4.1.1 条件概率（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第二册

第四章 概率与统计 4.1.1 条件概率 4.1条件概率与事件的独立性 【新教材】人教B版·高二选修第二册 学 习 目 标 1 2 理解条件概率的定义，记住条件概率公式 P(B|A(P(A)>0)，明确其直观含义：在事件 A 已经发生的前提下，事件 B 发生的概率。 会用古典概型、公式两种方法计算条件概率，能区分 P(B|A) 与 P(A|B)、P(AB)。 掌握乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)，能作简单应用。 重点：通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义和计算公式，体现数学抽象能力 难点：能运用条件概率公式解决简单概率问题，体现数学计算能力 家庭问题 问题：一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率。 尝试：先把全部等可能结果列全：｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝，共 4 种。若没有任何前提，"两个都是女孩"的概率是 。 现在多了一个前提——已经知道至少有一个是女孩。此时（男，男）被排除，样本只剩｛（男，女），（女，男），（女，女）｝三种，"两个都是女孩"只占其中一种，概率变为 。 追问：同一个事件，为什么多了一条信息，概率就从 变成了 ？ 这条信息的作用，是把我们考虑的范围从全集压缩到了一个更小的集合。像这样，在某个事件已经发生的前提下，求另一个事件发生的概率，就是本节课要学的——条件概率。 目标一：条件概率的概念 尝试与发现 知识讲解 互动探究 新课引入 已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人。现从这个班级中随机抽出一名学生： (1) 求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2) 若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率。 可以看出，尝试与发现中的这两个问题可以借助古典概型来处理，其中样本空间 Ω 是由班级中所有学生组成的集合，共包含 14+16=30 个样本点。 设事件“所抽到的学生喜欢长跑”对应的集合是 A，则 A 是由所有喜欢长跑的人组成的，其中包含 10+8=18 个样本点；设事件“抽到的是男生”对应的集合是 B，则 B 包含 14 个样本点。问题(1)中，可以看出所求概率为 P(A)==。 5 尝试与发现 知识讲解 互动探究 新课引入 已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人。现从这个班级中随机抽出一名学生： (1) 求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2) 若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率。 问题(2)中，因为已知事件 B 发生了，也就是相当于从男生中任意抽取了一人。 此时要使得事件 A 发生，必须抽取 AB（即 A∩B）中的样本点，因此所求概率应该是 =。 这里的 4/7 称为已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，记作 P(A|B)，即 P(A|B)=。这样的概率称为条件概率。 6 尝试与发现 知识讲解 互动探究 新课引入 观察上述 A 与 B 之间的关系，试探讨怎样才能求出 P(A|B)。 上述 P(A|B) 可以用 P(A∩B) 与 P(B) 表示出来，即 P(A|B)= 一般地，当事件 B 发生的概率大于 0 时（即 P(B)>0），已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，称为条件概率，记作 P(A|B)。 一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所讲的条件概率则是随机试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件），如某事件 B 已经发生时，求事件 A 在此条件下发生的概率。 在“事件 B 已经发生”这个附加条件下，事件 A 发生的概率，通常情况下与没有这个附加条件时，事件 A 发生的概率是不同的。 7 辨析比较 事件 B 发生的条件下，事件 A 发生等价于事件 A,B 同时发生吗？P(A|B)=P(AB) 吗？ 解析： 如果事件 B 发生的条件下，事件 A 发生等价于事件 A 与事件 B 同时发生，则 P(A|B)=P(AB)，但 P(A|B)≠P(AB)。这是因为“事件 B 发生的条件下，事件 A 发生”中总的基本事件空间相对于原来总的基本事件空间而言，已经缩小了，而事件 AB 所包含的总的基本事件空间不变，故 P(A|B)≠P(AB)。 在 5 道题中有 3 道选择题和 2 道填空题，如果不放回地依次抽取 2 道题，求： (1) 第 1 次抽到选择题的概率； (2) 第 1 次抽到选择题，第 2 次抽到填空题的概率； (3) 在第 1 次抽到选择题的条件下，第 2 次抽到填空题的概率。 对点体验 答 设“第 1 次抽到选择题”为事件 ，“第 2 次抽到填空题”为事件 。 (1) 。 (2) 。 (3) 。 点评 解条件概率题，首先要设好事件，已经发生的事件和随机事件不能混淆。 目标二：条件概率计算公式 公式 知识讲解 互动探究 新课引入 ❶事件的交(或积) 我们把由事件 A 和 B 同时发生所构成的事件 D，称为事件 A 与 B 的交(或积)，记作 D=A∩B (或 D=AB)。 ❷ 条件概率的计算公式 (1) 由条件概率的概念可知，事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率的计算公式为 P(A|B)==,P(B)>0。 在条件概率的计算公式中，要强调 P(B)>0。 当 P(B)=0 时，我们不定义条件概率。 11 公式 知识讲解 互动探究 新课引入 (2) 若随机试验是古典概型，根据古典概型的概率计算公式可得 P(AB)=,P(A)=，则 P(B|A)===， 其中 n(Ω) 表示一次试验中包含的总的基本事件个数，n(A),n(AB) 分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数。 12 同时抛掷红、蓝两颗质地均匀的骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”。当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，两颗骰子的点数之和大于 8 的概率是________。 对点体验 解 设 为抛掷红色骰子得到的点数， 为抛掷蓝色骰子得到的点数，则所有可能的事件与 建立一一对应关系，由题意作图，如图所示。法一：可知， ，所以 。 方法二：。 目标三：条件概率的性质 条件概率的性质 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 和 之间，即 。 (2) 若事件 与 是互斥事件，即事件 不可能同时发生，则 ，因此 。 (3) 若 和 是互斥事件，则 。 证明： 和 是互斥事件， ，且 与 互斥，。 15 将外形相同的球分装在三个盒子中，每盒 10 个。其中，第一个盒子中有 7 个球标有字母 A，3 个球标有字母 B；第二个盒子中有红球和白球各 5 个；第三个盒子中有红球 8 个，白球 2 个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母 A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若取得标有字母 B 的球，则在第三个盒子中任取一个球。若第二次取出的球是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为________。 对点体验 解 设事件 从第一个盒子中取得标有字母 的球，从第一个盒子中取得标 有字母 B 的球} 第二次取出的球是红球，易得 ，“试验成功”表示为 ，又事件 与事件 互斥，所以 ，所以试验成功的概率为 。 答 目标四：典型例题 题型1 求简单事件的条件概率 例1 甲、乙两人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为( )。 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 典例分析 牛刀小试 解 设事件 ：甲获得冠军，事件 ：比赛进行了三局。 因为甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，则失败的概率均为 。 又各局比赛结果相互独立且没有平局， 所以 ， ， 故在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为 。 答 D 题型1 求简单事件的条件概率 例2 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%。求春季的一天里： (1) 已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率； (2) 已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率。 典例分析 牛刀小试 记 ：甲地下雨，：乙地下雨，则由已知可得 , , 。 > (1) 需要求的是 ，因此 。 > (2) 需要求的是 ，因此 。 题型1 求简单事件的条件概率 例3 已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率为0.8，超过20岁的概率为0.2。那么该地区内，一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率为多少？ 典例分析 牛刀小试 设 ：狗的寿命超过15岁，：狗的寿命超过20岁，则所要求的就是 。 > 依题意有 。 > 又因为 ，所以 ，从而 ， > 因此 。 题型1 求简单事件的条件概率 例3 从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是 。如果某个家庭中先后生了两个小孩： (1) 当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率为多少？ (2) 当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为多少？ 典例分析 牛刀小试 如果用 (F,M) 表示较大的小孩是女孩，较小的小孩是男孩，则样本空间可以表示为 。 则“较大的小孩是女孩”对应的是 ，“较小的小孩是男孩”对应的是 ， 从而“已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩”的概率为 。 题型1 求简单事件的条件概率 例3 从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是 。如果某个家庭中先后生了两个小孩： (1) 当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率为多少？ (2) 当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为多少？ 典例分析 牛刀小试 而“两个小孩中有女孩”对应的是 ，“两个小孩中有男孩”对应的是 ， 从而“已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩”的概率为 。 题型2 复杂事件的条件概率 例4 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球。先随机从 1 号箱中取出一个球放入 2 号箱，然后从 2 号箱中随机取出一个球，则从 2 号箱中取出红球的概率是________。 典例分析 牛刀小试 【解析】 设“从 2 号箱中取出红球”为事件 ，“从 1 号箱中取出红球”为事件 ， 则 ， ， ， ， 所以 。 求复杂事件的条件概率时，往往把该事件分成两个（或多个）较简单的互斥事件，先求出这些简单事件的条件概率，再利用 P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A) 便可求得较复杂事件的条件概率。 题型2 复杂事件的条件概率 例5 在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽取 6 道题，若考生至少能答对其中的 4 道即可通过；若至少能答对其中的 5 道就获得“优秀”。已知某考生能答对其中 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得“优秀”的概率为________。 典例分析 牛刀小试 解 设事件 为“该考生 6 道题全答对”，事件 为“该考生答对了其中 5 道题，另 1 道答错”，事件 为“该考生答对了其中 4 道题，另 2 道答错”，事件 为“该考生在这次考试中通过”，事件 为“该考生在这次考试中获得‘优秀’”，则 两两互斥，且 ，由古典概型的概率计算公式及概率的加法公式可知 。 题型2 复杂事件的条件概率 例5 在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽取 6 道题，若考生至少能答对其中的 4 道即可通过；若至少能答对其中的 5 道就获得“优秀”。已知某考生能答对其中 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得“优秀”的概率为________。 典例分析 牛刀小试 解 设事件 为“该考生 6 道题全答对”，事件 为“该考生答对了其中 5 道题，另 1 道答错”，事件 为“该考生答对了其中 4 道题，另 2 道答错”，事件 为“该考生在这次考试中通过”，事件 为“该考生在这次考试中获得‘优秀’”，则 两两互斥，且 ，由古典概型的概率计算公式及概率的加法公式可知 。 ， 。 故所求的概率为 。 目标五：针对训练 举一反三 1、某地的中学生中有 60% 的同学爱好滑冰，50% 的同学爱好滑雪，70% 的同学爱好滑冰或爱好滑雪。在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( A ) A. 0.8 　　　　B. 0.6 　　　　C. 0.5 　　　　D. 0.4 解析： 同时爱好两项的概率为 ，记“该同学爱好滑雪”为事件 ，记“该同学爱好滑冰”为事件 ，则 ，，所以 。故选：A。 举一反三 2.已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占 ，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占 。若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为() A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 解析： 设事件 “抽到的学生喜欢文学阅读”，事件 “抽到的学生喜欢科普阅读”，由题意，，，。 举一反三 3、甲、乙、丙、丁四名同学计划去 4 个景点旅游，每人只去一个景点。设事件 “4位同学去的景点各不相同”，事件 “甲、乙两位同学去的景点不同”，则 () A. 　　　　B. 　　　 　C. 　　　　 D. 解析： 甲选择景点共 4 种方法，乙选择与甲不同的景点共 3 种方法，丙、丁无额外限制，各有 4 种选择，因此 。事件 表示“4位同学去的景点各不相同且甲、乙景点不同”，若 4 人去的景点各不相同，则甲、乙景点必然不同，因此 等价于事件 ，其基本事件数为 4 个景点的全排列： 。所以 。 举一反三 4、现有无锡某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从灵山大佛、三国城、鼋头渚、竹海、南禅寺、拈花湾、梅里古镇这 7 个景点中随机选择 1 个作为目的地。现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件 “这两个班级选择的目的地中至少有一个选择鼋头渚”，事件 “这两个班级选择的目的地不同”，则 ( D ) A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 解析： 由题意得，事件 的对立事件为“两个班级都不选择鼋头渚”，因此 ，事件 即“恰好一个班级选择鼋头渚，另一个选择其余 6 个景点之一”，因此 ，代入条件概率公式得 ，故 D 正确。 举一反三 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为 ，第二次正面向上的点数为 ，记事件 “ 为奇数”，事件 “”，则 () A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 解析： 试验的样本点用 表示，则满足 的基本事件有 ，共 15 个，所以 。又其中 为奇数的有 9 个，即 。所以 。故选：D。 目标六：小结 学海拾贝 本节课的核心是条件概率的定义与公式：在事件 发生的条件下事件 发生的概率记作 ，且 常用计算路径有两条： 缩小样本空间法（古典概型优先）：把 当作新的样本空间，在 的范围内数符合 的基本事件，直接作比。 公式法：分别求出 与交事件概率 ，代入公式计算。 由条件概率公式变形，得到乘法公式 。它是后续学习独立事件、全概率公式的基础，务必记牢方向：先发生 ，再在 的前提下发生 。 学海拾贝 记号 含义 样本空间 常用算法 与 同时发生 不考虑任何附加前提 全集 按古典概型数同时满足两事件的基本事件，或由题意直接给出 在 已发生的前提下 发生 前提是 收缩为 在 内数符合 的基本事件作比，或 在 已发生的前提下 发生 前提是 收缩为 在 内数符合 的基本事件作比，或 学海拾贝 易错提醒和后续展望 易错点警示 其一：P(B|A) 的样本空间是 A，不是原来的总样本空间，不能沿用全集下的计数结果。 其二：P(B|A) 与 P(A|B) 一般不相等，答题时不可互换。 其三：条件概率有前提，只有 P(A)>0 时 P(B|A) 才有意义。 【新教材】人教B版·高二选修第二册 感谢聆听! $