4.1认识三角形 数学综合训练课件 -2024-2025学年北师大版七年级数学下册

数学综合训练 情 境 引 入 情境导入 重合的线段 重合的角 A C B D AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C. ∠BAD ＝ ∠CAD ∠BDA ＝ ∠CDA 1：等腰三角形两腰相等,两底角相等 2: 线段 AD 的特殊性（三线合一） 我们得到的猜想 性质1：等腰三角形的两个底角相等。 例1、已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C 分析：1.如何证明两个角相等？ 　　2.如何构造两个全等的三角形？你有几种方法 A B C D 合作交流 推论：等边三角形的三个角都相等。 请在你的笔记本上书写出你的证明过程 已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C. A C B D 证明： 作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD. ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS) ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等) AB=AC ( 已知 ) ∠BAD=∠CAD ( 已作 ) AD=AD (公共边) 在△BAD和△CAD中 还有其他证明方法吗？ 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 已知：如图，△ABC 中， 求证： D ( ( 1 2 ( ( 3 4 ∠3＝∠4 △ABD≌△ACD AD⊥BC BD=CD ∠1＝∠2 ∴ ∵ AB=AC. ∠B=∠C . 证明：作顶角平分线AD. 证明：作底边中线AD. 证明：作底边高线AD. AD＝AD A B C 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 性质2 (等腰三角形三线合一) 合作交流 ∵AB=AC，BD=CD（已知） ∴∠BAD=∠CAD， AD⊥BC（三线合一） ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知） ∴ BD=CD ，AD⊥BC（三线合一） ∵AB=AC， AD⊥BC （已知） ∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一） A B C D 根据等腰三角形性质2填空, 在△ABC中， AB=AC， (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线,∴____⊥____ ∠_____=∠_____. (3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____. A B C D BAD CAD CAD BD CD AD BC BD BAD BC AD CD 知一线得二线 “三线合一”可以帮助我 们解决线段的垂直、相等 以及角的相等问题。 课堂检测 1 2 3 4 5 5个金蛋你可以任选一个,如果出现“恭喜你”的字样，你将直接过关；否则将有考验你的数学问题，答对才能过关。 砸金蛋 1、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为____ 1号题 2号题 2 恭喜你，+1分！ 3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两角为__________________. 3号题 4、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________. 4号题 5号题 5 恭喜你，+1分！ 小试牛刀1 等边对等角的简单应用 1.等腰三角形的一个顶角是70°，那么它的另外两个角为 ； 2. 等腰三角形的一个底角是70°，那么它的另外两个角为 ； 3. 等腰三角形的一个角是70°，那么它的另外两个角为 ； 4. 等腰三角形的一个角是110°，那么它的另外两个角为 ； 5.等腰三角形的顶角是底角的2倍，则这个三角形的各个内角的度 数分别为 。 55°,55° 70°,40° 70°,40°或55°,55° 35°,35° 45°,45°,90° 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 为什么不一样? 底角 底角 什么性质该回到什么角哟 A B C D 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 典例精析 分析：（1）找出图中所有相等的角； （2）指出图中有几个等腰三角形？ ∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC； △ABC, △ABD, △BCD. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x （3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠BDC=2 ∠A, ∠C= ∠BDC=2 ∠A. （4）设∠A=x°,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °, A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 归纳 例3 已知：如图，在△ABC中，点D，E在边BC 上，AD=AE，BD=EC.求证：AB=AC. 典例精析 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． F 由因导果 执果索因 如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、FM、MH……，添加的 钢管长度都与OE相等，最多能添加这样的钢管( )根 Ｅ O F H M B A 10° 中流击楫第8题 归纳总结 概念：有两条边相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边中线或底边上的高线）所在直线是它的对称轴. 1. 等腰三角形 2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三角形的周长及其知道一角求其它两角或证线段、角相等 小结 性质 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对角”）； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简记为“三线合一”） 题单剩余部分 作业 积跬步以至千里，积怠惰以至深渊。 null 114863.805 $$