精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

高一数学月考试卷 一、单选题 1. 下列说法错误的是（ ） A. 设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8 B. 90，92，92，93，93，94，95，97，99，100中位数为93.5 C. 甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18 D. 数据的标准差比较小时，数据比较集中 2. 从2名男生和2名女生中选择2人去参加某项活动，则2人中恰好有1名女生的概率为 A. B. C. D. 3. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第65百分位数为（ ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 4. 下列不等式中，正确的有（ ） ①；②；③；④ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 5. 已知向量，不共线，且，则实数（ ） A. 3 B. C. D. 6. 函数，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列关于向量的结论正确的是（ ） A. 若，则或 B. 非零向量与平行，则与的方向相同或相反 C. 起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量 D. 若向量与同向，且，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称 11. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是”，事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. A与互斥 B. A与相互独立 C. 与对立 D. 与相互独立 三、填空题 12. 已知向量，，.若，则________. 13. 甲、乙两人各射击一次，命中概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为__________． 14. 已知，则______． 四、解答题 15. 在某校2022年春季高一学生期末体育成绩中随机抽取50个，并将这些成绩共分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图.在的成绩为不达标，在的成绩为达标. （1）根据样本频率分布直方图求的值，并估计样本的众数和中位数（中位数精确到个位）； （2）以体育成绩是否达标为依据，用分层抽样的方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，再从这5人中随机选2人，那么这两人中至少有一人体育成绩达标的概率是多少？ 16. 已知角终边上的一点，（）. （1）求的值； （2）求的值. 17. 在某校举办的元旦有奖知识问答中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是. （1）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三人同时回答这道题时恰有一人答错该题的概率. 18. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. （1）若，试用，和实数表示； （2）试用，表示； （3）边上有点，使得，求证：，，三点共线. 19 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数．求方程在上的所有根之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学月考试卷 一、单选题 1. 下列说法错误的是（ ） A. 设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8 B. 90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为93.5 C. 甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18 D. 数据的标准差比较小时，数据比较集中 【答案】A 【解析】 【分析】对于A：根据方差的性质运算求解；对于B：根据中位数的定义运算求解；对于C：根据分层抽样运算求解；对于D：根据标准差的意义理解判断. 【详解】对于选项A：由方差的性质可得数据的方差为，故A错误； 对于选项B：本组数据有10个，则中位数是第5、6位数据的平均数，故B正确； 对于选项C：设样本容量为，则， 所以，故C正确； 对于选项D：根据标准差的意义可知：数据的标准差比较小时，数据比较集中，故D正确； 故选：A. 2. 从2名男生和2名女生中选择2人去参加某项活动，则2人中恰好有1名女生的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】解：从2名男生和2名女生选出2名参加某项活动， 基本事件总数n， 2人中恰好有1名女生包含基本事件的个数为：， ∴2人中恰好有1名女生的概率为p＝ 故选A 【点睛】解决古典概型问题时，首先分析试验的基本事件是什么，然后找到所有的基本事件，计算事件总数，其次要找到所研究事件包含的基本事件，计算总数，然后根据比值计算概率. 3. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第65百分位数为（ ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式，求得，结合百分位数的算法，即可得到答案. 【详解】由数据的平均数为16，可得，可得， 将这组数据从小到大排列，可得， 因为，所以这组数据的第65百分位数为. 故选：A. 4. 下列不等式中，正确的有（ ） ①；②；③；④ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①由函数在区间内单调递减判断；②由函数在区间内单调递减判断；③由函数在区间内单调递减判断；④由函数在区间内单调递增判断. 【详解】由于，且函数在区间内单调递减，则，①正确； 由于，且函数在区间内单调递减， 则，②错误； 由于，则，③正确； 由于，且函数在区间内单调递增，则，④错误． 故选：B 5. 已知向量，不共线，且，则实数（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为向量，不共线，， 所以存在使得， 则，解得. 故选：D. 6. 函数，的最小值为（ ） A B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】换元法：令，可得，，由二次函数在闭区间求解最小值即可． 【详解】函数， 令，由可得， ， 由二次函数可知当时，单调递增， 当时，函数取最小值， 故选：． 【点睛】本题考查三角函数的最值，换元并利用二次函数区间上的最值是解决问题的关键，属中档题． 7. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中， 即， 所以，， 又因为，则，，其中、均为正数， 且有， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是. 故选：A. 8. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助余弦函数的性质列出不等式计算即可得. 【详解】因为，所以， 即，所以的解集是. 故选：B. 二、多选题 9. 下列关于向量的结论正确的是（ ） A. 若，则或 B. 非零向量与平行，则与的方向相同或相反 C. 起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量 D. 若向量与同向，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的相关概念，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，但方向不能确定，选项A错误： 非零向量与平行，则与的方向相同或相反，选项B正确： 根据向量相等的定义，选项C正确： 向量不能比较大小，选项D错误． 故选：BC． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得函数的解析式为，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数图象，可得， 所以，可得，所以， 因为，所以， 即，可得，即， 因为，可得，所以， 所以A正确，B不正确； 由，所以是函数的图象的对称轴，所以C正确； 将的图象向左平移个单位长度， 可得， 此时函数的图象关于轴对称，所以D正确. 故选：ACD. 11. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是”，事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. A与互斥 B. A与相互独立 C. 与对立 D. 与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据互斥事件的概念分析判断；对于C：根据对立事件的概念分析判断；对于BD：求相应事件的概率，结合独立事件的定义分析判断. 【详解】试验的样本空间，，，. 事件，. 对于A，A与没有公共的基本事件，A与互斥，正确； 对于B，与相互独立，B正确； 对于C，显然，与可以同时发生，C错误； 对于D，与相互独立，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知向量，，.若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性坐标运算可得，再利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由，， 所以， 又因为， 所以，解得. 故答案为： 13. 甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为__________． 【答案】0.9## 【解析】 【分析】代入和事件概率公式，即可求解. 【详解】设甲射击命中的事件为，乙射击命中的事件为， 则. 故答案为： 14. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，利用诱导公式求解. 【详解】． 故答案为：. 四、解答题 15. 在某校2022年春季的高一学生期末体育成绩中随机抽取50个，并将这些成绩共分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图.在的成绩为不达标，在的成绩为达标. （1）根据样本频率分布直方图求的值，并估计样本的众数和中位数（中位数精确到个位）； （2）以体育成绩是否达标为依据，用分层抽样方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，再从这5人中随机选2人，那么这两人中至少有一人体育成绩达标的概率是多少？ 【答案】（1），众数为65，中位数为73； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据各组频率和为1可求出的值，然后根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据分层抽样的概念可知不达标的学生有2人，达标的学生有3人，然后利用列举法，根据古典概型概率公式即得. 【小问1详解】 由题知， 得， 由直方图可知众数为65； 因为，， 设中位数为，则， 得， 所以中位数为73； 【小问2详解】 分层抽样的方法从不达标和达标的学生中共选出5人， 则不达标的学生有2人记为，达标的学生有3人记为， 从这5人中选2人的情况有，共10种， 这两人中至少有一人是“达标”的情况有，共9种， 设“这两人中至少有一人达标”，则， 所以，这两人中至少有一人达标的概率是. 16. 已知角终边上的一点，（）. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）先求，把所求式子化简，转化为含有的式子求解； （2）构造齐次分式，同除，转化为含有的式子求解. 详解】（1）依题意有，原式. （2）原式 【点睛】本题主要考查同角基本关系及诱导公式，已知正切值求解时，注意齐次式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养. 17. 在某校举办的元旦有奖知识问答中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是. （1）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三人同时回答这道题时恰有一人答错该题的概率. 【答案】（1）乙回答对这道题的概率为，丙回答对这道题的概率为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式可求乙、丙两人各自回答对这道题的概率； （2）根据（1）中的结果可求甲、乙、丙三人同时回答这道题时恰有一人答错该题的概率. 【小问1详解】 设为“甲回答对这道题”，为“乙回答对这道题”，为“丙回答对这道题”， 则， 而，故，故， 又，故. 故乙回答对这道题的概率为，丙回答对这道题的概率为. 【小问2详解】 “甲、乙、丙三人同时回答这道题时恰有一人答错该题”可表示为： ， 而 . 18. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. （1）若，试用，和实数表示； （2）试用，表示； （3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据向量加减法运算即可; (2)根据向量的数量关系及向量加减法表示; (3)应用向量共线且有公共点证明即可. 【小问1详解】 由题意，所以， ① 【小问2详解】 设，由，， ② 由①、②得，， 所以，解得，所以； 【小问3详解】 由，得，所以， 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数．求方程在上的所有根之和． 【答案】（1）周期，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用周期的公式求周期，利用整体代入的方法求单调区间； （2）利用图象的平移变换得到的解析式，然后解方程求根即可. 【小问1详解】 因为，所以最小正周期， 令， 解得， 故的单调递增区间为． 【小问2详解】 将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移个单位， 可得函数的图象； 再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍， 纵坐标不变，得到函数的图象． 方程，即，在区间上，． 故由方程可得，或，求得，或， 故方程在区间上的所有根之和为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$