7.4.1二项分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二—2019人教A版—数学选择性必修第三册第七章 7.4.1 二项分布 ——STR课堂教学模式 1.理解伯努利试验以及重伯努利试验的概念，掌握随机变量服从二项分布的计算； 3.在利用二项分布解决一些简单的实际问题中，深化对某些随机现象的认识，进一步体会数学在日常生活中的广泛应用。 2.能够解决随机变量服从二项分布的实际问题，会求服从二项分布的随机变量的均值、方差，并在具体问题的解决过程中，领会二项分布需要满足的条件，培养运用概率模型解决实际问题的能力； 环节一、学习目标 环节二、自学内容 （10分钟） 【学习任务一】 理解“伯努利试验以及n重伯努利试验”的概念；通过P72“探究”理解“随机变量服从二项分布”的计算. 【学习任务二】 通过P74“例1、例2”掌握“随机变量服从二项分布”的计算. 【学习任务三】 通过P75“例3”了解“随机变量服从二项分布”的实际应用.归纳步骤，并探究“二项分布的均值和方差”. 下面是几个常见的随机试验，这些随机试验有何特征？ （1）抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面向上还是反面向上； （2）检验一件产品结果为合格或不合格； （3）飞碟射击时中靶和脱靶； （4）医学检验结果为阳性或阴性. 概念-- 伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials) 环节三、小组展示（1）（5分钟） 概念-- 我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验。 重伯努利试验有何特征？ （1）同一个伯努利试验重复做次； （2）各次试验的结果相互独立。 思考 下面3个随机试验是否为重伯努利试验?如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为,那么的概率是多大?重复试验的次数是多少？ （1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次. （2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. （3）一批产品的次品率为5％，有放回地随机抽取20件. 随机试验 是否为重伯努利试验 伯努利试验 重复试验的次数 1 是 抛掷一枚质地均匀的硬币 0.5 10 2 是 某飞碟运动员进行射击 0.8 3 3 是 从一批产品中随机抽取一件 0.95 20 思考 （1）伯努利试验与重伯努利试验有何不同? （2）在伯努利试验中，我们关注什么？在重伯努利试验中呢? 伯努利试验是一个“有两个可能结果的试验”，在伯努利试验中，我们关注某个事件是否发生; 重伯努利试验是将一个“有两个可能结果的试验”重复进行了次，我们关注事件A发生的次数。 进一步地，因为是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列。例如，对产品抽样检验，随机抽取件，我们关心样本中不合格品的概率分布列。 探究 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8。连续3次射击，中靶次数 的概率分布列是怎样的？ 用表示“第次射击中靶”，用如下图的树状图表示试验的可能结果： 由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得： = = 为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为,并且与哪两次中靶无关。因此,3次射击恰好2次中靶的概率为。同理可求中靶0次,1次,3次的概率。于是，中靶次数X的分布列为：,k=0,1,2,3. 思考 如果连续射击4次，表示中靶次数等于2的结果有哪些？写中靶次数的概率分布列。 （1）表示中靶次数等于2的结果有：如下所示 共6个。 （2）中靶次数的概率分布列为： 二项分布： 一般地，在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为： 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布（binomial distribution），记作。 思考（1）二项分布中各个量的意义是什么？ （2）二项分布与两点分布有何关系？ 两点分布是一种特殊的二项分布，即是的二项分布；二项分布可以看作两点分布的一般形式。 （3）对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？ 如果把p看成b，1-p看成a,则就是二项式 的展开式的通项，由此才称为二项分布。    这样就利用二项式定理完成分布列中概率和为1的证明。 【例1】将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： （1）恰好出现5次正面朝上的概率； （2）正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率。 环节四、小组展示（2）（5分钟） 【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验。因此,正面朝上的次数服从二项分布。 【解析】设“正面朝上”，则。用表示事件发生的次数，则。 (1)恰好出现5次正面朝上等价于，于是 (2)正面朝上出现的频率在内等价于，于是 【例2】如图是一块高尔顿板的示意图。在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉。小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃。将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中。格子从左到右分别编号为0,1,2,3...10，用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列。 反过来写公式 17 【分析】小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果。设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“ 向左下落”和“ 向右下落 ” 两种可能结果，且概率都是0.5。在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验。小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此服从二项分布。 【解析】设“向右下落”，则“向左下落”，且。因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以于是，的分布列为 的概率分布图如下图所示： 讲解时翻译文字为符号语言 19 【例3】甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采取3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 分析：判断那个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大。可以把甲最终获胜这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有的局，把局比赛看成重伯努利试验，利用二项分布求甲最终获胜的概率。 环节五、小组展示（3）（5分钟） 【解析】解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜。因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0,3:1或3:2。因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 因为，所以局胜制对甲有利。 解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则。甲最终获胜的概率为 采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则。 甲最终获胜的概率为= 因为，所以5局3胜制对甲有利。实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利。 （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件发生的概率； （2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； （3）设为次独立重复试验中事件A发生的次数，则。 归纳：确定一个二项分布模型的步骤是什么？ 反过来写公式 23 探究 假设随机变量服从二项分布，那么的均值和方差各是什么？ （1）当时，服从两点分布，分布列为 均值和方差分别为 思考: 我们知道两点分布是的二项分布，两点分布的均值和方差是什么？ 思考: 当时，二项分布的均值和方差是什么？试着计算并观察，说说你的发现。 当时， 的分布列为 均值和方差分别为 环节六、尝试运用 （5分钟） 课堂练习 教科书P76:第1-4题. 环节七、小组展示 （2分钟） 请4个小组安排代表书写解答过程， 各自选一题 课堂练习 教科书P76:第1-4题. 环节八、组内核对 （2分钟） 1.什么是伯努利试验以及重伯努利试验？ 2.二项分布的概念是什么？ 3.怎样确定一个二项分布模型？ 4.二项分布的均值和方差是什么？ 学了什么？ 课后作业： P80习题7.4:1、2、5、8 1、将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： （1）恰好出现5次正面朝上的概率； （2）正面朝上出现的频率在内的概率。 2、甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 重点：伯努利试验以及重伯努利试验的概念，二项分布及 其数字特征； 一、教学重点、难点 一、教学重点、难点 难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布。 二、本节知识框图 二、本节知识框图 本节课主要发展学生：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养。 【例2】一次数学测试由20道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。已知小明选对任一题的概率均为0.6，求小明这次测试成绩的均值和方差。 【解析】设小明在这次数学测验中选对答案的题目的个数为，所得的分数为。 由题意知，，且， 则， 故 所以小明这次测试成绩的均值与方差分别是60和120。 一般地，可以证明：如果 ，那么 下面我们对均值进行证明。 令 ，由 ，可得 令 ，则 一般地，如果 ，那么 $$