9.2.2 总体百分位数的估计 教案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.2《总体百分位数的估计》教案 一、教材分析 “总体百分位数的估计”是统计学中用样本估计总体的重要内容，在数据分析领域占据关键地位。它承接了之前频率分布表、频率分布直方图等知识，进一步深入探讨如何从样本数据中提取关键信息来推断总体特征。通过学习百分位数，学生能够更精确地把握数据的分布情况，了解数据在整体中的相对位置，为后续的统计推断、决策制定等提供有力支持，在整个统计知识体系中起着承上启下的作用。 二、学情分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了频率分布表、频率分布直方图等数据整理和分析的方法，对用样本估计总体有了初步的认识，具备一定的数据处理和分析能力。然而，百分位数的概念相对抽象，学生理解起来可能存在一定困难。在计算百分位数时，涉及到数据排序、计算位置索引以及根据不同情况确定百分位数值等步骤，学生可能会在这些操作过程中出现混淆或错误。同时，将百分位数的知识应用到实际问题中，对于学生来说也具有一定的挑战性。但学生已有的知识基础为学习本节课提供了支撑，教师可引导学生通过实例分析、练习巩固等方法，逐步掌握本节课的内容。 三、教学目标（基于数学核心素养） 1. 数学抽象素养：从实际问题中抽象出百分位数的概念，理解其统计含义，提升从具体到抽象的思维能力。 1. 逻辑推理素养：掌握计算样本数据第p百分位数的步骤，能够根据数据特点和计算规则进行合理推理，培养逻辑思维能力。 1. 数学运算素养：在计算百分位数的过程中，涉及到数据排序、数值计算等，通过练习提高学生的运算能力和对数学公式的运用能力。 1. 数据分析素养：能够运用百分位数对数据进行分析，理解其在反映数据分布特征方面的作用，培养数据分析意识和能力。 1. 数学应用意识：体会百分位数在实际生活中的广泛应用，如制定标准、评估数据等，增强数学应用意识，学会用数学方法解决实际问题。 四、教学重难点 1. 重点：百分位数的概念，计算样本数据第p百分位数的方法。 1. 难点：理解百分位数的统计意义，在不同数据情境下准确计算百分位数，并能运用其解决实际问题。 五、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 六、教学过程（40分钟） （一）复习回顾（5分钟） 1. 引导学生回顾频率分布直方图的绘制步骤，提问学生求极差、决定组距和组数、将数据分组、列频率分布表、画频率分布直方图的具体方法，随机抽取学生回答，强化学生对已学知识的记忆。 1. 提问频率分布直方图的性质，如矩形面积与频率的关系、各小矩形面积之和、频数与频率和样本量的关系等，引导学生回忆并巩固相关知识。 1. 简要回顾其他统计图表（扇形图、条形图、折线图）的主要应用和区别联系，通过简单举例让学生加深印象，为学习百分位数奠定基础。 （二）情景引入（5分钟） 1. 讲述前面用频率分布表和频率分布直方图描述居民用户月均用水量样本数据的案例，提出问题：如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据之前100户居民用户的月均用水量数据，如何给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议？引发学生思考，激发学生的学习兴趣。 1. 引导学生分析问题，引出寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%。展示将100个样本数据按从小到大排序后，第80个和81个数据分别为13.6和13.8，进而取它们的平均数13.7作为这组数据的第80百分位数的过程，让学生初步感受百分位数的概念和作用。 （三）新知探究（10分钟） 1. 百分位数的定义（3分钟）： 讲解第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100 - p)%的数据大于或等于这个值。通过举例，如班级考试成绩中第70百分位数的含义，帮助学生理解定义。 1. 计算步骤（4分钟）： 讲解计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： (1) 第1步，按从小到大排列原始数据。通过实际数据演示排序过程，强调排序的重要性。 (2) 第2步，计算 。解释这个计算的目的是确定百分位数所在的位置索引。 (3) 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第p百分位数为第项数据；若是整数，则第p百分位数为第项与第项数据的平均数。通过不同的简单数据组，分别演示是整数和不是整数的情况，让学生掌握计算方法。 1. 特殊百分位数及特点（3分钟）： 介绍中位数相当于第50百分位数，以及常用的第25百分位数（第一四分位数或下四分位数）、第75百分位数（第三四分位数或上四分位数），说明这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份。同时提及第1百分位数、第5百分位数、第95百分位数和第99百分位数在统计中的常用性，引导学生思考这些特殊百分位数的特点和作用。 （四）例题讲解（10分钟） 1. 例2讲解（5分钟）： 例2：根据下面女生的身高的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25、50、75百分位数。163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 引导学生分析解题步骤： (1) 把27名女生的样本数据按从小到大排序。 (2) 计算，，。 (3) 根据计算结果，确定样本数据的25、50、75百分位数分别为第7、14、21项数据，即155.5、161、164。 (4) 得出可以估计树人中学高一年级女生的第25、50、75百分位数分别约为155.5、161和164的结论。详细书写解题过程，强调每个步骤的依据和计算方法，让学生熟悉百分位数的计算过程。 1. 例3讲解（5分钟）： 例3：根据月均用水量的样本数据的统计表，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数。 引导学生分析： (1) 首先根据统计表计算月均用水量在不同区间以下的居民用户所占比例。 (2) 确定80%分位数位于[13.2,16.2)内，利用公式，估计80%分位数约为14.2。 (3) 类似地，确定95%分位数位于[22.2,25.2)内，计算，估计95%分位数约为22.95 。在讲解过程中，强调在数据分组情况下计算百分位数的方法和原理，让学生理解如何从频率分布数据中估计百分位数。 （五）练习巩固（5分钟） 1. 布置练习题： (1) 回答下列问题： 1　 班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？ （参考答案：不是，是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比 ） 2　 “这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？ （参考答案：有70%的同学数学测试成绩在小于或等于85分 ） (2) 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图已知，估计60株树木的第50百分位数和第75百分位数。 （参考答案：第50百分位数约为103.3cm，第75百分位数约为112.5cm ） (3) 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：g），求这组数据的第25、50、95百分位数；找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；若用第25、50、95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，给出该公司珍珠等级的划分标准。 （参考答案：第25百分位数是8.15g，第50百分位数是8.5g，第95百分位数是9.9g；前15%的珍珠质量为7.8g和7.9g；质量小于或等于8.15g为次品，大于8.15g且小于或等于8.5g为合格品，大于8.5g且小于或等于9.9g为优等品，大于9.9g为特优品 ） 1. 让学生独立完成，教师巡视，对学生的解题过程进行指导，纠正错误，强化对百分位数概念和计算方法的理解和应用能力。 （六）课堂小结（3分钟） 1. 请学生回顾本节课所学内容，包括百分位数的定义、计算一组数据第p百分位数的步骤，以及特殊百分位数的概念和作用。 1. 教师进行补充和完善，强调重点知识，帮助学生构建知识体系，梳理各知识点之间的联系，明确本节课的核心内容和学习要点。 （七）布置作业（2分钟） 1. 必做题：完成教材P203练习2，通过作业巩固百分位数的概念和计算方法，提高学生运用知识解决问题的能力。 1. 选做题：思考在体育比赛中，如何运用百分位数来评估运动员的成绩水平；查阅资料，了解更多百分位数在实际生活中的应用案例，并整理成简短的报告。 1. 拓展任务：收集自己感兴趣的一组数据，如班级同学的考试成绩、某地区的房价数据等，计算其中的一些百分位数，并分析这些百分位数所反映的数据特征，培养学生的拓展思维和对知识的深入探究能力。同时，鼓励学生将所学的百分位数知识应用到生活中，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力。 七、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，通过具体实例理解抽象的百分位数概念和计算方法。多利用实际的数据案例进行讲解，帮助学生建立直观认识。在讲解计算步骤时，要注重细节，让学生清楚每个步骤的目的和依据。练习环节要关注学生的解题情况，及时发现学生在理解和应用上的问题，如数据排序错误、计算位置索引出错、对不同情况的处理不当等，并给予针对性的指导。根据学生的学习情况，灵活调整教学策略，如增加一些拓展性的练习或补充更多的实际案例，帮助学生更好地掌握本节课的知识，提升教学效果。同时，要鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。 学科网（北京）股份有限公司 $$