8.2.3二项分布学案-2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

8．2.3　二 项 分 布

1. 理解n次独立重复试验模型及其意义．

2. 理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题．

3. 掌握二项分布的均值、方差的计算公式，并能用其解决一些简单的问题．

活动一  了解n次独立重复试验(伯努利试验)的概念

思考1►►►

射击手射击1次，击中目标的概率为p(p＞0).现连续射击3次，记击中目标的次数为X，则随机变量X的概率分布是什么？

 

 

 

思考2►►►

各次试验的结果有无影响？

 

 

 

1.  n次独立重复试验的定义：

一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)＝p>0，我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为n重伯努利试验．

思考3►►►

n次独立重复试验必须具备哪些条件？

 

 

 

例1　判断下列试验是不是独立重复试验，为什么？

(1)  依次投掷四枚质地不同的硬币；

(2)  某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；

(3)  不透明的口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．

 

活动二  了解二项分布的概念

探究　(1)  求“重复抛掷一枚质地均匀的硬币5次，其中有3次正面向上”的概率；

 

 

(2)  求“重复抛掷一枚质地均匀的骰子 3次，其中有2次出现1点”的概率．

 

 

思考4►►►

这两个问题有什么共同点和不同点？

 

 

 

 

思考5►►►

(1)  上述游戏是否可以看成独立重复试验？掷硬币游戏中，我们用X表示正面朝上的次数，请探求X的取值和相应的概率；

 

 

 

 

 

(2)  若游戏中重复抛一枚硬币n次，则正面朝上次数X＝k的概率是多少？

 

 

 

 

 

2.  二项分布的定义：

在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0<p<1)，即P(A)＝p，P()＝1－p＝q.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为

Pn(k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，2，…，n.

Pn(k)＝Cpkqn－k恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第k＋1项．

若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0<p<1，p＋q＝1，k＝0，1，2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).

思考6►►►

(1)  如何判断一个随机变量的分布是否为二项分布？

 

 

 

(2)  二项分布与两点分布有何关系？

 

 

 

 

活动三　二项分布的简单应用

例2　求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

　　例3　设某保险公司吸收10 000人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10 000元．如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006，那么该公司会赔本吗？