7.4.2超几何分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二—人教A版—数学—选择性必修第三册第七章 7.4.2 超几何分布 ——STR课堂教学模式 通过具体实例，了解超几何分布的特征、分布列及其均值. 能利用超几何分布解决简单的实际问题. 体会超几何分布与二项分布的区别与联系. 环节一、学习目标 环节二、自学内容 （10分钟） 【学习任务一】 通过P77“问题”和“思考”理解“随机变量服从超几何分布”的概念和计算. 【学习任务二】 通过P78“例4、例5”掌握“随机变量服从超几何分布”的计算.通过P78“探究”理解“随机变量服从超几何分布”的均值. 【学习任务三】 通过P79“例6”了解“随机变量服从超几何分布”的实际应用. 问题：已知100件产品中有8件次品，采用有放回的方式随机抽取4件。设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列. 有放回抽样：每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，因此服从二项分布，即 环节三、小组展示（1）（5分钟） 思考：如果采用不放回的方式抽取，那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布？如果不服从，那么的分布列是什么？ 不放回抽样：虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个实验，而且各次抽取结果也不独立，不符合重伯努利试验的特征，因此不服从二项分布。 由题意可知，可能的取值为0，1，2，3，4 事件包含的样本数为 问题：已知100件产品中有8件次品，采用不放回的方式随机抽取4件。求抽取的4件产品中次品数的分布列. 从100件产品中任取4件，样本空间包含 个样本点，且每个样本点都是等可能发生的. 则 问题 计算结果数时，考虑抽取的次序和不考虑抽取的次序，对分布列的计算有影响吗？ 考虑次序： 不考虑次序 样本空间样本点数为 4件产品中有件次品的结果数为 已知100件产品中有8件次品，采用不放回的方式随机抽取4件。设抽取的4件产品中次品数为，则随机变量的分布列为 超几何分布的模型 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品。从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 其中，，，,， 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布. 反过来写公式 9 假设一批产品共有件，其中有件次品。从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 其中，，, ， 产品分成两类 超几何分布的模型特征 次品件 非次品件 讲解时翻译文字为符号语言 10 假设一批产品共有件，其中有件次品。从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 其中，，, ， 产品分成两类 随机抽取出固定数量的一部分 随机抽取件（不放回） 超几何分布的模型特征 次品件 非次品件 讲解时翻译文字为符号语言 11 假设一批产品共有件，其中有件次品。从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 其中，，, ， 产品分成两类 随机抽取出固定数量的一部分 随机抽取件（不放回） 随机变量是选出的某一类物品数量 为其中的次品数 超几何分布的模型特征 次品件 非次品件 讲解时翻译文字为符号语言 12 公式中字母的含义 —总体中的个体总数 —总体中的特殊个体总数(如次品总数) —样本容量 —样本中的特殊个体数(如次品数) 求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列. 超几何分布的模型特征 讲解时翻译文字为符号语言 13 问题 设10个球中有4个红球，6个白球， (1)如果随机摸出5个球，求其中红球个数的分布列。 (2)如果随机摸出8个球，求其中红球个数的分布列 超几何分布的模型特征 问题 设10个球中有4个红球，6个白球， (1)如果随机摸出5个球，求其中红球个数的分布列。 (2)如果随机摸出8个球，求其中红球个数的分布列 超几何分布的模型特征 0，1，2，3，4； 问题 设10个球中有4个红球，6个白球， (1)如果随机摸出5个球，求其中红球个数的分布列。 (2)如果随机摸出8个球，求其中红球个数的分布列 超几何分布的模型特征 2，3，4； 0，1，2，3，4； 例4、从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率。 环节四、小组展示（2）（5分钟） 例4、从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率。 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且 典型例题 例4、从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率。 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且 因此甲被选中的概率为 典型例题 例4、从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率。 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且 简单随机抽样可以保证每个个体被抽到的概率相等，本题的计算证明了这个结论。 因此甲被选中的概率为 典型例题 例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格。随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率。 解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且，X的分布列为 至少有1件不合格的概率为 另解：至少有1件不合格的概率为 方法点拨： 当所求问题直接求解复杂时，可间接地通过“对立事件”解决问题。一般含有“至少”或“至多”等词语。 探究 服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数。 均值反映了随机变量取值的平均水平， 令则是件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率， 可猜想，即 证明：令，,由随机变量均值的定义： 当时， + （1） 超几何分布的均值的证明 证明：令，,由随机变量均值的定义： 当时， + （1） 由可得 + 超几何分布的均值的证明 证明：令，,由随机变量均值的定义： 当时， + （1） 由可得 + 超几何分布的均值的证明 证明：令，,由随机变量均值的定义： 当时， + （1） 由可得 + 超几何分布的均值的证明 证明：令，,由随机变量均值的定义： 当时， + （1） 由可得 + 超几何分布的均值的证明 证明：令，,由随机变量均值的定义： 当时， + （1） 由可得 + 当时，注意到（1）式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立. 超几何分布的均值的证明 例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 环节五、小组展示（3）（5分钟） 例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； 解:(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率均为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X服从二项分布，即，X的分布列为 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为 例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 解:(2)利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值，如表所示 样本中黄球的比例一个随机变量，根据上表计算得 有放回摸球： 不放回摸球： 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些。 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布。虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图看，超几何分布更集中在均值附近。 二项分布和超几何分布的联系与区别 在确定分布列时，超几何分布必须同时知道和，而二项分布只需要知道即可。 二项分布和超几何分布都可以描述随机 抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同。对于不放回抽样，当n远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似。 环节六、尝试运用 （5分钟） 课堂练习 教科书P80:第1-3题. 环节七、小组展示 （2分钟） 请3个小组安排代表书写解答过程， 各自选一题 课堂练习 教科书P80:第1-3题. 环节八、组内核对 （2分钟） 归纳小结 1、什么是超几何分布，有哪些特征？ 2、超几何分布的均值是什么？ 3、二项分布和超几何分布有什么区别和联系？ 课后作业： P80习题7.4:3、4、6、7 教学重点： 超几何分布的模型特征、均值及其简单应用 二项分布和超几何分布的联系与区别 教学难点： 在实际问题中抽象出模型的特征，识别出超几何分布的模型 通过比较放回和不放回随机抽样中次品数的分布，抽象出超几何分布的特征，能够判定随机变量是否服从超几何分布 二项分布和超几何分布 的区别与联系 探究均值 建立模型 能够利用超几何分布的知识解决实际问题，会求服从超几何分布的随机变量的分布列和均值． 结合具体实例，讨论二项分布与超几何分布的区别和联系，引导学生有目的的观察、归纳、类比、猜想等，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养 超几何分布 的三个特征 1、总体个数有限，并且分为两类 2、从中随机抽取固定数量的一部分（不放回抽取） 3、随机变量是其中某类个体的数量 超几何分布 与 二项分布 的区别 1、超几何分布需要知道总体的容量，并且是不放回抽取的， 而二项分布不需要知道总体的容量，并且是有放回抽取的，即n次独立重复试验； 2、当总体容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。 1、下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是(　　） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数 B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数 C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为 D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，是首次摸出黑球时的总次数 1、下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是(　　） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数 B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数 C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为 D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，是首次摸出黑球时的总次数 B 2、某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于，，三个不同的专业，其中专业2人，专业3人，专业5人，现从这10人中任意选取4人参加一个访谈节目，记其中选到专业的人数为，则 . 2、某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于，，三个不同的专业，其中专业2人，专业3人，专业5人，现从这10人中任意选取4人参加一个访谈节目，记其中选到专业的人数为，则 . 1.2 2、某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于，，三个不同的专业，其中专业2人，专业3人，专业5人，现从这10人中任意选取4人参加一个访谈节目，记其中选到专业的人数为，则 . 1.2 分析： X为抽取的3人中选到B专业的人数，X服从超几何分布， 且N=10，M=3，n=4， 所以 3、一箱24罐饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率。 3、一箱24罐饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率。 解：设抽出的2罐中有奖券的罐数为，则服从超几何分布，且=24,=4,=2. 3、一箱24罐饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率。 解：设抽出的2罐中有奖券的罐数为，则服从超几何分布，且=24,=4,=2. 这2罐中有奖券的概率为 3、一箱24罐饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率。 解：设抽出的2罐中有奖券的罐数为，则服从超几何分布，且=24,=4,=2. 这2罐中有奖券的概率为 另解： $$