线的切线、极值与最值等知识与方法，其中第 (2) 问的 (ii ) 小问, 关键是将 恒成立转化成 , 构造函数,利用导数分类讨论求解即可, 属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三全真模拟数学学科试题 时间：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若“，”是假命题，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 设数列满足，，，为的前 项和，若，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别是双曲线 ：的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为 ，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三个区域有通道口两两相通，一质点从其所在的区域随机选择一个通道口进入相邻的区域，设经过 次随机选择后质点到达 区域的概率为，若质点一开始在 区域，则（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 10. 已知抛物线 ：的焦点为 ，为 上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与 相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 11. 柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（ ） A. 该正八面体的外接球的体积为 B. 平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为 C. 甲能构成正三角形的概率为 D. 甲与乙均能构成正三角形的概率为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数在处取得极值10，则a＝______． 13. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为__________；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为__________. 14. 在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为 的二面角后，，则 的余弦值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． （1）求； （2）记 的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值． 16. 如图，三棱柱中，，，平面平面. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成角为， 为的中点，求二面角的余弦值. 17. 在数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 18. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 19. 已知函数. （1）若为奇函数，求此时在点处的切线方程； （2）设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点. （i）求函数的极值； （ii）若，且，求实数 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $