7.1.2全概率公式课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二年级—人教A版—数学选择性必修第三册第六章 7.1.2 全概率公式 ——STR课堂教学模式 条件概率 1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称 P(B|A) 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率. 2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称该式为概率的乘法公式. 环节一、知识回顾 1、了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式; 2、理解全概率公式,并会利用全概率公式计算概率; 环节二、学习目标 3、了解贝叶斯公式,并会简单应用. 环节三、自学内容 (10分钟) 【学习任务一】 通过P49“思考”理解全概率公式;通过P50“例4”学会运用“全概率公式”. 【学习任务二】 通过P50“例5”学会运用“全概率公式”.通过P51(2)和“思考”理解“贝叶斯公式”. 【学习任务三】 通过P51“例6”学会运用“全概率公式”和“贝叶斯公式”. 思考:一个盒子中有只红球、只蓝球,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为,那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢? 分析:用表示事件“第次摸到红球”,表示事件“第次摸到蓝球”,. 如图所示,事件可按第次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并,即. 环节四、小组展示(1)(5分钟) 上述过程采用的是:按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An= ,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆ ,有 P(B)=_. = _. A1 A2 A3 An A 4 … B 8 8 例4:某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。 解:设=“第1天去A餐厅用餐”, =“第1天去B餐厅用餐”, =“第2天去A餐厅用餐”, 0.5 0.5 设事件 则 = 且, 根据题意P()=P()=0.5, P(|)=0.6, P(|)=0.8, 写概率 P(|)=0.6 P(|)=0.8 由全概率公式,得 因此,王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 代公式 例4:某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。 P()P()P(|)+P()P(|) 全概率公式求概率的步骤: 1.设事件:把事件B(结果事件)看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An 看作导致结果的若干个原因; 2.写概率:由已知,写出每一原因发生的概率(即P(Ai )), 且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai )); 3.代公式:用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 例5 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第 2,3 台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第 1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%. (1)任职一个零件,计算它是次品的概率; (2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率. 分析:取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2台或第3台车床,有3种可能. 设 B=“任取一零件为次品”, =“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3) 如图所示,可将事件B表示为3个两两互斥事件的并,利用全概率公式可以计算出事件B的概率. 环节五、小组展示(2)(5分钟) 解:设“任取一个零件为次品” “零件为第i台车床加工”(i=1,2,3), 则 =,且两两互斥,根据题意得 ,,, ,, (1)由全概率公式,得 . (2)“如果取到得零件是次品,计算它是第i(i =1,2,3)台车床加工的概率”就是计算在B发生的条件下,事件发生的概率. === 类似地,可得,. 思考:例 5中 ,得实际意义是什么? 是试验之前就已知的概率,它是第i台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(B发生),是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率,如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,那么,就分别是第1,2,3台车床操作员应承担的份额. 将例5中的问题(2)一般化,可以得到贝叶斯公式. 贝叶斯公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An= ,且P(Ai)>0,i=1,2,,…,n,则对任意的事件B⊆ ,P(B)>0,有 例6 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;已知发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收为0和1的概率; (2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率. 分析: 设 A=“发送的信号为0”, B=“接收到的信号为0”. 为便于求解,我们可将题目中所包含的各种信息用右图直观表示。 环节六、小组展示(3)(5分钟) 设=“发送的信号为0”,=“接收到的信号为0”, 则=“发送的信号为1”,=“接收到的信号为1". 由题意得,,, ,. (1) . (2) 环节七、尝试运用 (5分钟) 课堂练习 教科书P52:第1-2题. 环节八、小组展示 (2分钟) 请2个小组安排代表书写解答过程, 各自选一题 课堂练习 教科书P52:第1-2题. 环节九、组内核对 (2分钟) 课后作业: P52习题7.1:5、7、8、9、10 22 由因求果 执果寻因 课 堂 小 结 1.设事件 2.写概率 3.代公式 加法公式 乘法公式 22 23 作业: 课本52页:练习1-2题 53页:第5题 23 五、引申与评价 贝叶斯公式 全概率公式 五、引申与评价 全概率公式 五、引申与评价 2.已知 ( ) A. B. C. D. C 解:设A=“下雨”,B=“刮风”,AB=“既刮风又下雨”,则 C 条件概率 概率的乘法公式 = 对全概率公式的理解 某一事件B的发生可能有各种的原因,如果B是由原因Ai (i=1,2,…,n) (Ai 两两互斥,构成一个完备事件)所引起,则B发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai). 每一原因都可能导致B发生,故B发生的概率是各原因Ai引起,发生概率的总和,即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 条件概率P(B|A)=eq \f(P AB ,P A )― 乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A) 全概率公式 P(B)=P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn) =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An) *贝叶斯公式 1.试卷中的一道选择题有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的.某考生如果会做这道题,则一定能选出正确答案;若该考生不会做这道题,则不妨随机选取一个答案.设该考生会做这道题的概率为0.85. (1)求该考生选出此题正确答案的概率; (2)已知该考生做对了此题,求该考生确实会做这道题的概率. 解:设A表示“该考生会做这道题”,B表示“该考生选出正确答案”,则P(A)=0.85,P(eq \x\to(A))=0.15,P(B|A)=1,P(B|eq \x\to(A))=0.25. (1)由全概率公式得 P(B)=P(A)P(B|A)+P(eq \x\to(A))P(B|eq \x\to(A)) =0.85 1+0.15 0.25=0.887 5. (1)求该考生选出此题正确答案的概率; (2)已知该考生做对了此题,求该考生确实会做这道题的概率. 由贝叶斯公式得 P(A|B)=eq \f(P A P B|A ,P B )=eq \f(0.85 1,0.887 5)≈0.958. 1.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是,刮风的概率为,既刮风又下雨的概率为,则在下雨天里,刮风的概率为( ) A. B. C. D. P(B|A)=. $$