精品解析：湖南省郴州市第三中学2024-2025学年下学期七年级期中考 数学试题

2025年上期郴州市第三中学期中考试七年级 数学 总分：120分 时量：120分钟 一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数：0，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 若，则下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. 3. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. B. 的平方根是 C. 64的立方根是 D. 是5的一个平方根 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？设以后几天里每天要读x页，所列不等式为( ) A. 10＋8x≥72 B. 2＋10x≥72 C. 10＋8x≤72 D. 2＋10x≤72 7. 已知，，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 8. 为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一个数值转换器，原理如图．当输入的为16时，输出的是（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知不等式组 的解集是，则的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算的结果为______． 12. 若，且n是正整数，则______． 13. 若是关于x的一元一次不等式，则________． 14. 关于x的不等式的解集是________． 15. 今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：．空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写______． 16. 在某课外知识竞赛中，一共有30道判断题，答对一题得4分，答错或不答一题扣1分．如果在这次竞赛中得分要超过80分，那么至少应答对_________道题目． 17. 已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围________． 18. 如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为__________． 三、解答题（共66分） 19. 求下列各式的值． （1）________； （2）________； （3）________． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ 24. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 25. 如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法一：________________；方法二：________________； （2）观察图2，请写出，，三个代数式之间的等量关系：________； （3）解决问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 26. 对于任意实数，，定义一种新运算：，等式右边是通常的加减运算，例如：． （1）__________；__________． （2）若，，求的平方根； （3）若，且解集中恰有个整数解，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上期郴州市第三中学期中考试七年级 数学 总分：120分 时量：120分钟 一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数：0，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握无理数的定义是解题关键．利用无理数的定义：无限不循环小数，逐个分析判断即可． 【详解】解：0，，，，中，无理数有：，，无理数有2个， 故选：C． 2. 若，则下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断． 【详解】解：A、在不等式m＞n的两边同时加上2，不等号方向不变，即m+2＞n+2，故本选项不符合题意． B、在不等式m＞n的两边同时减去3，不等号方向不变，即m-3＞n-3，故本选项不符合题意． C、在不等式m＞n的两边同时乘-5，不等号方向改变，即-5m＜-5n，故本选项符合题意． D、在不等式m＞n的两边同时除以6，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 3. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先解出一元一次不等式，再在数轴上把解集表示出来． 【详解】解： 解集在数轴上表示： 故选：C． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. B. 的平方根是 C. 64的立方根是 D. 是5的一个平方根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的运算法则，掌握运算法则是解题关键．根据算术平方根、平方根、立方根的运算法则对各选项进行计算判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，负数没有平方根，故不符合题意； C、64的立方根是4，故不符合题意； D、，那么是5的一个平方根，故符合题意； 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方和合并同类项法则．根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方和合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 6. 小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？设以后几天里每天要读x页，所列不等式为( ) A. 10＋8x≥72 B. 2＋10x≥72 C. 10＋8x≤72 D. 2＋10x≤72 【答案】A 【解析】 【分析】设以后每天读x页，根据小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，可列出不等式即可． 【详解】解：设以后每天读x页， 2×5+（10﹣2）x≥72， 整理得出10+8x≥72． 故选A． 【点睛】题目主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题关键． 7. 已知，，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式，可得和的平方、差的平方，根据和的平方加差的平方，可得，根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 8. 为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．根据平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 9. 一个数值转换器，原理如图．当输入的为16时，输出的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是条件程序图、求一个数的算术平方根和无理数的判断，掌握条件程序图的运算顺序、算术平方根的定义和无理数的定义是解决此题的关键．根据程序图的运算，求出16的算术平方根，如果结果是无理数，输出结果；如果结果是有理数，再取算术平方根，直至结果为无理数即可求出结论． 【详解】解：的算术平方根为4，4是有理数； 4的算术平方根为2，2是有理数； 2的算术平方根为，是无理数， ． 故选：C． 10. 已知不等式组 的解集是，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的解，代数式求值，先解不等式组得到，再根据不等式组的解集为得，，据此即可求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式得 ，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组的解集为， ∴ ，， 解得，， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 12. 若，且n是正整数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．估算出的范围，即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：3． 13. 若是关于x的一元一次不等式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到且，即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：， 故答案为：． 14. 关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 故答案为：， 15. 今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：．空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式乘多项式，将单项式乘多项式的每一项，再相加即可． 【详解】解： 故答案为：． 16. 在某课外知识竞赛中，一共有30道判断题，答对一题得4分，答错或不答一题扣1分．如果在这次竞赛中得分要超过80分，那么至少应答对_________道题目． 【答案】23 【解析】 【分析】本题主要查了一元一次不等式的应用．设应答对x道题目，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设应答对x道题目，根据题意得： ， 解得：， 答：至少应答对23道题目． 故答案为：23 17. 已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解集，不等式组的解集确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．根据不等式组的解集是同大取大，可得答案． 【详解】解：关于的不等式组的解集为，则， 故答案为：． 18. 如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴圆的半径为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 求下列各式的值． （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根及平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）由，结合算术平方根的含义可得答案； （2）由，结合平方根的含义可得答案； （3）由，结合立方根的含义可得答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 故答案为：． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）根据乘法分配律，将括号内的每一个整式都乘以括号外的，接着计算整式的乘法，然后看是否能合并同类项即可； （2）先计算整式的乘法，然后再合并同类项即可； 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 21. 解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】； 在数轴上表示为： ． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．然后再把解集在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：； 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练应用平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 先用平方差公式和完全平方公式化简，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 23. 已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ 【答案】（1）； （2）和0． 【解析】 【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合问题，不等式的性质； （1）先解方程组，可得，再建立不等式组即可得到答案； （2）由不等式的解为可得，再进一步解答即可； 【小问1详解】 解：解方程组，得， 根据题意，得， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 而的解为知：， 解得. 结合（1）得，的取值范围是， 不等式的解为时，可以取整数值和0. 24. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】任务1：共有2种租车方案，如下： 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆 任务2：花费最少的是方案1，比预算节省了200元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 25. 如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法一：________________；方法二：________________； （2）观察图2，请写出，，三个代数式之间的等量关系：________； （3）解决问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）①9；② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． （1）方法2：求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可：方法1：根据大正方形面积减去4个长方形面积，即可得出答案； （2）根据（1）中阴影部分的面积相等，即可得出等式； （3）根据完全平方公式变形即可求解． 【小问1详解】 解：方法1：； 方法2：； 【小问2详解】 解：由（1）中两种方法阴影部分面积相等可得，； 【小问3详解】 解：①由（2）得：； ②∵ ∴ ． 26. 对于任意实数，，定义一种新运算：，等式右边是通常的加减运算，例如：． （1）__________；__________． （2）若，，求的平方根； （3）若，且解集中恰有个整数解，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据进行求解即可得到答案； （2）根据，，即可得到解方程即可求解； （3）根据题意可得求出不等式组的解集，然后根据整数解的情况求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，； 故答案为：2，； （2），， ， 解得：， 的平方根为 （3）由题意可得：， 解得：， 该不等式组有个整数解， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，根据不等式组的整数解求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $