精品解析：江西省南昌市2024-2025学年下学期七年级数学期中试题

2024-2025学年第二学期期中考试 七年级数学试题 说明：1．作业满分120分，完成时间120分钟 2．范围：第七、八、九章 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 在下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列实数，，，，，（每两个1之间依次多一个2）中，无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若点在第四象限，距离轴3个单位长度，距离轴4个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题的个数有（ ）． ①无限小数是无理数； ②立方根等于它本身的数有两个，是0和1； ③同位角相等； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 的平方根是____． 8. 若，则_______________． 9. 平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点P的坐标为___________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为__________． 11. 折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则______． 12. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____． 三．解答题（每小题6分，共5小题，满分30分） 13. （1）计算： （2）求满足的x的值． 14. 已知：如图，与相交于点F，点D在上，，．求证：． 15. 一个正数x的两个不同的平方根分别是和，求的立方根． 16. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格线的交点上，连接，．请仅用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中过点作直线． （2）如图2，在线段上找一点，连接，使直线． 17. 在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形是格点四边形（顶点为网格线的交点），其中点B，D的坐标分别为，． （1）写出点A，C的坐标； （2）求四边形的面积． 四．解答题（每小题8分，共3小题，满分24分） 18. 如图，数轴的正半轴上有三点，点表示数1和，点到点的距离与点到原点的距离相等，设点所表示的数为． （1）请你求出数的值； （2）若为的相反数，为的绝对值，求的整数部分． 19. 如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． （1）如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； （2）若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 20. 已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标 （1）点P的纵坐标比横坐标小2； （2）点P在坐标轴上； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 五．解答题（每小题9分，共2小题，满分18分） 21. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，______． （2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． （3）已知9，，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 22. 将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中，点C，A分别在x轴，y轴上，点B（a，b），且a，b满足． （1）求B点的坐标 （2）若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，求点D的坐标； （3）若点P从点C出发，以2单位／秒的速度向O点运动（不超过O点），同时点Q从O点出发以1单位／秒的速度向A点运动（不超过A点），试探究四边形BQOP的面积在运动中是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 六．解答题（每小题12分，共1小题，满分12分） 23. 如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为交于点，且，． （1）判断是否平分，并说明理由． （2）如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作交于， ①当点在线段上时，若，求的度数； ②当点在运动过程中，设和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考试 七年级数学试题 说明：1．作业满分120分，完成时间120分钟 2．范围：第七、八、九章 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 在下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的性质即可得出结论． 【详解】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； B、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； C、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键． 2. 在下列实数，，，，，（每两个1之间依次多一个2）中，无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：，开方开不尽的数，是无理数； ，是小数，是有理数； ，3 是整数，是有理数； ，是无限不循环小数，是无理数； ，是分数，是有理数， （每两个1之间依次多一个2），是无限不循环小数，是无理数； 综上所述，无理数共有共3个． 故选：C． 3. 若点在第四象限，距离轴3个单位长度，距离轴4个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征．熟练掌握点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征是解题的关键． 根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值，点到轴的距离为横坐标的绝对值，以及第四象限点坐标为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，点的坐标为， 故选：C． 4. 下列命题中，真命题的个数有（ ）． ①无限小数是无理数； ②立方根等于它本身的数有两个，是0和1； ③同位角相等； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义，平方根的定义，平行线的性质，平行线公理逐一判断即可． 【详解】解：无限不循环小数是无理数，故①是假命题，错误； 立方根等于它本身的数有三个，是0和1和-1，故②是假命题，错误； 两直线平行，同位角相等，故③是假命题，错误； 在同一平面内，过一点有且只有-条直线与已知直线平行，故④是假命题，错误； 综上所述，真命题有0个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了真命题的定义，无理数的定义，平方根的定义，平行线的性质，平行线公理，理解正确的命题是真命题，熟记相关知识是解题的关键． 5. 在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短得出结论． 【详解】根据垂线段最短可知：PC≤3，∴CP长的最大值为3． 故选C． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 6. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案. 本题考查了点的坐标规律探究性问题，解题的关键在于寻找循环坐标，得出规律. 【详解】解：根据反射角等于入射角画图如下， 由图中可知，，，，，最后再反射到，由此可知，每6次循环一次， ， ∴点的坐标与相同， . 故选：D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 8. 若，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方、算术平方根的非负性，掌握相关知识是解题关键．根据平方、算术平方根的非负性求出，，再根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， ， 故答案为：． 9. 平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点P的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在y轴上得到求解即可得到答案； 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查坐标轴上点的特征：y轴上点x为0． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】(7,0) 【解析】 【分析】根据B点横坐标与A点横坐标之差和E点横坐标与D点横坐标之差相等即可求解． 【详解】解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为：， 由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与B、A两点横坐标之差相等， 设E点横坐标为a， 则a-6=1，∴a=7， ∴E点坐标为(7,0) ． 故答案为：(7,0) ． 【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键. 11. 折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，先证明，由平行线的性质得到，，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ， ，， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，；熟练掌握平行的性质是解题的关键； 分，，三种情况，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图3，当时，； 如图4，当（或）时，， ∴， ∴； 如图5，当时，， ∴． 综上所述，其他可能符合条件的度数为或或． 故答案为：或或． 三．解答题（每小题6分，共5小题，满分30分） 13. （1）计算： （2）求满足的x的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，平方根求一元二次方程，掌握实数的混合运算法则，平方根的计算方法是解题的关键． （1）先算乘方，二次根式的性质化简，立方根，化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据平方根的计算方法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∵， ∴或， 解得：或． 14. 已知：如图，与相交于点F，点D在上，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的证明和性质的应用；解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 由，依据“同位角相等，两直线平行”证得，依据“两直线平行，同位角相等”可证得，由等量代换得，最后依据“内错角相等，两直线平行”证得结论． 【详解】略 15. 一个正数x的两个不同的平方根分别是和，求的立方根． 【答案】3 【解析】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求解，将a中结果代入求解． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了立方根，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数． 16. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格线的交点上，连接，．请仅用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中过点作直线． （2）如图2，在线段上找一点，连接，使直线． 【答案】（1） 如图，直线即为所作： （2） 如图，点即为所作， 【解析】 【分析】（1）由图可知点可以看成是点向上平移3个单位长度得到的，从而得出点平移后的点，连接，即为所作直线； （2）由图可知，点可以看成是点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，从而得出点平移后的点，连接，与的交点为，点即为所作． 【小问1详解】 解：由图可知点可以看成是点向上平移3个单位长度得到的， 将点向上平移3个单位长度得到点， 连接，则可以看成向上平移3个单位得到， 由平移的性质可得，即， 直线即为所求； 【小问2详解】 解：由图可知，点可以看成是点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的， 将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点， 连接，与的交点为，则可以看成向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到， 由平移的性质可得，即， 点即为所求． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，无刻度直尺作图，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 17. 在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形是格点四边形（顶点为网格线的交点），其中点B，D的坐标分别为，． （1）写出点A，C的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）点， （2）14 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标、利用网格求面积． （1）直接读取平面直角坐标系，得出点A，C的坐标，即可作答． （2）运用割补法进行列式代数，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由图可知点，． 【小问2详解】 解：四边形的面积． 四．解答题（每小题8分，共3小题，满分24分） 18. 如图，数轴的正半轴上有三点，点表示数1和，点到点的距离与点到原点的距离相等，设点所表示的数为． （1）请你求出数的值； （2）若为的相反数，为的绝对值，求的整数部分． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出间的距离即可得出数的值； （2）根据数的值及为的相反数，为的绝对值即可的值，代入进行计算，最后根据无理数的估算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：点分别表示数1，， ， 点到点的距离与点到原点的距离相等， ， 点在原点的右边， ； 【小问2详解】 解：，为的相反数，为的绝对值， ，， ， ， ， 的整数部分是8． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，相反数，绝对值，无理数的估算，熟练掌握数轴上两点之间的距离的求法，相反数的定义，绝对值的定义，以及无理数的估算的方法是解题的关键． 19. 如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直． （1）如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； （2）若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 如图，过点C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20. 已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标 （1）点P的纵坐标比横坐标小2； （2）点P在坐标轴上； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形的性质． （1）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出m的值，再求解即可； （2）分横坐标为0和纵坐标为0两种情况解答即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：∵点P的纵坐标比横坐标小2， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点P在坐标轴上， ∴或， 解得或， 当时，，此时点P的坐标为， 当时，，此时点P的坐标为． 故点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点P到x轴的距离与到y轴距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，，此时． 当时，，，此时． 故点P的坐标为或． 五．解答题（每小题9分，共2小题，满分18分） 21. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，______． （2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． （3）已知9，，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【答案】（1）不是 （2）4，12 （3）81 【解析】 【分析】（1）根据“和谐组合”的定义，进行判断即可； （2）根据“和谐组合”的定义求解即可； （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∵，不是整数， ∴3，12，32不是“和谐组合”； 故答案为：不是； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴2，18，8这三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； 【小问3详解】 分三种情况：①当时，得：（舍去） ②当时，，得：（舍去） ③当时，．得：． 综上所述，a的值为81． 【点睛】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． 22. 将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中，点C，A分别在x轴，y轴上，点B（a，b），且a，b满足． （1）求B点的坐标 （2）若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，求点D的坐标； （3）若点P从点C出发，以2单位／秒的速度向O点运动（不超过O点），同时点Q从O点出发以1单位／秒的速度向A点运动（不超过A点），试探究四边形BQOP的面积在运动中是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】（1）B点坐标为（8，4）； （2）D点坐标为（5.6，4）或（8，1.6）； （3）四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．面积为16． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质列式求出得到a-2b=0，b-4=0，然后解方程求出a与b的值，再写出B点坐标； （2）分类讨论：当点D在AB上，和点D在BC上，根据题意列方程，解方程即可得到D点坐标； （3）设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t（0≤t≤4），则可根据三角形面积公式和计算得到=16，即四边形BQOP的面积在运动中不发生变化． 【小问1详解】 解：∵， ∴a-2b=0，b-4=0， ∴a=8，b=4， ∴B点坐标为（8，4）； 【小问2详解】 解：当点D在AB上，如图， 设D（m，4），则AD=m，BD=8-m， ∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分， ∴（4+m）：（8-m+4+8）=2：3， 解得m=5.6， ∴D点坐标为（5.6，4）； 当点D在BC上，如图， 设D（8，n），则CD=n，BD=4-n， ∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分， ∴（8+n）：（4-n+4+8）=2：3， 解得m=1.6， ∴D点坐标为（8，1.6）， 综上所述，D点坐标为（5.6，4）或（8，1.6）； 【小问3详解】 解：四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化． 如图，设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t（0≤t≤4）， =4×8-×8×（4-t）-×8×t =16； ∴四边形BQOP的面积在运动中不会发生变化．面积为16． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式． 六．解答题（每小题12分，共1小题，满分12分） 23. 如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为交于点，且，． （1）判断是否平分，并说明理由． （2）如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作交于， ①当点在线段上时，若，求的度数； ②当点在运动过程中，设和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 【答案】（1）平分， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即平分； （2）①，②或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，等量代换得到，即可解答； （2）①易得，设，则，推出，，最后根据，即可求解；②用和①一样的方法，进行分类讨论：当点在线段上时；当点在延长线上时；即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， 设， ∵平分， ∴， ∵，， 由（1）可得：， ∴； ∵， ∴； ②情况一：当点在线段上时， ∵，， ∴， 设， ∵平分， ∴， ∵，， 由（1）可得：， ∴； ∵，， ∴，即； 情况二：当点在延长线上时， ∵，， ∴， 设， ∵平分， ∴， ∵，， 由（1）可得：， ∴； ∵，， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角行动，同旁内角互补；以及根据图形，得出角度之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $