椭圆的离心率问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

             椭圆的离心率问题

一、基础知识：

1、椭圆离心率公式： （其中为圆锥曲线的半焦距） 

2、a,b,c 的关系：，

① ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：

② ：短轴长

③ 椭圆的焦距

3、求离心率的方法：求椭圆的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：

（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距。从而可求解

（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解

4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可

（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率

 

小题狂练

1. 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆相交于A，B两点，|AB|∶|AF2|∶|BF2|＝3∶4∶5，则椭圆的离心率为________．

2.已知正方形ABCD，以A，C两点为焦点的椭圆恰好过正方形四边的中点，则椭圆的离心率为(　　)

A．         B．           C．         D．

3.设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为(　　)

A.－1         B.              C.           D.＋1

4．已知椭圆的左，右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，∠MF1F2的角平分线与线段MF2交于点N，若，则椭圆C的离心率是（    ）

A．       B．                 C．         D．

5.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)

A.                    B.                   C.                  D.

6．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ）

A．         B．                 C．             D．

7.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，如果C上存在一点Q，使∠F1QF2＝120°，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)

A． B．             C．          D．

8.若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．

9.椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上存在点P满足|PF1|=2|F1F2|，则椭圆C的离心率的取值范围是（      ）

1.       B.      C.             D.

10.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则椭圆C的离心率的取值范围______________

11．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，若在直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)

A.        B.            C.     D．

12.已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为(　　)

A.             B.           C．          D.

13.已知椭圆C2过椭圆C1：的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C2的离心率为（   ）

                    C.        D.

 

14.如图所示，在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆(a>b>0)的右焦点,直线与椭圆交于