7.3.2离散型随机变量的方差课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二—2019人教A版—数学选择性必修第三册—第七章 7.3.2 离散型随机变量的方差 ——STR课堂教学模式 1. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. 2. 均值的性质： 特别的：当X服从两点分布时 X 1 0 P p 1-p 环节一、复习回顾 课程标准解读 核心素养解读 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念； 2. 能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题； 1.数学抽象：方差的理解. 2.逻辑推理：方差的概念 3.数学运算：方差与标准差的计算. 4.数学建模：方差的实际应用. 环节二、学习目标 环节三、自学内容 （10分钟） 【学习任务一】 通过P67“问题2”理解“离散型随机变量的方差和标准差”的概念；通过P69“探究”掌握“离散型随机变量方差的性质”. 【学习任务二】 通过P69“例5”“离散型随机变量的方差”的计算. 【学习任务三】 通过P69“例6”了解“离散型随机变量的期望和方差”在风险决策上实际应用. 问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平? 通过计算可得， 环节四、小组展示（1）（5分钟） 为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图. 0 6 7 10 9 8 P 0.1 0.2 0.3 0.4 X 0 6 7 10 9 8 P 0.1 0.2 0.3 0.4 Y 比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 样本 的方差： 样本 (其中 )的方差： 样本 足够大时，频率稳定于概率 变量X的可能取值 变量X的均值 设离散型随机变量X的分布列如表所示： X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 变量X的可能取值的概率 1、离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平? 解： ∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 样本方差的定义公式： 这个公式展开后还可以变形为： 2、离散型随机变量方差的计算性质： 探究：离散型随机变量X加上一个常数方差会有怎样的变化? 离散型随机变量X乘以一个常数, 方差又有怎样的变化? 它们和期望的性质有什么不同? 3、离散型随机变量方差的性质： 例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. 解：随机变量X的分布列为 环节五、小组展示（2）（3分钟） 解法2：随机变量X的分布列为 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 投资哪种股票的期望收益大? (2)投资哪种股票的风险较高? 解： ∵E(X)>E(Y) ∴ 投资股票A的期望收益较大 ∵D(X)>D(Y) ∴ 投资股票A的风险较高 环节八、尝试运用 （5分钟） 课堂练习 教科书P70:第1-3题. 环节九、小组展示 （2分钟） 请3个小组安排代表书写解答过程， 各自选一题 课堂练习 教科书P70:第1-3题. 环节十、组内核对 （2分钟） 方差的计算 方差解决决策问题的应用 解决实际问题中的稳定性 样本方差 离散型随机变量的方差 方差的性质 1. 离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， 3. 方差的性质： 则称 为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 2. 方差的计算公式： 课后作业： P52习题7.3:1、5、7、8 思考： 甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位:s),其分布列如下: 甲品牌的走时误差分布列 乙品牌的走时误差分布列 X -1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 Y -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 试比较甲、乙两种品牌手表的性能。 教学重点：理解离散型随机变量的方差及标准差的概念,掌握方差的计算及性质。 从解决实际问题出发，要解决的问题与学生的已有认知相冲突，引出新的知识点的必要。然后类比样本方差的求解方法，找到离散型随机变量方差的求解方法，从而给出离散型随机变量的方差的定义。 类比样本方差的计算性质，得到离散型随机变量方差的计算性质公式，使得方差的计算可以简便一点。类比离散型随机变量均值的性质，进一步探讨方差的性质，并让学生快速利用方差性质解决问题。在理解概念的基础上，让学生掌握方差的计算，利用两种方法计算方差，让学生感受第二种方法的便利性。 本节课一步一步的引导学生思考问题的解决方法，通过类比前面学习的内容，找到解决问题的方法。培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 重难点分析 教学难点：利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题。 （1）离散型随机变量的方差、标准差的计算 （2）利用离散型随机变量的方差、标准差解决决策问题 离散型随机变量的方差概念给出后，马上解决情境中的问题，既锻炼学生的计算能力，也对方差的概念加强理解。例1给出两种方法计算方差，让学生进一步掌握方差的计算以及计算性质 通过解决情境中问题，学生对于方差可以解决决策问题有所了解，例2给出均值和方差在决策问题中的应用，使学生理解不同实际问题均值和方差的意义是不一样的，为解决决策问题提供思路和方法。 重难点分析 难点解答 思考： 甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位:s),其分布列如下: 甲品牌的走时误差分布列 乙品牌的走时误差分布列 X -1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 Y -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 试比较甲、乙两种品牌手表的性能。 解：依题意计算可得： ∴ 甲品牌手表的性能要好 ∵ $$