2025年中考数学解答题专题系列：利用点与圆、线与圆的位置关系求最值

2025年中考数学解答题专题系列：利用点与圆、线与圆的位置关系求最值

1．如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．

(1)如图1，若点在边上，且，，求线段的长；

(2)如图2，若点在的延长线上，点是的中点，的延长线交的延长线于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明；

(3)如图3，若点在边上，点是的中点，，连接，将线段绕点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取最大值时，直接写出此条件下的面积的最大值．

2．如图，在中，，，点为内一点．

(1)如图（1），，，连接，求证：；

(2)如图（2），为的中点，若，，，求线段的长；

(3)如图（3），在（2）的条件下，若点为平面内一点，，连，将线段绕点顺时针旋转至，连，请直接写出的最大值．

3．在中，，．

(1)如图1，若点D在边上，且满足，，求的长；

(2)如图2，若点D为延长线上一点，点E为中点，在射线上取点F满足，连接，过点A作，且满足，连接，求证：；

(3)如图3，点D为的中点，，点E为直线上任意一点，连接，将沿翻折得，连接，，当最小时，将沿翻折得，连接，，请直接写出的面积．

4．如图，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针旋转，记旋转后的三角形为，旋转角为（且）．

(1)在旋转过程中，当点落在线段上时，求的长；

(2)连接，，当时，求的值；

(3)在旋转过程中，若的重心为，则的最小值为______．

5．在△ABC中，，，正方形的边在上，顶点，分别在，上．

(1)如图，过点作于点，交于点，求：正方形的边长；

(2)如图，在上取点，作于点，交于点，于点，求证：四边形是正方形；

(3)如图，在上取点，使，连接，，若试判断点R与以为直径的圆的位置关系并说明理由

6．如图，在中，，，点在边上，且，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，．

(1)如图1，当时，

①求证：；

②求线段的长；

(2)当是等腰三角形时，求的长；

(3)如图2，将沿翻折，得到，连接，是线段上的一点，且，连接，当线段的长度取得最大值时，求的值．

7．如图，在中，，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段．

(1)如图1所示，，连接，作交于，若，，