精品解析：山东省聊城市2024-2025学年高一下学期期中教学质量检测数学试题

2024—2025学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2. 下列函数中，以为最小正周期的奇函数为（ ） A. B. C. D. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 125 4. 在平行四边形ABCD中，M为CD的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 记的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则（ ） A. z不可能为纯虚数 B. z在复平面内表示的点可以在第三象限 C. 时， D. 时，z与是方程的两个根 10. 已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 图象关于点中心对称 B. 的图象关于y轴对称 C. 与在上的单调性相同 D. 当时， 11. “水城之眼”摩天轮与“水城明珠”大剧场是聊城市东昌湖畔两大文化地标，其中摩天轮是全球首座建筑与摩天轮结合的城市地标。摩天轮最低点距地面20米，最高点距地面168米，转一周大约需要30分钟，开启后按顺时针方向匀速旋转；明珠剧场可近似看作是直径约80米的半球形．某同学乘坐摩天轮观赏聊城的“湖光水色”，该同学在摩天轮最底部上车，由于建筑物遮挡经7分钟到A处开始观测到明珠剧场的穹顶B，共可观测15.5分钟．则下列说法正确的是（ ）（参考数据：） A. 明珠剧场体积约为13.4万立方米 B. 上车5分钟后，该同学距离地面的高度为84米 C. 该同学坐上摩天轮开始，转动t分钟后距离地面的高度为H米，则 D. 水城之眼中心在地面的投影与明珠剧场的球心距离大约为952米 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________. 13. 已知，，，点C在线段AB的延长线上，且，则的值为______． 14. 已知函数，若在区间上恰有三个零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是虚数，是实数，且． （1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围． （2）若，求证：为纯虚数． 16. 已知，，． （1）求在上的单调递增区间； （2）若，，求的值． 17. 如图，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R． （1）用向量方法证明：； （2）若，，求值． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）D为BC中点． （i）证明：； （ii）若，求的周长． 19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．两个复向量，的线性运算定义为：；两个复向量，相等定义为：，；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行．已知． （1）若复向量，，且． （i）求m，n的值； （ii）判断与是否平行，并说明理由； （2）若复向量，且与平行，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由进行坐标运算即可求解. 【详解】由有：， 故选：C. 2. 下列函数中，以为最小正周期的奇函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，即可判断选项. 【详解】对于A，是偶函数，故不成立， 对于B，奇函数，且最小正周期，故成立， 对于C，是奇函数，且最小正周期为，故不成立， 对于D，是偶函数，故不成立. 故选：B 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】据复数的模长结合乘法运算可得复数，再由共轭复数的概念和模长公式即可求解. 【详解】，则，则，则. 故选：B. 4. 在平行四边形ABCD中，M为CD的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算公式，即可求解. 【详解】， 即. 故选：D 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式有，，，最后利用单调性即可求解. 【详解】由，， ，又， 因为在单调递减， 所以，即，所以. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角正切公式化简即可. 详解】由，利用降幂公式化简，得， 即，即，解得：. 故选：A. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的图象，结合函数的性质，求解函数的解析式，再代入求值. 【详解】由图象可知，，，则， 且，得， 则，. 故选：A 8. 记的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，即，利用正弦定理和求解和，最后利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 由正弦定理有，又，， 所以，又因为，所以， 又， 所以， 所以， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则（ ） A. z不可能为纯虚数 B. z在复平面内表示的点可以在第三象限 C. 时， D. 时，z与是方程的两个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的性质计算判断A，应用几何意义判断B，根据模长判断C，根据复数根的性质判断D. 【详解】因为， 若z为纯虚数，则且不等于0，无解，所以z不可能为纯虚数，A选项正确； 若z在复平面内表示的点在第三象限，所以，无解，所以z在复平面内表示的点不可以在第三象限，B选项错误； 时，，C选项正确； 方程的两个根，时，z与是方程的两个根，D选项正确； 故选：ACD. 10. 已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于y轴对称 C. 与在上的单调性相同 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图像变换先求出函数的解析式，再根据函数的对称性、单调性、函数值大小比较等性质逐一分析各选项即可得出结论. 【详解】代入得， 所以的图象不关于点中心对称，故选项A错误； 函数为横坐标变为原来的（即周期变为原来的一半）， 得到,再向右平移个单位，得到; 化简得. ，故是偶函数，选项B正确； 时，，在上单调递增； 时，时，，在上单调递增， 因此两函数单调性相同，选项C正确. 令, 取，则： ， 因此存在点使，即,选项D错误. 故选：BC 11. “水城之眼”摩天轮与“水城明珠”大剧场是聊城市东昌湖畔的两大文化地标，其中摩天轮是全球首座建筑与摩天轮结合的城市地标。摩天轮最低点距地面20米，最高点距地面168米，转一周大约需要30分钟，开启后按顺时针方向匀速旋转；明珠剧场可近似看作是直径约80米的半球形．某同学乘坐摩天轮观赏聊城的“湖光水色”，该同学在摩天轮最底部上车，由于建筑物遮挡经7分钟到A处开始观测到明珠剧场的穹顶B，共可观测15.5分钟．则下列说法正确的是（ ）（参考数据：） A. 明珠剧场体积约为13.4万立方米 B. 上车5分钟后，该同学距离地面的高度为84米 C. 该同学坐上摩天轮开始，转动t分钟后距离地面的高度为H米，则 D. 水城之眼中心在地面的投影与明珠剧场的球心距离大约为952米 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知结合球的体积公式计算，即可判断A；设转动t分钟后距离地面的高度为H米，.根据已知计算得出，即可判断C项；代入，即可验证B项；作出大致图象，结合题中给的数值，结合三角形相似推得，进而在三角形中得出，进而化简求值即可判断D项. 【详解】对于A项，由已知明珠剧场可近似看作是直径约80米的半球形可得， 明珠剧场体积约为.故A正确； 对于C项，由已知可设该同学坐上摩天轮开始，转动t分钟后距离地面的高度为H米，则. 则由已知可得，，，， 所以，，，. 所以，. 又， 所以，. 又， 所以， 所以，. 故C正确； 对于B项，当时，.故B错误； 对于D项，如图，设半球的圆心为，连接， 过点作截面圆的切线，分别过点作的垂线. 过点作，且满足，垂足为. 易知 因为， 所以，， 故，， ， 则. . 所以，，即， 解得. 又， 所以，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用数量级的坐标运算得的坐标，再利用投影向量的公式求解即可. 【详解】解：设，因为 所以 所以 则向量在向量上的投影向量为：. 故答案为：. 13. 已知，，，点C在线段AB的延长线上，且，则的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】先求出，的坐标，由可得，进而代值计算即可. 【详解】因为，，， 所以， 由，则， 则，解得， 则. 故答案为：18. 14. 已知函数，若在区间上恰有三个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求的范围，再根据端点的基本范围，结合零点的情况，列式求解. 【详解】由，则，， 此时， 若函数的三个零点都在轴的负半轴，则，不等式的解集为， 若函数的零点有2个负零点，1个是原点，则，不等式的解集为， 若函数的零点1个是负零点，1个是原点，1个正零点，则，不等式的解集为， 若函数的零点1个是原点，2个正零点，则，得. 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是虚数，是实数，且． （1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围． （2）若，求证：为纯虚数． 【答案】（1）；（2）略 【解析】 【详解】分析：（1）设z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则=（a+）+（b﹣），由z1是实数，得a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[﹣，]． （2）ω====，由此能证明ω=是纯虚数． 详解：(1)解:设.则 , 因为.所以，又，所以.所以. 所以, 又,即.解得. 所以的实部的取值范围的取值范围为. (2)证明:, 因为.所以, 所以为纯虚数. 点睛：复数实部为，虚部为，共轭复数实部为，虚部为，在复平面内对应的点关于是轴对称，复数的运算，难点是乘除法法则，设，则， ． 16. 已知，，． （1）求在上的单调递增区间； （2）若，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，得根据正弦函数的单调性即可求解； （2）由得，又，利用两角差的正弦公式展开即可求解. 【小问1详解】 由题意有 ． 因为，所以， 当或，即或，单调递增， 所以在上的单调递增区间为，． 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，即． 因为，所以，所以，， 所以 ，即． 17. 如图，平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R． （1）用向量方法证明：； （2）若，，求值． 【答案】（1）证明见解析 （2）-6 【解析】 【分析】 （1）存在，使得，利用向量的线性运算可得， 又由点R， A，C三点共线，且，可得，解得值，从而得证. （2）由题设得四边形ABCD是菱形，，数形结合，作于点H，利用投影向量的概念即可得在上的投影向量为，由向量的线性运算即可求解． 【小问1详解】 证明：因为R在ED上，所以存在，使得， 故， 又因为点R在AC上，且，， 所以，得， 所以，所以． 【小问2详解】 因为， 和分别是和方向上的单位向量， 设，，则以，为邻边的平行四边形是菱形， 是该菱形的对角线， ，所以 与垂直，所以， 可得，所以平行四边形ABCD是菱形， 所以，， 作于点H，又因为E为AB的中点， 所以在上的投影向量为， 所以． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）D为BC的中点． （i）证明：； （ii）若，求的周长． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）（i）在中由余弦定理有，在中由余弦定理有，利用即可得证； （ii）由余弦定理得得，由代入（i）得即可求,进而得的周长. 【小问1详解】 由，得， 所以由正弦定理得， 因为中，，所以， 即，所以， 又因为中，，所以，因为，所以． 【小问2详解】 （i）证明：因为D为BC的中点， 所以在中，由余弦定理得； 在中，由余弦定理得， 因为,所以， 所以，即． （ii）当时， 在中，由余弦定理得，所以， 又由（i）知，，所以， 所以，解得， 所以的周长为． 19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．两个复向量，的线性运算定义为：；两个复向量，相等定义为：，；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行．已知． （1）若复向量，，且． （i）求m，n的值； （ii）判断与是否平行，并说明理由； （2）若复向量，且与平行，求． 【答案】（1）（i）；（ii）平行，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据复向量的线性公式，以及复向量相等的定义，即可列式求解； （ⅱ）根据复向量平行的定义，结合复向量的积的定义，即可判断； （2）首先设，根据复向量平行的定义，以及复向量积的定义，结合运算公式，利用待定系数法，即可求解 小问1详解】 （i）由题意得， 所以所以解得所以 （ii）由（i）知，所以，， 因为，得， 因为， ， 同理得， 所以，故与平行． 【小问2详解】 设， 则， 得， 又， ， 若与平行，则，即， 化简整理得，所以，，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $