专题04 三角形的有关证明（考题猜想，10大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

专题04 三角形的有关证明（10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 全等三角形的性质与判定综合 题型二 补全全等三角形的证明过程 题型三 倍长中线模型 题型四 一线三等角模型 题型五 截长补短模型 题型六 全等三角形综合 题型七 旋转模型 题型八 角平分线的热考模型 题型九 等腰三角形性质与判定综合 题型十 等边三角形性质与判定综合 题型十 等面积法的应用 题型一 全等三角形的性质与判定综合 1．（21-22七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，AD是的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF． (1)判断DE与AC的位置关系，并证明你所得的结论； (2)求证：． 2．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知：如图，是的中线，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（20-21七年级下·陕西榆林·期末）小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）已知：如图，平分，于点F，于点D，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 题型二 补全全等三角形的证明过程 5．（20-21七年级下·山东青岛·期末）如图，，，点、在上，且 （1）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 试说明：． 解：， （       ）． ， 即． （         ）． 又， （        ）． （2）由（1） 可得，与平行吗？请说明理由， 6．（23-24七年级上·山东烟台·期中）将下面的证明过程补充完整： 已知：如图，，于点E，于点F，． 求证：． 证明：∵，（已知） ∴． ∵，，（已知） ∴． ∵，（已知） ∴ ，（ ），即 ． 在和中， ∵， ∴．（ ） 题型三 倍长中线模型 7．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 8．（24-25七年级上·山东泰安·期中）[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，，求BC边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考： （1）根据已知和作图，图2中与全等吗？为什么？ （2）根据已知条件，写出线段的取值范围； [解题感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中． [问题解决] （3）如图3，是的中线，交于点F，且，试说明：． 题型四 一线三等角模型 9．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，与中，三点在同一直线上，，求的长． （2）如图2，在中，，以为边在外部作等边，连接，求的面积． （3）如图3，四边形中，，若面积为21且的长为8，求的面积． 11．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 题型五 截长补短模型 12．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 13．（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 题型六 全等三角形综合 15．（24-25七年级下·山东济南·期中）【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①； ②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 16．（24-25七年级下·山东淄博·期中）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长． 17．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）（1）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．                                 （2）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，求线段的长度． 18．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 题型七 旋转模型 19．（20-21七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 20．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 21．（20-21八年级上·山东青岛·期末）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 　 　；线段BE与AD之间的数量关系是 　 　． 【模型应用】 （2）如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD； （3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接CM，求∠APB的度数是 　 　． 【拓展提高】 （4）如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图5，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请证明BD和CE的数量关系和位置关系． （6）如图6，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长． 【深化模型】 （7）如图7，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有　 　． 题型八 角平分线的热考模型 22．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分．    (1)如图1，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)问题解决：如图2，若为大于且小于的任意角，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，请说明：． 23．（24-25七年级上·山东泰安·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 24．（22-23八年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型九 等腰三角形性质与判定综合 25．（24-25七年级上·山东威海·期末）学习了等腰三角形的相关知识，小华同学就想探究等腰三角形中的全等问题，以下是她的探究过程： 探究一：特殊的线 如图1，在中，，点，分别是，上的点，连接，． ①，分别是，边上的中线； ②，分别是，边上的高线； ③，分别是，的平分线； 小丽认为以上三种情况都能证明．你是否赞成小丽的观点，若不赞成，请说明理由；若赞成，请任选一种情况证明； 探究二：特殊的点 如图，在中，，点是的中点，点，分别是，上的点，小丽认为只要保证，那么，你是否赞成小丽的观点，若不赞成，请说明理由；若赞成，请证明； 探究三：特殊的形 如图，在中，，点是上的点，且，，点，分别是，上的点，小丽认为仅添加一个条件就能证明与全等．你认为可以添加的条件是______． 26．（23-24七年级下·山东威海·期末）将两个等腰直角三角板如图1放置，点是边中点． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)若将三角板如图2摆放，使得点重合，且点三点共线，连接．求证：． 27．（23-24七年级下·山东烟台·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图，三幅图都是由一副三角板拼凑得到的：    (1)图1中的的度数为 ； (2)图2中已知，则的度数为 ； (3)若等腰直角三角板的斜边与含角的直角三角板的长直角边相等．如图3，当两个直角三角板的顶点A与F重合，斜边、重合在一起时，连接． ①求证：是等腰三角形； ②若，请直接写出线段的长． 题型十 等边三角形性质与判定综合 28．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动． (1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？ 29．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证：   30．（22-23七年级下·山东济南·期末）在中，为锐角，点D为射线上一点，且与点B、C不重合，连接，以为边，向外作等边三角形，连接．    (1)若，； ①如图1，当点D在线段上时，直接写出与的数量关系和此时与关系； ②如图2，当点D在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； (2)如图3，若，，点D在线段上，且时，求的度数． 题型十 等面积法的应用 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）（项目式学习）【探究学习】用不同方式表示同一图形的面积可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为“面积法”．请利用“面积法”自主探究三角形高线之间的数量关系． 【问题情境】如图，在中，，点为边所在直线上任意一点，连接．已知分别是、的高． (1)利用三角板在图、图中分别作中边上的高； (2)图中之间的数量关系为______________； (3)如图，当点在延长线上时，判断之间的数量关系，并说明理由． 32．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 33．（22-23八年级下·山东济南·期末）已知中，，于点M，点D在直线上，，垂足为点E，，垂足为点F．    (1)如图1，点D在边上时，小明同学利用①三角形全等知识和②图形等面积法两种方法发现了，，三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系是_______； (2)如图2，图3，当点D在点B左边或者在点C右边的直线上时，问题（1）中，，三线段的数量关系是否还成立？若成立请选择一个图形进行证明，若不成立，请在图2或图3中选择一个图形，写出三线段新的数量关系，并进行证明． $$专题04 三角形的有关证明（10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 全等三角形的性质与判定综合 题型二 补全全等三角形的证明过程 题型三 倍长中线模型 题型四 一线三等角模型 题型五 截长补短模型 题型六 全等三角形综合 题型七 旋转模型 题型八 角平分线的热考模型 题型九 等腰三角形性质与判定综合 题型十 等边三角形性质与判定综合 题型十 等面积法的应用 题型一 全等三角形的性质与判定综合 1．（21-22七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，AD是的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF． (1)判断DE与AC的位置关系，并证明你所得的结论； (2)求证：． 【答案】(1)DEAC，证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，结合线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得∠CAD=∠EDA，进而可证得DEAC； （2）利用SSS证明△AEF≌△DEF可得∠EAF=∠EDF，结合平行线的性质可证明结论． 【详解】（1）解：DEAC， 理由：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD=∠BAD， ∵EF垂直平分AD， ∴AE=DE， ∴∠BAD=∠EDA， ∴∠CAD=∠EDA， ∴DE//AC； （2）证明：∵EF垂直平分AD， ∴EA=ED，FA=FD， 在△AEF和△DEF中， ， ∴△AEF≌△DEF（SSS）， ∴∠EAF=∠EDF， ∵DEAC， ∴∠C=∠EDF， ∴∠C=∠EAF． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形性质的等知识的综合运用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 2．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知：如图，是的中线，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，从而可得结论； （2）先求解，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 3．（20-21七年级下·陕西榆林·期末）小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【答案】路灯的高度是 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定的条件是解题的关键． 根据三角形的内角和定理易得，进行得到和全等，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：路灯的高度是． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）已知：如图，平分，于点F，于点D，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】（1）根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可； （2）由勾股定理可得，再根据及可得，再计算的面积即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， ∵在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）在中，∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质以及勾股定理，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有． 题型二 补全全等三角形的证明过程 5．（20-21七年级下·山东青岛·期末）如图，，，点、在上，且． （1）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 试说明：． 解：， （       ）． ， 即． （         ）． 又， （        ）． （2）由（1） 可得，与平行吗？请说明理由， 【答案】（1）B，C，两直线平行，内错角相等，BE=CF，等式的性质，SAS；（2）AE与DF平行 【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△DCF； （2）由全等三角形的性质可得∠AEB=∠DFC，即可得结论． 【详解】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， ∵BF=CE， ∴BE=CF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）； 故答案为B，C，两直线平行，内错角相等，BE=CF，等式的性质，SAS． （2）AE与DF平行． 理由如下： ∵△ABE≌△DCF， ∴∠AEB=∠DFC， ∴∠AEF=∠DFE， ∴AE∥DF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 6．（23-24七年级上·山东烟台·期中）将下面的证明过程补充完整： 已知：如图，，于点E，于点F，． 求证：．    证明：∵，（已知） ∴． ∵，，（已知） ∴． ∵，（已知） ∴ ，（ ），即 ． 在和中， ∵， ∴．（ ） 【答案】，等式的性质，，，， 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 【详解】证明：∵（已知）， ∴． ∵，，（已知） ∴． ∵，（已知） ∴（等式的性质），即， 在和中， ∵， ∴． 故答案为：；等式的性质；；；；． 题型三 倍长中线模型 7．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）C （3）见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的性质即可． （2）依题意，与（1）同理，得出，再利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）先运用证明，再证明，即可作答． 【详解】解：（1）依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）如图，延长至点，使，连接． 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴， 又 ∴， ，， ∵， ∴， ， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级上·山东泰安·期中）[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，，求BC边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考： （1）根据已知和作图，图2中与全等吗？为什么？ （2）根据已知条件，写出线段的取值范围； [解题感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中． [问题解决] （3）如图3，是的中线，交于点F，且，试说明：． 【答案】（1）全等，见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：（1）∵在和中， ， ∴． （2）∵由（1）知：， ∴，， ∵在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴； （3）证明：如图，延长到M，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握中线倍长模型，添加辅助线是关键． 题型四 一线三等角模型 9．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，与中，三点在同一直线上，，求的长． （2）如图2，在中，，以为边在外部作等边，连接，求的面积． （3）如图3，四边形中，，若面积为21且的长为8，求的面积． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （2）延长，作，过点D作于H，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）分别过点A、B作，垂足分别为M、N，由题意易得，，然后可得，进而可得，最后根据等积法可进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，作，过点D作于H，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分别过点A、B作，垂足分别为M、N，如图所示： ∵， ∴都为等腰直角三角形， ∴， ∵面积为21且的长为8， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握“一线三等角”模型． 11．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 题型五 截长补短模型 12．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 13．（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 【答案】(1)；； (2)成立，过程见解析 (3)或或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）依据题意，补图，补充思路即可； （2）延长到，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ∵ ∴， ∵在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明； ②点在边延长线上，点在边延长线上，此时； 证明：在上截取，使，连接． ∵, ∴． ∵在与中， , ∴ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ∴， ∴， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或， 故答案为：或或． 题型六 全等三角形综合 15．（24-25七年级下·山东济南·期中）【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①； ②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 【答案】（1）①见解析；②； （2）①见解析；②见解析； （3），画图见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，余角的性质等知识，构造适当辅助线，证明三角形全等是解题的关键． （1）①利用同角的余角相等得，则由即可证明； ②由得，由三角形面积公式即可求解； （2）①由，即可得； ②延长与的延长线于点E，证明，则，易得，由预备知识得，则结论可证明； （3）过点C作交的延长线于点M，连接；设，由预备知识得；证明，则，，得；利用，可求得x的值，即求得． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图，延长与的延长线于点E， 由①知，， ∴，； ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（1）②知，， ∴； ∵， ∴由预备知识得， ∴； （3）解：，画图如下： 如图，过点C作交的延长线于点M，连接；设； ∵， ∴， ∴由预备知识得； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴； ∵， ∴ 即． 16．（24-25七年级下·山东淄博·期中）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②2；（3）6 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， 即， 在和中， ， ； （2）①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ， 点F为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 负值舍去， 即的长为6． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 17．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）（1）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．                                 （2）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析（2）1.5 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，可根据全等三角形的判定定理证明，得，，由，得，可推导出，得，所以； （2）延长到，使，连接，证明，得到，，等边对等角和对顶角相等，得到，得到，求出的长即可． 【详解】⑴证明：如图，延长至点，使，连接． 为的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ． （2）解：如图，延长到G，使，连接， ∵是的中线 ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 18．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)，见解析 【分析】（1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 题型七 旋转模型 19．（20-21七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 20．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）证明得到，利用三角形内角和可得； （2）①证明得到，，再由 ，得到，即可得到，； ②由可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， 又，，， ； （2）证明：①， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴，； ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 21．（20-21八年级上·山东青岛·期末）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 　 　；线段BE与AD之间的数量关系是 　 　． 【模型应用】 （2）如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD； （3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接CM，求∠APB的度数是 　 　． 【拓展提高】 （4）如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图5，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请证明BD和CE的数量关系和位置关系． （6）如图6，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长． 【深化模型】 （7）如图7，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有　 　． 【答案】（1）60°，AD=BE，（2）证明见详解；（3）150°；（4）∠EAF= =；（5）BD⊥CE，证明见详解；（6）BD=；（7）①②③⑤． 【分析】（1）由△ACB和△DCE均为等边三角形，可证△ACD≌△BCE(SAS )，可得∠ADC=∠BEC，AD=BE，由点A、D、E在同一条直线上，可求∠AEB=60°即可； （2）连结AC，在BD上截取DE=DC，由∠BDC＝60°，可证△DEC为等边三角形，可得EC=EC，由AB＝BC，∠ABC＝60°，可证△ABC为等边三角形，可证△ADC≌△BEC（SAS），可得AD=BE即可； （3）由PA：PB：PC＝3：4：5，设PA=3m，PB=4m，PC=5m，由△ABC与△BPM都是等边三角形，可证△ABP≌△CBM（SAS），可得AP=CM=3m，∠APB=∠CMB，由PM=BP=4m,可证△PMC为直角三角形，且∠PMC=90°即可； （4）将△AEB绕着点A逆时针旋转m°得△AGC，连结EG，FG ，延长ED到M，使DM=ED，连结FM，CM，先证△EDB≌△MDC（SAS），再证△GCF≌△MCF（SAS），最后证△AEF≌△AGF（SSS），可得∠EAF=∠GAF=； （5）由两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，可证△DAB≌△EAC（SAS），可得∠DBA=∠ECA，再求∠BPC=90°即可； （6）将DA绕着点A顺时针旋转90°得EA，连结DE，CE，可证△EAC≌△DAB（SAS），可得EC=DB，由DA=EA=4，∠EAD=90°，可求∠EDA=45°，DE=可证∠EDC=90°，根据勾股定理求即可； （7）等边△ABC和等边△CDE，可证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，故①AD＝BE正确；证△ACP≌△BCQ（ASA），可得CP=CQ，可证△PCQ为等边三角形，可得∠QPC=60°=∠BCA，故②PQ∥AE正确；③CP＝CQ正确；由∠OBP=∠PAC，∠BPO=∠APC，可得∠BOP=∠PCA=60°即∠AOB=60°，故⑤∠AOB＝60°，用举反例法可证点O不是BE中点，故④BO＝OE不恒成立． 【详解】解：（1）△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°， ∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°， ∴∠ACD =∠BCE， ∴△ACD≌△BCE(SAS )， ∴∠ADC=∠BEC，AD=BE， ∵点A、D、E在同一条直线上， ∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=180°-60°=120° ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°， 故答案为：60°，AD=BE， （2）连结AC，在BD上截取DE=DC， ∵∠BDC＝60°， ∴△DEC为等边三角形， ∴EC=DC， ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC=AC， ∵∠BCE+∠ECA=∠ACD+∠ECA=60°， ∴∠BCE =∠ACD， ∴△ADC≌△BEC（SAS）， ∴AD=BE， ∴DB=BE+ED=AD+CD， ∴AD+CD＝BD； （3）∵PA：PB：PC＝3：4：5， 设PA=3m，PB=4m，PC=5m， ∵△ABC与△BPM都是等边三角形， ∴AB=CB，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°=∠PMB， ∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°， ∴∠ABP =∠CBM， ∴△ABP≌△CBM（SAS）， ∴AP=CM=3m，∠APB=∠CMB， ∵PM=BP=4m， 在△PMC中，， ∴△PMC为直角三角形，且∠PMC=90°， ∴∠CMB=∠PMB+∠PMC=60°+90°=150°， ∴∠APB=∠CMB=150°， 故答案为150°； （4）将△AEB绕着点A逆时针旋转m°得△AGC，连结EG，FG ，延长ED到M，使DM=ED，连结FM，CM， ∵D为BC中点， ∴BD=CD，∠EDB=∠MDC，EM=DM， ∴△EDB≌△MDC（SAS）， ∴BE=CM，∠EBD=∠DCM， ∵∠ACF=∠EBA， ∴∠ACF-∠ACG=∠EBC-∠EBA=∠ABC=∠ACB， ∵∠ACG+∠GCD=∠DCF+∠GCD， ∴∠ACG=∠DCF， ∴∠FCM+∠DCF=∠GCF+∠ACG， ∴∠GCF=∠MCF，GC=MC，FC=FC， ∴△GCF≌△MCF（SAS）， ∴FG=FM， ∵ED⊥FD，ED=MD， ∴FE=FM=FG， ∵EA=GA，EF=GF，AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴∠EAF=∠GAF=； （5）∵两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠DAE+∠EAB=∠EAB+∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠DBA=∠ECA， ∵∠ABC+∠PCB+∠ACE=90°， ∴∠ABC+∠PCB+∠DBA=90°即∠PBC+∠PCB=90°， ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°， ∴BD⊥CE； （6）将DA绕着点A顺时针旋转90°得EA，连结DE，CE， ∵∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC， ∴∠EAC=∠DAB，EA=DA，CA=BA， ∴△EAC≌△DAB（SAS）， ∴EC=DB， ∵DA=EA=4，∠EAD=90°， ∴∠EDA=45°，DE=， ∵∠CDA=45°， ∴∠EDC=∠EDA+∠CDA=45°+45°=90°， 在Rt△EDC中，EC=， ∴BD=； （7）∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC=BC ，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°， ∴∠ACD=180°-∠DCE=180°-60°=120°，∠BCE=180°-∠BCA=180°-60°=120° ∴∠ACD=∠BCE，AC=BC ，CD=CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，故①AD＝BE正确； ∵△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠DAC=∠EBC， ∵∠BCQ=∠ACD-∠ACB=120°-60°=60°， ∴∠ACP=∠BCQ=60°，AC=BC， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴CP=CQ， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠QPC=60°=∠BCA， ∴PQ∥AE，故②PQ∥AE正确；③CP＝CQ正确； ∵∠OBP=∠PAC，∠BPO=∠APC， ∴∠BOP=∠PCA=60°， ∴∠AOB=60°，故⑤∠AOB＝60°， ， 取AC=4，CE=2， 点B（2,2），D（5，）， OD解析式：， BE解析式：， ， 解得， ， ∴， 解得， ∵2×≠2， ∴点O不是BE中点， 故④BO＝OE不恒成立； 正确的结论有①②③⑤． 【点睛】本题考查等边三角形性质，图形旋转变换，三角形全等判定与性质，勾股定理，一次函数，掌握等边三角形性质，图形旋转变换，三角形全等判定与性质，勾股定理，一次函数，利用辅助线画出准确图形是解题关键． 题型八 角平分线的热考模型 22．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分．    (1)如图1，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)问题解决：如图2，若为大于且小于的任意角，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，请说明：． 【答案】(1)，见解析 (2)成立，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）作交延长线于，于，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）在上截取，连接，根据等边对等角，三角形的内角和定理可求出，，则，由（2）的结论得，根据三角形外角是性质求出，根据等角对等边得出，然后根据线段的和差即可得证． 【详解】（1）解： 理由：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）； （2）解：成立， 理由：如图，作交延长线于，于，    ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25七年级上·山东泰安·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8 【分析】（1）利用证明，得出即可； （2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （3）取中点，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作，，垂足分别为，， ， 又平分，， ，， 在四边形中，， 又， ， 又， ，且，， ， ； （3）取中点，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 点、分别是、边上的中点， ， 又 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24．（22-23八年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，掌握角平分线的性质是解题的关键． （）由角平分线的定义和平行线的性质可得，由等角对等边即可得出结论； （）由角平分线的性质可得，进而由勾股定理得，即可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴ ∴在中，． 题型九 等腰三角形性质与判定综合 25．（24-25七年级上·山东威海·期末）学习了等腰三角形的相关知识，小华同学就想探究等腰三角形中的全等问题，以下是她的探究过程： 探究一：特殊的线 如图1，在中，，点，分别是，上的点，连接，． ①，分别是，边上的中线； ②，分别是，边上的高线； ③，分别是，的平分线； 小丽认为以上三种情况都能证明．你是否赞成小丽的观点，若不赞成，请说明理由；若赞成，请任选一种情况证明； 探究二：特殊的点 如图，在中，，点是的中点，点，分别是，上的点，小丽认为只要保证，那么，你是否赞成小丽的观点，若不赞成，请说明理由；若赞成，请证明； 探究三：特殊的形 如图，在中，，点是上的点，且，，点，分别是，上的点，小丽认为仅添加一个条件就能证明与全等．你认为可以添加的条件是______． 【答案】探究一：赞成，证明见解析；探究二：不赞成，理由见解析；探究三：可以添加的条件是（答案不唯一） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 探究一：分别证明三种情况都成立即可； 探究二：根据已知条件无法证明，即可得到结论； 探究三：添加一对合适的边相等即可证明． 【详解】探究一：三种情况都能证明．我赞成小丽的观点．证明如下： ①∵，分别是，边上的中线； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵，分别是，边上的高线； ∴， ∵， ∴ ∵， ∴； ③∵， ∴ ∵，分别是，的平分线； ∴， ∴， ∵， ∴； 探究二：不赞成，理由如下： ∵， ∴ ∵点是的中点， ∴ 若，则， 但点，分别是，上的点，不能保证， ∴小丽的观点不正确； 探究三：可以添加的条件是（答案不唯一） ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：（答案不唯一） 26．（23-24七年级下·山东威海·期末）将两个等腰直角三角板如图1放置，点是边中点． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)若将三角板如图2摆放，使得点重合，且点三点共线，连接．求证：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，再利用全等三角形的判定及性质即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质可知，再利用全等三角形的判定及性质可知，最后利用垂直的定义解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的定义，垂直平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 27．（23-24七年级下·山东烟台·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图，三幅图都是由一副三角板拼凑得到的：    (1)图1中的的度数为 ； (2)图2中已知，则的度数为 ； (3)若等腰直角三角板的斜边与含角的直角三角板的长直角边相等．如图3，当两个直角三角板的顶点A与F重合，斜边、重合在一起时，连接． ①求证：是等腰三角形； ②若，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据三角板的各角度数以及三角形的内角和定理求解即可； （2）根据平行性的性质和三角形的外角性质，结合三角板各角度数求解即可； （3）①根据等腰三角形的性质求得，再根据三角形的外角和性质得到，则，根据等腰三角形的判定可证得结论； ②利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）解：由题意，， ∵， ∴， ∴； （3）解：①证明：由题意，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及外角性质、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角板各角度数有关的计算等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 题型十 等边三角形性质与判定综合 28．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动． (1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由； (2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形 【分析】（1）分别求出的长可知，再由等边三角形的性质得到，即可证明是等边三角形； （2）分当时和当时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可， 本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； 由题意得，当时，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形； （2）解；∵运动时间为， ∴， ∴， 如图1所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2所示，当时， 同理可得， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形． 29．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 30．（22-23七年级下·山东济南·期末）在中，为锐角，点D为射线上一点，且与点B、C不重合，连接，以为边，向外作等边三角形，连接．    (1)若，； ①如图1，当点D在线段上时，直接写出与的数量关系和此时与关系； ②如图2，当点D在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； (2)如图3，若，，点D在线段上，且时，求的度数． 【答案】(1)①，，理由见解析；②成立，理由见解析 (2) 【分析】（1）①由题知和是等边三角形，求证，进一步证明，所以，，于是，得； ②成立：求证，进一步证明，所以，，进一步可证，从而； （2）以点A为顶点，为边作，交BC于点E，可证，进一步证明，所以，于是是等边三角形，得． 【详解】（1）解：，；理由如下， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴； ②成立，理由如下：    ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）以点A为顶点，为边作，交于点E，    ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行的判定，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，通过全等寻求线段间、角之间的相等关系是解题的关键． 题型十 等面积法的应用 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）（项目式学习）【探究学习】用不同方式表示同一图形的面积可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为“面积法”．请利用“面积法”自主探究三角形高线之间的数量关系． 【问题情境】如图，在中，，点为边所在直线上任意一点，连接．已知分别是、的高． (1)利用三角板在图、图中分别作中边上的高； (2)图中之间的数量关系为______________； (3)如图，当点在延长线上时，判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解； (2)； (3)，理由见详解． 【分析】本题主要考查了画三角形的高，用高线表示三角形的“面积法”，等腰三角形的性质，解题的关键是找准面积之间的数量关系． （1）在图、图中分别过点作，如图，图所示； （2）根据和，即可求解； （3）根据和，即可求解． 【详解】（1）解：在图、图中分别过点作，如图，图所示； ； （2）解：， ， ， ； 故答案为：； （3）解：之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， ． 之间的数量关系为：． 32．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：， 证明如下：连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 33．（22-23八年级下·山东济南·期末）已知中，，于点M，点D在直线上，，垂足为点E，，垂足为点F．    (1)如图1，点D在边上时，小明同学利用①三角形全等知识和②图形等面积法两种方法发现了，，三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系是_______； (2)如图2，图3，当点D在点B左边或者在点C右边的直线上时，问题（1）中，，三线段的数量关系是否还成立？若成立请选择一个图形进行证明，若不成立，请在图2或图3中选择一个图形，写出三线段新的数量关系，并进行证明． 【答案】(1) (2)不成立，，见解析 【分析】（1）连接，利用等面积法即可证明； （2）连接，当点在点左边的直线上时，利用等面积法即可证明；当点点右边的直线上时，利用等面积法即可证明． 【详解】（1）连接，如图．   ， ， ， ． 故答案为：； （2）不成立．连接．当点在点左边的直线上时，如图．   ， ， ， ； 当点点右边的直线上时，如图．   ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握“等积法”是本题的关键．本题也可以利用三角形全等得出结论． $$