第4讲 空间几何体的体积与表面积-2024-2025学年高一数学下学期复习课（人教A版2019必修第二册）

第4讲 空间几何体的体积与表面积 考点一 空间几何体的侧面积与表面积 【例1-1】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知四面体A-BCD的棱长都等于2，那么它的表面积为（   ） A．2 B． C． D． 【例1-2】（2025·河北）在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 2（24-25广东·开学考试）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 3．（2024河南）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 考点二 空间几何体的体积 【例2-1】（24-25浙江）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】．（2025·宁夏银川）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25浙江）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25河南）已知正三棱锥底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西南宁·期中）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 考点三 实际应用中的体积与表面积 【例3-1】（2025·河北秦皇岛）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·广东广州）某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【变式】 1．（24-25上海）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川成都·期中）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（    ） A． B． C． D． 考点四 距离最值 【例4-1】（2025陕西）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（    ）    A． B． C．3 D． 【例4-3】．（24-25高一下·浙江·期中）在长方体中，为线段的中点，是棱的中点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式】 1．（24-25贵州遵义·阶段练习）如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它要爬行到上底面的点B处.当圆柱的高等于8cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（    ） A．12 cm B． cm C．18 cm D．cm 2．（24-25湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 3．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025河南南阳·期末）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．3 C．4 D． 考点五 外接球与内切球 【例5-1】（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2024·湖南邵阳）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例5-3】（2025·陕西商洛）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例5-4】（2025·辽宁）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25 ·广东深圳·阶段练习）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25 浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南开封）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽黄山）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球是 D．正四面体表面积是 考点六 截面 【例6-1】（2024·四川达州）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【例6-2】．（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【例6-3】．（2025湖南）已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）（多选）在正方体中，分别为的中点，为线段上的动点，则平面PMN截正方体形成的截面图形可能为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为 . 4．（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    5．（23-24四川成都·开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 ．    1． 单选题 1．（2025·辽宁沈阳）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆台的侧面积为.故选：B． 2．（24-25河南焦作）已知底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该圆锥的高、母线长分别为h，l，由题知，则， 所以，则该圆锥的侧面积. 故选：D 3．（2025·广东深圳）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，， 由于，所以， 所以， 所以原圆台的侧面积为， 故选：A. 4．（2025·安徽滁州）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为， 则， 所以， 所以， 所以圆台的高为 故选： 5．（2025四川内江·阶段练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，求小虫爬行的最短路径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】展开圆柱的侧面如图所示，    展开后，在矩形中，，， 由图可知小虫爬行路线的最短长度是. 故选：B. 6．（24-25高一下·山西太原·阶段练习）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 7．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且，D为线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：， 将绕旋转至同一平面，如图所示， 可知：当且仅当三点共线时，取到最小值， 取的中点，可知， 可得，， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 8．（23-24高一下·山西太原·期中）已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的底面直径为， 如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径， 设内切球半径为，内切球球心为I，连接. 三角形是边长为的等边三角形， 由等面积法有，，即，解得， 故所求为. 故选：C. 2． 多选题 9．（23-24河南南阳·期末）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（     ） A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 【答案】ABD 【解析】由题意，在正方体中， 对于A中，过点三点的截面为，截面的形状为正三角形，所以A正确； 对于B中，过棱的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B正确； 对于C中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C错误； 对于D中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D正确. 故选：ABD.       10．（24-25河南周口·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（   ） A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆 【答案】ABD 【解析】设圆锥底面半径为， 则底面面积，底面周长， ∴侧面面积， 由题意得，即，即， 设该圆锥母线与底面所成角为，则，即，A选项正确； 则该圆锥的体积，B选项正确； 侧面面积，C选项错误； 侧面面积，所以该圆锥侧面展开图为半圆，D选项正确. 故选：ABD. 11．（24-25贵州遵义·期中）已知球的半径为，则（   ） A．球的内接正方体的内切球表面积为 B．球的内接正方体的内切球体积为 C．球的内接正四面体的内切球半径为 D．球的内接正四面体的内切球半径为 【答案】BC 【解析】对于A，B，设球的内接正方体的棱长为，球的内接正方体的内切球的半径为， 则球的内接正方体的内切球半径，球的半径， 所以，所以表面积，体积，故A不正确，B正确； 对于C，D，设球的内接正四面体的棱长为，球的内接正四面体的内切球半径为，如图， 可知，，， 由可得，解得， 因为球的内接正四面体的体积， 球的内接正四面体的表面积， 又因为， 所以球的内接正四面体的内切球半径，故C正确，D不正确． 故选：BC. 3． 填空题 12．（24-25高一下·福建福州·期中）在棱长为2正方体中，三棱锥的表面积为 . 【答案】 【解析】在正方体中，， 所以 ， 所以三棱锥的表面积. 故答案为： 13．（24-25高一下·广东广州·期中）已知正方体的外接球的表面积是，则该正方体的内切球的体积为 . 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，则外接球的半径， 所以外接球的表面积，解得， 所以内切球的半径，则该正方体的内切球的体积. 故答案为： 14．（23-24山东菏泽·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，平面，，，M为的中点，P是棱上的点，且，则由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 如图，两种方式展开三棱柱的侧面： 故图1中， 图2中， 因为，所以最短路线长为. 故答案为：. 15．（2025辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为 ．    【答案】/ 【解析】如图所示，延长交于点，延长交于点， 连接交与点，连接交于点，分别连接， 则过点的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为正方体的棱长，且为的中点，为的中点， 可得，所以, 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以截面的周长为. 故答案为：.    4． 解答题 16．（24-25高一下·新疆喀什·期中）如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥. (1)求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积； (2)在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）在正方体中，因为棱长为，可得， 所以截去的三棱锥的表面积为： . 在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为， 又因为平面，即为三棱锥的高， 可得， 所以几何体的体积为. （2）由（1）可得：四棱锥的体积. 17．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的体积； (2)求四棱台的表面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意可知：四棱台的体积 ， （2）分别取、中点、，连接、、， 过点在平面内作，垂足为点， 由正四棱台的几何性质可知，平面，因为平面，则， 易知，因为，，则四边形为矩形， 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则，，，， 可得， 所以四棱台的表面积 . 18．（2025黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 【答案】（1）作图见解析，周长为；（2）作图见解析，边数为五． 【解析】(1)分别取，为棱，的中点，则由中位线性质得到：，所以四边形为平面四边形， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四边形即为所求截面，且为梯形， 由截面作法可知，所以截面四边形的周长为. （2）延长的延长线于，连接的延长线于连接于，连接，则五边形即为所求.所以截面多边形的边数为五. 19．（2025河南）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中． (1)求平面四边形的面积； (2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积． 【答案】(1) (2)体积为，表面积为． 【解析】（1）在直观图中设交于点，则， ， 平面四边形如图所示， 则，， 所以． （2）在中，，， 所以， 所以，所以， 如图，分别过点，作及其延长线的垂线，垂足为，． 矩形绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱； 绕旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥； 绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥． 所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体． 则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积， 所以旋转形成的几何体的体积． 旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和， 所以． 20．（24-25高一下·河南·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，． (1)求证：平面BMN； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）在四棱锥中，连接、、， 由、分别为、的中点，得，， 而，则，四边形是平行四边形， 于是，又平面，平面，则平面， 由、分别为、的中点，得，而平面，平面， 因此平面，又，、平面， 则平面平面，又平面，所以平面. （2）令，由，得，则， 即，于是，由（1）知，平面， 则，由为的中点，得点到平面的距离为点到平面距离的， 则，， 由平面，平面，得， 由，，得，而，平面， 因此平面，即为三棱锥的高， 则，所以. 21．（24-25高二上·上海·期中）如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 【答案】(1)侧面积为；体积为 (2)； 【解析】（1）由已知，圆柱底面圆的半径， ∵母线长，∴圆柱的高， ∴圆柱的侧面积， 圆柱的体积. （2）如图，延长线段至，使得， 作，垂足为，交与， 因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线， 所以， 则，∴， 所以， 此时，取得最小值， 因为，，所以， 所以在中，， 所以， 所以的最小值为. 又在中，， 所以， 则在中， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 空间几何体的体积与表面积 考点一 空间几何体的侧面积与表面积 【例1-1】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知四面体A-BCD的棱长都等于2，那么它的表面积为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】四面体的棱长都等于2，那么它的表面积为.故选：D. 【例1-2】（2025·河北）在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，则，过作于， 则，由正四棱台的性质可得平面， 故即侧棱和底面所成角， 所以，在中，可得， 过作于，连接，因为平面， 所以，而平面， 故平面，而平面，故， 而，则， 所以该正四棱台的侧面积为， 故选：B． 【变式】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 2（24-25广东·开学考试）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 【答案】D 【解析】过点作，垂足为H，则. 因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以， 则梯形的高， 故该正四棱台的表面积是. 故选： D. 3．（2024河南）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设正六棱柱底面边长为，侧棱长为，由题意可知，， 则可知正六棱柱的侧面积为． 设正六棱锥侧棱长为，则． 又，所以，解得， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为. 故选：B． 考点二 空间几何体的体积 【例2-1】（24-25浙江）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，则，解得， 则该圆锥的高，故该圆锥的体积为，故选：A. 【例2-2】．（2025·宁夏银川）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点，，则， ，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 且，因此， 该正四棱台的体积为. 故选：D 【变式】 1．（24-25浙江）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正三棱台的上底面积，下底面积， 所以此三棱台的体积. 故选：B 2．（2025·内蒙古）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由题意可得：，解得， 所以圆锥的体积为.故选：B. 3．（24-25河南）已知正三棱锥底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正三棱锥中，设顶点在底面的射影点为，则为正的中心， 延长交于点，则为的中点，连接， 因为正的边长为，为的中点，则， 因为，则，则，， 由题意可知，正三棱锥的侧面积为，则， 即，故， 因为为正的中心，则， 因为平面，平面，则，所以，， 因此，该三棱锥的体积为.故选：D. 4．（24-25高一下·广西南宁·期中）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知上、下两部分几何体分别为小圆锥和圆台， 设小圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为， 原来的大圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为， 因此小圆锥的侧面积为，大圆锥的侧面积为； 又上下两个几何体的侧面积之比为，所以，由相似比可得， 即可得，即，所以小圆锥和原圆锥的体积比为； 因此小圆锥和圆台的体积比为.故选：D 考点三 实际应用中的体积与表面积 【例3-1】（2025·河北秦皇岛）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，圆台的侧面积为，母线长 圆台的高 则圆台上下底面面积为 由圆台的体积计算公式可得： 故选：C. 【例3-2】（2025·广东广州）某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【解析】作圆台的轴截面如图： 梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接， 则中，因为，所以，，所以. 所以. 所以灯罩的侧面积为：. 所以100个灯罩的外表面面积为：. 又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克. 故选：C 【变式】 1．（24-25上海）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，    该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， 由于是两个相同的直三棱柱，所以 . 所以 . 故选：D. 2．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台， 圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4， 可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积， 设大圆锥的高为，所以，解得：， 则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6， 所以该壶的容积. 故选：B. 3．（23-24高一下·四川成都·期中）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由球的半径为R，则圆柱体的高为R 此鼎主体部分的容积约为： 此鼎主体部分外表面积约为： 所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为： 故选：D 考点四 距离最值 【例4-1】（2025陕西）圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图（1）所示，正方形是圆柱的轴截面，且其边长为， 设圆柱的底面半径为，则，底面周长为， 将圆柱沿母线剪开，展开图如图（2）所示， 则从到的最短路径长即线段的长， ∵，， ∴， 即从到的圆柱侧面上的最短距离为. 故选：B. 【例4-2】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】若从到经过棱则沿棱展开如图， 过作于，则，， 故.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，，， 则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，因为，， 所以， ，，则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形， 四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形. 又，，故.      故沿棱柱的表面从到的最短路径长度为. 故选：C 【例4-3】．（24-25高一下·浙江·期中）在长方体中，为线段的中点，是棱的中点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】连接，则，点、、在平面中，    且，，， 在中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，    则，，，； 设点关于直线的对称点为， 的方程为，① ，直线的方程为，② 由①②组成方程组，解得，， 直线与的交点,． 对称点， ． 则的最小值为2． 故选：C． 【变式】 1．（24-25贵州遵义·阶段练习）如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它要爬行到上底面的点B处.当圆柱的高等于8cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（    ） A．12 cm B． cm C．18 cm D．cm 【答案】D 【解析】如图所示，在圆柱的侧面展开图中， 的长为底面圆周长的一半，即cm， 蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程 cm. 故选：D. 2．（24-25湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【解析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 3．（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 4．（2025河南南阳·期末）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【解析】将绕直线AB旋转到的位置，并且点在BC的反向延长线上， 连接，交AB于点，此时最小，如图所示：    因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 在中，由余弦定理得， 解得，即的最小值为． 故选：A． 考点五 外接球与内切球 【例5-1】（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】长方体的外接球的半径.则接球表面积为. 故选：B. 【例5-2】（2024·湖南邵阳）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故选：B． 【例5-3】（2025·陕西商洛）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 【例5-4】（2025·辽宁）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，    则该几何体的轴截面如下：    所以，， ∵与圆相切，点为切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积， 故选：D. 【变式】 1．（24-25 ·广东深圳·阶段练习）已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：B 2．（24-25 浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 3．（2025·河南开封）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 4．（2025·安徽黄山）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 5（24-25高一下·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球是 D．正四面体表面积是 【答案】A 【解析】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形， 所以正四面体的表面积．故D选项正确； 如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心， 正四面体各棱长为，则，，， 四面体的体积为，故A选项错误； 正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r， 则有，即，解可得，C选项正确； 将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线， ∵正四面体的棱长为，正方体的棱长为， 正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长， 所以正方体的对角线为，，．故B选项正确． 故选：A． 考点六 截面 【例6-1】（2024·四川达州）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】A 【解析】B选项，当点与重合时，    取中点，因为是中点，则，且， 连接，则四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形为矩形，故排除B选项； C选项，当点与重合时，    取中点，因为是的中点，所以， 连接，截面四边形为梯形，故排除C选项； D选项，当点为中点时，    因为是中点，所以且， 连接，则四边形是平行四边形， 又因为，， 因为是正方体，所以，所以， 所以平行四边形是菱形，故排除D选项； 不管点在什么位置，都不可能是三角形. 故选：A. 【例6-2】．（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 【例6-3】．（2025湖南）已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分别取，，，的中点，，，，线段上靠近的四等分点， 连接, 因为, 所以,四边形是平行四边形，即四点共面， 设中点为,易得,故，所以五点共面， 则平面即为平面，如图， 在中，,可得, 所以，，， 在等腰三角形中，，，所以高为， 故所求截面面积为矩形面积与三角形面积之和，． 故选：A 【变式】 1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】如图1，在正方体中， 易知为正三角形，于是答案都有可能， 如图2， 若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设， 由正方体的性质可知：，，所以平面， 而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误. 故选：D. 2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）（多选）在正方体中，分别为的中点，为线段上的动点，则平面PMN截正方体形成的截面图形可能为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】BCD 【解析】在正方体中，由分别为的中点， 得截面与正方体的3个面必有交线，而点在线段上， 截面与正方形或正方形有交线，即截面至少与正方体4个面有交线， 因此截面不可能是三角形，即A不可能； 取与重合，此时截面为四边形，如图，B可能； 当截面与棱的交点在线段（不含点）上时，截面与正方体 除正方形外的另5个正方形都有交线，此时截面是五边形，如图，C可能； 当点为棱的中点时，截面为六边形，如图，D可能. 故选：BCD 3．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为 . 【答案】 【解析】如图，连接，并延长交的延长线于，连接，交于， 延长交的延长线于，连接，交于点， 连接，则五边形即为所求截面. 易知分别是的三等分点， 则，， 所以该五边形的周长为. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    【答案】 【解析】在正方体中，直线与直线分别交于， 连接分别与交于点，连接， 则五边形是过M、N、的正方体的截面，      由M为AB中点，N为BC中点，得， ，即，同理，，， ，等腰中，， 则，， ， 所以截面的面积. 故答案为： 5．（23-24四川成都·开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 ．    【答案】 【解析】取中点，连接，,    ∵中点为，E是侧棱的中点， ∴,, 又在直角三角形中, ∴, ∵正方体中， ∴四边形为平行四边形, ∴ ∴, 四点共面，即为正方体的截面. 在直角三角形中, 同理,则截面周长为. 故答案为:. 1． 单选题 1．（2025·辽宁沈阳）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆台的侧面积为.故选：B． 2．（24-25河南焦作）已知底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该圆锥的高、母线长分别为h，l，由题知，则， 所以，则该圆锥的侧面积. 故选：D 3．（2025·广东深圳）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，， 由于，所以， 所以， 所以原圆台的侧面积为， 故选：A. 4．（2025·安徽滁州）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为， 则， 所以， 所以， 所以圆台的高为 故选： 5．（2025四川内江·阶段练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，求小虫爬行的最短路径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】展开圆柱的侧面如图所示，    展开后，在矩形中，，， 由图可知小虫爬行路线的最短长度是. 故选：B. 6．（24-25高一下·山西太原·阶段练习）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 7．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且，D为线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：， 将绕旋转至同一平面，如图所示， 可知：当且仅当三点共线时，取到最小值， 取的中点，可知， 可得，， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 8．（23-24高一下·山西太原·期中）已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的底面直径为， 如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径， 设内切球半径为，内切球球心为I，连接. 三角形是边长为的等边三角形， 由等面积法有，，即，解得， 故所求为. 故选：C. 2． 多选题 9．（23-24河南南阳·期末）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（     ） A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 【答案】ABD 【解析】由题意，在正方体中， 对于A中，过点三点的截面为，截面的形状为正三角形，所以A正确； 对于B中，过棱的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B正确； 对于C中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C错误； 对于D中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D正确. 故选：ABD.       10．（24-25河南周口·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（   ） A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆 【答案】ABD 【解析】设圆锥底面半径为， 则底面面积，底面周长， ∴侧面面积， 由题意得，即，即， 设该圆锥母线与底面所成角为，则，即，A选项正确； 则该圆锥的体积，B选项正确； 侧面面积，C选项错误； 侧面面积，所以该圆锥侧面展开图为半圆，D选项正确. 故选：ABD. 11．（24-25贵州遵义·期中）已知球的半径为，则（   ） A．球的内接正方体的内切球表面积为 B．球的内接正方体的内切球体积为 C．球的内接正四面体的内切球半径为 D．球的内接正四面体的内切球半径为 【答案】BC 【解析】对于A，B，设球的内接正方体的棱长为，球的内接正方体的内切球的半径为， 则球的内接正方体的内切球半径，球的半径， 所以，所以表面积，体积，故A不正确，B正确； 对于C，D，设球的内接正四面体的棱长为，球的内接正四面体的内切球半径为，如图， 可知，，， 由可得，解得， 因为球的内接正四面体的体积， 球的内接正四面体的表面积， 又因为， 所以球的内接正四面体的内切球半径，故C正确，D不正确． 故选：BC. 3． 填空题 12．（24-25高一下·福建福州·期中）在棱长为2正方体中，三棱锥的表面积为 . 【答案】 【解析】在正方体中，， 所以 ， 所以三棱锥的表面积. 故答案为： 13．（24-25高一下·广东广州·期中）已知正方体的外接球的表面积是，则该正方体的内切球的体积为 . 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，则外接球的半径， 所以外接球的表面积，解得， 所以内切球的半径，则该正方体的内切球的体积. 故答案为： 14．（23-24山东菏泽·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，平面，，，M为的中点，P是棱上的点，且，则由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 如图，两种方式展开三棱柱的侧面： 故图1中， 图2中， 因为，所以最短路线长为. 故答案为：. 15．（2025辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为 ．    【答案】/ 【解析】如图所示，延长交于点，延长交于点， 连接交与点，连接交于点，分别连接， 则过点的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为正方体的棱长，且为的中点，为的中点， 可得，所以, 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以截面的周长为. 故答案为：.    4． 解答题 16．（24-25高一下·新疆喀什·期中）如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥. (1)求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积； (2)在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）在正方体中，因为棱长为，可得， 所以截去的三棱锥的表面积为： . 在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为， 又因为平面，即为三棱锥的高， 可得， 所以几何体的体积为. （2）由（1）可得：四棱锥的体积. 17．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的体积； (2)求四棱台的表面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意可知：四棱台的体积 ， （2）分别取、中点、，连接、、， 过点在平面内作，垂足为点， 由正四棱台的几何性质可知，平面，因为平面，则， 易知，因为，，则四边形为矩形， 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则，，，， 可得， 所以四棱台的表面积 . 18．（2025黑龙江哈尔滨·期中）（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 【答案】（1）作图见解析，周长为；（2）作图见解析，边数为五． 【解析】(1)分别取，为棱，的中点，则由中位线性质得到：，所以四边形为平面四边形， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四边形即为所求截面，且为梯形， 由截面作法可知，所以截面四边形的周长为. （2）延长的延长线于，连接的延长线于连接于，连接，则五边形即为所求.所以截面多边形的边数为五. 19．（2025河南）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中． (1)求平面四边形的面积； (2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积． 【答案】(1) (2)体积为，表面积为． 【解析】（1）在直观图中设交于点，则， ， 平面四边形如图所示， 则，， 所以． （2）在中，，， 所以， 所以，所以， 如图，分别过点，作及其延长线的垂线，垂足为，． 矩形绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱； 绕旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥； 绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥． 所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体． 则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积， 所以旋转形成的几何体的体积． 旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和， 所以． 20．（24-25高一下·河南·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，． (1)求证：平面BMN； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）在四棱锥中，连接、、， 由、分别为、的中点，得，， 而，则，四边形是平行四边形， 于是，又平面，平面，则平面， 由、分别为、的中点，得，而平面，平面， 因此平面，又，、平面， 则平面平面，又平面，所以平面. （2）令，由，得，则， 即，于是，由（1）知，平面， 则，由为的中点，得点到平面的距离为点到平面距离的， 则，， 由平面，平面，得， 由，，得，而，平面， 因此平面，即为三棱锥的高， 则，所以. 21．（24-25高二上·上海·期中）如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 【答案】(1)侧面积为；体积为 (2)； 【解析】（1）由已知，圆柱底面圆的半径， ∵母线长，∴圆柱的高， ∴圆柱的侧面积， 圆柱的体积. （2）如图，延长线段至，使得， 作，垂足为，交与， 因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线， 所以， 则，∴， 所以， 此时，取得最小值， 因为，，所以， 所以在中，， 所以， 所以的最小值为. 又在中，， 所以， 则在中， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$