精品解析：山东省青岛市2024-2025学年高一下学期期中学业水平检测数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中学业水平检测 高一数学试题 2025.04 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出复数的实部、虚部可得答案. 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是. 故选：B. 2. 已知，且与共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为，且与共线， 所以，解得. 故选：D. 3. 的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，所以. 故选：C 4. 某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可求得结果. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理可得， ， 即观赏亭与观赏亭之间的距离为. 故选：C 5. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】由单位向量，满足， 所以，解得， 则在上的投影向量为． 故选：B． 6. 要得到函数图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，再根据三角函数的平移变换求解即可. 【详解】因为， 所以要得到的图象，只需把将的图象向左平移个单位即可. 故选：B 7. 分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示建立函数关系，结合辅助角公式及正弦函数性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 由为上一点，设，而， 则， ，其中锐角由确定， 显然，即，又，， 则当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故选：B 8. 记的外心为点，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形的外心可得，再由结合数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得， 又点为的外心，所以， 且， 所以， 且，即， 即， 所以. 故选：D 二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分. 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图象的最值，周期和经过的点，依次求得，即得函数的解析式，再对各选项进行逐一判断即可. 【详解】由图可得，，故A正确； 函数的最小正周期满足，则得，解得， 将点代入中，可得， 因，则，故得，解得，故B错误； 由上分析，可得，则，故C正确； 当时，，因函数在上不是减函数， 故在区间上也不是减函数，即D错误. 故选：AC. 10. 已知，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数模长、乘法运算，结合共轭复数定义判断ABC，结合复数的几何意义，根据点与圆的位置关系求解最值判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，则， 所以，B正确； 对于C，因为， 所以， ，所以，C错误； 对于D，复数在复平面内对应的点为， 则表示复数在复平面内对应的点在以为圆心1为半径的圆上， 而表示复数在复平面内对应的点到原点的距离， 所以的最大值为，D正确. 故选：ABD. 11. 记单位向量的夹角为，若向量，则把有序数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的仿射坐标，记，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算结合“仿射”坐标系下的仿射坐标，确定向量模长公式、数量积公式、投影向量公式，逐项判断即可得结论. 【详解】由题可设，， 则，， 对于A，， 所以，故A不正确； 对于B，设，若，则存在实数使得，则，故B正确； 对于C，设，若， 则， 当时，，，当时，，不垂直，则不一定垂直，故C不正确； 对于D，在，则， 上的投影向量为，故D正确. 故选；BD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等腰三角形中，，则向量与夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形确定角大小，从而根据平面向量的夹角得向量与的夹角. 【详解】在等腰三角形中，，则， 所以向量与的夹角为. 故答案为：. 13. 已知是关于的方程的一个根，则实数___________． 【答案】12 【解析】 【分析】由根与系数的关系即可得到答案. 【详解】设方程的另一个根为，由根与系数的关系： 故答案为：12. 14. 已知满足，若，的最小值为，则的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，作点关于的对称点，设，如图根据向量的线性运算化简题中的式子为，利用点关于直线对称的性质可得，结合余弦定理可求得，利用倍角公式求出，最后根据面积公式计算即可. 【详解】设，则，且点在线段上运动， 所以， 设，则， 所以， 所以， 即， 作点关于的对称点，设， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得，即， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了向量的线性运算，余弦定理解三角形以及三角函数的倍角公式，解题的关键是根据向量的线性运算化简题中的式子为，利用点关于直线对称的性质可得，结合余弦定理可求得，最后根据面积公式计算. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求； （2）若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的四则运算代入计算，即可得到结果； （2）由向量垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，所以 因，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，则， ，因为，所以， 解得. 16. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理边角转化，可求得，即可求出角； （2）结合（1）的结论和三角形面积公式可求得，由余弦定理有 ，据此可求出，从而可得到的周长. 【详解】由，利用正弦定理得， 因为，所以. 又因为为锐角，所以. （2）由，所以， 又，即， 则，即. 又，所以. 所以的周长为. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 17. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车轴心距水面的高度为米.设筒车上某个盛水桶到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分钟）之间的关系式为. （1）求与时间（单位：分钟）之间的关系式； （2）某时刻（单位：分钟）时，盛水桶在过点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶到水面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期求出，根据振幅和中心求得，根据特殊点求得，即可得解； （2）根据三角函数同角关系求得，然后根据两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，因为，所以； 因为半径为2米，筒车的轴心距水面的高度为1米，可得， 当时，，代入得， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 由题意得，，得， 由题意知，所以， 所以 ， 所以， 答：再经过分钟后，盛水桶到水面的距离为米. 18. 如图，在等边三角形中，，线段与交于点. （1）求； （2）求； （3）若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得，然后利用平方非负求解即可. 【小问1详解】 以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系， 由，可得， 由可得，所以， 则； 【小问2详解】 由图可得； 【小问3详解】 设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 19. 年，高斯建立了复数相关的某些运算，这使得复数某些运算开始代数化；在复平面内，高斯也将复数看作一种向量，并利用两者在复平面内的关系，解释了复数的几何加法与乘法，丰富了复数理论.记表示实数中的最大者.已知，. （1）若.求； （2）证明：； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将两方程联立求得，再求其模长，即得； （2）设，，求得和，取平方作差后利用基本不等式，即可证明，同理证明，即可证明原命题； （3）将所求式进行配方，并理解为三个复数的模之和，依次运用（2）的结论进行转化化简，直至求得其最小值，并注意等号成立的条件. 【小问1详解】 ，由，可得，即得 由，可得，即得， 所以，，故. 【小问2详解】 设， 则， 因为， 又因， 所以 当且仅当时等号成立， 所以 用换，同理可得：， 故. 【小问3详解】 因为 ， 当且仅当时等号成立， 或时，原式的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中学业水平检测 高一数学试题 2025.04 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一､单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且与共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 7. 分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 记的外心为点，，若，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分. 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B C. D. 在区间上单调递减 10. 已知，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 11. 记单位向量的夹角为，若向量，则把有序数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的仿射坐标，记，则（ ） A. B. 若，则 C 若，则 D. 在上的投影向量为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等腰三角形中，，则向量与的夹角为________. 13. 已知是关于的方程的一个根，则实数___________． 14. 已知满足，若，最小值为，则的面积为___________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求； （2）若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值. 16. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车轴心距水面的高度为米.设筒车上某个盛水桶到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分钟）之间的关系式为. （1）求与时间（单位：分钟）之间的关系式； （2）某时刻（单位：分钟）时，盛水桶在过点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶到水面的距离. 18. 如图，等边三角形中，，线段与交于点. （1）求； （2）求； （3）若为所在平面内一动点，求的最小值. 19. 年，高斯建立了复数相关的某些运算，这使得复数某些运算开始代数化；在复平面内，高斯也将复数看作一种向量，并利用两者在复平面内的关系，解释了复数的几何加法与乘法，丰富了复数理论.记表示实数中的最大者.已知，. （1）若.求； （2）证明：； （3）求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $