专题三 导数专题归纳总结及测试-2026年高考数学一轮复习=（新高考新题型）

专题三 导数专题归纳总结及测试 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（2025·河南安阳·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2025·重庆·三模）若函数 在上有零点，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（2025·河南·三模）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽滁州·二模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·三模）若，都有，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025·山东威海·模拟预测）设函数，则（    ） A．有3个零点 B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C．与交点的横坐标之和为0 D．在区间上的取值范围是 10．（2025·广东珠海·模拟预测）对于以下结论正确的选项是（   ） A．已知，则 B．的最小值是 C．有两个零点，则实数的最小值为 D．若不等式恒成立，则正实数的最小值为 11．（2025·山东滨州·二模）已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（   ） A． B． C． D． 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·广东清远·二模）已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 13．（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 14．（2025·安徽·三模）已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 ． 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分 15．（2025·河南郑州·三模）已知函数． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)在（1）的条件下，若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 16．（2025·安徽芜湖·二模）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)设，证明：. 17．（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 18．（2025·浙江·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数无极值点，求实数的取值范围； (3)若为函数的极小值点，证明：. 19．（2025·贵州安顺·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； (3)若且，有恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 导数专题归纳总结及测试 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（2025·河南安阳·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解析】由已知得，令，得， 当时，单调递减， 当或时，单调递增， 所以的极小值为，解得. 故选：A. 2．（2025·重庆·三模）若函数 在上有零点，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 对函数求导得. 所以函数在上单调递减. 因为在上有零点， 所以. 即：，. 求解得：. 故选：A. 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以由题意得， 所以切点，所以. 故选：C 4．（2025·河南·三模）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的， 得到函数的图象，则， 当时，， 因为在上只有一个极大值点，则，解得， 因为，故正整数的最大值为. 故选：D. 5．（2025·安徽滁州·二模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，该函数的定义域为，， 由可得或，由可得， 且当时，，当时，. 所以，函数的单调递减区间为、，增区间为， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的增区间为、，减区间为， 因为，则， 因为，即， 接下来比较与的大小， 作差得， 所以，，因此，. 故选：D. 6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得：， 构造函数，易知在上单调递增， 所以可得在时恒成立， 即， 令， 则，令，可得：， 当时，，当时，， 也即在单调递增，在单调递减， 当时，取得最大值， 所以， 所以实数的取值范围是， 故选：D 7．（2025·河南·三模）若，都有，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，，即， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，此时，则，不合题设， 故，所以， 而在上单调递增，则， 问题化为，在上恒成立， 令且，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，故. 故选：D 8．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令f(x)=0，得 即 令 则 (1-e)t-1=0， 令 则 令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增； 令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1. 当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点. 令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意. 当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切. 如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为 则相应切线方程为 如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为 则 综上 故选：D. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025·山东威海·模拟预测）设函数，则（    ） A．有3个零点 B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C．与交点的横坐标之和为0 D．在区间上的取值范围是 【答案】BC 【解析】， 0 0 单调增 单调减 单调增 ， 所以有2个零点，A不正确； 对于选项B：设切点为，则切线方程为， 代入原点，得， 故切线有且仅有一条，正确； 对于选项C：或， 若，根据对称性知，根之和为0， 若，方程只有一个根为0，故正确； 对于选项D：，又， 故在区间上的取值范围是，错误. 故选：BC. 10．（2025·广东珠海·模拟预测）对于以下结论正确的选项是（   ） A．已知，则 B．的最小值是 C．有两个零点，则实数的最小值为 D．若不等式恒成立，则正实数的最小值为 【答案】AD 【解析】对于A，因为，构造函数，，当时，，是单调递增函数，又因为，则，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等，故B不正确； 对于C，已知， 令，单调递增，方程有两个根，等价于有两个根. 对求导，. 当且时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在处取得最小值. 要使与有两个交点，那么.故C不正确. 对于D，由，两边同乘得，而. 令，求导，因为，所以，在单调递增. 因为，所以，即恒成立. 令，求导. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得最大值，则. 所以最小值是.故D正确. 故选：AD. 11．（2025·山东滨州·二模）已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，令，则， 故时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以，且时， 因为直线与曲线相交于两点， 所以与图象有2个交点，如图： 所以，故A正确； 对于B，，不妨设，可得， 在点处的切线程分别为， 则得， 即， 因为，所以，即是变化的，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为两切线的交点， 所以，即 ，所以， 所以 ， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 又因为，， 所以， ， 所以， 得，即， 因为①，所以， 所以，故D正确. 其中不等式①的证明如下：不妨令， 由得，即，令， 则即证， 构造函数，， 所以在上单调递减，所以， 所以不等式成立，即①成立. 故选：ACD 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·广东清远·二模）已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 【答案】4 【解析】因为， 所以， ， 所以函数为奇函数且为增函数，. 由可得，即为. 因为，所以．当且仅当，时取等号． 故答案为：4 13．（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】的定义域为R， ， 令， 若，则，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，， 若，则，此时， 其中，， 当且时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，即时，恒成立， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，则或， 当时，设的两根为， 开口向上，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 即为的最小值，故满足要求； 当时，设的两根为 开口向下，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 当趋向于时，趋向于，不存在最小值， 综上， 故答案为： 14．（2025·安徽·三模）已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由可得，当时，不满足题意， 当时，方程两边同乘， 得，等价于，变形可得． 设函数，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，当时，，且当趋向于时，趋向于0， 由知，只需满足或， 所以a的取值范围是． 故答案为： 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分 15．（2025·河南郑州·三模）已知函数． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)在（1）的条件下，若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）， 因为是函数的极值点，所以， 即，此时， 由，得；由，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，是函数的极小值点，故. （2）由（1）可知有两个零点， 即方程有两个解． 当时，， 当时，，即． 设，函数零点个数为函数的图象与直线的交点个数． ，， 令，得或；令，得且． 所以函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增． 当时，；当时，；如图所示 ，， 函数的图象与直线有两个交点，即或， 即或时，函数有两个零点. 16．（2025·安徽芜湖·二模）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)设，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）定义域，， ①当时，，在上单调递减， ②当时，令得， 令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）法一：要证即证， 设，即， 设，则，令得，令得， 所以在上为增函数，在上为减函数，所以， 所以成立，所以得证. 法二：设，则， 因为，所以， 令，则，则在单调递增， 因为，，所以在上存在唯一零点， 当，，故，当，，故， 所以在单调递减，在单调递增， 则，其中， 所以， 所以，即得证. 17．（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【解析】（1）由题设，则，且，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由题设，即且， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 所以， 当，时，，则在上单调递增，，符合； 当，时，，时， 所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合； 综上，； （3）由，则，，且， 所以，故， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 最终只需证明，令且，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以得证. 18．（2025·浙江·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数无极值点，求实数的取值范围； (3)若为函数的极小值点，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1），， 又，在点处的切线方程为：. （2）由题意知：的定义域为， 若函数无极值点，在上单调， 或在上恒成立； ，在上恒成立， ，，解得：； 下面证明充分性： 当时，，又，， ， 令， 当时，， 在上单调递增，又，为定义在上的偶函数， 在上单调递减，，， 在上单调递增，无极值点，充分性成立； 综上所述：. （3）由（2）可得：当时，函数无极值点. 当时，令，则， 当时，，又，为定义在上的奇函数， 在上单调递增，又， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 又，，， ，，使得， 在，上单调递增，在上单调递减； 函数存在唯一的极小值点，且满足. 下证：. 令，则， 令，则， 在上单调递增，即， 在单调递增，，即 又，， 又，， 即，， 即，，又，. 19．（2025·贵州安顺·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； (3)若且，有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为的定义域为，且， 则，即切点坐标为，斜率， 所以所求切线方程为. （2）由（1）可得：， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当x趋近于0时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于， 可得的图象如图所示： 令，则 令，可得， 原题意等价于：与有2个交点， 结合函数图象可得，所以实数的取值范围为. （3）因为，令，则，即， 由可得， 可知在内单调递增， 则，可得在内恒成立， 构建，则， 构建，则， 且，可知在内单调递增， 构建，可知在内单调递增， 且， 则在内存在唯一零点， 当时，，，可得，即； 当时，，，可得，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 且，则，， 可得，即， 可得，所以实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$