期末重难点真题特训之易错必刷题型（114题33个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

期末重难点真题特训之易错必刷题型（114题33个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、分式的求值 1．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）已知，则 ； （4）已知，则 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知分式． (1)当x取何值时，分式有意义？ (2)填表： x 1 2 3 (3)随着x的值的变化，的值是如何变化的？ 易错必刷题二、最简分式 4．（23-24八年级下·吉林长春·期末）下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）下列分式：①；②；③；④中，最简分式是 ． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）将下列分式约分: （1）； （2）； （3）； （4）． 易错必刷题三、分式的判断 7．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）下列代数式中，是分式是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·四川资阳·期末）式子①，②，③，④，是分式的有 ． 9．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？ ． 易错必刷题四、利用分式的基本性质判断分式值的变化 10．（23-24八年级下·四川简阳·期末）若把分式中的和都扩大倍，那么该分式的值（    ） A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 11．（23-24八年级下·全国·课堂例题）填空：（1）；括号中填 ． （2）；括号中填 ． （3）．括号中填 ． 12．（23-24八年级下·河南新乡·期末）按要求填空：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式    第一步     第二步     第三步 … (1)上面第二步计算中，中括号里的变形是______，其依据是______． (2)上面的运算过程中第______步出现了错误，请你写出完整的解答过程． 易错必刷题五、分式加减乘除混合运算 13．（2024·山西长治·三模）如图所示，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“”代表的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024八年级下·全国·专题练习）如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即，那么 ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）． 15．（24-25八年级下·山西晋城·期中）（1）计算：； （2）下面是小红化简分式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解：     第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 任务： ①上述解答过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是________． ②上述解答过程从第________步开始出现错误． ③请直接写出该分式化简后的正确结果． 易错必刷题六、分式化简求值 16．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，若，则的值在（   ） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 17．（2024八年级下·四川眉山·模拟预测）实数，满足，则的值为 ． 18．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知三角形表示，方框表示， (1)求 (2)已知，求的值． 易错必刷题七、分式方程无解问题 19．（23-24八年级下·四川乐山·期末）“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， ． 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得． 下列说法正确的是（   ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都对 D．两人的答案合起来才对 20．（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是 ． 21．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）下面是小清与小北两位同学解分式方程的过程： 小清： 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 小北： 去分母，得： 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解． 请判断小清与小北的解法是否正确？如果不正确，写出你的解答过程． 易错必刷题八、根据分式方程解的情况求值 22．（2024八年级下·全国·专题练习）关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 23．（24-25八年级下·四川简阳·阶段练习）关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 24．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 易错必刷题九、零指数幂与负整数指数幂 25．（24-25八年级下·河南南阳·期中）甲烷俗称瓦斯，是天然气、沼气、坑气等的主要成分．甲烷分子的直径为，用科学记数法表示该数据为（　　） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·福建厦门·期中）若，则的大小关系为 ．（结果用“>”号连接） 27．（24-25八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 易错必刷题十、 平均数、中位数和众数 28．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）学校广播站要招收一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目，按形象占，知识面占，普通话占计算综合成绩，已知张强的形象、知识面、普通话三项成绩依次为分、分、分，求张强的综合成绩． 29．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一、某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩 （百分制）如下： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 95 8.2 人工 90 108.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中：___________，___________； (2)求的值； (3)根据以上数据分析，请你分析机器人和人工操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 30．（2025·四川乐山·模拟预测）某校为了普及消防安全知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加消防安全知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 学生消防安全知识竞赛得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 a 80 c 八年级参赛学生成绩 b 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________；若七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断__________（填“>”“<”或“=”）． (2)求七年级参赛学生成绩的平均数a． (3)从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 易错必刷题十一、 利用方差与极差求未知数据的值 31．（2024八年级下·四川·专题练习）（1）若一组数据…，的方差是9，则数据，…，的方差是多少？ （2）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以9，则所得到的一组新数据的标准差是多少？ （3）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以a，再加上b，那么得到的一组新数据的方差是多少？标准差是多少？ 32．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）按照疫情防控工作部署，学校核酸检测有序进行，已知检测员甲和检测员乙到某校进行核酸检测，分别记录两人检测前6名学生所用的时间，获得如下检测时间折线统计图，根据图中信息，解答下列问题： (1)要评价每位检测员检测时间平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量． (2)求检测员乙检测时间的方差． (3)现求得检测员甲检测时间的方差（单位：平方秒）根据折线统计图及上面两个小题的计算，你认为哪位检测员的检测技术比较娴熟？请简述理由． 33．（23-24八年级下·全国·单元测试）2017年1月26日，农历大年廿九，过年的喜庆气氛还未消退，有一些家庭却再也无法安心生活，这一切都源于一起震惊全国的医疗事故．浙江省计生委接到浙江省中医院报告，该院一名技术人员因违反医疗操作规程，导致多人感染艾滋病病毒，此次医疗事故涉及人数多达60人．艾滋病的相关科普已无需赘述，我们常觉得它离我们很遥远，不少人抱有“我坚持安全的性行为就可以了”的想法．的确，性传播目前是我国HIV传播的主要途径，但从国家卫计委发布的艾滋病传播途径所占比例图中不难发现，血液传播、注射毒品，甚至传播途径不详仍占有不少比重．有记载，一人仅是在工厂帮忙搀扶了一位因工作而受伤流血的同事就被感染．该同事患有艾滋病却不自知，而恰巧此人的手部有伤口．该片记录了艾滋病患者从染病初期积极治疗，到后期苟且生存，直到在一次治疗过程中突然抽搐倒地，再也没有醒来…… 我国感染艾滋病的人数也同样庞大，截至2016年9月，据统计我国现存活的艾滋病感染者就有65.4万，累计死亡人数20.1万．以下为部分省份（市）的艾滋病发病率统计表和死亡数及死亡率的统计图： 省份 北京 上海 山东 江苏 浙江 广东 四川 云南 福建 发病率 0.074% 0.067% 0.009% 0.022% 0.035% 0.043% 0.113% 0.197% 0.023% (1)求出上表中部分省份（市）的艾滋病发病率的平均值，极差．（均保留4位小数） (2)“济宁市艾滋病传播方式主要还是以性传播为主．”据济宁市疾病预防控制中心艾滋病防制科科长刘连青介绍，其中以20岁——49岁的人群为主，占全部人群的87.72%．今年有几个比较明显的特点：一是本地人群感染增多，感染者多为青壮年；二是感染来源多样，婚前检测检出的艾滋病病毒感染者增多；三是人群分布多样化，农民、工人、干部职员、教师、学生、公共场所服务人员、离退休人员等人群均有艾滋病病毒感染者和艾滋病病人发现．根据图中所给信息，说明目前我国艾滋病形式的严峻性． 易错必刷题十二、正比例函数的性质与图像 34．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在下列各图象中，表示函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是 ． 36．（23-24八年级下·四川乐山 ·期末）如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求与之间的函数解析式： (2)小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 易错必刷题十三、列一次函数解析式并求值 37．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 38．（23-24八年级下·广西崇左·期中）为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过200度时，电价为元/度；超过200度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元），则y与x之间的函数关系式为 ． 39．（2024·陕西汉中·二模）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？                                            易错必刷题十四、已知函数经过的象限求参数范围 40．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）已知一次函数的图象如图所示，则k，b的值可以是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24八年级下·四川眉山·期末）一次函数，与的图像如图所示，，，的大小关系是 ．（用“”连接） 42．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）已知关于x的一次函数． (1)若这个函数的图象经过原点，求m的值； (2)若这个函数的图象不过第四象限，求m的取值范围； 易错必刷题十五、根据一次函数增减性求参数 43．（23-24八年级下·广西百色·期末）已知正比例函数（为常数，），若的值随着值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的值可以是 （写出一个即可）． 45．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，杠秤是我国传统的称重工具，它利用秤砣到秤纽的水平距离，得出秤钩上所挂物体的重量． 2 4 6 8 10 1 1.5 2 2.5 3 (1)当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的重量是秤砣到小秤纽的水平距离的一次函数，所记录的若干次称重数据如表所示： 与之间的函数表达式为__________； 若秤砣到小秤纽的最大水平距离为，求提小秤纽可称的最大物重． (2)在（1）的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的重量是秤砣到大秤纽的水平距离的一次函数．已知大、小秤纽的水平距离为，提大秤纽称物重的秤砣位置分别与提小秤纽称物重的秤砣位置重合，求提大秤细可称的最大物重． 易错必刷题十六、比较一次函数值的大小 46．（23-24八年级下·四川简阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，若点位于直线的下方，则a的值可能为（   ）    A．5 B．4 C．3 D．2 47．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数的图象经过点，则的大小关系是______________． 48．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 易错必刷题十七、中点四边形 49．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 B．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是菱形 C．顺次连接矩形各边中点的四边形是矩形 D．顺次连接菱形各边中点的四边形是正方形 50．（23-24八年级下·全国·单元测试）第一个图形为矩形，依次连矩形各边的中点得到第二个图形（菱形），按照此方法继续下去．已知第一个图形的面积为，则第个图形的面积为 ．    51．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC⊥BD．求证：四边形EFGH为矩形． 易错必刷题十八、添一条件使四边形是矩形 52．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 53．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为矩形． 54．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，延长到，使，连接，，．    (1)求证：； (2)直接写出一个使四边形为矩形的条件． 易错必刷题十九、添一个条件使四边形是菱形 55．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图，在中，，是两条对角线，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 56．（2024·四川巴中·模拟预测）如图，在中，点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③：从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）． 57．（2024·山西长治·二模）如图，的对角线与相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点P．    (1)证明四边形为平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由． 易错必刷题二十、添一个条件使四边形是正方形 58．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 59．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于点D，于点E，连接．若不增加任何字母与辅助线，使四边形是正方形，则还需增加的一个条件是 ．    60．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O． (1)若，求证：矩形是正方形； (2)请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由． 易错必刷题二十一、添一个条件成为平行四边形 61．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 62．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图所示，平行四边形中，、是对角线上不同的两点，写出一个能使四边形一定为平行四边形的条件 （用题目中的已知字母表示） 63．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，连接BD，点E、F在线段BD上，连接AE、EC、CF、FA． (1)请你添加一个条件：__________，使四边形AECF是平行四边形；（只填一个） (2)根据已知及（1）中你所添加的条件，证明：四边形AECF是平行四边形． 易错必刷题二十二、根据反比例函数的定义求参数 64．（2024·四川内江·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则n是（    ） A．3 B． C． D． 65．（23-24八年级下·河南周口·期中）若函数是反比例函数，则的值为 ． 66．（2024·广西桂林·二模）已知： (1)化简P； (2)若函数为反比例函数，求P的值． 易错必刷题二十三、已知反比例函数的图象，判断其解析式 67．（23-24八年级下·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 68．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流是 A． 69．（23-24八年级下·广西百色·期中）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这一函数的表达式； (2)当气体压强为50kPa时，求V的值； (3)当气球内的体积小于0.5m3时，气球爆炸，为了安全起见，气体的压强不大于多少？ 易错必刷题二十四、已知双曲线分布的象限，求参数范围 70．（24-25八年级下·四川巴中·期中）已知反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 71．（2024·四川简阳·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中存在线段，已知端点，，若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点，写任意出一个符合条件的的整数值： ． 72．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 易错必刷题二十五、已知反比例函数的增减性求参数 73．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 74．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）已知反比例函数，当时，y的取值范围为 ． 75．（23-24八年级下·河南周口·期末）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度：关于体积的函数解析式； (2)当时，求二氧化碳的密度的取值范围． 易错必刷题二十六、求反比例函数解析式 76．（2025·四川巴中·一模）已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 77．（2025·山西晋城·一模）【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为 Pa． 78．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)若，求密度的变化范围． 易错必刷题二十七、利用平行四边形的判定与性质求解 79．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（   ） A．6 B．10 C．20 D．40 80．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在平行四边形中，E为的中点，交于点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ． 81．（23-24八年级下·广西崇左·期末）如图，在四边形中，是的中点，，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 易错必刷题二十八、一次函数不等式、方程组综合应用 82．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 83．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 84．（23-24八年级下·广西百色·阶段练习）小明向学根据学习过的研究函数的经验，对函数的图象和相关性质进行了研究，请你依据小明的探究过程，完成下列问题： (1)列表：完成下表，描点并连线作出函数图象 … 0 1 2 3 … … 5 3 2 1 3 … (2)类比研究一次函数图象时得到的结论，写出该函数图象的两个结论： ①______；②______； (3)请结合的取值范围直接判断方程解的个数． 易错必刷题二十九、根据矩形的性质与判定求线段长、面积、角度 85．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，已知平行四边形ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形． 86．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 87．（2025·河南衡阳·一模）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)______，______． (2)求的长； (3)该充电站有20个停车位，求的长． 易错必刷题三十、根据菱形的性质与判定求线段长、面积、角度 88．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求： (1)的度数． (2)的度数． 89．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D，依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O． (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求四边形ABCD的面积． 90．（23-24八年级下·全国·课后作业）取一张长方形纸片，按图的方法对折两次，并沿图③中的斜线（虚线）剪开，把剪下的Ⅰ这部分展开，平铺在桌面上． 议一议： (1)剪出的这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？ (2)根据折叠、裁剪的过程，这个四边形的边和对角线分别具有什么性质？ (3)一个平行四边形具备怎样的条件，就可以判定它是菱形？ 易错必刷题三十一、根据正方形的性质与判定求线段长、面积、角度 91．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知、两点在正方形的对角线上移动，为定角，连接、，并延长分别交、于、两点，则与在、两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论． 92．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 93．（24-25八年级下·四川简阳·期中）如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 易错必刷题三十二、一次函数与反比例函数的交点问题 94．（2025·山西临汾·一模）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（    ）      A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 95．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，已知点，在反比例函数的图像上，规定横、纵坐标都是整数的点为整点，则直线与反比例函数图像围成的封闭图形内部（不包括边界）有 个整点． 96．（2024·四川内江·一模）一次函数与反比例函数的图像相交于、两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数解析式； (2)求点A的坐标，连接、，求的面积； (3)当时，直接写出x的取值范围． 易错必刷题三十三、实际问题与反比例函数 97．（24-25八年级下·全国·课后作业）一场暴雨过后，一洼地积存雨水，设积存的雨水全部排完需，排水速度为，且排水时间t需满足． (1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围； (2)请画出函数图象； (3)根据图象回答：当排水速度为时，排水时间需要多长？ 98．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知长方体的体积是，底面积为，高为． (1)写出y关于x的函数表达式． (2)完成下表： x … 1 2 3 4 5 6 … y … … (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 99．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求这一函数的解析式； (2)已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 1．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知分式（m，n为常数）满足下表的信息： x 2 a 0 无意义 0 1 b 则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川巴中·期中）正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东烟台·一模）一位射击运动员在一次训练测试中射击了五次，成绩如图所示，对于这五次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．众数是 D．方差是 4．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图所示，将绕边的中点O旋转．小颖发现旋转后的与构成了平行四边形，她的推理思路如下：为保证小颖的推理更严谨，小明想在方框中“由，” 和“得四边形……”之间作补充．应补充的是（  ） 点A、C分别转到点C、A处， 而点D转到点B处．由， 得四边形是平行四边形． A．且 B．且 C．且 D．且 5．（2025·四川内江·模拟预测）甲、乙、丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个，折叠纸张使得点A与点C重合，折痕与边交于点O；乙再折出射线，点E在延长线上；丙再折叠纸张使得落在上，点B的对应点为点D，连接． 对下列两个结论判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：由操作步骤可直接得到四边形为平行四边形，判定依据是一组对边平行且相等； 结论Ⅱ：在中，若，则四边形为矩形． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ对，Ⅱ不对 6．（2025·四川巴中·模拟预测）计算： ； ； ． 7．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，已知函数和图象交于点，则关于的不等式的解集为 ． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，已知点是反比例函数图象第一象限上的一点，过点作轴于点，的面积是，则的值是 ． 9．（23-24八年级下·四川简阳·期末）如图，在矩形中，过对角线上一点分别作，，其中点，，、分别在边、、、上，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是 ． 10．（23-24八年级下·四川眉山·期末）古代数学家贾宪曾经提出“从矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等”，如图①所示的图形中两阴影部分面积相等．这个方法可以帮助我们解决很多类似的数学问题，如图②，在平行四边形中，G为对角线上一点，过点G作的平行线分别交，于点F，E，连接，，若，则 ． 11．（24-25八年级下·四川资阳·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）用剪刀将形状如图（1）所示的矩形纸片沿着直线剪成①②两部分，其中M为的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图（2）中的 就是拼成的一个图形．用这两部分纸片除了可以拼成图（2）中的 外，还可以拼成一些特殊的四边形．请你试一试，把拼好的特殊四边形分别画在图（3）、图（4）的网格内． 13．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)当时，求I的值； 14．（2025·四川·一模）如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点． (1)求的值； (2)若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标． 15．（2025·山西晋城·一模）综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之易错必刷题型（114题33个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、分式的求值 1．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：． 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）已知，则 ； （4）已知，则 ． 【答案】 / 2 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，分式的混合计算，分式的求值，熟知分式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算分式乘法即可得到答案； （2）先把除法变成乘法，再把第一项利用平方差公式分解因式，再约分求解即可得到答案； （3）把所求分式的分子和分母同时除以，再把整体代入计算求解即可； （4）根据完全平方公式得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） ， 故答案为；； （3）∵， ∴ ； 故答案为：； （4）∵， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知分式． (1)当x取何值时，分式有意义？ (2)填表： x 1 2 3 (3)随着x的值的变化，的值是如何变化的？ 【答案】(1) (2)，6，3，2 (3)当时，的值随x增大而减小，当时，的值随x增大而减小 【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式的求值，解题的关键是掌握以上知识点． （1）依据分式有意义的条件，即分式的分母不等于零，即可得出结论； （2）代数求解即可； （3）根据表格中的数据求解即可． 【详解】（1）∵分式 ∴当时，分式有意义； （2） x 1 2 3 6 3 2 （3）由表格可得， 当时，的值随x增大而减小，当时，的值随x增大而减小． 易错必刷题二、最简分式 4．（23-24八年级下·吉林长春·期末）下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简、最简分式，要想化简分式，先把分子分母分别因式分解，把分子分母的公因式消掉即可；解决此题的关键是会正确的分解因式． 【详解】解：，不是最简分式，故选项A不符合题意； 是最简分式，故选项B符合题意； ，不是最简分式，故选项C不符合题意； ，不是最简分式，故选项D不符合题意； 故选：B． 5．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）下列分式：①；②；③；④中，最简分式是 ． 【答案】②③/③② 【分析】利用最简分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：，因此①不是最简分式； 中分子和分母没有公因式，因此②是最简分式； 中分子和分母没有公因式，因此③是最简分式； ，因此④不是最简分式； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查最简分式的判断，解题的关键是掌握最简分式的定义．一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）将下列分式约分: （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）分子分母同时除以； （2）分子分母同时除以； （3）分子分母同时除以； （4）分子分母分别分解因式后同时除以． 【详解】（1）=﹣； （2）=﹣； （3）=； （4）=． 【点睛】本题考查分式的约分，要注意的是：当分式的分子分母是多项式时，必须先因式分解再来约分. 易错必刷题三、分式的判断 7．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）下列代数式中，是分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含的代数式不是分式，是整式．根据分式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是整式，不是分式，不符合题意； B．是整式，不是分式，不符合题意； C．是分式，符合题意； D．是整式，不是分式，不符合题意； 故选：C． 8．（23-24八年级下·四川资阳·期末）式子①，②，③，④，是分式的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据分式的定义对选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①是分式，②是整式，③是分式，④是整式， 分式有①③， 故答案为①③． 【点睛】本题考查了分式的定义，解题关键是掌握分式和整式的区别，分母中含有未知数的为分式． 9．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？ ． 【答案】分式：，，；整式：，见解析 【分析】根据分式和整式的定义求解即可． 【详解】解：分式：，，；整式：． 两类式子的区别是：分式的分母中必须含有未知数，整式的分母中不含未知数． 【点睛】本题主要考查分式的定义，解题的关键是掌握如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式；单项式和多项式统称为整式． 易错必刷题四、利用分式的基本性质判断分式值的变化 10．（23-24八年级下·四川简阳·期末）若把分式中的和都扩大倍，那么该分式的值（    ） A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，通过分式的基本性质可对变形后的分式进行化简．先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：分式中，和都扩大倍，则分式的值为：， 即该分式的值缩小为原来的 故选：C． 11．（23-24八年级下·全国·课堂例题）填空：（1）；括号中填 ． （2）；括号中填 ． （3）．括号中填 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数分式值不变直接求解（1）、（2）、（3）即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， (1)， 故答案为：， (2)， 故答案为：， (3)， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数分式值不变，熟练掌握分式的性质是解题关键． 12．（23-24八年级下·河南新乡·期末）按要求填空：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式    第一步     第二步     第三步 … (1)上面第二步计算中，中括号里的变形是______，其依据是______． (2)上面的运算过程中第______步出现了错误，请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)通分，分式的基本性质； (2)三，见解析． 【分析】（1）根据分式的基本性质填写即可． （2）根据分式的运算法则，先乘除，后加减，有括号的先算括号内的． 【详解】（1）上面第二步计算中，中括号里的变形是通分，其依据是分式的基本性质． （2）原式          故答案为：三 【点睛】此题考查了分式的运算求解，解题的关键是熟悉分式的运算法则． 易错必刷题五、分式加减乘除混合运算 13．（2024·山西长治·三模）如图所示，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“”代表的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算．用结果除以，再加上1即为“”代表的式子． 【详解】解：由题意，得：“”代表的是； 故选：C． 14．（2024八年级下·全国·专题练习）如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即，那么 ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了与分式运算相关的规律探索题，正确根据题意得到是解题的关键． 【详解】解：∵， 故． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·山西晋城·期中）（1）计算：； （2）下面是小红化简分式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解：     第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 任务： ①上述解答过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是________． ②上述解答过程从第________步开始出现错误． ③请直接写出该分式化简后的正确结果． 【答案】（1） （2）①完全平方公式；②第二步；③正确过程见详解 【分析】本题主要考查乘方，负指数幂，分式的混合运算，掌握以上知识及计算方法是关键． （1）先算乘方，负指数幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）①，运用的是完全平方公式； ②， ∴第二步开始出错； ③正确的计算过程如下， ． 易错必刷题六、分式化简求值 16．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，若，则的值在（   ） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值．把代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， ∵， ∴的值在落在段④， 故选：D． 17．（2024八年级下·四川眉山·模拟预测）实数，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过对完全平方公式变形求值，计算多项式乘多项式等知识点，将已知等式变形后利用完全平方式的非负性得出，是解题的关键． 先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成，利用完全平方式的非负性得出，，然后代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知三角形表示，方框表示， (1)求 (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了单项式乘以单项式的运算，分式的化简求值，正确理解题意，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义列出式子，根据单项式乘以单项式进行计算即可求解； （2）由题意得，，化简，整体代入进行分式的化简求值． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：由题意得，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 易错必刷题七、分式方程无解问题 19．（23-24八年级下·四川乐山·期末）“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， ． 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得． 下列说法正确的是（   ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都对 D．两人的答案合起来才对 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成的形式，如果，，此时分式方程也无解． 【详解】解：∵分式方程无解分两种情况， ∴两人的答案合起来才对． 故选D． 20．（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，则最简公分母，求得x，进而可求得m． 【详解】解：去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 最简公分母， ， 当时，得， 即的值为3． 故答案为：3． 21．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）下面是小清与小北两位同学解分式方程的过程： 小清： 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 小北： 去分母，得： 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解． 请判断小清与小北的解法是否正确？如果不正确，写出你的解答过程． 【答案】小清与小北的解法都不正确；正确的解法见解析， 【分析】去分母化为整式方程，解方程后检验即可得答案． 【详解】小清与小北的解法都不正确；正确的解法如下： 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 易错必刷题八、根据分式方程解的情况求值 22．（2024八年级下·全国·专题练习）关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0，解分式方程，得到含m的解，根据“该分式方程的解是负数”，得到两个不等式，解之，即可得到m的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵该分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， ∴，且， 解得：，且， 故选：C． 23．（24-25八年级下·四川简阳·阶段练习）关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于的分式方程有整数解，得出，，即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， 解得：， 解关于的分式方程得， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或或或或 ∵为整数，且，， ∴ ∴， 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 24．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再结合增根，得出，然后代入，进行计算，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再结合无解，进行分类讨论，即增根和都满足条件，即可作答． 【详解】（1）解：去分母，得． 由分式方程有增根，得． ． 把代入，得． 解得． 的值为． （2）解：去分母，得． ①当分式方程有增根时，此分式方程无解，即时分式方程无解． ②将上式整理，得． 当，即时，分式方程无解． 综上，若分式方程无解，的值为或． 易错必刷题九、零指数幂与负整数指数幂 25．（24-25八年级下·河南南阳·期中）甲烷俗称瓦斯，是天然气、沼气、坑气等的主要成分．甲烷分子的直径为，用科学记数法表示该数据为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选B． 26．（24-25八年级下·福建厦门·期中）若，则的大小关系为 ．（结果用“>”号连接） 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的特征变正数指数幂后比较大小即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 27．（24-25八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算以及零指数幂和负整数指数幂的计算，掌握相关法则即可求解； （1）分别计算零指数幂和负整数指数幂即可； （2）利用整式的混合运算法则即可求解； （3）利用整式的混合运算法则即可求解； （4）利用整式的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解:原式    易错必刷题十、 平均数、中位数和众数 28．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）学校广播站要招收一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目，按形象占，知识面占，普通话占计算综合成绩，已知张强的形象、知识面、普通话三项成绩依次为分、分、分，求张强的综合成绩． 【答案】分 【分析】本题考查了加权平均数的运用的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据加权平均数的知识，按照各项目所占比求得综合成绩，然后即可求解； 【详解】解：张强的综合成绩为（分）， 答：张强的综合成绩为分； 29．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一、某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩 （百分制）如下： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 95 8.2 人工 90 108.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中：___________，___________； (2)求的值； (3)根据以上数据分析，请你分析机器人和人工操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 【答案】(1)，100 (2)分 (3)机器人更有优势．见解析 【分析】本题考查平均数，中位数和众数，熟练掌握相关定义和计算方法，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法，求解即可； （2）根据平均数的计算方法求解即可； （3）根据平均数和方差进行判断即可． 【详解】（1）将机器人中的数据排序后，第5个和第6个数据分别为：91，92 ∴； 人工操作中出现次数最多的数据为：100； 故； 故答案为：，100． （2）（分） （3）机器人，理由如下：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定．（答案不唯一） 30．（2025·四川乐山·模拟预测）某校为了普及消防安全知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加消防安全知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 学生消防安全知识竞赛得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 a 80 c 八年级参赛学生成绩 b 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________；若七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断__________（填“>”“<”或“=”）． (2)求七年级参赛学生成绩的平均数a． (3)从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 【答案】(1)85；87；> (2) (3)七年级参赛学生的成绩较好 【分析】本题考查了求中位数、求众数、求平均数、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）找到八年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将七年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值，根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，即可得出结论； （2）利用平均数的计算公式即可求解； （3）利用平均数和中位数分析即可判断． 【详解】（1）解：由图可得，八年级的10个数据中出现次数最多的是85， ， 将七年级的10个数据进行排序：74,80,80,80,86,88,88,89,91,99， ， 由图可得，七年级的成绩波动程度较大， 方差越小，数据越稳定， ， 综上所述，，，． 故答案为：85；87；>． （2）解：由（1）得，七年级的10个数据为：74,80,80,80,86,88,88,89,91,99， 平均数． 七年级参赛学生成绩的平均数． （3）解：七年级和八年级的平均成绩相同，且七年级的中位数比八年级的中位数大，所以七年级参赛学生的成绩较好． 易错必刷题十一、 利用方差与极差求未知数据的值 31．（2024八年级下·四川·专题练习）（1）若一组数据…，的方差是9，则数据，…，的方差是多少？ （2）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以9，则所得到的一组新数据的标准差是多少？ （3）若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以a，再加上b，那么得到的一组新数据的方差是多少？标准差是多少？ 【答案】（1）9；（2）；（3）， 【分析】（1）设…，的平均数为，则，…，的平均数为，再利用方差的计算公式就可求出，…，的方差； （2）先设原数据的平均数为a，再求出每个数据都乘以9后的平均数，然后利用方差公式进行求解，最后求出方差的算术平方根，据此即可解决问题； （3）根据（1）和（2）两题的结论可得出新数组的方差，再根据标准差是方差的算术平方根即可解决问题． 【详解】解：（1）设…，的平均数为， 则，…，的平均数为． 因为， 所以，…，的方差为 ． （2）设其平均数为a，则将每个数据都乘以9之后得到的新数分别为，…，，其平均数为， 所以原数据方差为 ， 所以新数组，…，的标准差为． （3）由（2）的结论可知这组数据中的每个数乘以a得到的新数组的方程为， 再根据（1）的结论可知将数据，…，中的每一个数都加上b以后得到的新数组与数组，…，的方差一样，仍为， 所以最后得到的新数组的标准差． 【点睛】本题考查的是方差和标准差，关键是掌握方差与标准差的计算方法． 32．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）按照疫情防控工作部署，学校核酸检测有序进行，已知检测员甲和检测员乙到某校进行核酸检测，分别记录两人检测前6名学生所用的时间，获得如下检测时间折线统计图，根据图中信息，解答下列问题： (1)要评价每位检测员检测时间平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量． (2)求检测员乙检测时间的方差． (3)现求得检测员甲检测时间的方差（单位：平方秒）根据折线统计图及上面两个小题的计算，你认为哪位检测员的检测技术比较娴熟？请简述理由． 【答案】(1)平均值，， (2) (3)检测员乙的检测技术较娴熟，见解析 【分析】（1）根据题意，要评价每位检测员检测时间平均水平，选择平均数，根据折线统计图求得甲、乙的数据，进而求得平均数即可求解； （2）根据方差公式进行计算即可求解； （3）比较甲乙的方差大小即可求解． 【详解】（1）解：∵要评价每位检测员检测时间平均水平， ∴选择平均数， 根据统计图可知，甲：7，6，6，9，10，10， 平均数为， 乙：7，8，7，10，7，9， ， （2）； （3）检测员乙的检测技术较娴熟，理由如下， ，，，， ， 检测员乙的检测技术较娴熟． 【点睛】本题考查了折线统计图，选择合适的统计量，求平均数，求方差，掌握以上知识是解题的关键． 33．（23-24八年级下·全国·单元测试）2017年1月26日，农历大年廿九，过年的喜庆气氛还未消退，有一些家庭却再也无法安心生活，这一切都源于一起震惊全国的医疗事故．浙江省计生委接到浙江省中医院报告，该院一名技术人员因违反医疗操作规程，导致多人感染艾滋病病毒，此次医疗事故涉及人数多达60人．艾滋病的相关科普已无需赘述，我们常觉得它离我们很遥远，不少人抱有“我坚持安全的性行为就可以了”的想法．的确，性传播目前是我国HIV传播的主要途径，但从国家卫计委发布的艾滋病传播途径所占比例图中不难发现，血液传播、注射毒品，甚至传播途径不详仍占有不少比重．有记载，一人仅是在工厂帮忙搀扶了一位因工作而受伤流血的同事就被感染．该同事患有艾滋病却不自知，而恰巧此人的手部有伤口．该片记录了艾滋病患者从染病初期积极治疗，到后期苟且生存，直到在一次治疗过程中突然抽搐倒地，再也没有醒来…… 我国感染艾滋病的人数也同样庞大，截至2016年9月，据统计我国现存活的艾滋病感染者就有65.4万，累计死亡人数20.1万．以下为部分省份（市）的艾滋病发病率统计表和死亡数及死亡率的统计图： 省份 北京 上海 山东 江苏 浙江 广东 四川 云南 福建 发病率 0.074% 0.067% 0.009% 0.022% 0.035% 0.043% 0.113% 0.197% 0.023% (1)求出上表中部分省份（市）的艾滋病发病率的平均值，极差．（均保留4位小数） (2)“济宁市艾滋病传播方式主要还是以性传播为主．”据济宁市疾病预防控制中心艾滋病防制科科长刘连青介绍，其中以20岁——49岁的人群为主，占全部人群的87.72%．今年有几个比较明显的特点：一是本地人群感染增多，感染者多为青壮年；二是感染来源多样，婚前检测检出的艾滋病病毒感染者增多；三是人群分布多样化，农民、工人、干部职员、教师、学生、公共场所服务人员、离退休人员等人群均有艾滋病病毒感染者和艾滋病病人发现．根据图中所给信息，说明目前我国艾滋病形式的严峻性． 【答案】(1)0.0648%；0.1880% (2)见解析 【分析】（1）根据表格中的数据，求平均数和极差即可； （2）根据统计图中的信息回答即可． 【详解】（1）解：艾滋病发病率的平均值为： ； 艾滋病发病率的极差为：； （2）解：根据图中信息可知，我国近些年来艾滋病人的死亡人数越来越多，呈现逐年增长趋势，并且自2013年以来，我国感染艾滋病的人数的增长率逐年增长． 【点睛】本题主要考查了平均值和极差的计算，以及根据统计图获得信息的能力，解题的关键是在计算平均数的过程中要仔细认真． 易错必刷题十二、正比例函数的性质与图像 34．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在下列各图象中，表示函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．由的图象经过一，三象限可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一，三象限． ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 35．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据正比例函数的定义求参数的值，根据正比例函数的定义，结合正比例函数图象所经过的象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 36．（23-24八年级下·四川乐山 ·期末）如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求与之间的函数解析式： (2)小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 【答案】(1) (2)小张购买这张消费卡实际花费元 【分析】本题主要考查正比例函数的应用， （1）依据题意，设解析式为，把代入，计算即可得解； （2）依据题意，结合（）令时，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，设解析式为，把代入得： ． ． 所求函数关系式为． （2）由题意，结合（1）， 令时，． 小张购买这张消费卡实际花费元． 易错必刷题十三、列一次函数解析式并求值 37．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 把点代入一次函数，通过解一元一次方程来求的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ， 解得． 故选：A． 38．（23-24八年级下·广西崇左·期中）为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过200度时，电价为元/度；超过200度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元），则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．根据题意列出函数关系式即可． 【详解】当时，, 当时，，即； 故答案为： 39．（2024·陕西汉中·二模）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 【答案】(1) (2)4400 【分析】（1）根据总利润等于销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题； （2）根据题意得求出x，结合（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：                                                  答：该厂一天所获得的总利润是4400元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握及一次函数求函数值的方法． 易错必刷题十四、已知函数经过的象限求参数范围 40．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）已知一次函数的图象如图所示，则k，b的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 根据一次函数图象与系数的关系解答即可． 【详解】解：由一次函数图象可知，， A、，不符合图象位置，故此选项不符合题意； B、，不符合图象位置，故此选项不符合题意； C、，不符合图象位置，故此选项不符合题意； D、，，故此选项符合图象位置，符合题意； 故选：D． 41．（23-24八年级下·四川眉山·期末）一次函数，与的图像如图所示，，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查一次函数以及正比例函数图象与性质；首先根据直线经过的象限判断k的符号，再根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小． 【详解】解：由直线经过的象限，知：， ∵根据直线越陡，越大， ∴， ∴， 故答案为：． 42．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）已知关于x的一次函数． (1)若这个函数的图象经过原点，求m的值； (2)若这个函数的图象不过第四象限，求m的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象过原点进行求解即可； （2）根据图象不过第四象限，得到，进行求解即可； 【详解】（1）解：∵这个函数的图象经过原点， ∴当时，，即， 解得； （2）∵这个函数的图象不经过第四象限， ∴，解得，． 【点睛】本题考查根据一次函数的图象特点求参数的值，熟练掌握一次函数的性质，以及系数和图象的关系，是解题的关键． 易错必刷题十五、根据一次函数增减性求参数 43．（23-24八年级下·广西百色·期末）已知正比例函数（为常数，），若的值随着值的增大而减小，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，图象过一、二、三象限；当时，图象过一、三、四象限；时，图象过一、二、四象限；时，图象过二、三、四象限是解决此题的关键，由于正比例函数函数值随的增大而减小，可得，然后，判断一次函数的图象经过象限即可． 【详解】解：正比例函数（为常数，）中的的值随着值的增大而减小， ， 一次函数的图象经过二、三、四象限； 故选：． 44．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数的性质．先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 解得． ∴k的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 45．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，杠秤是我国传统的称重工具，它利用秤砣到秤纽的水平距离，得出秤钩上所挂物体的重量． 2 4 6 8 10 1 1.5 2 2.5 3 (1)当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的重量是秤砣到小秤纽的水平距离的一次函数，所记录的若干次称重数据如表所示： 与之间的函数表达式为__________； 若秤砣到小秤纽的最大水平距离为，求提小秤纽可称的最大物重． (2)在（1）的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的重量是秤砣到大秤纽的水平距离的一次函数．已知大、小秤纽的水平距离为，提大秤纽称物重的秤砣位置分别与提小秤纽称物重的秤砣位置重合，求提大秤细可称的最大物重． 【答案】(1)，提小秤纽可称的最大物重为 (2)提大秤纽可称的最大物重为 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系及一次函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； 根据一次函数的增减性和的取值范围求出y的最大值即可； （2）将，分别代入y与x之间的函数表达式，求出对应的x的值，从而分别求出对应的m的值；利用待定系数法求出y，与m之间的函数表达式，并根据一次函数的增减性和m的取值范围求出y的最大值即可． 【详解】（1）解：设与x之间的函数表达式为 (为常数，且)． 将，和，分别代入， 得 解得 与x之间的函数表达式为． 故答案为∶ ． ， 随的增大而增大． ， 当时，的值最大，． 提小秤纽可称的最大物重为． （2）解：设．由时，，得． 同理可得．解方程组 得 ． ， 随的增大而增大． 当时，的值最大，． 提大秤纽可称的最大物重为． 易错必刷题十六、比较一次函数值的大小 46．（23-24八年级下·四川简阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，若点位于直线的下方，则a的值可能为（   ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，把代入解析式，求出值，根据点，在直线的下方，得到的值小于时的函数值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∵点位于直线的下方， ∴， ∴的值可能是2； 故选：D． 47．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数的图象经过点，则的大小关系是______________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握本一次函数性质是解题的关键．根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随着x的增大而增大． ∵一次函数的图象过点，，， ∴， 故答案为：． 48．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式得出当时，；当时，，列表、描点，画出直线即可； （2）根据一次函数的性质，得出y随x的增大而增大即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 当时，；当时，； 列表如下： 0 2 0 描点，该函数的图象如下： （2）， 随的增大而增大， ， ． 易错必刷题十七、中点四边形 49．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 B．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是菱形 C．顺次连接矩形各边中点的四边形是矩形 D．顺次连接菱形各边中点的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了中点四边形，熟知平行四边形，菱形，正方形和矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，原说法正确； B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点的四边形是菱形，原说法错误； C、顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，原说法错误； D、顺次连接菱形各边中点，所形成的四边形是矩形，不一定是正方形，原说法错误． 故选：A． 50．（23-24八年级下·全国·单元测试）第一个图形为矩形，依次连矩形各边的中点得到第二个图形（菱形），按照此方法继续下去．已知第一个图形的面积为，则第个图形的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意，以及中点四边形的性质，可以确定每得到一个新的图形，其面积为前一个图形的一半，由此总结规律即可． 【详解】解：第一个图形为矩形，其面积为3； 第二个图形为第一个图形的中点四边形，即菱形，其面积为第一个图形的一半，即； 第三个图形为第二个图形的中点四边形，即矩形，其面积为第二个图形的一半，即； 第四个图形为第三个图形的中点四边形，即菱形，其面积为第三个图形的一半，即； …… ∴第个图形的面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形和菱形的基本性质，理解特殊平行四边形的中点四边形的特征是解题关键． 51．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC⊥BD．求证：四边形EFGH为矩形． 【答案】见解析． 【分析】先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形． 【详解】证明：∵E、F分别为AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝AC，EF//AC， 同理，GH＝AC，GH//AC，FG＝BD， ∴EF＝GH，EF//GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠HEF＝90°， ∴平行四边形EFGH为矩形． 【点睛】本题主要考查中点四边形以及矩形的判定，解题时利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键． 易错必刷题十八、添一条件使四边形是矩形 52．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形．故正确， B、∵， ， 平行四边形为矩形．故正确． C、， ， ∵平行四边形， ， 平行四边形是矩形，故正确， D、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形． 故选：D 53．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为矩形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定； 根据已知可得四边形是平行四边形，然后添加可得四边形为矩形． 【详解】解：添加条件， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 故答案为：． 54．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，延长到，使，连接，，．    (1)求证：； (2)直接写出一个使四边形为矩形的条件． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，，因为点在的延长线上，，所以，，即可根据平行四边形的定义证明四边形为平行四边形，则； （2）因为四边形为平行四边形，所以当，则，可根据矩形的定义证明四边形为矩形；此外，当时，可由“对角线相等的平行四边形是矩形”证明四边形为矩形． 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ，， 点在的延长线上，， ，， 四边形为平行四边形， ． （2）当时，四边形为矩形， 理由：由（1）得，四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形． 或： 当时，四边形为矩形， 理由：由（1）得，四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，证明，是解题的关键． 易错必刷题十九、添一个条件使四边形是菱形 55．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图，在中，，是两条对角线，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，不能推出是菱形，故不符合要求； B中，不能推出是菱形，故不符合要求； C中，能推出是菱形，故符合要求； D中，不能推出是菱形，故不符合要求； 故选：C． 56．（2024·四川巴中·模拟预测）如图，在中，点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③：从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）． 【答案】② 【分析】根据点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且，即可证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可作出判断． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ①时，四边形是矩形，不一定是菱形； ②时， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴平行四边形是菱形； ③四边形是平行四边形，则一定成立，故不一定是菱形． 故答案为：②． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，垂直平分线的性质．菱形的判定常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．理解和掌握菱形的判定是解题的关键． 57．（2024·山西长治·二模）如图，的对角线与相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点P．    (1)证明四边形为平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)添加条件，理由见解析 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可知，只需要令相等即可，由此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：添加条件，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判断，菱形的判定，熟知平行四边形和菱形的判定定理是解题的关键． 易错必刷题二十、添一个条件使四边形是正方形 58．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：C． 59．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于点D，于点E，连接．若不增加任何字母与辅助线，使四边形是正方形，则还需增加的一个条件是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】要使四边形是正方形，由题意可知其四个角都是直角，所以是矩形，使，即可满足题意． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵要使四边形是正方形， ∴需增加一个条件是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理． 60．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O． (1)若，求证：矩形是正方形； (2)请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．（答案不唯一） 【分析】（1）证明，推出，即可证明结论； （2）根据正方形的判定添加条件即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：添加的条件可以是．理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．第2问是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加等． 易错必刷题二十一、添一个条件成为平行四边形 61．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．由平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； B．由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； C．，结合题意，可由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证明四边形为平行四边形，符合题意； D．，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意． 故选C． 62．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图所示，平行四边形中，、是对角线上不同的两点，写出一个能使四边形一定为平行四边形的条件 （用题目中的已知字母表示） 【答案】BE=DF（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质和判定证明即可． 【详解】解：添加条件：BE=DF 证明：连接AC，设AC与BD相交于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF， ∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形． 故答案为：BE=DF 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，熟记平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形． 63．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，连接BD，点E、F在线段BD上，连接AE、EC、CF、FA． (1)请你添加一个条件：__________，使四边形AECF是平行四边形；（只填一个） (2)根据已知及（1）中你所添加的条件，证明：四边形AECF是平行四边形． 【答案】(1)BE＝DF； (2)见解析 【分析】（1）本题答案不唯一，可以添加BE=DF； （2）根据平行四边形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，然后求出EO＝FO，再利用平行四边形判定定理证明． 【详解】（1）添加BE＝DF，使四边形AECF是平行四边形； 故答案为：BE＝DF； （2）证明：如图，连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 易错必刷题二十二、根据反比例函数的定义求参数 64．（2024·四川内江·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则n是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式，反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．根据建立等式解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点，也经过点， ，解得， 故选：B． 65．（23-24八年级下·河南周口·期中）若函数是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义：，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数定义．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键． 66．（2024·广西桂林·二模）已知： (1)化简P； (2)若函数为反比例函数，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的四则运算法则化简即可； （2）由反比例函数的定义得出，将其代入（1）中结果即可． 【详解】（1）解： （2）∵为反比例函数， ∴，将其代入（1）得： ． 【点睛】题目主要考查分式的化简求值，反比例函数的定义，熟练掌握相关的运算法则是解题关键． 易错必刷题二十三、已知反比例函数的图象，判断其解析式 67．（23-24八年级下·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键． 根据反比例函数的图象求解即可． 【详解】∵函数图象是双曲线，且在第一，三象限 ∴该函数的表达式可能是． 故选：C． 68．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流是 A． 【答案】12 【分析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． 69．（23-24八年级下·广西百色·期中）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这一函数的表达式； (2)当气体压强为50kPa时，求V的值； (3)当气球内的体积小于0.5m3时，气球爆炸，为了安全起见，气体的压强不大于多少？ 【答案】(1)函数关系式为P＝ (2)当气球内的气压为50kPa时，气球的体积为2立方米 (3)为了安全起见，气体的压强不大于200kPa 【分析】（1）设P与V的函数关系式为P＝，将点代入求解即可； （2）将P＝50代入P＝中求解即可； （3）根据题意可得V＝0.5m3时，气球将爆炸，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设P与V的函数关系式为P＝，    则  k＝1×100，解得k＝100， ∴函数关系式为P＝． （2）将P＝50代入P＝中， 得＝50， 解得V＝2， ∴当气球内的气压为50kPa时，气球的体积为2立方米． （3）当气球内的体积小于0.5m3时，气球爆炸， ∴V＝0.5m3时，气球将爆炸，   ∴ ＝0.5， 解得 P＝200 kPa 故为了安全起见，气体的压强不大于200kPa． 【点睛】题目主要考查反比例函数的应用，理解题意，根据图象确定函数解析式是解题关键． 易错必刷题二十四、已知双曲线分布的象限，求参数范围 70．（24-25八年级下·四川巴中·期中）已知反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，求出反比例函数图象经过点和时的k值，再根据越大，图象越远离坐标轴求解即可． 【详解】解：根据图象，将点代入代入中，得， 将点代入中，得， 由图象知，的取值范围是， 故选：B． 71．（2024·四川简阳·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中存在线段，已知端点，，若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点，写任意出一个符合条件的的整数值： ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．把点，代入即可得到k的值，从而得结论． 【详解】若反比例函数经过，则， 若反比例函数经过，则 ∴若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点， 则 ∴ 故答案为：4（答案不唯一）． 72．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 【答案】(1)，不在 (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据所给函数图象，可得出的正负；由函数图象所位于的象限即可解决问题． （2）根据反比例函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给函数图象可知， 该反比例函数位于第一、三象限， 所以． 点在第二象限， 所以点不在该反比例函数的图象上． 故答案为：，不在； （2）解：因为反比例函数是中心对称图形，且对称中心为坐标原点， 所以将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转即可得到未知部分的函数图象． 故答案为：． 易错必刷题二十五、已知反比例函数的增减性求参数 73．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合点的坐标，即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 在反比例函数的图像在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小． ， 点都在第一象限． ． 解得：． 故选：C 74．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）已知反比例函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由可知图像分布在第一，三象限，当时，有部分图象在第一象限，有部分图象在第三象限，分别表示出的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，第三象限中；第一象限图象中，； 故答案为：或． 75．（23-24八年级下·河南周口·期末）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度：关于体积的函数解析式； (2)当时，求二氧化碳的密度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）利用反比例函数的增减性，结合自变量取值范围即可求出密度的取值范围． 【详解】（1）解：由密度与体积是反比例函数关系， 设， 将点代入， 得：， 解得：， 即关于体积的函数解析式为：； （2）解：∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，， 即， ∴二氧化碳的密度的取值范围为． 易错必刷题二十六、求反比例函数解析式 76．（2025·四川巴中·一模）已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 过点作轴，交反比例函数的图象于点，得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴，交反比例函数的图象于点， ， 点的横坐标为，设点的坐标为， ， 由图可知， ， ， 的值可能为， 故选：D． 77．（2025·山西晋城·一模）【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为 Pa． 【答案】2000 【分析】本题主要考查了求反比例函数，根据题意设压强和受力面积的关系式为，求出解析式，再将代入计算求出p即可． 【详解】解：设压强和受力面积的关系式为，根据题意，得 ， ∴反比例函数的关系式为， 当时，（）. 故答案为：2000． 78．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)若，求密度的变化范围． 【答案】(1)（） (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将和代入（1）中求得的函数解析式，再结合反比例函数的性质，即可解答， 【详解】（1）解：设密度的关于体积V的函数解析式为 ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为； （2）解：当时，代入，可得， 解得：． 当时，代入，可得， 解得：． ∴当时，密度的变化范围为． 易错必刷题二十七、利用平行四边形的判定与性质求解 79．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（   ） A．6 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积．先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：， 四边形为平行四边形， ， ， ， 点和点到直线的距离相等， 设点到的距离为， 的面积为， ， 解得， 四边形的面积． 故选：C． 80．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在平行四边形中，E为的中点，交于点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率．求出阴影部分的面积占平行四边形的份数即可判断． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴米粒落在图中阴影部分的概率为， 故答案为：． 81．（23-24八年级下·广西崇左·期末）如图，在四边形中，是的中点，，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用即可证明； （2）首先证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ， 是中点， ， ， ； （2）解：， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， ． 易错必刷题二十八、一次函数不等式、方程组综合应用 82．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式， （1）根据图示，时，，结合图象可求解； （2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解； （3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，当时，， ∴的解为； （2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）可得，当时，，当时，， ∴时，． 83．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可； （2）根据两条直线的交点坐标求出方程组的解即可；根据图象求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是； （2）解：两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是； 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象的图象在一次函数的上面， ∴于的不等式的解集为； （3）解：根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在x轴的上面， ∴关于的不等式的解集为； 根据函数图象可知：当时，一次函数的函数值小于4， ∴不等式的解集为． 84．（23-24八年级下·广西百色·阶段练习）小明向学根据学习过的研究函数的经验，对函数的图象和相关性质进行了研究，请你依据小明的探究过程，完成下列问题： (1)列表：完成下表，描点并连线作出函数图象 … 0 1 2 3 … … 5 3 2 1 3 … (2)类比研究一次函数图象时得到的结论，写出该函数图象的两个结论： ①______；②______； (3)请结合的取值范围直接判断方程解的个数． 【答案】(1)表格及图象见详解 (2)①该函数关于直线对称；②当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)当时，该方程无解；当时，该方程有一个解；当时，该方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格及题意可直接进行求解； （2）由（1）中函数图象可直接进行求解； （3）由（1）中函数图象可分类进行求解． 【详解】（1）解：当时，则有，当时，则有，所以所列表格如下： … 0 1 2 3 … … 5 4 3 2 1 2 3 … 所得函数图象如下所示： （2）解：由（1）函数图象可知：①该函数关于直线对称；②当时，y随x的增大而增大； 故答案为该函数关于直线对称；当时，y随x的增大而增大； （3）解：由（1）中图象可知： ①当时，该方程无解； ②当时，该方程有一个解； ③当时，该方程有两个不相等的实数根． 易错必刷题二十九、根据矩形的性质与判定求线段长、面积、角度 85．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，已知平行四边形ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题； （2）只要证明AC＝EF即可解决问题． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝CE，AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF． （2）∵∠FOC＝∠OEC＋∠OCE＝2∠OCE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴OE＝OC， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴OA＝OC，OE＝OF， ∴AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 86．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可； （2）根据中点的性质得出四边形的面积等于两个三角形的面积和，求出三角形面积即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：由（1）得， ∵，， ∴ ∵点E是的中点，点H为的中点， ∴，， 四边形的面积等于． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用矩形的判定定理进行推理证明，利用矩形和中点的性质求出面积． 87．（2025·河南衡阳·一模）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)______，______． (2)求的长； (3)该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，，故，，即可作答． （2）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （3）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵矩形是其中一个停车位． ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， （3）解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 易错必刷题三十、根据菱形的性质与判定求线段长、面积、角度 88．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求： (1)的度数． (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，再由等边对等角及三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据菱形的对角线互相平分得出，，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接，如图所示： ∵四边形和四边形都是菱形，，， ∴，， ∴． 【点睛】题目主要考查菱形的性质及等边对等角，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 89．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D，依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O． (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)四边形是菱形．理由见解析 (2)面积是24 【分析】（1）根据四边相等解可判断菱形 （2）根据勾股定理求出OB长，从而利用菱形面积公式：对角线长相乘除以二求出菱形面积 【详解】（1）四边形是菱形． 理由是：由作图可知， ∴四边形是菱形． （2）由（1）知四边形是菱形， ∴． ∴， 由勾股定理得：， ∴， 所以四边形的面积是24． 【点睛】本题考查菱形的判定和勾股定理的使用，菱形面积的计算，掌握这些才能正确解题． 90．（23-24八年级下·全国·课后作业）取一张长方形纸片，按图的方法对折两次，并沿图③中的斜线（虚线）剪开，把剪下的Ⅰ这部分展开，平铺在桌面上． 议一议： (1)剪出的这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？ (2)根据折叠、裁剪的过程，这个四边形的边和对角线分别具有什么性质？ (3)一个平行四边形具备怎样的条件，就可以判定它是菱形？ 【答案】(1)菱形，一定是菱形 (2)四条边均相等，对角线互相垂直平分 (3)平行四边形的邻边相等或对角线互相垂直时，这个四边形是菱形 【分析】（1）根据裁剪的过程及菱形的判定即可得出结果； （2）根据裁剪的过程即可得出边和对角线的性质； （3）根据菱形的判定定理即可得出结果． 【详解】（1）解：根据折叠剪出的这个图形为菱形，一定是菱形； （2）根据折叠、裁剪的过程，这个四边形的四条边均相等，对角线互相垂直平分； （3）根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴当平行四边形的邻边相等或对角线互相垂直时，这个四边形是菱形． 【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题关键． 易错必刷题三十一、根据正方形的性质与判定求线段长、面积、角度 91．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知、两点在正方形的对角线上移动，为定角，连接、，并延长分别交、于、两点，则与在、两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论． 【答案】始终为定角，这定角为的倍 【分析】因为BD为正方形ABCD的对角线, 则∠1=∠3, ∠2=∠4, 用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC+∠FNC可得结论. 【详解】∵为正方形的对角线， ∴，， ∴． 同理． ∴． ∵， ∴总与相等． 因此始终为定角，这定角为的倍． 【点睛】本题主要考查正方形的性质. 92．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析（2）6 【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形； （2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−2）2＋（x−3）2＝52，求出AD＝x＝6． 【详解】（1）证明：由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF为矩形， ∵AE＝AD，AF＝AD， ∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形； （2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3， 设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x， 则BG＝EG−BE＝x−2，CG＝FG−CF＝x−3， 在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x−2）2＋（x−3）2＝52， 解得：x＝6或−1（舍去）． ∴AD＝6． 【点睛】本题考查了对折的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形． 93．（24-25八年级下·四川简阳·期中）如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，比的应用，根据相相邻两边长之比和矩形纸片的面积求得矩形相邻两边的长是解答关键． （1）利用相邻两边长之比为，设长与宽分别为，根据矩形纸片的面积为，列出方程求解； （2）先求出正方形的边长和正方形的边长，再利用面积公式求解． 【详解】（1）解：设长与宽分别为 ， ， 解得，（不符合题意舍去）， ，． 则相邻的两边长分别为． （2）解： ． 易错必刷题三十二、一次函数与反比例函数的交点问题 94．（2025·山西临汾·一模）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（    ）      A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象．结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意； B、当时，，则此项正确，符合题意； C、当时，，则此项错误，不符合题意； D、当时，，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 95．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，已知点，在反比例函数的图像上，规定横、纵坐标都是整数的点为整点，则直线与反比例函数图像围成的封闭图形内部（不包括边界）有 个整点． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数的与反比例函数交点问题，求一次函数的解析式，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，，再运用待定系数法求一次函数的解析式，结合整点的定义进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵已知点，在反比例函数的图像上， ∴， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵规定横、纵坐标都是整数的点为整点， ∴当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； ∴当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； ∴当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； ∴当时，则，， 此时不存在满足条件的整点， 故答案为：3． 96．（2024·四川内江·一模）一次函数与反比例函数的图像相交于、两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数解析式； (2)求点A的坐标，连接、，求的面积； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)3 (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数求出，再将点代入一次函数求出即可求解本题； （2）先求出直线的解析式，然后求出直线与轴交点及的长，最后利用求解即可； （3）根据图像求不等式的解集即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在反比例函数的图像上， ， 将点代入得， 解得， 将代入，得， ， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）由（1）得、， 设直线为， ， 解得，， 直线的解析式为， 当时，，解得， ， ； （3）如图可知，当时，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，两函数的交点问题，求三角形的面积，根据图像求二次不等式的解集，解题的关键是将点代入函数解析式，利用图像求不等式的解集． 易错必刷题三十三、实际问题与反比例函数 97．（24-25八年级下·全国·课后作业）一场暴雨过后，一洼地积存雨水，设积存的雨水全部排完需，排水速度为，且排水时间t需满足． (1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围； (2)请画出函数图象； (3)根据图象回答：当排水速度为时，排水时间需要多长？ 【答案】(1) ；a的取值范围为； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要查了反比例函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键． （1）按照等量关系“一洼地存的雨水量排完需要的时间每分的排水量”列出函数关系，并由排水时间求得a的取值范围； （2）根据自变量的取值范围结合反比例函数的图象直接画出即可； （3）由（1）求得的函数关系式，代入，解得t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵， ∴a的取值范围为； （2）解：根据题意，列表如下： a 2 3 4 t 10 5 画出函数图象，如下： （3）解：当时，， 即排水时间需要． 98．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知长方体的体积是，底面积为，高为． (1)写出y关于x的函数表达式． (2)完成下表： x … 1 2 3 4 5 6 … y … … (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由长方体的体积公式列式整理即可； （2）根据（1）的式子求解即可填空； （3）根据根据（1）的结论，利用描点，连线，两点法作出函数图象即可． 【详解】（1）解：由题意得， 即； （2）解：填表如下， x … 1 2 3 4 5 6 … y … 12 6 4 3 2 1 … （3）解：描点，连线，该函数的图象如下， ． 99．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求这一函数的解析式； (2)已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 【答案】(1)； (2)清理完这条河道一共需要6天． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， ∴所求函数解析式为； （2）解：当时，， ∴， 答：清理完这条河道一共需要6天． 1．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知分式（m，n为常数）满足下表的信息： x 2 a 0 无意义 0 1 b 则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键． 首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时，原分式无意义， ∴， 解得：，B选项说法正确，不符合题意； ∴此分式为， ∵当时，原分式值为0， ∴， 解得：，A选项说法正确，不符合题意； 由上分析，原分式为， 当时，原分式值为，D选项说法正确，不符合题意； 当时， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，C选项说法错误，符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川巴中·期中）正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，掌握它们的性质是解题的关键；由正比例函数（）的图象经过第二、四象限，得，则一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大，从而可判断一次函数经过的象限，由此即可判断． 【详解】解：∵正比例函数（）的图象经过第二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限； 故选：B． 3．（2025·山东烟台·一模）一位射击运动员在一次训练测试中射击了五次，成绩如图所示，对于这五次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．众数是 D．方差是 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是求平均数、众数、中位数、方差，解题关键是熟练掌握相关知识点． 结合射击成绩计算平均数、众数、中位数、方差对选项逐一判断即可． 【详解】解：选项，这五次射击的成绩平均数为，结论正确，不符合题意，选项错误； 选项，将这五次射击的成绩按从小到大排列可得：，，，，，则中位数为，结论正确，不符合题意，选项错误； 选项，这五次射击的成绩出现最多的是， 众数是，结论正确，不符合题意，选项错误； 选项，这五次射击的成绩方差为，结论错误，符合题意，选项正确． 故选：． 4．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图所示，将绕边的中点O旋转．小颖发现旋转后的与构成了平行四边形，她的推理思路如下：为保证小颖的推理更严谨，小明想在方框中“由，” 和“得四边形……”之间作补充．应补充的是（  ） 点A、C分别转到点C、A处， 而点D转到点B处．由， 得四边形是平行四边形． A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和旋转的性质，牢记旋转前、后的图形全等．根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答． 【详解】解：根据旋转的性质得：，， ∴四边形是平行四边形； 故应补充“”， 故选：D． 5．（2025·四川内江·模拟预测）甲、乙、丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个，折叠纸张使得点A与点C重合，折痕与边交于点O；乙再折出射线，点E在延长线上；丙再折叠纸张使得落在上，点B的对应点为点D，连接． 对下列两个结论判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：由操作步骤可直接得到四边形为平行四边形，判定依据是一组对边平行且相等； 结论Ⅱ：在中，若，则四边形为矩形． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ对，Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题考查了折叠性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据折叠得，证明四边形为平行四边形，再结合有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴四边形为平行四边形， 判定依据是对角线互相平分； 故结论Ⅰ不正确； ∵在中，， ∴, ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， 故结论Ⅱ是正确的； 故选：C． 6．（2025·四川巴中·模拟预测）计算： ； ； ． 【答案】 4 【分析】本题考查了积的乘方，零指数与负整数指数幂，单项式乘单项式等知识；掌握这些运算法则是关键；利用积的乘方、单项式乘单项式法则即可计算第一个算式；利用零指数与负整数指数幂即可计算第二个算式；逆用积的乘方即可计算第三个算式． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；4；． 7．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，已知函数和图象交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两条直线的交点求不等式的解集，根据函数图象找到函数的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，和的图象交于点， ∴函数的图象在函数的图象上方时， ∴关于的不等式的解集为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，已知点是反比例函数图象第一象限上的一点，过点作轴于点，的面积是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设点的坐标是，根据的面积是，可得：，所以可得． 【详解】解：设点的坐标是， 则，， ， 的面积是， ， 即， 把点的坐标代入反比例函数， 可得：， ． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·四川简阳·期末）如图，在矩形中，过对角线上一点分别作，，其中点，，、分别在边、、、上，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．由矩形的性质可得，，，由题意可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，可得，，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∵，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ，， ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·四川眉山·期末）古代数学家贾宪曾经提出“从矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等”，如图①所示的图形中两阴影部分面积相等．这个方法可以帮助我们解决很多类似的数学问题，如图②，在平行四边形中，G为对角线上一点，过点G作的平行线分别交，于点F，E，连接，，若，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定， 首先根据题意证明出四边形，，，是平行四边形，然后得到，，，，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】如图所示，过点G作 ∵ ∴ 同理可得， ∴四边形，，，是平行四边形 ∴，，， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴． 故答案为：4． 11．（24-25八年级下·四川资阳·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整式的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，乘法公式的应用； （1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，再合并即可； （3）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可； （4）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）用剪刀将形状如图（1）所示的矩形纸片沿着直线剪成①②两部分，其中M为的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图（2）中的 就是拼成的一个图形．用这两部分纸片除了可以拼成图（2）中的 外，还可以拼成一些特殊的四边形．请你试一试，把拼好的特殊四边形分别画在图（3）、图（4）的网格内． 【答案】见解析 【分析】此题考查了图形的剪拼，平行四边形的判定，根据相等的边为与，与让相等的边重合，即可拼成等腰梯形和平行四边形． 【详解】根据题意，可以拼成如下四边形： 13．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)当时，求I的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设I关于R的函数解析式为，再把，代入进行计算，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设I关于R的函数解析式为， 当时，， ， ； （2）解：，依题意，当时，； 14．（2025·四川·一模）如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点． (1)求的值； (2)若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设直线的函数表达式为，根据是等腰直角三角形得到，求出直线的函数表达式为，得到，从而求出的值； （2）设，，根据可得，根据点在直线上和点在反比例图像上，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， ，，是等腰直角三角形， ， 则， ， 解得， 直线的函数表达式为， 在上， ， ， 则； （2）解：设，， ， ，则，则， 将代入得，，即， 在反比例函数上， ， ， 解得，（舍）， ． 15．（2025·山西晋城·一模）综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 【答案】四边形是正方形．理由见解析； ，理由见解析； 或． 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可证：，，从而可证四边形是正方形； 根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，从而可证，根据平行线的性质可得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得； 利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 四边形是矩形， 四边形是正方形； ， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ． 由旋转的性质，得，，， ， ， ， 由折叠的性质，知， 在中，， ，即； 解：或， 理由如下： 如下图所示， ， ， 在中，， 根据旋转的性质可得：， 则， ，， ，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质和旋转的性质找到边之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$