第2讲 正余弦定理-2024-2025学年高一数学下学期复习课（人教A版2019必修第二册）

第2讲 正余弦定理 考点一 边角互换 【例1】（1）（2025·江西）记的内角的对边分别为，已知，则= （2）（2025·江西）在中，已知角的对边分别是，且，则= （3）（2025·贵州）已知的内角的对边分别为，且，则= （4）（2025·福建）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则= （5）（2024广西）已知的内角、、的对边分别为、、，且，则B= 。 （6）（2025·云南）的内角的对边分别为，且，则= 【答案】(1)（2）（3）(4)（5）（6） 【解析】（1）由及余弦定理，得 又 （2）由题设及余弦定理知，整理得， 所以，，则； （3）因为，所以， 即，得到， 又，则，所以，解得. （4）在中，由及正弦定理得， 即，即， 而，即，则，又，所以. （5）解：，， 则，即， ，则，，即有， 可得，，则，，解得. （6）因为，可得，所以由正弦定理可得， 又为三角形内角，，所以， 因为，所以，可得，所以. 【变式】 1.（24-25广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为，则B= 。 【答案】 【解析】由正弦定理得， 因为，所以， 因为，，所以，，又，解得； 2.（24-25高三上·北京昌平·期末）在中，，.则= 【答案】 【解析】因为，由正弦定理，得. 因为在中，，所以.所以.因为，所以. 3. （2024·广东韶关）已知分别为三个内角的对边，且，则= 【答案】 【解析】由b及正弦定理得所以 因为化简得 因为，所以，所以所以. 4.（24-25安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且，= 【答案】 【解析】由题， 因为，所以． 5.（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，，则A= 【答案】 【解析】由题意，，即， 化简得， 即，故或， 又，解得或（舍去），故． 6.（2024广东揭阳）在中，角的对边分别为a，b，c，且． 则B= 【答案】 【解析】因为，即， 即，即， 因为，所以，且，所以等式可化为，即，即，因为，所以； 7.（24-25 贵州遵义 ）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. 则B= 【答案 【解析】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以，所以， 因为，所以，所以. 8.（2025·四川）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知,= 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 又因为，所以，应用正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以，所以. 考点二 三角形形状的判断 【例2-1】（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】在中，因为， 由正弦定理，可得 又因为，所以， 即，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故选：B. 【例2-2】（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形. 故选：A 【变式】 1．（浙江省A9协作体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】因为， 所以由余弦定理，整理化简得. 所以即，或即， 所以三角形ABC的形状为等腰或直角三角形. 故选：D 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由，可得，， 所以， ，故， 因为，所以，， 即是直角三角形. 故选：B. 3．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，已知，且，则的形状（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由. 所以，又，所以. 由， 所以, 又为三角形内角，所以，故，即. 综上可知：为等边三角形. 故选：C 4．（24-25 上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】由可得， 又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 5．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 【答案】B 【解析】对于A，在中，由，得， 整理得 ，则都是锐角， 是锐角三角形，A正确； 对于B：由及正弦定理得， 即，则或，即或， 因此是等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C，由及正弦定理，得， 即，而是的内角，则，是等腰三角形，C正确； 对于D，由是的内角及正弦定理，得，D正确. 故选：B 考点三 三角形的周长与面积 【例3-1】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积 . 【答案】 【解析】由及正弦定理得， 因为，所以，所以，故， 又因为，所以， 由，得， 由余弦定理得， 所以的面积. 故答案为： 【例3-2】（24-25高一下·江西宜春·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求角B的大小： (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 所以， 所以，所以， 因为，所以； （2）因为， 所以，由余弦定理得， 所以，所以， 所以的周长为. 【变式】 1．（2025·江西）已知的内角的对边分别为．已知． (1)求角： (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】1）因为，由正弦定理得 在中，，则，即， 故． （2）由余弦定值知：， 即，则， 所以． 2．（24-25甘肃临夏·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． (1)求角A； (2)若的面积为，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中，， 由正弦定理，有， 也即，即， ，因此有， 从而，解得． （2）由余弦定理，得， 又，所以， 所以， 所以的周长为． 3．（24-25高一下·河南·期中）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）由，及正弦定理得， 因为为三角形内角，故，故得， 又为三角形内角，所以或. （2）由， 得， 又，所以，所以. 由（1）得，故，所以， 而为三角形内角，所以，， 结合，可得. 由正弦定理，得， 故的面积. 考点四 三角形个数的判断 【例4-1】（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由，，可得，所以三角形只有一解； 对于B，由，可得，所以，此时三角形有唯一的解； 对于C，由正弦定理，可得，可得B有两解，所以三角形有两解； 对于D，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解． 故选：C． 【例4-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理可得，则， 因为，且满足条件的有两个， 所以，且（当时，三角形只有一解）， 此时，则.故选：B 【变式】 1．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 【答案】A 【解析】对于A，由正弦定理，可得， 三角形无解，故A正确； 对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在， 故三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，此时， 三角形有一解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，三角形无解， 故D错误； 故选：A 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为且，有两解， 所以，得． 故选：C 3．（2025河南洛阳·阶段练习）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】由正弦定理可得，若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解． 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解． 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解． 若D 成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解． 故选：C． 考点五 正余弦定理在几何中的应用 【例2】．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 【变式】 1．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 2．（24-25江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 3．（2025广东湛江·阶段练习）如图，四边形ABCD的内角，，，，且．    (1)求角B； (2)若点是线段上的一点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设， 在中由余弦定理得，即①， 又在中由余弦定理得，即②， 因为，则， 联立①②可得（负值舍去），，因为，所以． （2）在中，由正弦定理知，， 所以， 又，故， 在直角三角形中，由勾股定理知，， 此时．    考点六 三角形中的中线、角平分和高 【例6-1】（2025北京）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【解析】 因为的面积为，，， 所以，得． 由余弦定理，得． 因为平分，所以． 又因为的面积为，所以的面积为． 所以，得． 故选：A． 【例6-2】（2025高一·全国·专题练习）已知中，分别为角，C的对边，. (1)求B； (2)若，点D是AC的中点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中由正弦定理及已知条件，可得， 因为，所以，所以，所以， 所以.因为，所以. 所以，即； （2）因为点D是AC的中点，所以，即， 故． 又，，所以. 因为，所以，即， 则，. 所以的面积为:. 【变式】 1．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设分别为三个内角，，的对边， 已知. (1)求； (2)若，是的平分线且交于点， 求线段的长. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由正弦定理可知， 所以，即，则， 因为，所以，则， 所以； （2）因为，所以， 则，解得. 2．（24-25 湖南·期中）在中，分别为角的对边，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以，即； （2）因为的面积为，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，， 由余弦定理可得，解得， 所以，所以的周长为. 3．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1） 在中，： 结合正弦定理可得： 由得， ， ， ，又，所以． （2）若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设，则， 所以， 在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． （3）由正弦定理得， 故 , 由于为锐角三角形，故,故，因此， 故当，即时，此时取到最大值， 当或，即或时，此时， 因此 ， 故三角形的面积为， 故边上的高为， 考点七 三角形的最值（取值范围） 【例7-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，. (1)若，的面积为，求； (2)若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 【答案】(1)； (2)①；②；③. 【解析】（1）由题设及余弦边角关系有， 所以，则，且， 在三角形中有，又，可得， 结合，则； （2）①由（1）有，则，所以； ②由，当且仅当时取等号， 所以，即面积最大值为； ③由，则， 当且仅当时取等号，所以周长. 【例7-2】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以． （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，， 故周长范围为． 【例7-3】．（2025河南）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． （2）因为为锐角三角形，所以即解得． 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 【变式】 1．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c． (1)求角A： (2)若  求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理有，即， 所以， 因为，所以． （2）因为，所以由正弦定理得， 所以的周长 ， 因为，所以， 所以周长的取值范围是． 2．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【解析】（1）由， 可得， 又为锐角三角形，则， 所以， 所以，又，所以. （2）由余弦定理知，， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以， 故的面积， 所以面积的最大值为. （3）由正弦定理知， 所以，，则的周长为. 因为， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 故周长的取值范围为. 3．（24-25 广东深圳·阶段练习）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 4．（2025·河北沧州 ）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在锐角三角形中，因为， 所以由正弦定理得， 故，即，即，即， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）因为，由正弦定理， 所以，， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，， 所以，解得， 所以，所以， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 1． 单选题 1．（24-25 贵州贵阳·阶段练习）在中，若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】由，又， 所以或，为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知及余弦定理得， 解得（负值舍去）， 所以的面积为. 故选：A. 3．（24-25高二下·湖南·期中）的内角的对边分别为，已知，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 由余弦定理得，所以， 所以的面积为， 故选：C. 4．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且的面积，则（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】D 【解析】因为，， 所以，得， 因为， 所以由余弦定理得，， 所以， 所以，所以， 因为，所以. 故选：D 5．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）在中，，，其面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，，即，解得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得： ， 故选：C. 6．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（   ） A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定 【答案】C 【解析】中，则，而，， 所以，显然满足的三角形恰有两个. 故选：C 7．（24-25福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形. 故选：A 8．（2025·辽宁）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，则， 设，则，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 2． 多选题 9．（24-25 宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A．是钝角三角形 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意可知边长最大，即B是最大角， 由余弦定理知， 则，是锐角三角形，故A错误； 由余弦定理知，则，故B正确； 由上可知，作出三角形图形如上， 由平分，可知，即，故C正确； 作，易得均为等腰直角三角形， 且，所以，故D正确. 故选：BCD 10．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 【答案】BC 【解析】，，可得，可得外接圆半径，故D错误； 因为， 所以， 所以， 所以， 当时，即，所以，，可得； 当时，即，由正弦定理得；故A不一定成立； 当时，此时，，，所以，， 所以的周长为：，的面积为：； 当时，，，，解得，， 所以的周长为：，的面积为：； 故BC一定成立. 故选：BC. 11．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 【答案】ABD 【解析】A选项，因为，所以，故， 则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； B选项，若，由正弦定理得，即， 解得，无解，故B正确； C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角， 不可能，则无解，故C错误； D选项，若，由正弦定理得， 即，解得，因为，所以或， 所以有两解，D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）在中，角的边分别为，已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．周长的最大值为 D．面积的最大值 【答案】ACD 【解析】对A：由正弦定理，所以， 解得，故A正确； 对B：由余弦定理，所以，解得或， 又，所以，故B错误； 对C：由余弦定理，所以， 所以， 又，所以，所以. 所以，则（当且仅当时取“”）. 此时周长的最大值为，故C正确； 对D：由余弦定理，所以， 所以，则（当且仅当时取“”）， 此时，故D正确. 故选：ACD 3． 填空题 13．（2025高一·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因，则， 若为钝角三角形，则，得， 又，则，得，故. 故答案为： 14．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是 【答案】 【解析】在中，，由正弦定理可得， 设， 由余弦定理得，所以， 则， 所以，则， 所以， 15.（2023·四川内江）在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为 . 【答案】 【解析】由，可得， 由正弦定理可得，，而， 整理得， 即，， ，所以上式变为， 又，， 因为，所以，解得， 又由余弦定理可得，，解得， ，. 故答案为：. 16．（2024陕西）已知分别为三个内角的对边，且满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因为，由正弦定理可得， ， 因为，所以， 则有， 即， 所以，因为，所以， 整理可得，，即，因为， 所以或，则或（舍去）. 又因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 则，化简整理可得，， 所以，又因为，所以为等边三角形，故选：C. 4． 解答题 17．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 (1)求角A的大小； (2)若，，求△ABC的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由正弦定理得． 因为，所以， 因为中，，所以． （2）由，及余弦定理． 得，解得或（舍）， 所以 18．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．    (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由余弦定理得： ∴ , 由正弦定理：得. （2）如图所示：    过作于，在中， ，， ∴，，在中，.       ∴       ∴ ∴ 19．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 【答案】(1) (2)为等边三角形，证明见解析 【解析】（1）由，可得， 因为，所以. （2）解法一：为等边三角形，证明如下： 由三角形内角和定理得，， 故，由已知条件，可得， 整理得，所以， 因为、，则，所以， 又由（1）知，所以为等边三角形； 解法二：为等边三角形，证明如下： 因为，由正弦定理和余弦定理，得， 整理得，即. 又由（1）知，所以为等边三角形. 20（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 【答案】(1)； (2)周长、外接圆面积分别为、. 【解析】（1）由，由正弦定理得， 从而有，，则， 由； （2）因为，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以周长为， 设外接圆半径为R，由，得， 所以外接圆面积. 21．（24-25 江苏南通·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【解析】（1）由得， ， 即， 故， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 因为，所以； （2），由正弦定理得， 因为，所以， 由（1）知，，由余弦定理得， 解得，故，所以， 所以的周长为. 22．（24-25高一下·河北·期中）已知的内角的对边分别为，且的周长为． (1)求； (2)若，，是的平分线，且交于点，求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：因为的周长为，可得， 由正弦定理，可得，即， 整理得， 又由余弦定理，可得． 因为，所以． （2）解：在中，因为，， 由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 又因为是的平分线，可得，， 所以，解得． 23．（2025·湖南）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，得， 解法一：由正弦定理得， 又中，，所以， 所以， 于是， 又，所以， 又，所以. 解法二：由余弦定理得， 化简得， 由余弦定理得， 又， 所以. （2）由是的平分线，得， 解法一：， 又， 所以 . 解法二：由得 . 即， 解得， 所以. 24．（24-25高一下·海南·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【解析】（1）因为， 由正弦定理得，， 因为，所以，则， 则，又，所以． （2）由（1）知，又因为， 由余弦定理，得①， 由题意知，即②， 联立①②得，所以，故， 则的周长为. 25．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若的平分线交于点D，求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由正弦定理可得， 即， ， 即，且， 则，，则. （2）由可得， 由正弦定理可得， 即，解得，则， 且为角的角平分线， ，即， 化简可得，解得. 26．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由， 可得，，即， 由余弦定理得：， 因为，所以. （2）由，则，，， 所以均为锐角， 在锐角中，，， 由正弦定理得：， 故，， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则，， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 27．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)设的中点为，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据题意可得， 即， 则． 因为，所以， 即， 故，又，解得； （2） 设，则，， 根据正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 故的取值范围为． 28．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）锐角三角形中，角的对边分别为且. (1)求； (2)求三角形周长的取值范围； (3)求三角形面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3). 【解析】（1）由正弦定理：， 则， 所以，根据得：. （2）由正弦定理：，所以， ， 注意到，所以， 所以， 所以， 所以周长的取值范围是. （3）余弦定理：， 所以三角形面积为， 当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值. 29．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由正弦定理知，而， ∴， 即，又， ∴，即，又， ∴，则. （2）由正弦定理知， 所以， 因为，从而，所以， 从而的取值范围为. 30．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为， 由正弦定理，可得，整理得， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以. （2）由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，且，可得， 则，可得，则， 所以，即， 所以的取值范围. （3）设长度为， 由，可得， 因为，可得， 所以，可得， 又由余弦定理得，所以， 则， 设 ， 由，可得， 所以长度的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 正余弦定理 考点一 边角互换 【例1】（1）（2025·江西）记的内角的对边分别为，已知，则= （2）（2025·江西）在中，已知角的对边分别是，且，则= （3）（2025·贵州）已知的内角的对边分别为，且，则= （4）（2025·福建）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则= （5）（2024广西）已知的内角、、的对边分别为、、，且，则B= 。 （6）（2025·云南）的内角的对边分别为，且，则= 【变式】 1.（24-25广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为，则B= 。 2.（24-25高三上·北京昌平·期末）在中，，.则= 3. （2024·广东韶关）已知分别为三个内角的对边，且，则= 4.（24-25安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且，= 5.（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，，则A= 6.（2024广东揭阳）在中，角的对边分别为a，b，c，且． 则B= 7.（24-25 贵州遵义 ）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. 则B= 8.（2025·四川）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知,= 考点二 三角形形状的判断 【例2-1】（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【例2-2】（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式】 1．（浙江省A9协作体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 3．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，已知，且，则的形状（    ） A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25 上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 5．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 考点三 三角形的周长与面积 【例3-1】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积 . 【例3-2】（24-25高一下·江西宜春·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求角B的大小： (2)若的面积为，求的周长． 【变式】 1．（2025·江西）已知的内角的对边分别为．已知． (1)求角： (2)若，求的面积． 2．（24-25甘肃临夏·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． (1)求角A； (2)若的面积为，，求的周长. 3．（24-25高一下·河南·期中）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求的面积． 考点四 三角形个数的判断 【例4-1】（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025河南洛阳·阶段练习）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 考点五 正余弦定理在几何中的应用 【例2】．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【变式】 1．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 2．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 3．（2025·广东湛江·阶段练习）如图，四边形ABCD的内角，，，，且．    (1)求角B； (2)若点是线段上的一点，，求的值． 考点六 三角形中的中线、角平分和高 【例6-1】（2025北京）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D．7 【例6-2】（2025高一·全国·专题练习）已知中，分别为角，C的对边，. (1)求B； (2)若，点D是AC的中点，且，求的面积. 【变式】 1．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设分别为三个内角，，的对边， 已知. (1)求； (2)若，是的平分线且交于点， 求线段的长. 2．（24-25 湖南·期中）在中，分别为角的对边，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，的面积为，求的周长. 3．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 考点七 三角形的最值（取值范围） 【例7-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，. (1)若，的面积为，求； (2)若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 【例7-2】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【例7-3】．（2025河南）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 【变式】 1．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c． (1)求角A： (2)若  求周长的取值范围． 2．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 3．（24-25 广东深圳·阶段练习）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 4．（2025·河北沧州 ）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 1． 单选题 1．（24-25 贵州贵阳·阶段练习）在中，若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南·期中）的内角的对边分别为，已知，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且的面积，则（    ） A．8 B． C． D．4 5．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）在中，，，其面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（   ） A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定 7．（24-25福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 8．（2025·辽宁）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（24-25 宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A．是钝角三角形 B． C． D． 10．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 11．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 12．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）在中，角的边分别为，已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．周长的最大值为 D．面积的最大值 3． 填空题 13．（2025高一·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为 ． 14．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是 15.（2023·四川内江）在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为 . 16．（2024陕西）已知分别为三个内角的对边，且满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4． 解答题 17．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 (1)求角A的大小； (2)若，，求△ABC的面积． 18．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．    (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 19．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 20（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 21．（24-25 江苏南通·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，求的周长. 22．（24-25高一下·河北·期中）已知的内角的对边分别为，且的周长为． (1)求； (2)若，，是的平分线，且交于点，求． 23．（2025·湖南）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 24．（24-25高一下·海南·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 25．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若的平分线交于点D，求． 26．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围. 27．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)设的中点为，且，求的取值范围． 28．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）锐角三角形中，角的对边分别为且. (1)求； (2)求三角形周长的取值范围； (3)求三角形面积的最大值. 29．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 30．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$