12.4定理（第1课时 三角形内角和定理及其推论）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

12.4定理 （第1课时三角形内角和定理及其推论） 苏科版（2024）七年级数学下册 第12章 定义 命题 证明 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学生能够准确阐述定理的概念，清晰区分定理与定义、命题的差异。 熟练掌握常见数学定理的内容、推导过程及适用范围，能运用定理进行简单的证明和计算。 学会从实际问题中抽象出数学模型，运用定理解决相关问题。 学习目标 3 2 3 1 平角：180° 情景导入 在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”，当时是用“撕角”的办法来说明的 你认为这个命题正确吗？ 怎么证明？ 4 新知探究 下面，我们来证明这个命题: 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. A B C E D 证明：作边BC的延长线CD，过点C 作CE∥AB. ∵CE∥AB， ∴∠1＝∠A (两直线平行，内错角相等)， ∠2＝∠B (两直线平行，同位角相等). ∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)， ∴ ∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换). 1 2 这样添辅助线是从“拼图”得 到的启发. 6 经过证明之后，就可以把这个命题叫作三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180° 概念归纳 A B C 符号语言： 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 讨论 你还能用其他方法证明三角形的内角和定理吗? A B C D 1 2 证法2：如图，过点C作CD∥AB. ∵ CD∥AB， ∴∠B＝∠1，∠A＝∠2 (两直线平行,内错角相等). ∵∠1＋∠ACB＋∠2＝180°(平角的定义) ∴∠B＋∠ACB＋∠A＝180°(等量代换). 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理(theorem)，定理可以作为证明后续命题的依据. 概念归纳 9 例1 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. D A B C 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A、∠B是与它不相邻的两个内角. 求证：∠ACD＝∠A＋∠B. ∴∠ACD＝180°－∠ACB， ∠A＋∠B＝180°－∠ACB (等式性质). ∴∠ACD＝∠A＋∠B (等量代换). 证明：∵∠ACD ＋∠ACB＝180° (平角的定义)， ∠A＋∠B ＋∠ACB ＝180° (三角形内角和定理)， 例题讲解 10 由例1，我们根据三角形内角和定理推出了一个新结论，像这样，由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论.它和定理一样，也可以作为后续证明的依据. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 概念归纳 补充例题 例 如图12.4－1，AD 是∠ CAE 的平分线，∠ B=35°， ∠ DAE=60°，求∠ ACD 的度数. 解题秘方：利用三角形外角的性质，将求∠ ACD的度数转化为求∠ B＋∠ BAC的度数进行求解. 解法一：∵ AD 是∠ CAE 的平分线， ∴∠ CAE=2 ∠ DAE=2×60°=120°. ∴ ∠ BAC=180 °－∠ CAE=180 °－120°=60°. ∵∠ ACD 是△ ABC 的一个外角，∠ B=35°， ∴∠ ACD= ∠ BAC＋ ∠ B=60°＋35°=95°. 解法二： 由题意易知∠CAD＝∠DAE＝60°， 则∠ACD＝180°－∠CAD－∠D＝180°－∠CAD－(∠DAE－∠B)＝180°－60°－(60°－35°)＝95°. 13 概念归纳 1. 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理. 定理可以作为证明后续命题的依据. 2. 三角形内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形三个内角 的和等于180° 在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180° 3. 三角形内角和定理的证明思路 证明思路 图形 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ABC的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角及 同位角相等”，将△ABC的三 个内角转化为一个平角 续表 证明思路 图形 利用“两直线平行，内错角相 等”，将△ABC的三个内角 转化为两平行线间的一组同 旁内角 三角形内角和定理的推论 1. 由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论. 它和定理一样，也可以作为后续证明的依据. 2. 三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质) 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 作用：(1)此性质反映了三角形的外角与和它不相邻的两个内角之间的数量关系, 利用它可以求相关角的度数； (2)利用它可以证明一个角等于另两个角的和或差； (3)利用它作为中间关系可以证明两个角相等. 课堂练习 1. 已知：如图，如图, AC、BD相交于点O. 求证: ∠A＋∠B＝∠C＋∠D. C B A D O 证明：在△ABO中， ∠ A＋∠B＋∠AOB＝180° (三角形内角和定理)， ∴ ∠A＋∠B＝180° －∠AOB (等式性质). 在△CDO中，同理可得 ∠C＋∠D ＝180 ° －∠COD. ∵ ∠ AOB ＝∠COD (对顶角相等)， ∴ ∠A＋∠B＝∠C＋∠D (等量代换). 解：逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”.这个逆命题是真命题. 2. 写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明. A C B 已知：如图，△ABC中，∠A与∠B互余 . 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∵∠A与∠B互余(已知)， ∴∠C＝180 °－(∠A＋∠B) (等式性质). ∴ ∠A＋∠B＝90 ° (互余的定义). ∴∠C＝180 °－90 ° ＝90 ° (等量代换). ∴△ABC是直角三角形 (直角三角形的定义). 19 分层练习 基础题 1.[2024长沙] 如图，在中， ， ， ，则 的度数为( ) C （第1题） A. B. C. D. （第3题） 3.李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所 示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你!这个人字架 中的 ，你能求出比 大多少吗？”请 你帮李明计算一下，正确的答案是( ) A A. B. C. D. 2.下列说法中，错误的是( ) D A.基本事实都是真命题 B.基本事实是判断命题真假的依据 C.所有的定理都是真命题 D.所有的命题都是定理 21 4.[2024苏州吴江区月考] 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上， 则 的度数为_____度. 105 （第4题） 22 5.[2024连云港] 如图，直线，直线， ，则 _____. （第5题） 23 6.如图，，垂足为， ， ，则 ____ . 22 （第6题） 24 7.一个零件的形状如图所示，按规定应等于 ，， 应分别是 和 .李叔叔量得 ，就断定这个零件不合格，你能 说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由. 25 解：方法一：如图①，连接 并延长， 在中， ， 在中， ， . 李叔叔量得 ，就可以断定这个零件不合格. 26 方法二：如图②，延长交于点 ， , . 李叔叔量得 ，就可以断定这个零件不合格. 27 综合应用题 （第8题） 8.[2024南京建邺区期末] 如图，是 的角平分线，点，，共线，则 ， ， 之间的数量关系是( ) C A. B. C. D. （第9题） 9. 如图，已知 的内 角 ，分别作内角与外角 的平 分线，两条平分线交于点，得； 和 的平分线交于点，得 ；…；以此类 推，得到，则 的度数为______. 29 [解析] 点拨：是的平分线，是 的平分线， ， . 又， ， ， ， . 同理可得，， ， （,且为整数） . 30 10.如图，在中，， 是角 平分线，是上的点，，相交于点 . 31 （1）若 时，求证： . 证明：是的角平分线， . ， ， . . ， ， . 32 （2）若 时，试问 还成立吗？若成立,请说明理 由；若不成立，请比较和 的大小，并说明理由. 解：不成立.当 时，;当 时， .理由如下： ，， ， . ， . 33 当 时， ， ； 当 时， ， . 综上所述，当 时，；当 时， . 创新拓展题 11.[2024常州天宁区期中] 如图，在 中， ， ，为 边延长线上的 一点，平分，为射线 上一点. （1）连接 . ①若，求 的度数； 解： ， ， . 平分， . ， . ②若平分，求 的度数； 解： ， ， ， . 平分，平分 ， ， . . 36 （2）若直线垂直于的一边，则 的度数为_____________ ______. 或 或 [解析] 点拨：如图①，当直线 ，垂足为 时，则 . 由（1）知， ， ； 37 如图②，当直线时，设交于点 ， 则 . 由（1）知， . ， . ； 如图③，当直线 时， 则 . 由（1）知， ， . 综上，的度数为 或 或 . 39 1. 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的 　真命题　叫作定理.由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的 　论　. 2. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 　180°　. 3. 三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它 　不相邻　的两个内角的和. 真命题　 推论　 180°　 不相邻　 课堂小结 $$