第1讲 平面向量-《温故知新》2024-2025学年高一数学下学期复习课（人教A版2029必修第二册）

第1讲 平面向量 考点一 平面向量基本概念的辨析 【例1-1】（2025高一·全国·专题练习）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．向量的模是一个正实数 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【例1-2】（24-25 甘肃甘南·期中）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足， 则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 【变式】 1．（24-25高一下·山东·阶段练习）以下说法中正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．零向量的长度为0，没有方向 2．（24-25湖北随州·期末）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若则 3．（24-25高一下·江西上饶·期中）（多选）给出下列命题，不正确的有（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 考点二 平面向量的坐标运算 【例2-1】（2025·新疆）（多选）已知向量，，则下列选项正确的有（   ） A．若，则 B．若，则，的夹角为60° C．若，则 D．若，共线，则 【例2-2】（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）（多选）已知向量，，，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．在方向上的投影向量的坐标为 D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是 【变式】 1．（2025·重庆）（多选）已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，， 2（24-25高一下·安徽·阶段练习）（多选）若向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．与平行 C．在上的投影向量为 D． 3．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）（多选）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为2 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 考点三 平面向量的基本定理 【例3-1】（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）在矩形中，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东汕头·期中）四边形中，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ）    A． B． C． D．0 考点四 共线定理 【例4-1】（2025四川资阳·期中）已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【例4-2】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【例4-4】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（   ） A． B． C． D．－1 【变式】 1．（24-25 福建宁德·期中）设向量不共面，已知，若三点共线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西赣州·期中）已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ． 6．（24-25高一下·山西晋中·阶段练习）如图，在中，点是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交射线于不同的两点．设，则 ． 考点五 数量积 【例5-1】（2024·浙江）（多选）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．在的方向上的投影向量为 【变式】 1．（2025江西南昌·阶段练习）（多选）若向量，满足，且，，则下列命题正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在方向上的投影数量为1 2．（2025·甘肃白银）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3.（23-24高一下·四川雅安·期末）（多选）若平面向量，满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 考点六 取值范围 【例6-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）（多选）如图，在矩形中，，点满足，其中，设，则下列说法正确的有（    ）    A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高一下·浙江台州·期中）（多选）已知向量，的夹角为，，，，则（   ） A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 【变式】 1.（24-25 山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（   ） A． B． C． D．0 3.（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知平面向量为非零向量，且满足，则（    ） A．夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 4．（2025·浙江台州）（多选）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A．的取值范围是 B．的最大值为30 C．的最小值为 D．的最小值为 考点七 平面向量的应用 【例7-1】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）（多选）设O为所在平面内的一点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点O为的重心 B．若，则点O为的垂心 C．若，则的形状为等腰直角三角形 D．若，则和的面积之比为 【变式】 1．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若O为的外心，， 则 B．若O为的垂心，，则 C．若，则与的面积之比为 D．若，的面积为8，则的面积为14 3．（24-25高一下·江西上饶·期中）（多选）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（   ） A．若，则点是的外心 B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，则点是的垂心 D．若E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，且，，则的最大值为 1． 单选题 1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 3．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知单位向量，，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 4（24-25高一下·河南南阳·期中）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 5．（24-25高一下·湖北孝感·期中）已知向量，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时， 6．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）如图，正方形中，M是的中点，若，则（   ）    A． B． C． D．1 7．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（   ） A． B． C． D． 8（24-25高一下·湖北孝感·期中）下列命题： ①若都是非零向量，则； ②的充要条件是且； ③为实数，若，则与共线； ④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件． 其中，真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2． 多选题 9．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．与可以作为一组基底 D．向量在向量上的投影向量为 10．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知向量，则（    ） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．的充要条件是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 11．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则向量夹角为锐角 B．若，则 C．若，则与的夹角是 D．若，则 3． 填空题 12．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）设，是不共线的两个向量，，，.若A，B，D三点共线，则k的值为 . 13．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，已知，是线段与的交点，若，则的值为 . 14．（24-25高一下·吉林四平·阶段练习）在中，M，N分别在边，上，且，，D在边上（不包含端点）.若，则的最小值是 ． 4． 解答题 15．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，分别是边的中点，，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 16（2026湖南）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．    (1)若，求； (2)若，且，求实数k的值； (3)若，且，求的值． 17（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点． (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值． 18．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． (1)用和表示； (2)设，实数，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 19．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且. (1)当时，求的值； (2)当时，与交于点，求的值； (3)求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 平面向量 考点一 平面向量基本概念的辨析 【例1-1】（2025高一·全国·专题练习）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．向量的模是一个正实数 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【解析】向量既有大小又有方向，A不正确． 零向量的模是0， B不正确． 因为单位向量的方向不确定， C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 【例1-2】（24-25 甘肃甘南·期中）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足， 则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 【答案】BC 【解析】对于A，若空间向量满足，则，这显然是错误的，因为向量相等要满足大小相等，方向相同； 对于B，在正方体中，必有，这显然是正确的，因为他们的长度相等，两直线平行，并且方向相同； 对于C，若空间向量满足，则，这显然是正确的，因为向量的相等也具有传递性； 对于D，在空间中，，则，当时，因为任何向量与都是共线向量，所以是不一定成立的，故D错误； 故选：BC. 【变式】 1．（24-25高一下·山东·阶段练习）以下说法中正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 C．单位向量都是共线向量 D．零向量的长度为0，没有方向 【答案】B 【解析】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，A错； 对于B，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，B正确； 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，D错， 故选：B． 2．（24-25湖北随州·期末）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若则 【答案】BCD 【解析】对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； 对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确； 对于C，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时，才成立，故C正确； 对于D，由向量相等的定义知结论正确，故D正确. 故选：BCD. 3．（24-25高一下·江西上饶·期中）（多选）给出下列命题，不正确的有（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】BCD 【解析】是与同方向的单位向量，故A正确； 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故B错误； 若，则不一定共线，故C错误； 当时，与可以为任意向量，满足， 但与不一定共线，故D错误. 故选：BCD. 考点二 平面向量的坐标运算 【例2-1】（2025·新疆）（多选）已知向量，，则下列选项正确的有（   ） A．若，则 B．若，则，的夹角为60° C．若，则 D．若，共线，则 【答案】AC 【解析】A选项，当时，，，，故A正确； B选项，当时，，则，故B错误； C选项，因为，所以，解得，故C正确； D选项，因为共线，所以，解得或，故D错误. 故选：AC. 【例2-2】（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）（多选）已知向量，，，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．在方向上的投影向量的坐标为 D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】AB 【解析】A.∵，，∴， ∵，，∴，故，选项A正确. B.∵，，∴， ∵，∴，解得，故，选项B正确. C.由题意得，，， ∴在方向上的投影向量为，选项C错误. D.由题意得，，， ∵向量与向量的夹角为锐角， ∴，解得， 当向量与向量共线时，由得， 此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意， ∴的取值范围是，选项D错误. 故选：AB. 【变式】 1．（2025·重庆）（多选）已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，， 【答案】ABD 【解析】已知，，， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，若，则，即，故B正确； 对于C，，若，则，，所以不一定成立，故C错误； 对于D，，由，则，所以，，，故D正确. 故选：ABD. 2（24-25高一下·安徽·阶段练习）（多选）若向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．与平行 C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【解析】A选项：，则，，则，所以，故A正确； B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误； C选项：，又，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； D选项：，又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）（多选）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为2 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】AB 【解析】A，若，则，得，故A正确； B，若，则，得，故B正确； C，，则， 则当时，取最小值，故C错误； D，若向量与向量的夹角为钝角，则且向量与向量不共线， 结合A项可得，且，故的取值范围为，故D错误. 故选：AB 考点三 平面向量的基本定理 【例3-1】（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选：B 【例3-2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知为线段上一点， 设，， 则， 又， 则， 所以， 则， 解得， 故选：D. 【变式】 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）在矩形中，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在矩形中，为的中点， 故选：C． 2．（24-25高一下·广东汕头·期中）四边形中，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 则, 则，故A错误； 由，所以， 则 ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ）    A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】如图所示，    延长交于，由已知为的重心，则点为的中点， 可得，且，又由， 可得是的三等分点，则， 因为，所以，，所以． 故选：D. 考点四 共线定理 【例4-1】（2025四川资阳·期中）已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【解析】对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 【例4-2】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，共线，所以设， 又，是两个不共线的向量，所以，解得. 故选：B 【例4-3】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 【例4-4】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（   ） A． B． C． D．－1 【答案】C 【解析】因为三点共线，且，所以， 又因为三点共线，且，所以， 可得，解得，所以. 故选：C 【变式】 1．（24-25 福建宁德·期中）设向量不共面，已知，若三点共线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，因为A，C，D三点共线，所以，即，解得． 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，， 则， 又，，三点共线， 则与共线，， 即，解得， 故选：D. 3．（24-25高一下·江西赣州·期中）已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为，为不共线向量，且，为共线向量， 所以，而，， 则， 故，解得，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意. 故选：C. 5．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ． 【答案】 【解析】在中，，即， 又，即， 因此，而点B，P，N共线，于是，解得. 故答案为： 6．（24-25高一下·山西晋中·阶段练习）如图，在中，点是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交射线于不同的两点．设，则 ． 【答案】3 【解析】如图，连接AO，因三点共线，且点是边上靠近的三等分点， 则. 又注意到三点共线， 则， 又，则， 则，由平面向量基本定理， 可得. 故答案为： 考点五 数量积 【例5-1】（2024·浙江）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．在的方向上的投影向量为 【答案】AB 【解析】，，故A正确； ，所以，故B正确； ，所以， 又因为，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D错误； 故选：AB． 【变式】 1．（2025江西南昌·阶段练习）（多选）若向量，满足，且，，则下列命题正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在方向上的投影数量为1 【答案】AC 【解析】由得：，即，所以；故A正确； 由得：，即，所以；故C正确； 设向量，的夹角为，则，所以，故B错误； 在方向上的投影数量为，故D错误； 故选：AC. 2．（2025·甘肃白银）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 又，，，，， 在向量上的投影向量为．故选：D. 3.（23-24高一下·四川雅安·期末）（多选）若平面向量，满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】对于A： ，则，故A正确； 对于C：，故C错误； 对于B：，则向量与的夹角为，故B错误； 对于D：在上的投影向量为，故D正确； 故选：AD 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 考点六 取值范围 【例6-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）（多选）如图，在矩形中，，点满足，其中，设，则下列说法正确的有（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】在矩形中，以点为原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，    则，设，由，得， 由，得，， 对于AB，，，A正确，B错误； 对于CD，，C错误，D正确. 故选：AD 【例6-2】（24-25高一下·浙江台州·期中）（多选）已知向量，的夹角为，，，，则（   ） A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 【答案】ABD 【解析】由条件可得，， 则在方向上的投影向量的模为，故A正确； 因， 则在方向上的投影向量的模为，故B正确； 由，其为开口朝上的一元二次函数， 故当时其有最小值，则的最小值为，故C错误； 由C选项可知，取得最小值时， 则，则，故D正确. 故选：ABD 【变式】 1.（24-25 山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为向量与共线，所以可设(t∈R)， 所以，所以， 因为向量，为单位向量，且， 所以， 所以，所以的最小值为. 故选：A 2（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】如图，以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则有 ，，，设，则 ， 当，时，上式最小值为. 故选：A. 3.．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知平面向量为非零向量，且满足，则（    ） A．夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【解析】由， 若，且在以为圆心，1为半径的圆上，如下图示， 由图，当与圆相切时，即最大，最小显然为0， 所以，A对； 当为圆与轴的交点时取得最值，结合图易知，B对； 如图，若轴，由， 显然在圆与轴的两个交点之间运动（含交点），故，而， 所以的取值范围是，C错； 如图，若是中点，则，则， 显然中点轨迹是以为圆心，为半径的圆上运动，则， 所以，D对. 故选：ABD 4．（2025·浙江台州）（多选）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A．的取值范围是 B．的最大值为30 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【解析】对于选项A：由向量模长的三角不等式， 当且仅当同向时，取得最大值9； 当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0， 由于长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的， 故的取值范围是[0，9]，故选项A正确. 对于选项B， ， 当同向时，， 的最大值为，B选项正确. 对于选项C，D， ， 设，则上式为①， 当与反向时， ， 所以代入①式得， 所以当时，取得最小值为，此时， 所以，这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的. 故选：ABC 考点七 平面向量的应用 【例7-1】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）（多选）设O为所在平面内的一点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点O为的重心 B．若，则点O为的垂心 C．若，则的形状为等腰直角三角形 D．若，则和的面积之比为 【答案】ABD 【解析】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又，，即， 所以点为的重心，故A正确； 对于B，由，可得，即， 同理，可得，，即点为的3条高的交点，所以点为的垂心，故B正确； 对于C，由，则， ，即，化简得， 即，所以为直角三角形，故C错误； 对于D，因为，所以与边上的高之比为， 所以与的面积之比为，故D正确. 故选：ABD. 【变式】 1．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【解析】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直，所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.故选：B 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若O为的外心，， 则 B．若O为的垂心，，则 C．若，则与的面积之比为 D．若，的面积为8，则的面积为14 【答案】BD 【解析】对于A，由，，则， ，故A错误； 对于B，由，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，由奔驰定理可得，故C错误； 对于D，由，则, 即，由奔驰定理可得， 又，则，故D正确.故选：BD. 3．（24-25高一下·江西上饶·期中）（多选）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（   ） A．若，则点是的外心 B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，则点是的垂心 D．若E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，且，，则的最大值为 【答案】AB 【解析】对于A，由，得点是的外心，A正确； 对于B，由正弦定理得，则， 于是，为边的中点，因此点在边的中线所在直线上， 动点的轨迹一定通过的重心，B正确； 对于C，由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心，C错误； 对于D，设中点为，由，得点的轨迹是以为直径的圆， 而G为AC的中点，则该圆的圆心为，半径为，又，于是点在圆上， 因此 ， 当且仅当三点共线时取等号，因此的最大值为，D错误. 故选：AB 1． 单选题 1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【解析】由，可知且，则四边形为平行四边形， 又由，可知四边形为矩形，故选:B. 2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由得，由三点共线，得， 又不共线，则，所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知单位向量，，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【解析】由有，所以， 所以，所以， 故选：D. 4（24-25高一下·河南南阳·期中）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由向量在向量上的投影向量为，得，则， 由， 则，所以． 故选：A. 5．（24-25高一下·湖北孝感·期中）已知向量，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时， 【答案】C 【解析】对于A，因为向量，所以，即，故A正确； 对于B，等价于，即，则， 所以，所以，故B正确； 对于C，与共线的单位向量为，故C错误； 对于D，， 当，即时，取得最大值时，此时，故D正确． 故选：C 6．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）如图，正方形中，M是的中点，若，则（   ）    A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，    则，则. 故，，， 故由得， 解得，故， 故选：D. 7．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为、、三点共线，点是中点，所以, 又因为是上靠近点三等分点，所以, 且因为，则, 即,消可解得. 故选：. 8（24-25高一下·湖北孝感·期中）下列命题： ①若都是非零向量，则； ②的充要条件是且； ③为实数，若，则与共线； ④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件． 其中，真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①，向量的数量积不满足结合律，故①错； 对于②，且或， 所以，且是的必要不充分条件，故②错； 对于③，当时，与可以为任意向量，满足， 但与不一定共线，故③错误； 对于④，若是不共线的四点， 当时，则且， 此时，四边形为平行四边形； 当四边形为平行四边形时， 由相等向量的定义可知， 所以，若是不共线的四点， 则是四边形为平行四边形的充要条件，故④对． 故选：A. 2． 多选题 9．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．与可以作为一组基底 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，与不共线，则与可以作为一组基底，C正确； 对于D，，向量在向量上的投影向量，D错误. 故选：ABD 10．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知向量，则（    ） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．的充要条件是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】AB 【解析】对于选项A，因为，，由，得到，解得， 又时，，则，所以的充要条件是，故选项A正确， 对于选项B，由，得到，解得， 又时，，所以，则的充要条件是，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以选项C错误， 对于选项D，因为，又，若与的夹角为锐角， 则，且与不共线，由选项B知时，，所以选项D错误， 故选：AB. 11．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则向量夹角为锐角 B．若，则 C．若，则与的夹角是 D．若，则 【答案】BCD 【解析】向量是非零向量， 对于A，因为，即， 所以向量夹角为锐角或零度角，故A错误； 对于B，因为，所以与方向相同， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，故B正确； 对于C，设，，由向量线性运算知： ，，如下图所示：    因为， 所以与均为等边三角形，， 又四边形为菱形，所以， 即与的夹角为，故C正确； 对于D，因为，设， 则，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 3． 填空题 12．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）设，是不共线的两个向量，，，.若A，B，D三点共线，则k的值为 . 【答案】 【解析】由题设， ，不共线，， ，，三点共线，与共线，存在实数，使， ，，解得.故答案为： 13．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，已知，是线段与的交点，若，则的值为 . 【答案】 【解析】设， ， 故 ， 又， 故, 由于三点共线，故，则， 又，故， 所以， 故答案为： 14．（24-25高一下·吉林四平·阶段练习）在中，M，N分别在边，上，且，，D在边上（不包含端点）.若，则的最小值是 ． 【答案】2 【解析】因为在上不存在（不包含端点）， 不妨设，其中， ， 所以． 又因为， 则，，其中，均为正数，且有， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立． 故的最小值是2． 故答案为：2 4． 解答题 15．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，分别是边的中点，，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解析】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则，， ； （2）由（1）知，， ， ， 所以， 所以共线， 又因为有公共点， 所以三点共线. 16（2026湖南）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．    (1)若，求； (2)若，且，求实数k的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)k不存在 (3) 【解析】（1）由已知，，且与的夹角为60°， 可得 因为，故； 又，所以可得； （2）因为，且， 所以 化简得，显然不成立， 故k不存在； （3）因为，故， 所以， . 所以的值为. 17（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点． (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设，，因为， 故，整理得， 又，即，则①， 设，，又是的中点， 所以②， 联立①②，据平面向量其本定理得，解得，， 所以实数的值为. （2）因为， 又，则，得到， 由（1）知，又， 则. 18．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． (1)用和表示； (2)设，实数，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因，所以，又因为的中点，所以， 所以． （2）因，所以， 又因，所以， 又因三点共线，所以，即． （3）设，由（1）（2）可知， 即． 因， ， 所以 ， 又因是边长为的等边三角形，所以， 所以化简得， 令，因，即， 当且仅当时，等号成立，所以． 因此， 又因为，所以， 所以． 19．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且. (1)当时，求的值； (2)当时，与交于点，求的值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由已知当时，， 所以，， 所以， 因为，所以， . （2）当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. （3）因为，， 所以 ， 由（1），又， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$