8.5.3 平面与平面平行 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.3 平面与平面平行 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 那么该直线与此平面平行. 性质定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交, 那么该直线与交线平行. 复习回顾 直线与平面平行 类似于研究直线与平面平行的判定,我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题. 根据平面与平面平行的定义，可以发现，因为两个平行平面没有公共点，所以一个平面内任意一条直线都与另一个平面没有公共点. 也就是说，如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行. 课堂探究 定义——充要条件 思考：能否简化平面与平面平行的判定方法呢? 因为平面内有无数条直线，我们难以对所有直线逐一检验. 无限 有限 转 化 课堂探究 一条？两条？ 如下左图，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线,它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗? 如下右图, c和d分别是三角尺相邻两边所在直线,它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗? 课堂探究 推论3 推论2 显然，若一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行. 如图，在平面A'ADD'内画一条与A'A平行的直线EF，显然A'A与EF都平行于平面D'DCC'，但这两条平行直线所在的平面A'ADD'与平面D'DCC'相交. 课堂探究 如图，若平面ABCD内两条相交直线AC、BD分别与平面A'B'C'D'内两条相交直线A'C'、B'D'平行. 由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC、BD都与平面A'B'C'D'平行. 此时，平面ABCD平行于平面A'B'C'D'. 两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面，为什么可以利用两条相交直线判定两个平面平行，而不能利用两条平行直线呢? 课堂探究 平面向量基本定理 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 那么这两个平面平行. 平面与平面平行的判定定理 线面平行 面面平行 课堂探究 符号语言 图形语言 例1 已知：正方体ABCD-A1B1C1D1. 求证：平面AB1D1//平面BC1D. 典例精研 典例精研 例1 已知：正方体ABCD-A1B1C1D1. 求证：平面AB1D1//平面BC1D. 1. 判断下列命题是否正确. 若正确，则说明理由；若错误， 则举出反例. (1) 已知平面α，β和直线m，n，若m⊂a，n⊂a，m//β，n//β，则α//β. (2) 若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α//β. (3) 平行于同一条直线的两个平面平行. (4) 平行于同一个平面的两个平面平行. (5) 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交. 牛刀小试 × √ × √ √ 下面我们研究平面与平面平行的性质,也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出哪些结论. 思考 两个平行平面内的直线具有什么位置关系？ 如图，平面A'C'//平面AC, 所以B'D'与平面AC没有公共点. 直线B'D'与平面AC内的所有直线 是异面直线或平行直线. 面面平行 性质 ？ 课堂探究 分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢? 猜想: 两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行. 平行 不异面 共面 a与b平行 a与b异面 课堂探究 下面，我们来证明这一结论. 证明：∵ α//β，a⊂α， b ⊂β ∴ a与b无公共点 ∵ α∩γ=a，β∩γ=b ∴ a⊂γ， b⊂γ ∴ a与b共面 ∴ a//b 课堂探究 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交， 那么两条交线平行. 线线平行 面面平行 平面与平面平行的性质定理 课堂探究 符号语言 图形语言 1.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． 3.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 4.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 5.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 常用的面面平行的其他几个性质 例2 求证: 夹在两个平行平面间的平行线段相等. 证明：过平行线，作平面， =，=. ∵， ∴. 又 ∴四边形是四边形. ∴. 典例精研 从本节的讨论可以看到： ① 由直线与直线平行可以判定直线与平面平行； 由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行； ② 由直线与平面平行可以判定平面与平面平行； 由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、 直线与直线平行. 面面平行 判定 定义 线线平行 线面平行 判定 性质 性质 总结提升 转化 1. 如图，平面α//β，γ∩a=a，γ∩β=b，c⊂β，c // b. 判断c与a，c与α的位置关系，并说明理由. 巩固练习 2. 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点． 求证：(1)A、D、F、M四点共面； (2)平面AMN//平面DBEF 证明：（1）如图，连接. ∵，分别是边，的中点， ∴. 而，∴ . ∴四点共面. 巩固练习 2. 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点． 求证：(1)A、D、F、M四点共面； (2)平面AMN//平面DBEF （2）∵， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面 连接，易知，，， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又∵，平面，平面， ∴平面平面. 巩固练习 3.如图，直线分别交于点和点，求证： 巩固练习 3.如图，直线分别交于点和点，求证： 巩固练习 平行平面分线段成比例 定理 3.如图，直线分别交于点和点，求证： 巩固练习 证明：(1)如图，连接. ∵四边形是正方形，且是的中点， ∴是的中点. 又是的中点，∴. 又平面，平面， ∴平面. (2)由(1)易知 4. 如图，在棱长为的正方体中，，，， 分别是，，，的中点. (1)求证：平面；(2)求的长； 巩固练习 证明：（3)(法一).取的中点，连接，， 则有且. 又，且，∴，且. ∴四边形为平行四边形.∴. 又平面，平面，∴平面. (法二).取的中点，连接，，则有， 又，，平面，，平面， ∴平面平面. 又平面，∴平面. 4. 如图，在棱长为的正方体中，，，， 分别是，，，的中点. (3)求证：平面. 巩固练习 5.如图，在正方体中，侧面对角线上分别有两点且. 求证：∥平面. 巩固练习 5.如图，在正方体中，侧面对角线上分别有两点且.求证：∥平面. 巩固练习 直线与平面平行的判定与性质定理 课堂小结 线线平行、线面平行、面面平行的关系 $$