7.4.2 超几何分布（培优教学课件）数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦超几何分布，通过“100件产品有放回与不放回抽样”问题导入，回顾二项分布，对比引出超几何分布，构建前后知识衔接的学习支架。 其亮点是采用问题链引导探究，结合典例分析（如例5用直接法与间接法求概率）和题型分层（辨析、分布列、期望方差），渗透数学抽象、数学建模与数学运算素养，助力学生理解概念与解决问题，为教师提供系统教学资源。

7.4二项分布与超几何分布 7.4.2 超几何分布 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册·高二 章节导读 条件概率与全概率公式 条件概率 全概率公式 随机变量 离散型随机变量 分布列 均值和方差 二项分布 超几何分布 连续型随机变量 正态分布 学 习 目 标 1 2 3 理解超几何分布的概念，提升数学抽象的核心素养 理解超几何分布与二项分布的区别与联系 能利用超几何分布解决一些简单的实际问题，提升数学建模和数学运算的核心素养 知识回顾 1. 二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)， 用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p). 若X~B(n, p)，则有 2. 二项分布的均值与方差： 新知导入 问题1 已知100件产品中有8件次品，现从中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 追问1 如果采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？ 采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X~B(4, 0.08). 则X的分布列是： 追问2 如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布? 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布. 新知探究 追问3 如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从什么分布？如何求X的分布列？ X 0 1 2 3 4 P X可能的取值为0, 1, 2, 3, 4; 由古典概型的知识，得X的分布列为 即 定义新知 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 超几何分布 其中n, N, M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0, n-(N-M)}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数（如次品数) 提醒：正确理解其条件以及参数N,M,n,,k的意义 新知探究 当N=10, M=4时, N-M=6, n=3. 当N=10, M=4时, N-M=6, n=8. k的第一个值是 m=max{0, 3-6}=0,r = 3; k的第一个值是 m=max{0, 8-6}=2,r = 4. 追问1 怎么去理解m＝max{0, nￚ(NￚM)}的取值？ 追问2 怎样判断一个变量是否服从超几何分布？ ①总体中含有两类不同的个体； ②不放回地抽取； ③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量. 典例分析 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则X服从超几何分布，且N＝50, M＝1, n＝5. 例4 从50 名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 因此甲被选中的概率为 容易发现，每个人被抽到的概率都是 . 这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程. 典例分析 解：设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为 例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格. 随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. ∴至少有1件不合格的概率为 (直接法) (间接法) 新知探究 问题2 服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数. 令 ，则 p 是 N 件产品的次品率，而 是抽取的 n 件产品的次品率. 我们猜想 新知探究 实际上，令m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}，由随机变量均值的定义： 当m>0时， 当m=0时，注意到(1)式中间求和的第一项为0,类似可以证明结论依然成立. 求与超几何分布有关的均值问题，可利用均值公式，也可以直接利用E(X)=求解。 典例分析 例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60 个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用X表示样本中黄球的个数. (1) 分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2) 分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 解：(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20, 0.4)，X的分布列为 对于不放回摸球, 各次试验的结果不独立, X服从超几何分布, X的分布列为 典例分析 (2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001)，如下表所示. 样本中黄球的比例f20= 是一个随机变量, 根据表算得 |f20-0.4|≤0.1⟺ 6≤X≤10 有放回摸球: P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10) ≈ 0.7469. 不放回摸球: P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10) ≈ 0.7988. 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些. 典例分析 两种摸球方式下, 随机变量X分别服从二项分布和超几何分布. 虽然这两种分布有相等的均值(都是8), 但从两种分布的概率分布图(图7.4-4)看, 超几何分布更集中在均值附近. 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律, 并且二者的均值相同,对于不放回抽样, 当n远远小于N时, 每抽取一次后, 对N的影响很小, 此时, 超几何分布可以用二项分布近似. 巩固练习 课本80页 1. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率. 设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，从而抽取2罐中有奖券的概率为 解： 巩固练习 课本80页 2. 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班. 假设每名候选人都有相同的机会被选到, 求甲班恰有2名同学被选到的概率. 设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，从而甲班恰有2人被选到的概率为 解： 超几何分布的辨析 题型一 题型探究 【例1】(1)(多选题)下列随机变量中，服从超几何分布的有( ) CD A. 抛掷三枚质地均匀的正方体骰子，记所得点数是6的骰子的个数为 B. 有一批种子的发芽率为 ，任取10颗种子做发芽试验，记试验中 发芽的种子的个数为 C. 盒子中有3个红球，4个黄球，5个蓝球，这些球除颜色外完全相同， 从中任取3个球，记取到的球不是红球的个数为 D. 某班级有男生25人，女生20人，从中选派4人参加学校组织的活动， 记活动中女生的人数为 [解析] A，B选项中的 服从二项分布，故A，B不符合题意； C，D选项中样本都分为两类，随机变量表示 件样本中某类样本被抽取的件 数，符合超几何分布的特征.故选 . 超几何分布的辨析 题型一 题型探究 【例1】(2)在15个村庄中，有7个村庄交通不便，若用随机变量 表示任选10个村庄 中交通不便的村庄的个数，则 服从超几何分布，其参数为( ) A A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， [解析] 根据超几何分布的概率模型知，A正确. 超几何分布的辨析 题型一 题型探究 解题感悟 超几何分布的特征 （1）总体可分为两类明确的对象； （2）是不放回抽样； （3）随机变量是样本中某一类个体的个数. 超几何分布的概率及其分布列 题型二 题型探究 【例2】 袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同,从袋中任取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分. (1)求得分 <m></m> 的分布列； [解析] 从袋中任取4个球的情况：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故 的可能取值为5, , , ， 则 ， ， ， . 超几何分布的概率及其分布列 题型二 题型探究 故 的分布列为 5 6 7 8 (2) 求得分大于6分的概率. [解析] 由（1）可知，得分大于6分的概率为 . 超几何分布的概率及其分布列 题型二 题型探究 提分笔记 解决超几何分布问题的两个关键点 （1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的取值范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解. （2）在超几何分布中，只要知道N,n,M的值，就可以利用公式求出X取不同值时的概率P(X=k)，从而求出X的分布列. 超几何分布的期望与方差 题型三 题型探究 【例3】为提高大家对生态环境的保护意识,某校准备成立一个环境保护兴趣小组.该校高一年级有男生400人,女生200人;高二年级有男生100人,女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从高一年级中抽取6人,从高二年级中抽取 <m></m> 人,组成环境保护兴趣小组,再从这10人中随机抽取4人参加学校的环保知识竞赛. (1)设事件 <m></m> 为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生,而且这两个男生中，高一、高二年级都有”,求事件 <m></m> 发生的概率; [解析] 由题意可得,抽取了高一男生4人,高一女生2人,高二男生1人,高二女生3人， 所以 . 超几何分布的期望与方差 题型三 题型探究 (2)用 <m></m> 表示抽取的4人中高二女生的人数,求 <m></m> 的分布列及方差. [解析] 的可能取值为0, , , , ， ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以 ， 所以 . 超几何分布的期望与方差 题型三 题型探究 提分笔记 求超几何分布的期望可以先利用超几何分布的概率公式分别求出 各事件的概率，写出分布列再求期望，也可以直接套用公式 求解，但要注意对应的，， 的取值. 课堂达标 1. (多选题) 一个袋中有3个同样大小的黑球，编号为1, , ，还有2个同样大小的白球，编号为4, ，现从中任取2个球，下列变量服从超几何分布的是( ) A. 表示取出的最大号码 B. 表示取出的两个号码的差的绝对值 C. 取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分， 表示取出的2个球的总得分 D. 表示取出的黑球个数 CD [解析] ， 中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即 ， 中的变量不服从超几何分布； ， 中的变量符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故选CD. 课堂达标 2. 设10件产品中有3件次品，现从中任取5件，则 表示( @23@ ) A. 件产品中有3件次品的概率 B. 件产品中有2件次品的概率 C. 件产品中至少有2件正品的概率 D. 件产品中至少有2件次品的概率 B [解析] 根据超几何分布的定义可知 表示从3件次品中任取2件， 表示从7件正品中任取3件，故选B. 课堂达标 3. 从含有5件次品的10件产品中任取4件，则取到的次品数 的分布列为 _ ________________________. <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 课堂达标 4.袋中有3个白球，1个红球，从中任取2个球，取得1个白球得0分，取得1个红球 得2分，则所得分数的均值 ___. 1 [解析] 由题意，得的可能取值为0，2，其中 表示取得2个白球， 表示取得1个白球和1个红球， 所以 ，， 故的均值 . 课堂小结 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 超几何分布及其分布列 超几何分布的均值与方差 P(X=k) = , k=m, m+1, m+2, …, r. 记为X~H(N,n,M). E(X)=np (其中)，D(X)=np(1-p) 感谢聆听! $