7.2离散型随机变量及其分布列课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二—人教A版—数学—选择性必修第三册—第七章 7.2 离散型随机变量及其分布列 ——STR课堂教学模式 求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题.类似函数中数集与数集之间的对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究问题. 环节一、知识引入 理解离散型随机变量的含义,会用离散型随机变量描述随机现象. 会求某些简单的离散型随机变量的分布列. 掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质,了解两点分布. 环节二、学习目标 环节三、自学内容 (10分钟) 【学习任务一】 通过P56“探究”试验1和试验2理解“随机变量”“离散型随机变量”“离散型随机变量的分布列”基本概念、表示方法及性质. 【学习任务二】 通过P59“例1”学会求“离散型随机变量的分布列”.理解“两点分布”. 【学习任务三】 通过P59“例2”学会求“离散型随机变量的分布列”. 【学习任务四】 通过P60“例3”学会求“离散型随机变量的分布列”. 有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系. (1)掷一枚骰子用实数? (? =1,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为? ”,又如,掷两枚骰子样本空间为 ={ (? ,? ) |? ,? =1,2,⋯6},用? +? 表示“两枚骰子的点数之和”样本点(? ,? )就与实数? +? 对应. (2)某射击运动员在射击训练中,其中某次射击可能出现命中的环数情况有哪些? 实数? (? =0,1,2,3,4,5,6, ,10)表示“击中环数? ” (0环、1环、2环、 、10环)共11种结果 环节四、小组展示(1)(8分钟) 掷一枚硬币会出现“正面朝上”和“反面朝上”两种试验结果。 有些随机试验的样本空间与数值无关,可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值. 这个试验的样本点与实数就建立了对应关系! X=. 对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与每一个实数对应.即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点与实数的对应关系,实现样本点的数量化.此时,变量X的取值具有随机性. 0 表示“元件为合格品” 1 表示“元件为次品” 0 和 1 构成的长度为 3 的字符串表示样本点,则样本空间 1={000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} 各样本点与变量 X 的值的对应关系如图所示. 此时,X={ 0, 1, 2, 3 } 试验1:从 100 个电子元件(至少含 3 个以上次品)中随机抽取三个进行检验,变量 X 表示三个元件中的次品数; h 表示“正面朝上” t 表示“反面朝上” tth 表示第 3 次才出现“正面朝上”,则样本空间 2={h, th, tth, ttth,} 2 包含无穷多个样本点.各样本点与变量 Y 的值的对应关系如图所示. 此时, Y={1,2,3,4,5,} 试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止,变量 Y 表示需要的抛掷次数. 在上面两个随机试验中,每个样本点都有唯一的一个实数与之对应. 变量X,Y 有如下共同点: (1)取值依赖于样本点;(2)所有可能取值是明确的. 以上两个试验中,样本点和变量的取值是如何对应的?变量X,Y有哪些共同特征? 1.随机变量的定义 2.离散型随机变量的定义 生成定义 3.连续型随机变量 连续型随机变量是指可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量,又称作连续型随机变量 种子含水量的测量误差X1;某电视机的使用寿命Y1 (1)某足球队在5次点球中射进的球数X 思考:能举出一些离散型随机变量的例子吗? (2)在一个装有8个红球,4个白球的袋子中,随机摸出4个球,这4个球中白球的个数Y 探究2.抛掷一枚骰子,所得的点数X有哪些值?取每个值的概率是多少? X 1 2 3 4 5 6 X的可能取值 而且 这一规律可以用下表表示: 该表不仅列出了随机变量X的所有取值,而且列出了X的每一个取值的概率. 解: 15 4.离散型随机变量的分布列 生成定义 15 解析式法:P(X=xi)= pi , i=1,2,3…,n 图象法: 离散型随机变量的分布列可以用解析式、表格、图象表示。 X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 表格法: 5.概率分布列的表示 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: 6.概率分布列的性质 X 1 2 3 4 5 6 例1. 一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义 , 解:根据 X 0 1 P 0.95 0.05 例题讲解 环节五、小组展示(2)(3分钟) X 0 1 P 1-P P 对于只有两个可能结果的随机试验,用? 表示“成功”,表示“失败”,定义 解:由题意知,? 是一个离散型随机变量,其可能取值为1,2,3,4,5, 根据古典概型的知识,可得 例2.某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示. 从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数? 的分布列以及? (? ≥4). 等级 不及格 及格 中等 良好 优秀 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 环节六、小组展示(3)(3分钟) X 1 2 3 4 5 例2.某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示. 从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数? 的分布列以及? (? ≥4). 解:由题意知,? 是一个离散型随机变量,其可能取值为1,2,3,4,5, X的分布列如下: 等级 不及格 及格 中等 良好 优秀 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 求离散型随机变量分布列的一般步骤: (1)根据问题设立一个随机变量X,并写出随机变量X的所有可能取值 (2)利用古典概型,求随机变量X的每一个可能取值所对应的概率 (3)用解析式或者表格表示X的分布列 总结 例3 .一批笔记本电脑共有10台,其中A品牌3台 ,B品牌7台.如果从中随机挑选2台,求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 10台电脑中,随机挑选2台 解:设挑选的2台电脑中? 品牌的台数为? ,则? 的可能取值为0,1,2. X=0代表着取到0台A品牌,2台B品牌 X=1代表着取到1台A品牌,1台B品牌 X=2代表着取到2台A品牌,0台B品牌 环节七、小组展示(4)(3分钟) X 0 1 2 例3 .一批笔记本电脑共有10台,其中A品牌3台 ,B品牌7台.如果从中随机挑选2台,求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 解:设挑选的2台电脑中? 品牌的台数为? ,则? 的可能取值为0,1,2. 根据古典概型的知识可得,可得X的分布列如下: 关键是弄清楚该试验的样本空间,以及每一个x的取值所包含的样本点,结合排列组合的知识求解。 应用古典概型求概率,结合分布列的性质验证。 总结 环节八、尝试运用 (5分钟) 课堂练习 教科书P60:第1-4题. 环节九、小组展示 (2分钟) 请4个小组安排代表书写解答过程, 各自选一题 课堂练习 教科书P60:第1-4题. 环节十、组内核对 (2分钟) 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用大写英文字母X,Y,Z…表示。 3、离散型随机变量的概率分布列 ①表示: ②性质: 课堂小结 ①离散型随机变量: ②连续型随机变量: 解析式法、表格法、图像法 1、随机变量定义 2、随机变量的分类 X的取值为有限个,或可以一一列举的 X的取值充满某个区间,不能一一列举的 课后作业: P52习题7.2:1-6 1.(多选题)若一个袋子装有1个白球、3个黑球、2个黄球,从中取出4个球,用随机变量X表示取出的黑球的个数,则X的可能取值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 七、思考作业 3.老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格,某位同学只能背诵其中的6篇,求: (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;(2)他能及格的概率。 重点:求离散型随机变量的分布列. 难点:要清楚 X 取每一个值对应的随机事件, 进一步利用排列、组合知识求出 X 取每一个值的概率. 解题技巧:充分利用分布列的性质,不仅可以减少运算量,还可以验证分布列是否正确. 1.(多选题)若一个袋子装有1个白球、3个黑球、2个黄球,从中取出4个球,用随机变量X表示取出的黑球的个数,则X的可能取值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 由于白球和黄球的个数和为3,所以4个球是黑球的个数分别可能是1,2,3,故选BCD. 总结:考查离散型随机变量的含义,关键是找到变量X所对应的随机事件。 BCD 答案 解析 总结:利用离散型随机变量分布列的表示法及性质求出参数。 C 10篇课文中,随机抽取3篇 解:(1)设该同学能背诵的课文数量为? , 则? 的可能取值为0,1,2,3. X=0代表着抽到0篇会背诵的,3篇不会的 X=1代表着抽到1篇会背诵的,2篇不会的 X=2代表着抽到2篇会背诵的,1篇不会的 3.老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格,某位同学只能背诵其中的6篇,求: (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;(2)他能及格的概率。 X=3代表着抽到3篇会背诵的,0篇不会的 3.老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格,某位同学只能背诵其中的6篇,求: (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;(2)他能及格的概率。 用表格表示为 X 0 1 2 3 解:(1)设该同学能背诵的课文数量为? , 则? 的可能取值为0,1,2,3. (2)及格的概率为 关键是弄清楚该试验的样本空间,以及每一个x的取值所包含的样本点,结合排列组合的知识求解。 对于运算量大的题目,我们可以结合分布列的性质减少运算量和进行结果的验证。 总结 求离散型随机变量分布列的一般步骤: (1)根据问题设立一个随机变量X,并写出随机变量X的所有可能取值 (2)利用古典概型,求随机变量X的每一个可能取值所对应的概率 (3)用解析式或者表格表示X的分布列 一般地,当离散型随机变量X的取值为x1,x2,…,xn时,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi, i∈{1,2,…,n},为X的概率分布列,简称分布列. 2.设随机变量Y的分布列为 Y -1 2 3 P eq \f(1,4) m eq \f(1,4) 则“eq \f(3,2)≤Y≤eq \f(7,2)”的概率为( ) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3) 解析 ∵eq \f(1,4)+m+eq \f(1,4)=1,∴m=eq \f(1,2),∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))=P(Y=2)+P(Y=3)=eq \f(3,4). 2.设随机变量Y的分布列为 Y -1 2 3 P eq \f(1,4) m eq \f(1,4) 则“eq \f(3,2)≤Y≤eq \f(7,2)”的概率为( ) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3) $$