5.5 用二次函数解决问题 同步练习2024-2025学年苏科版数学九年级下册

5.5 用二次函数解决问题 一、单选题 1．2022年北京某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，每个降价x元（0＜x＜4）．设每天销售量为y个，每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝20x﹣300 B．y＝﹣20x+300 C．w＝（20x+300）（4﹣x） D．w＝（﹣20x+1180）（40﹣x） 2．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（　　） A．最小值247 B．最小值266 C．最大值247 D．最大值266 3．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（　　） A．180m B．200m C．220m D．240m 4．如图，抛物线y＝x2x与直线y＝x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB＝1：2，那么，这个二次函数的顶点坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 二、填空题 6．已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）与行驶时间t（单位：秒）满足下面的函数关系：S＝12t﹣4t2（t≥0）．那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了 　 　米． 7．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 　 　米． 8．如图，物体从点A抛出，物体的高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）近似满足函数关系式．在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是 　 　． 9．如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为 　 　米． 10．道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是 　 　． 三、解答题 11．某电商平台试销一种文艺用品，已知该用品进价为8元/件，规定试销期间销售单价不低于进价．试销发现：当销售单价定为10元时，每天可以销售300件；销售单价每提高1元，日销量将会减少15件．设该文艺用品的销售单价为x（单位：元）（x＞10），日销量为y（单位：件），日销售利润为w（单位：元）． （1）当定价为15元时，每天可以销售 　 　件； （2）求y与x的函数关系式； （3）求销售单价x为何值时，日销售利润w最大，并求出最大利润w． 12.某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示． （1）当一次性销售800千克时利润为多少元？ （2）求一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润； （3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？ 13.某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】 14.如图，用长为22m的篱笆和一面墙（墙的最大可用度为14m），围城中间有一道篱笆的矩形花圃．为了方便出入，在建造花圃篱笆时，在BC边上用其他材料做了宽1m的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x m，请你用含有x的代数式表示另一边AD的长为 　 　m． （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到60m2，请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 15．一次足球训练中，小强从球门正前方11m的点O处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为6m时，足球达到最高点，此时足球离地面3m．已知球门高AB为2.44m，现以小强起脚处点O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为2.25m，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？ 16.已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值； （3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标． 17．平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 18．综合与探究． 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数yx+2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）若点P是x轴上一点，当△BCP为等腰三角形时，求点P的坐标； （3）点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使∠QCB＝∠ABC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 19.定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数． 【初步理解】 （1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，　　为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号） 【尝试应用】 （2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值． 【拓展延伸】 （3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值． 20.在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上． ①a＝　　； ②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 参考答案 一、单选题 1． 【分析】设每天销售量为y个，每个降价x元（0＜x＜4），商家每天销售纪念品获得的利润w元，根据题意列出函数关系式即可求解． 【解答】解：设每天销售量为y个，每个降价x元（0＜x＜4），商家每天销售纪念品获得的利润w元， 根据题意得y＝300+20x， 则w＝（44﹣40﹣x）（20x+300）＝（4﹣x）（20x+300）， 故选：C． 2． 【分析】设十字型小径的宽为x m，根据平移的性质可得，花圃中的阴影部分可看作是长为（20﹣x）m，宽为（14﹣x）m的矩形，然后进行计算即可解答． 【解答】解：设十字型小径的宽为x m， 由题意得： 花圃中的阴影部分的面积y＝（20﹣x）（14﹣x） ＝x2﹣34x+280， ＝（x﹣17）2﹣9， ∵0＜x≤1， ∴当x＝1时，y有最小值， 此时y＝（1﹣17）2﹣9＝247． 故选：A． 3． 【分析】以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知顶点O的坐标，从而可得此抛物线顶端O到连桥AB距离． 【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系： ∴A（﹣30，0），B（30，0），D（15，150）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+30）（x﹣30），将（15，150）代入，得： 150＝a（15+30）（15﹣30）， 解得：a， ∴y（x+30）（x﹣30） x2+200， ∴抛物线顶端O的坐标为（0，200）， ∴此抛物线顶端O到连桥AB距离为200m． 故选：B． 4． 【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度． 【解答】解：如图 ∵抛物线y＝x2x与直线y＝x﹣2交于A、B两点， ∴x2xx﹣2， 解得：x＝1或x， 当x＝1时，y＝x﹣2＝﹣1， 当x时，y＝x﹣2， ∴点A的坐标为（，），点B的坐标为（1，﹣1）， ∵抛物线对称轴方程为：x 作点A关于抛物线的对称轴x的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′， 连接A′B′， 则直线A′B′与对称轴（直线x）的交点是E，与x轴的交点是F， ∴BF＝B′F，AE＝A′E， ∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB＝A′E+EF+FB′＝A′B′， 延长BB′，AA′相交于C， ∴A′C（1）＝1，B′C＝1， ∴A′B′． ∴点P运动的总路径的长为． 故选：A． 5． 【分析】此题主要考查函数图象与坐标关系，只要求出坐标，再根据坐标关系求出a和b，就解决问题了． 【解答】解：由图象y＝﹣2x+3知：C（0，3），A（1.5，0） 即c＝3， 因为y＝x2+bx+3，可设B（a，a2+ba+3）， 又∵B在函数y＝﹣2x+3的图象上则有a2+ba+3＝﹣2a+3…（1）， 又∵AC：CB＝1：2，（2），则由（1）和（2）解得：a＝﹣3，b＝1（负值已舍）． 由顶点坐标（，）得（）． 故选：A． 二、填空题 6． 【分析】依据题意，首先根据二次函数的性质，即可求得汽车从开始刹车到完全停下来所需要的时间为s，行驶距离为9米，进而得解． 【解答】解：由题意，∵s＝12t﹣4t2＝﹣4（t）2+9， ∵a＝﹣4， ∴当t时，前行的距离最大，最大距离为9米， ∴汽车从开始刹车到完全停下这段时间的行驶的距离为：9米． 故答案为：9． 7． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的顶点坐标为（1，3），与x轴的一个交点为（3，0）， ∴0＝a（3﹣1）2+3， 解得：a， ∴抛物线的解析式为：y（x﹣2）2+5， 当x＝0时，y（0﹣1）2+3． ∴水管的长度OA是m． 故答案为：． 8． 【分析】（1）当t＝0时，求得y的值；观察图象，当y时，顶点除外时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，据此求解即可． 【解答】解：当t＝0时，y（t﹣3）2+5， 5 ； 即OA（m）． 当y时，（t﹣3）2+5， ∴t＝0或t＝6， ∴当0≤t≤6且t≠3时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间， 故答案为：0≤t≤6且t≠3． 9． 【分析】以直线OL作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点（0，2），设抛物线解析式为，将（0，2）代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将y＝0代入求解即可． 【解答】解：以直线OL作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点（0，2）， ∴设抛物线解析式为， 将（0，2）代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将y＝0代入得，， 整理得：（x﹣1）2＝25， x＝±5+1， 解得：x1＝6，x2＝﹣4（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米， 故答案为：6． 10． 【分析】设B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，先分别将点B和点A的坐标代入，求得c的值并用a表示b，设EF＝PQ＝m，用含m的式子分别表示出点E和点P的坐标，代入解析式，从而得出关于a和m的方程组，求解即可． 【解答】解：设B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c， 将B（0，0）代入得：c＝0， ∴y＝ax2+bx， ∵BA＝2米， ∴A（2，0）， ∴0＝a×22+2b， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax， 设EF＝PQ＝m， 则E（0.4，m），P（0.8，1﹣m）， 将点E和点P坐标分别代入抛物线解析式得： ， 解得：． ∴EF＝0.4米， 故答案为：0.4米． 三解答题 11．解：（1）300﹣（15﹣10）×15＝225（件）， 答：定价为15元时，每天可以销售225件． 故答案为：225； （2）y＝300﹣15（x﹣10）＝﹣15x+450（x＞10）， W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣15x+450）＝﹣15x2+570x﹣3600； （3）W＝﹣15x2+570x﹣3600＝﹣15（x﹣19）2+1815， ∵﹣15＜0， ∴当x＝19时，W有最大值，最大值为1185（元）， 答：当售价为19元时，利润最大，为1815元． 12.解：（1）根据题意，当x＝800时，y＝800×（50﹣30）＝800×20＝16000， ∴当一次性销售800千克时利润为16000元； （2）设一次性销售量在1000～1750kg之间时，销售价格为50﹣30﹣0.01（x﹣1000）＝﹣0.01x+30， ∴y＝x（﹣0.01x+30）＝﹣0.01x2+30x＝﹣0.01（x2﹣3000x）＝﹣0.01（x﹣1500）2+22500， ∵﹣0.01＜0，1000≤x≤1750， ∴当x＝1500时，y有最大值，最大值为22500， ∴一次性销售量在1000～1750kg之间时的最大利润为22500元； （3）①当一次性销售量在1000～1750kg之间时，利润为22100元， ∴﹣0.01（x﹣1500）2+22500＝22100， 解得x1＝1700，x2＝1300； ②当一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售， 设此时函数解析式为y＝kx， 由（2）知，当x＝1750时，y＝﹣0.01（1750﹣1500）2+22500＝21875， ∴B（1750，21875）， 把B的坐标代入解析式得：21875＝1750k， 解得k＝12.5， ∴当一次性销售不低于1750千克时函数解析式为y＝12.5x， 当y＝22100时，则22100＝12.5x， 解得x＝1768 综上所述，当一次性销售为1300或1700或1768千克时利润为22100元． 13.解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b， 将（22，48），（30，40）代入解析式得，， 解得， ∴函数表达式为：y＝﹣x+70； 当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n， 将（30，40），（45，10）代入解析式得，， 解得， ∴函数表达式为：y＝﹣2x+100， 综上，y与x的函数表达式为：y＝； （2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625， ∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大， ∴当x＝30时，w取得最大值为400； 当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450， 当x＝35时，w取得最大值为450； ∵450＞400， ∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元． 14.解：（1）AD＝（24﹣3x）m． 故答案为：（24﹣3x）； （2）由题意得，x（24﹣3x）＝45， 3x2﹣24x+45＝0， x2﹣8x+15＝0， 解得x＝3或5．当AB＝3m时，BC＝15m＞14m， 不符合题意舍去，当 AB＝5m 时，BC＝9m，满足题意． 答：花圃长为9m，宽为5m． （3）①假设面积能够达到 60m2 则可得方程x（24﹣3x）＝60，整理得，x2﹣8x+20＝0， Δ＝82﹣4×1×20＝﹣16＜0，方程无实数根．所以．面积不能达到 60m2 ②设花圃面积为Sm2，则 S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x2﹣8x）＝﹣3（x﹣4）2+48， 因为﹣3＜0，当x＝4时，S有最大值48． 答：花圃面积不能达到60m2 最大面积可做到48m2． 15.解：（1）∵当足球飞行的水平距离为6m时，足球达到最高点，此时足球离地面3m， ∴抛物线的顶点为（6，3）， ∴设抛物线为y＝a（x﹣6）2+3， ∵抛物线过（0，0）， ∴36a+3＝0， 解得， ∴抛物线表达式为， 当x＝11时，， ∵球门高AB为2.44m，， ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）∵抛物线解析式为， ∴当y＝2.25时，， 解得x1＝9或x2＝3， ∵小明需要站在抛物线对称轴右侧防守， ∴x＝9， ∴11﹣9＝2（m）， 答：小明需要站在球门前，至多离球门2m的地方才可能头球防守住这次射门． 16.解：（1）∵OC＝3OA，A（﹣1，0）， ∴C（0，﹣3）． 把点A，C的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得， 解得， ∴抛物线线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图，过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N． ∵抛物线线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴B（3，0）， ∴AB＝4， ∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCDAB×OCDM×（BN+ON）＝6DM×OB＝6DM， 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴，解得， 故直线BC的解析式为：y＝x﹣3． 设D（x，x2﹣2x﹣3），M（x，x﹣3），则DM＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x）2， 当x时，DM有最大值，此时四边形ABDC面积有最大值为； （3）如图，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H， ∵∠ACM＝45°， ∴AC＝AK， ∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH， ∴△OAC≌△HKA（AAS）， ∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1， ∴K（2，1）， 设直线CM的解析式为y＝kx﹣3 ∴2k﹣3＝1， ∴k＝2， ∴直线CM的解析式为y＝2x﹣3， 联立， 解得x＝0（舍去），或x＝4， ∴M（4，5）． 17.解：（1）将B（4，0）代入， 即， 解得：， ∴， 令x＝0，则， 令y＝0，则， 解得：x1＝4，x2＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）； （2）存在点P，使△BCP是直角三角形， ∵，对称轴为直线x＝1， 设P（1，n）， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2， ①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2+PC2， ∴（4﹣1）2+n2＝32+12+（4﹣n）2， 解得：n＝5； ②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2+BP2， ∴12+（4﹣n）2＝（4﹣1）2+n2+32 解得：n＝﹣3； ③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2+PC2，32＝（4﹣1）2+n2+12+（4﹣n）2 解得：或， 综上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2），（1，2）； （3）存在点M使AM+OM最小，理由如下： 作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ， 由对称性可知，OM＝QM， ∴AM+OM＝AM+QM≥AQ， 当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， 由对称性可知∠QBM＝45°， ∴BQ⊥BO， ∴Q（4，4）， 设直线AQ的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AQ的解析式， 设直线BC的解析式为y＝mx+4， ∴4m+4＝0， ∴m＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 联立方程组， 解得：， ∴M（，）． 18.解：（1）当y＝0时，即， 解得：x1＝﹣1，x2＝3． ∴图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝2， ∴图象与y轴交于点C（0，2）， （2）∵B（3，0），C（0，2）， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当PC＝BC时， ∵OC⊥BP， ∴OP＝OB＝3， ∴点P的坐标为（﹣3，0）； 当PC＝PB时，设点P的坐标为（m，0）， ∴PC2＝PB2， ∴（m﹣0）2+（0﹣2）2＝（m﹣3）2， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或（﹣3，0）； （3）当点Q在BC上方时，如图1， ∵∠QCB＝∠ABC， ∴CQ∥AB，即CQ∥x轴， ∴点Q与点C关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵C（0，2）， ∴Q（2，2）； 当点Q在BC下方时，设CQ交x轴于点K（m，0），如图2， 则OK＝m，KB＝3﹣m． ∵∠QCB＝∠ABC， ∴CK＝BK＝3﹣m． 在Rt△COK中，OC2+OK2＝CK2， ∴22+m2＝（3﹣m）2， 解得：， ∴， 设直线CK的解析式为y＝kx+d， ， 解得：， ∴直线CK的解析式为， 联立得， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 综上所述，点Q的坐标为（2，2）或． 19.解：（1）∵函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 函数y＝x2﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 函数y＝x2﹣x与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，0）， ∴函数y＝x2﹣1为函数y＝x﹣1的轴点函数，函数y＝x2﹣x不是函数y＝x﹣1的轴点函数， 故答案为：①； （2）令y＝0，得x+c＝0， 解得：x＝﹣c， ∴A（﹣c，0）， 令x＝0，得y＝c， ∴函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与y轴交于点（0，c）， ∵其轴点函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣c，0）， ∴ac2﹣bc+c＝0，且c＞0， ∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1， ∴y＝ax2+（ac+1）x+c， 设B（x′，0）， 则x′（﹣c）＝， ∴x′＝﹣， ∴B（﹣，0）， ∴OB＝||，OA＝c， ∵OB＝OA， ∴||＝c， ∴ac＝±4， ∴b＝5或﹣3； （3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0）， ∵四边形MNDE是矩形，ME＝OM＝2t， ∴D（t，2t），E（﹣2t，2t）， 当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），如图， ∴， ∴n2﹣n＝0，且n≠0， ∴n＝1； 当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），如图， ∴， 消去m、t，得n2+2n﹣1＝0， 解得：n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1， ∵函数y＝mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧， ∴n与m同号，即n＜0， ∴n＝﹣﹣1； 当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），如图， ∴， ∴n＝， 综上所述，n的值为1或﹣﹣1或． 20.解：（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0， ∴（0，0）在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，（0，2）不在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上， ∵四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上， ∴二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上的三个点是（0，0），（1，1），（﹣1，1）， 把（1，1）代入y＝ax2得：a＝1， 故答案为：1； ②设BC交y轴于E，如图： 设菱形的边长为2t，则AB＝BC＝CD＝AD＝2t， ∵B，C关于y轴对称， ∴BE＝CE＝t， ∴B（﹣t，t2）， ∴OE＝t2， ∵AE＝＝t， ∴OA＝OE+AE＝t2+t， ∴D（2t，t2+t）， 把D（2t，t2+t）代入y＝x2得： t2+t＝4t2， 解得t＝或t＝0（舍去）， ∴菱形的边长为； ③n﹣m是为定值，理由如下： 过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，如图： ∵点B、D的横坐标分别为m、n， ∴B（m，m2），D（n，n2）， ∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB， ∴∠FAB＝90°﹣∠EAD＝∠EDA， ∵∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n， ∴m＝n2﹣n﹣m2， ∴m+n＝（n﹣m）（n+m）， ∵点B、D在y轴的同侧， ∴m+n≠0， ∴n﹣m＝1； （2）过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E， ∵点B、D的横坐标分别为m、n， ∴B（m，am2），D（n，an2）， ①当B，D在y轴左侧时，如图： ∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝﹣n，OE＝an2， 同理可得△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n， ∴﹣m＝am2+n﹣an2， ∴m+n＝a（n﹣m）（n+m）， ∵m+n≠0， ∴n﹣m＝； ②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，如图： ∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2， 同理可得△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n， ∴﹣m＝am2+n﹣an2， ∴m+n＝a（n+m）（n﹣m）， ∴m+n＝0或n﹣m＝； ③当B，D在y轴右侧时，如图： ∴BF＝m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2， 同理可得△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n， ∴m＝an2﹣n﹣am2， ∴m+n＝a（n+m）（n﹣m）， ∵m+n≠0 ∴n﹣m＝； 综上所述，m、n满足的等量关系式为m+n＝0或n﹣m＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$