18.2　特殊的平行四边形 第三课时课件2024－2025学年人教版数学八年级下册

第十八章　平行四边形 18.2　特殊的平行四边形 第三课时 一、新知导入 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了有一个角是直角的平行四边形是矩形． 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，让它有一组邻边相等，这时的平行四边形也是特殊的平行四边形吗？ 两组对边 分别平行 矩形 ? 有一个角是直角 有一组邻边相等 四边形 一、新知导入 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． B A C D 一组邻边 相等 B A C D 一、新知导入 菱形在生活中的应用： 二、探究 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质． 由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 我们仍然从它的边、角、 对角线等方面进行研究． 猜想1　菱形的四条边都相等． 猜想2　菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． B　 C　 D　 A　 O 二、探究 猜想1　菱形的四条边都相等． 如图，四边形 ABCD 是菱形，其中 AB＝AD. 求证：AB＝BC＝CD＝AD． 证明：∵　四边形 ABCD 是平行四边形， ∴　AB＝CD，AD＝BC． 又　AB＝AD， ∴　AB＝BC＝CD＝AD． A B D C 二、探究 猜想2　菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角． 如图，四边形 ABCD 是菱形，其中 AB＝AD． 求证：AC⊥BD，AC 平分∠DAB 和∠DCB，BD 平分∠ADC 和∠ABC． 证明：∵　AB＝AD， ∴　△ABD 是等腰三角形． 又　□ABCD 中，OB＝OD ， ∴　AO⊥BD，AO 平分∠BAD， 即　AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC． 同理可证　∠DCA＝∠BCA，∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，即　AC 平分∠DAB 和∠DCB，BD 平分∠ADC和∠ABC． A B D C O 二、探究 菱形性质：菱形的四条边都相等． 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 符号语言： ∵　四边形 ABCD 是菱形， ∴　AB＝BC＝CD＝AD； ∵　四边形 ABCD 是菱形， ∴　AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC． A B D C A B D C 二、探究 思考：菱形的对角线将菱形分成四个什么样的三角形，它们有什么关系？ 四个全等的直角三角形． 由菱形两条对角线的长能求出菱形的面积吗？ S菱形ABCD＝ AC·BD 二、探究 例3　如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． A　 B　 C　 D　 O　 二、探究 解：∵　花坛 ABCD 的形状是菱形， ∴　AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°． 在Rt△OAB 中，AO＝ AB＝10m． BO＝ ＝ ＝10 （m）， ∴　AC＝2AO＝20m，BO＝2BO＝20 ≈34.64（m）． ∴　S菱形ABCD＝4×S△ABO＝ AC·BD ＝200 ≈346.4（m2）． 三、归纳总结 角：对角相等 平行四边形的性质 边：对边平行且相等 对角线：互相平分 边：四条边都相等 对角线：互相垂直，且每条对角线平分 一组对角 对称性：是轴对称图形 菱形的特殊性质 四、课堂训练 1．已知菱形的周长是 12 cm，那么它的边长是______． 2．菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，则∠ABD＝_____． 3．菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则菱形的边长是______． 3 cm 60° 5 cm 四、课堂训练 4．如图，四边形 ABCD 是菱形，过点 A 作 BD 的平行线交CD的延长线于点 E，则下列式子中不成立的是（ ）． A．DA＝DE B．BD＝CE C．∠EAC＝90° D．∠ABC＝2∠E B A B C D E Ｏ 四、课堂训练 5．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝80°，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，E 为垂足，连接 DF，则∠CDF 等于（ ）. A．80° B．70° C．65° D．60° D A B C D E F 四、课堂训练 6．如图，这是根据平行四边形的不稳定性设计制作的边长为 17 cm 的可活动菱形衣架．若要使点 A 与点 C 两挂钩间的距离为 16 cm，则点 A 与点 E 的距离为多少？ A B C D E 四、课堂训练 解：连接 AC，BD 交于点 O ，连接 AE． ∵　四边形 ABCD 是菱形， ∴　AC⊥BD，AO＝ AC＝8 cm，BO＝ BD． 在 Rt△AOB 中，BO＝ ＝ ＝15 cm． ∴　BD＝2BO＝30 cm. 又∵　AB∥DE，AB＝DE， ∴　四边形 ABDE 是平行四边形． ∴　AE＝BD＝30 cm． 即点 A 与点 E 之间的距离为 30 cm． 7．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AC＝6 cm，求此菱形的周长和面积． 解：连接 BD 交 AC 于点 O． ∵　四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝120°， ∴　AB＝BC，∠BAC＝60° ， 　AC⊥BD ， AO＝CO ， BO＝DO． ∴　△ABC 是等边三角形． ∵　AC＝6 cm，∴　AB＝AC＝6 cm． ∴　菱形的周长为 24 cm. 在 Rt△ABO 中，AB＝6 cm， AO＝ AC＝3 cm， ∴　BO＝ ＝3 cm. ∴　BD＝6 cm． ∴　S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×6×6 ＝18 cm2． A B C D O 四、课堂训练 四、课堂训练 8．如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，且 BE＝EC，CF＝DF，求∠EAF 的度数． 解：连接 AC ，∵　AE⊥BC ，BE＝CE， ∴　AB＝AC． ∵　四边形 ABCD 是菱形， ∴　AB＝BC＝AC . ∴　△ABC 是等边三角形. ∴　∠ACB＝60°. 又∵　AE⊥BC， ∴　∠AEC＝90°， ∴　∠CAE＝30°. 同理可得　∠CAF＝30°， ∴　∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝60°. A B C D E F 五、布置作业 必做题：习题 18.2 第 5，11 题． 选做题：如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm；过点 C 作 CE∥DB，过点 B 作 BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E． （1）求 OC 的长； （2）求四边形 OBEC 的面积． A D C O B E $$