5.4二次函数与一元二次方程 复习题2024-2025学年苏科版数学九年级下册

5.4二次函数与一元二次方程复习题 一、单选题 1．二次函数的图象与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．下表是用计算器探索函数时所得的数值；则方程的一个解x的取值范围为（    ） x 0 0.25 0.5 0.75 1 y 1.31 3 A． B． C． D． 3．如图是二次函数与一次函数的图像．当时，x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 4．抛物线与x轴两个交点间的距离是（   ） A．2 B． C．4 D． 5．二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 6．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（    ）    A． B． C．或 D．或 7．已知关于的一元二次方程（均为常数且）的解是则关于的一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．一元二次方程 的两根是，则二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 12．如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点坐标是 ．    13．抛物线在x轴上截得的线段长度是 ． 14．已知二次函数，当时，；当时，，则与满足的关系式是 . 15．小强从如图所示的二次函数图象中，观察得出了下面几个信息：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④；⑤．你认为其中正确的说法有 ．（把正确答案的序号填在横线上）    16．二次函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．    17．二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时， ． 18．若二次函数（为常数）的图像在的部分与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 三、解答题 19．已知二次函数（是常数）的图象是抛物线． (1)若抛物线与轴只有一个公共点．求的值： (2)求证：抛物线顶点在函数的图象上． 20．已知抛物线． (1)证明：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)若该抛物线经过坐标原点，且对称轴在y轴的右侧，则m的值为______． (3)若O为坐标原点，该抛物线与y轴交于点C，当时，在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的和最小，则P点的坐标为_______． 21．已知二次函数． (1)试证明二次函数图象与轴始终有两个交点； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，求出该二次函数函数表达式． 22．已知二次函数．    x … … y … (1)请在坐标系中画出二次函数的图像； ①列表②描点③连线 (2)观察图像，回答下列问题： ①直接写出方程的解是 ； ②当时，x的取值范围是 23．规定：某一个函数图象上存在一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”． (1)函数 “自反”函数（填：“是”或“不是” ，如果是，求出这个函数的所有“反点”，如果不是，请说明理由； (2)若抛物线为常数）上有且只有一个“反点”，求的值； 24．一次函数与二次函数的图象交于和两点，且当时，二次函数取得最大值． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，二次函数y的取值范围是 ； (3)当自变量x的取值范围是 时，一次函数的值大于二次函数的值． 25．已知关于x的方程． (1)当a<1时，请判别方程根的情况 (2)若方程有两个不相等的实数根，且，，求a的取值范围． 26．已知点，，，在二次函数的图象上，且满足．    (1)如图，若二次函数的图象经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，此时二次函数图象的顶点为点，求； ③在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，求出此时点、的坐标； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，点，在对称轴的异侧，则的取值范围为 ． 参考答案 一、单选题 1．B 【分析】将代入函数解析式，求出相应的的值即可． 【详解】令，则， 次函数的图象与轴的交点坐标为：． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 根据表格中的数据，可以发现一元二次方程的一个解x的范围． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口方向向上， ∵对称轴， 时y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 方程的一个正根：， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查二次函数、一次函数与不等式的综合，根据图像得到二次函数图像在直线下方部分的点的横坐标x的取值范围即可，解答的关键是找到两图像的交点的横坐标． 【详解】解：根据图像，函数和的图像的两交点的横坐标为0和4， ∵当时，二次函数图像在直线的下方， ∴当时，x的取值范围是， 故选：D． 4．C 【分析】令，可求出两个交点的横坐标，从而求出交点间的距离． 【详解】解：， 令，解得， ∴抛物线与轴的两个交点坐标分别为， ∴两个交点间的距离是， 故选：C． 5．B 【分析】根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴且， ∴且． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了二次函数与不等式，先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质． 【详解】∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：． 7．C 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，二次函数图像上点的特征，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到抛物线与轴交点的横坐标为，根据二次函数的平移即可得到与轴交点的横坐标，故可求的解． 【详解】解：关于的一元二次方程的解为， 与轴交点的横坐标为，， 是由向右平移1个单位长度得到的， 与轴交点的横坐标分别为： ，， 的解为，． 故选C． 8．B 【分析】先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值． 【详解】当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点，如图，    ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ， 即， ． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值．根据二次函数的图象与轴最多有一个公共点，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论，求出t值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点， ∴ 化简得 解得：， ∵， ∵，抛物线开口向上， 当时，∵，y随m增大而增大， ∴时y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得：； 当时， 当时，y有最小值 ∵的最小值为3， ∴ 此时t无解； 当时，∵，y随m增大而减小， ∴ ，y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得（舍去）； 综上，若的最小值为3，则． 故选：D． 10．C 【分析】由题意可知：对称轴为，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在与之间，从而可判断出①正确；抛物线对称轴为直线，得，则，把代入得，，从而可判断出②正确；由抛物线顶点坐标为，则有两个相等实数根，所以，则，从而可判断出③正确；根据的最大函数值为，则有实数根，从而可判断出故④错误． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与x轴的一个交点在，之间， ∴图象与x轴另一交点在，之间， ∴时，， 即， 故①正确，符合题意． ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴时，， 故②正确，符合题意． ∵抛物线顶点坐标为， ∴有两个相等实数根， ∴， ∴， 故③正确，符合题意． ∵的最大函数值为， ∴有实数根， 故④错误，不合题意． 故选：C． 二、填空题 11． 【分析】由二次函数与一元二次方程的关系可知二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标为，再结合在x轴上的点的纵坐标为0即可得到与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是， 又一元二次方程的两根就是二次函数的图象与x轴的交点的横坐标， ∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为． 故答案为： 12． 【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，掌握其对称轴的计算方法是解题的关键． 设另一个交点的横坐标为，根据中点横坐标的计算方法“”即可求解． 【详解】解：根据图示可知，对称轴为，一个交点为， ∴设另一个交点的横坐标为， ∴， 解得，， ∴另一个交点的坐标为， 故答案为：． 13． 【分析】要求二次函数在x轴上截得线段的长度，先将二次函数与x轴的两个交点横坐标分别求出，再计算截得线段长度即可． 【详解】解：当， 解得： ∴所以截得线段长度为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴为直线．利用抛物线的对称性得到和时，函数值相等，从而可判断抛物线经过点，然后把代入得a、b的关系，把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴和时，函数值相等， ∵当时，；当时，， ∴时，；时，， 即抛物线经过点， 把代入得， ∴． 故答案为． 15．②④⑤ 【分析】当时，，即可判断①；根据图象的开口向下，可得，函数图象的对称轴在轴右边，即，可得异号，即可判断②；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，即可判断③；根据抛物线与x轴有两个交点，即可判断④；根据时，，即可判断⑤ 【详解】根据图象可得，当时，，即，故①错误； 根据图象的开口向下，可得，函数图象的对称轴在轴右边，即，可得异号，故，故②正确； 由图象可知， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故③错误； 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，则， 故④正确； 由图象可知，当时，，即， 又∵图象与y轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， 综上可知，其中正确的说法有②④⑤， 故答案为：②④⑤ 16． 【分析】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．先得到函数的图象与轴的交点为，，再利用数形结合的方法解题即可. 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，函数图象在轴的下方（包括交点）， ∴函数的图象与轴的交点为，，（把作为一个整体，代入上面的函数中，） ∴不等式的解集为，即， 故答案为：． 17．4 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的性质，先证明为等腰直角三角形，可得，从而可得答案. 【详解】解：设二次函数的图象与轴有两个交点和的坐标分别为，， 则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴该函数顶点的坐标为：， ∴ ， 解得：； 故答案为：4． 18． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程相结合，数量掌握根的判别式与二次函数的交点个数是解题的关键，由于二次函数与直线在的部分有两个公共点，可以得到有两个解，且都在，即可得到在内有两个根，从而可根据在内与轴有两个交点，解之即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数与直线在的部分有两个公共点， ∴有两个解， 即，在内有两个不相等的实数根， 将转换成二次函数得：， 则在内两个交点， ∴ 即 解之得：， 故答案为：． 三、解答题 19．（1）解：∵，，， ∴． 因为抛物线与x轴只有一个公共点，所以， 解得，． （2）解：∵，，， ∴ 即顶点坐标为， ∵令，函数， ∴抛物线顶点在函数的图象上． 20．（1）令，可得方程x2-2mx+m2-9=0 ∵， ∴不论m为何值，方程x2-2mx+m2-9=0总有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）， ∴抛物线的对称轴为：， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵该抛物线经过坐标原点， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：3； （3）当时，， ∴抛物线的对称轴为：直线， 作点O关于的对称点G，即有， 连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图，    根据轴对称的性质、两点之间线段最短，可知此时的和最小， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 故答案为：． 21．（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交，即， ∴， 由题意，可得：， ∵,则， ∴恒成立， ∴二次函数的图象与x轴总有两个交点． （2）由二次函数的性质可知对称轴为直线， 设顶点坐标为， ∵二次函数图象的顶点在直线上， ∴， 解得：， ∴二次函数为． 22．（1）解： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 列表如下： 描点连线，如图所示；    （2）①解：根据函数图象可得：方程的解是 故答案为：． ②从图象看，当满足或时，函数值大于， 当时，的取值范围是或 故答案为：或． 23．（1）解：∵经过原点，满足定义，则是“自反”函数 依题意， 解得或， “自反”函数的“反点”是或， 故答案为：是． （2）解：依题意， 即有两个相等的实数解， ∴， 解得：或． 24．（1）解：把和分别代入中， 解得：，， ，， 二次函数的图象经过和两点，且当时，二次函数取得最大值， ，解得， 二次函数解析式为； （2）， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 当时有最大值是9， 当时，， 当时，， 当时，二次函数的取值范围是． 故答案为：． （3）一次函数与二次函数的图象交于和两点，抛物线开口向下， 当自变量的取值范围是时，一次函数的值大于二次函数的值． 故答案为：． 25．（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意知，是图象与轴交点的横坐标， 当时，，即图象与轴交于点， ∵，， ∴图象开口向上， ∴当时，，解得，； 当时，，解得，； ∴1<a<． 26．（1）解：①二次函数的图象经过点， ， ． 二次函数的表达式为：． 答：二次函数的表达式为：． ②， ，关于抛物线的对称轴对称， 对称轴是直线，顶点为，且，    ， ，解得， ，，，， ，， ， 答：值为． ③在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为， 或， 当，在对称轴左侧时， 抛物线随的增大而增大，且，在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为， ，， 当时，， ，； 当，在对称轴右侧时，    抛物线随的增大而减小，且，在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为， ，， 当时，， ，． 综上，，或，． 答：，或，． （2）二次函数，顶点为，函数的最大值为2， 当时，如图，    最大值与最小值的差为4， ， 设，的对称点为，， 二次函数的对称轴为直线， ， ， ，， 根据题意得， 解得， ， ， ， ， 解得， ， 解得； 当时，如图，    最大值与最小值的差为4， ， 设，的对称点为，， 二次函数的对称轴为直线， ， ， ，， 根据题意得， 解得， ， ， ， ， 解得， ， 解得； 综上，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$